微分方程和解

1、1.1 微分方程和解微分方程和解常微分方程課程簡介常微分方程課程簡介 常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、萬有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動(dòng)、市場均衡價(jià)格的變化等，對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)

2、域。 常微分方程 學(xué)習(xí)常微分方程的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識(shí)，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問題，使學(xué)生學(xué)會(huì)和掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時(shí)，通過這門課本身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些基本方法，初步了解當(dāng)今自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的一些非線性問題，為他們將來從事相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作培養(yǎng)興趣，做好準(zhǔn)備。 教材及參考資料教 材：東北師大數(shù)學(xué)系編. 常微分方程(第二版) .高教出版社參考資料：1.丁同仁. 常微分方程教程. 人民教育出版社 2.張錦炎. 常

3、微分方程幾何理論與分支問題（修訂本）.北京大學(xué)出版社 定義定義1:1: 聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程分）的關(guān)系式稱為微分方程. ; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列關(guān)系式都是微分方程一、常微分方程與偏微分方程一、常微分方程與偏微分方程 如果在一個(gè)微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則這樣的微分方程稱為常微分方程常微分方程.;2 ) 1 (xdx

4、dy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程1.常微分方程常微分方程如 如果在一個(gè)微分方程中,自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上,稱為偏微分方程偏微分方程.; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本課程主要研究常微分方程. 同時(shí)把常微分方程簡稱為微分方程或方程. 2.偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程.定義定義2 2：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的微分的階數(shù)階數(shù)稱為稱為微分方程的階數(shù)微分方程的階數(shù). . 2 ) 1 (xdxdy

5、是一階微分方程； 0 (2) ydxxdy是二階微分方程； 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四階微分方程. sin35 )4(2244txdtxddtxd二、微分方程的階二、微分方程的階如:( , ,)0(1)nndyd yF x ydxdxn階隱式微分方程的一般形式為.,dxdyy,x,0),dxdyy,F(x,是自變量是未知函數(shù)而且一定含有的已知函數(shù)是這里xydxyddxyddxydnnnnnnn階顯式微分方程的一般形式為 1, ,(2)nnyfx y yy 2 ) 1 (xdxdy 是線性微分方程是線性微分方程. 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxdd

6、txd三 線性和非線性( , ,)0nndyd yF x ydxdx如如.,dxdyy階線性方程則稱其為的一次有理式及的左端為ndxydnn1.如果方程 是非線性微分方程是非線性微分方程. . 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxd2.n階線性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函數(shù)是這里xxfxaxan不是線性方程的方程稱為非線性方程四 微分方程的解定義4:,),(滿足條件如果函數(shù)Ixxy;)() 1 (階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有直到在nIxy, 0)(),(),(,(:)2(xxxxFIxn有對(duì).0),dxd

7、yy,F(x,(x)y上的一個(gè)解在為方程則稱Idxydnn例2.),(0ycosxysinx,y上的一個(gè)解在都是微分方程驗(yàn)證y證明:由于對(duì)sinx,y xsinycosx,y(,),x 故對(duì)有 yyxsin0 xsin.),(0ysinxy上的一個(gè)解在是微分方程故y.),(0yxcosy上的一個(gè)解在是微分方程同理y1 顯式解與隱式解是方程的一個(gè)則稱的解為方程所確定的隱函數(shù)如果關(guān)系式0),(,0),dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn相應(yīng)定義4所定義的解為方程的一個(gè)顯式解.隱式解.注:顯式解與隱式解統(tǒng)稱為微分方程的解.例如yxdxdy對(duì)一階微分方程有顯式解:2211.y

8、xyx 和和隱式解:. 122 yx2 通解與特解定義5 如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的通解.例如:為任常數(shù)2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn階微分方程通解的一般形式為),(1nccxy.,1為相互獨(dú)立的任常數(shù)其中ncc 注1:使得行列式的某一鄰域存在是指個(gè)獨(dú)立常數(shù)含有稱函數(shù),),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例3.62y2y3cy2321的通解是微分方程驗(yàn)證yy

9、ececexxxxxxecece23212cy證明:由于,4cy2321 xxxececexxxecece2321 8cy故yy2y2y)2(c2321xxxecece)8(c2321xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2cc2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(86.62y2y3cy2321的通解是微分方程故yyececexxx又由于3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 0.62y2y3cy2321的解微分方程是故yyececexxx

10、注2:.),(,0),(),(11該微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdyyxFccxy注3: 類似可定義方程的隱式通解 如果微分方程的隱式解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的隱式通解.以后不區(qū)分顯式通解和隱式通解,統(tǒng)稱為方程的通解. 在通解中給任意常數(shù)以確定的值而得到的解或不含任意常數(shù)的解稱為方程的特解.例如.0ycosxysinx,y的特解都是方程y中分別取可在通解cosxsinxy21cc:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到csinx,y cosx.y 定義63 定解條件 為

11、了從通解中得到合乎要求的特解,必須根據(jù)實(shí)際問題給微分方程附加一定的條件,稱為定解條件.求滿足定解條件的求解問題稱為定解問題. 常見的定解條件是初始條件,n階微分方程的初始條件是指如下的n個(gè)條件:)1(01)1()1(000,xxnnnydxydydxdyyy時(shí)當(dāng).1,)1(0)1(000個(gè)常數(shù)是給定的這里nyyyxn當(dāng)定解條件是初始條件時(shí),相應(yīng)的定解問題稱為初值問題.注1:n階微分方程的初始條件有時(shí)也可寫為)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常記為問題的解的初值問題也稱滿足條件階微分方程求,)(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例4.1)0(, 2)0(,045yecy-4x21的特解并求滿足初始條件的通解是方程驗(yàn)證yyyycexyy45y-4x21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4