高等數(shù)學(xué)A-第1章-8-1(函數(shù)及其性質(zhì)).

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A1.1 1.1 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì) 1.1.1 映射映射 1.1.2 函數(shù)的概念函數(shù)的概念 1.1.3 函數(shù)的特性函數(shù)的特性 1.1.4 函數(shù)的運(yùn)算函數(shù)的運(yùn)算 1.1.5 函數(shù)的四則運(yùn)算函數(shù)的四則運(yùn)算 1.1.6 初等函數(shù)初等函數(shù) 1.1 1.1 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)1.1.2 函數(shù)的概念函數(shù)的概念 1.1.1 映射映射 定義定義單射、滿射、一一映射、可數(shù)集，算子、泛函、變換、函數(shù)單射、滿射、一一映射、可數(shù)集，算子、泛函、變換、函數(shù) 逆映射與復(fù)合映射逆映射與復(fù)合映射 函數(shù)定義函數(shù)定義

2、函數(shù)定義域和函數(shù)圖形函數(shù)定義域和函數(shù)圖形表示函數(shù)關(guān)系式的方法及分段函數(shù)表示函數(shù)關(guān)系式的方法及分段函數(shù)1.1.6 初等函數(shù)初等函數(shù) 1.1.5 函數(shù)的四則運(yùn)算函數(shù)的四則運(yùn)算 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 1.1.3 函數(shù)的特性函數(shù)的特性 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性1.1.4 函數(shù)的運(yùn)算函數(shù)的運(yùn)算 反函數(shù)反函數(shù)基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)習(xí)例函數(shù)及其性質(zhì)習(xí)例1-7函數(shù)及其性函數(shù)及其性質(zhì)質(zhì)1. 函數(shù)的定義函數(shù)的定義一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念設(shè)設(shè)D是實(shí)數(shù)集，稱映射是實(shí)數(shù)集，稱映射 為定義在為定義在D上的函數(shù)上的函數(shù),

3、通常簡(jiǎn)記為通常簡(jiǎn)記為:f DRDxxfyxfDxxfy),(|: ),(或因變量因變量自變量自變量數(shù)集數(shù)集D叫做函數(shù)叫做函數(shù)f的的定義域定義域,記作記作 ，即，即 D fDfD可見可見, 函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射, 其值域總在其值域總在 內(nèi)，因此構(gòu)成函數(shù)的要素是：內(nèi)，因此構(gòu)成函數(shù)的要素是：定義域與對(duì)應(yīng)法則定義域與對(duì)應(yīng)法則R),()()( ),()()(DxxfyyDffRDffRfxf即或記作的值域，為函數(shù)的全體所構(gòu)成的數(shù)集稱函數(shù)值單值函數(shù)與多值函數(shù)單值函數(shù)與多值函數(shù) 如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)

4、值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)；否則叫做多值函數(shù)種函數(shù)叫做單值函數(shù)；否則叫做多值函數(shù)例例如如，222ayx 只有一個(gè)自變量的函數(shù)，稱為一元函數(shù)只有一個(gè)自變量的函數(shù)，稱為一元函數(shù). 故若兩個(gè)函數(shù)的定義域相同故若兩個(gè)函數(shù)的定義域相同, 對(duì)應(yīng)法則也相同對(duì)應(yīng)法則也相同, 則這兩個(gè)函數(shù)就是相同的則這兩個(gè)函數(shù)就是相同的, 否則就是不同的否則就是不同的. 表示函數(shù)的記號(hào)是可以任意選取的表示函數(shù)的記號(hào)是可以任意選取的, 除了常用的除了常用的 外外, 還可以用其他的英還可以用其他的英文字母或希臘字母文字母或希臘字母, 比如比如“ 、 、 ”等，等，相應(yīng)的函數(shù)可記為相應(yīng)的函數(shù)可記為gF ,y

5、g xyF xyxf判斷函數(shù)判斷函數(shù) f 與與 g 是否是同一函數(shù)？是否是同一函數(shù)？3334221)(,)()3()(,)()2(lg2)(,lg)()1( xxxgxxxfxxgxxfxxgxxf(2)自然定義域自然定義域. 理論研究中理論研究中, 對(duì)應(yīng)法則是用數(shù)學(xué)公式表示的對(duì)應(yīng)法則是用數(shù)學(xué)公式表示的函數(shù)函數(shù), 這種函數(shù)的定義域是使數(shù)學(xué)公式有意義的自變量的所這種函數(shù)的定義域是使數(shù)學(xué)公式有意義的自變量的所有值構(gòu)成的實(shí)數(shù)集有值構(gòu)成的實(shí)數(shù)集. 即即當(dāng)函數(shù)由公式（表達(dá)式）給出時(shí)，使當(dāng)函數(shù)由公式（表達(dá)式）給出時(shí)，使公式有意義的自變量的取值范圍就是函數(shù)的定義域公式有意義的自變量的取值范圍就是函數(shù)的定義域

6、. 如：如：分式的分母不為分式的分母不為0； ;0)(, )(2 xfnxfn要要求求為為正正整整數(shù)數(shù) ;0)(,10),(log xfaaxfa且且要要求求 ;1)(),(arccos),(arcsin xfxfxf要要求求 .0)(,)()( xfxfyxg要要求求(3)定義域的表示法：定義域的表示法：不等式法，集合法，區(qū)間法，敘述法與圖示法不等式法，集合法，區(qū)間法，敘述法與圖示法. 2. 函數(shù)定義域的確定函數(shù)定義域的確定(1)由實(shí)際問(wèn)題決定由實(shí)際問(wèn)題決定. 區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,

7、baRba 且且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxabbxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義區(qū)間長(zhǎng)度的定義: :兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).,( aU記作記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . ),( axaxaU

8、xa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點(diǎn)點(diǎn) a. 0)(),( axxaUaU,鄰域鄰域的的稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx 例例 求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域解：解：0104 ) 1 (2xx要求21 x所以函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的定義域?yàn)?1,2. 11111)( )2(.xxf 114 )1(2 xxy要求 )2(0 x011x01111x .21, 1, 0 x3. 函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形.)(),(),(的圖形稱為函數(shù)點(diǎn)集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD 4. 分段函數(shù)分段函數(shù)對(duì)于自變量的不同值（或在不同區(qū)間上），函數(shù)的表對(duì)于自變量的不同值（或在不同區(qū)間上），函數(shù)的表達(dá)式

9、不同，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)達(dá)式不同，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).(1) 絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù) 0 ,0 ,xxxxxyoxy(2) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 0, 10, 00, 1sgnxxxxy11xyo(3) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過(guò)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo(4) Dirichlet(狄利克雷狄利克雷)函數(shù)函數(shù) 是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo(5) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy

10、yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg(6) 整標(biāo)函數(shù)整標(biāo)函數(shù))(nfy 以自然數(shù)為自變量的函數(shù)以自然數(shù)為自變量的函數(shù):圖形為一些離散的點(diǎn)構(gòu)成圖形為一些離散的點(diǎn)構(gòu)成. 二、函數(shù)的特性二、函數(shù)的特性1. 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 ,),()(上上有有定定義義開開或或閉閉有有限限或或無(wú)無(wú)限限在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)Ixfy 有有若若對(duì)任意對(duì)任意, , 2121xxIxx )()( )()(2121xfxfxfxf 或或則則稱稱 f(x)在在I上嚴(yán)格單調(diào)上升或嚴(yán)格單調(diào)遞增（嚴(yán)格單調(diào)上嚴(yán)格單調(diào)上升或嚴(yán)格單調(diào)遞增（嚴(yán)格單調(diào)下降或嚴(yán)格單調(diào)下降或嚴(yán)格單調(diào)遞遞減）減）.有有若若對(duì)任意對(duì)任意, , 212

11、1xxIxx )()( )()(2121xfxfxfxf 或或則則稱稱 f(x)在在I上單調(diào)上升或單調(diào)上單調(diào)上升或單調(diào)遞遞增增(單調(diào)下降或單調(diào)單調(diào)下降或單調(diào)遞遞減減).單增和單減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，單增和單減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，I稱為單調(diào)區(qū)間稱為單調(diào)區(qū)間. 由有限個(gè)單調(diào)函數(shù)組成的函數(shù)，稱為分段單調(diào)函數(shù)由有限個(gè)單調(diào)函數(shù)組成的函數(shù)，稱為分段單調(diào)函數(shù). 如如 xy 2. 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX .)(否否則則稱稱無(wú)無(wú)界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf,)(, 0,11成立成立有有即若即若MxfXxMDX .)(上無(wú)界上無(wú)界在在則稱函數(shù)則稱函

12、數(shù)Xxf通常函數(shù)的有界性與區(qū)間有關(guān)，通常函數(shù)的有界性與區(qū)間有關(guān)，,1 2xy 如如.)1 ,101,)1 , 0(上有界上有界而在而在內(nèi)無(wú)界內(nèi)無(wú)界在在3. 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)圖形關(guān)于偶函數(shù)圖形關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱有有對(duì)于對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf有有對(duì)于對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf .)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱奇函數(shù)圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)( xf yx)(xfox-x)(xfy 注意：注意：(1) 若若f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不

13、對(duì)稱，則的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則f(x)一定不是奇函數(shù)或偶函數(shù)一定不是奇函數(shù)或偶函數(shù).則則上上的的任任意意函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于),()0)(,()2(xfaaa ,)()()(為為偶偶函函數(shù)數(shù)xfxfxg ,)()()(為為奇奇函函數(shù)數(shù)xfxfxh ),()(21)(xhxgxf 從從而而即即f(x)可表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和可表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和. (3) 奇偶函數(shù)的性質(zhì)奇偶函數(shù)的性質(zhì) 偶函數(shù)的和與差仍是偶函數(shù)，偶函數(shù)的和與差仍是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和與差仍是奇函數(shù)；奇函數(shù)的和與差仍是奇函數(shù)；兩個(gè)奇（或偶）函數(shù)的商是偶函數(shù)；兩個(gè)奇（或偶）函數(shù)的商是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的積（或

14、商）是奇函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)；有限個(gè)偶函數(shù)的積仍是偶函數(shù)；有限個(gè)偶函數(shù)的積仍是偶函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù). 4. 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性.,)(),()( , 0,)(為周期為周期為周期函數(shù)為周期函數(shù)則稱則稱都有都有若若上有定義上有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)TxfxfTxfDxTDxfy 任一任一周期函數(shù)都有無(wú)窮多個(gè)周期周期函數(shù)都有無(wú)窮多個(gè)周期. 若在無(wú)窮多個(gè)周期若在無(wú)窮多個(gè)周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則這個(gè)正數(shù)稱為最小正周中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則這個(gè)正數(shù)稱為最小正周期，簡(jiǎn)稱周期期，簡(jiǎn)稱周期.并非所有周期函數(shù)都有最小正周期并非所有周期函數(shù)都有最小

15、正周期, 如如Dirichlet函數(shù)函數(shù) 1,0,CxyD xxQQ,容易驗(yàn)證這是一個(gè)周期函數(shù)容易驗(yàn)證這是一個(gè)周期函數(shù), 任何正有理數(shù)任何正有理數(shù)都是它的周都是它的周期期, 因?yàn)椴淮嬖谧钚〉恼欣頂?shù)因?yàn)椴淮嬖谧钚〉恼欣頂?shù), 所以所以Dirichlet函數(shù)沒函數(shù)沒有最小正周期有最小正周期. r三、函數(shù)的運(yùn)算三、函數(shù)的運(yùn)算1. 反函數(shù)反函數(shù) 定義：定義：.)(,)(YXfXxfy 值值域域上上有有定定義義在在設(shè)設(shè),)(,yxfXxYy 使使得得都都有有唯唯一一確確定定的的若若對(duì)對(duì)任任一一個(gè)個(gè).),(1Yyyfx 注意：注意：(1)反函數(shù)的定義域和值域恰好是原來(lái)函數(shù)的值域和定義域反函數(shù)的定義域和值

16、域恰好是原來(lái)函數(shù)的值域和定義域.0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函數(shù)函數(shù)oxyWD)(yx 反函數(shù)反函數(shù)o設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 是單射，則它存在逆映射是單射，則它存在逆映射 , 稱此映稱此映射射 為函數(shù)為函數(shù) 的反函數(shù)的反函數(shù). :fDf D1:ff DD1ff亦即亦即)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數(shù)反函數(shù)(2)直接函數(shù)與反函數(shù)的直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于圖形關(guān)于y=x對(duì)稱對(duì)稱.反函數(shù)的求法：反函數(shù)的求法：(1)一般先從方程一般先從方程y=f(x)中解出中解出x, 然后再將所得結(jié)果中的然后再將所得結(jié)果中的 x與與y互換位置即可互換位置即可;(2)對(duì)分段

17、函數(shù)對(duì)分段函數(shù),只要分段求出反函數(shù)便得只要分段求出反函數(shù)便得. (3) 反函數(shù)的反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則是對(duì)應(yīng)法則是完全由原函數(shù)的對(duì)應(yīng)法完全由原函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則所確定則所確定 .2. 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 定義：定義： ),)()( XxxguUuufy 與與設(shè)有兩個(gè)函數(shù)設(shè)有兩個(gè)函數(shù) ,)()(UXgxgu 的值域的值域且函數(shù)且函數(shù) ,),( XxxgfyX 上上確確定定了了函函數(shù)數(shù)則則在在 .)()( 的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)與與稱為稱為xguufy gfy 記為記為注意：注意：UXg )(:)1(復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)鍵鍵是是(2)復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)

18、成.即不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的即不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的. fggf 3)(一般一般復(fù)合函數(shù)的求法：復(fù)合函數(shù)的求法：(1)對(duì)于非分段函數(shù)常用直接代入的方法；對(duì)于非分段函數(shù)常用直接代入的方法；(2)對(duì)于分段函數(shù)常用討論的方法對(duì)于分段函數(shù)常用討論的方法. 四、函數(shù)的四則運(yùn)算四、函數(shù)的四則運(yùn)算 函數(shù)的四則運(yùn)算函數(shù)的四則運(yùn)算 這四種運(yùn)算稱為函數(shù)的四則運(yùn)算這四種運(yùn)算稱為函數(shù)的四則運(yùn)算.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的定義域分別為的定義域分別為 ，則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算:1212,D D DDD ,f xg x :,;fgfgxf xg xxD和和

19、 :,;fgfgxf xg xxD差差 :,;fgfgxfxg xxD積積 :,0,.fxffxxDx g xxDggg x商商五、初等函數(shù)五、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)(1)常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù).),( ,為常數(shù)為常數(shù)cxcy (2)冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy (3)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0( (4)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (5)三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin

20、xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)xycos xysin 正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xxycos1sec xysec xxysin1csc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)(6)反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù)xyarctan xycot 反反余余切切函函數(shù)數(shù)arcxycot arc 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基

21、本初等函數(shù).基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)2. 初等函數(shù)初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示一個(gè)式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù).并非所有的函數(shù)都是初等函數(shù)并非所有的函數(shù)都是初等函數(shù),分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)分段函數(shù)一般不是初等函數(shù). 但也有例外但也有例外!3. 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)-都是初等函數(shù)都是初等函數(shù).六、函數(shù)及其性質(zhì)六、函數(shù)及其性質(zhì)舉例舉例 . 1 求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域例例 49)3ln(1)(1)(2xxxf )

22、2(sin,)(10)2(的定義域的定義域求求有定義有定義時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù)設(shè)設(shè)xfufu 21 ,210 ,0 ,11)()3(xxxxxxf).1(, 35)1( . 22242 xfxxxf求求設(shè)設(shè)例例).2(cos,cos1)2(sin . 3xfxxf求求設(shè)設(shè)例例 ,)1()( . 4bacbaxcxbfxaf 且且為常數(shù)為常數(shù)其中其中設(shè)設(shè)例例).()( :xfxf 求證求證 ,),()()(),( . 5上的單增函數(shù)上的單增函數(shù)為為及及設(shè)設(shè)例例xxxf :),()()(求求證證且且xxfx ).()()(xxffx .,21 ,210 ,ln01 , . 612求反函數(shù)求反函數(shù)已知已知例

23、例 xexxxxyx,)( ,1 , 11 , 01 , 1)( . 7xexgxxxxf 設(shè)設(shè)例例).(),(xfgxgf求求 . 1 求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域例例 49)3ln(1)(1)(2xxxf 解：解： 13030492xxx由由 2377xxx得得)3 , 2()2 , 7 故所求定義域?yàn)楣仕蠖x域?yàn)?)2(sin,)(10)2(的定義域的定義域求求有定義有定義時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù)設(shè)設(shè)xfufu 解：解：, 12sin0: x依題意要求依題意要求由此可求得由此可求得x的取值范圍，即為定義域的取值范圍，即為定義域. 21 ,210 ,0 ,11)()3(xxxxxxf解：解：

24、 易知該易知該函數(shù)的定義域?yàn)椋汉瘮?shù)的定義域?yàn)椋?2 , 0()0 , 1()1,( ).1(, 35)1( . 22242 xfxxxf求求設(shè)設(shè)例例解：解：13312)1(2242 xxxxf1)1(3)1(222 xx13)(2 xxxf1)1(3)1()1(2222 xxxf故故. 324 xx).2(cos,cos1)2(sin . 3xfxxf求求設(shè)設(shè)例例 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?cos2cos1)2(sin2xxxf )2sin1(22x 所以所以)2cos1(2)2(cos2xxf 2sin22x .cos1x ,)1()( . 4bacbaxcxbfxaf 且且為常數(shù)為常數(shù)其中其中設(shè)設(shè)

25、例例).()(:xfxf 求證求證證明：證明： 1代入已知表達(dá)式得代入已知表達(dá)式得以以x )()1(cxxbfxaf 兩式聯(lián)立可兩式聯(lián)立可求得，求得，)()(22bxxabacxf )()(22bxxabacxf 而而)(22bxxabac )(xf ).()(xfxf ,),()()(),( . 5上上的的單單增增函函數(shù)數(shù)為為及及設(shè)設(shè)例例 xxxf :),()()(求求證證且且xxfx ).()()(xxffx 證明：證明：,0 x ),()()(000 xxfx 有有由由單調(diào)性及已知不等式有，單調(diào)性及已知不等式有， )()(00 xfx )(0 xff )()(00 xfxff )(0 x )()()(000 xxffx .0的任意性可知結(jié)論成立的任意性可知結(jié)論成立由由x.,21 ,210 ,ln01 , . 612求反函數(shù)求反函數(shù)已知已知例例 xexxxxyx解：解：得得由由2xy ,1 , 0( y, 01 x由于由于, yx 1 , 0(, xxy寫成寫成得得由由xyln ,0 ,( y0 ,(, xeyx寫成寫成得得再由再由12 xey,2ln1yx 2 , 2(,2ln1 exxy 寫成寫成故所求故所求反函數(shù)為反函數(shù)為 exx