計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)圖形變換

1、l了解：l1.矢量和矩陣；l2.二維和三維圖形變換的類型及運(yùn)算規(guī)則；l3.投影。l重點(diǎn)：l二維和三維圖形的幾何變換及其復(fù)合變換方法l5.1圖形變換的方法l5.2二維圖形幾何變換l5.3三維圖形幾何變換l5.4三維圖形的投影變換l圖形變換是圖形變換是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要組成部分。的重要組成部分。l圖形變換在計(jì)算機(jī)中的實(shí)現(xiàn)是通過矩陣運(yùn)算來達(dá)圖形變換在計(jì)算機(jī)中的實(shí)現(xiàn)是通過矩陣運(yùn)算來達(dá)到的。到的。l這是因?yàn)檫@是因?yàn)? :l(1)(1)二維或三維圖形可以用若干個(gè)點(diǎn)組成的矩陣二維或三維圖形可以用若干個(gè)點(diǎn)組成的矩陣來表示或儲存；來表示或儲存；l(2)(2)矩陣運(yùn)算在計(jì)算機(jī)中是很容易實(shí)現(xiàn)的。矩陣運(yùn)算

2、在計(jì)算機(jī)中是很容易實(shí)現(xiàn)的。 l 圖形變換一般是指對圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形，它提供了構(gòu)造或修改圖形的方法。除圖形的位置變動外，還可以將圖形放大或縮小，甚至對圖形作不同方向的拉伸來使其扭曲變形。 l圖形是點(diǎn)的集合圖形是點(diǎn)的集合l在二維平面中，任何一個(gè)圖形都可以認(rèn)為是點(diǎn)之間的連線構(gòu)成的。對于一個(gè)圖形作幾何變換，實(shí)際上就是對一系列點(diǎn)進(jìn)行變換。l點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示l 在二維平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)通常用它的兩個(gè)坐標(biāo)(x,y)來表示，寫成矩陣形式則為： 或 ll 表示點(diǎn)的矩陣通常被稱為點(diǎn)的位置向量，以下將采用行向量表示一個(gè)點(diǎn)。如有三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)a(x1, y1), b(x2, y2), c(x

3、3,y3),用矩陣表示則記為： l二維圖形變換是圖形變換的基礎(chǔ)。其中最重要的是二維圖形變換是圖形變換的基礎(chǔ)。其中最重要的是比例變換、旋轉(zhuǎn)變換和平移比例變換、旋轉(zhuǎn)變換和平移等變換。等變換。l首先從構(gòu)成圖形的最基本要素點(diǎn)的變換來談起。首先從構(gòu)成圖形的最基本要素點(diǎn)的變換來談起。1. 1. 點(diǎn)的變換點(diǎn)的變換l在二維空間中，一個(gè)點(diǎn)在二維空間中，一個(gè)點(diǎn)P P可用它的坐標(biāo)可用它的坐標(biāo)P(x,y)P(x,y)來表示，來表示，或者用一行矩陣來表示成或者用一行矩陣來表示成x yx y。 l而該點(diǎn)而該點(diǎn)P P由某一位置由某一位置P(x,y)P(x,y)變換到另一位置變換到另一位置P(x,y),P(x,y),就可以用

4、矩陣乘法來實(shí)現(xiàn)。就可以用矩陣乘法來實(shí)現(xiàn)。 即即l從該式中我們可以看出其含義，就是二維空間的從該式中我們可以看出其含義，就是二維空間的點(diǎn)點(diǎn)P(x,y)P(x,y)經(jīng)過變換矩陣經(jīng)過變換矩陣T T變換后而變換到變換后而變換到P(x,y) P(x,y) 。l顯而易見，變換后點(diǎn)的位置僅取決于變換矩陣顯而易見，變換后點(diǎn)的位置僅取決于變換矩陣T T內(nèi)內(nèi)各元素之值，下面我們來看幾種變換。各元素之值，下面我們來看幾種變換。 l（1）恒等變換l若變換矩陣若變換矩陣T T中，主對角元素中，主對角元素a=d=1a=d=1，而其余元素，而其余元素c=b=0c=b=0，這時(shí)變換矩陣，這時(shí)變換矩陣T T就是單位矩陣，點(diǎn)就是

5、單位矩陣，點(diǎn)P P經(jīng)過經(jīng)過T T變換后的點(diǎn)坐標(biāo)為變換后的點(diǎn)坐標(biāo)為 yxyxyx1001l可見，點(diǎn)可見，點(diǎn)P P在變換前后，它的位置并沒有改變，在變換前后，它的位置并沒有改變，因此我們稱單位矩陣為恒等變換矩陣。因此我們稱單位矩陣為恒等變換矩陣。l以單位陣為變換矩陣所做的變換為恒等變換。以單位陣為變換矩陣所做的變換為恒等變換。l（2） 鏡射變換l所謂鏡射變換是指變換后的點(diǎn)與變換前的點(diǎn)對稱所謂鏡射變換是指變換后的點(diǎn)與變換前的點(diǎn)對稱于于x x軸或軸或y y軸或?qū)ΨQ于某一特定的直線或某一特定軸或?qū)ΨQ于某一特定的直線或某一特定的點(diǎn)。的點(diǎn)。l下面我們來看一看關(guān)于幾種特定直線和特定點(diǎn)的下面我們來看一看關(guān)于幾種

6、特定直線和特定點(diǎn)的鏡射變換。鏡射變換。11000100011 1yxyxyxYXP(x,-y)P(x,y)(a)關(guān)于x軸對稱YXP(-x,y)p(x,y)(b)關(guān)于y軸對稱11000100011 1yxyxyxYXP(x,y)(c)關(guān)于原點(diǎn)對稱11000100011 1yxyxyx11000010101 1xyyxyxYXp(x,y)p(y,x)x=y(d)關(guān)于x=y對稱YXP(-y,-x)P(x,y)x=-y(e)關(guān)于x=-y對稱11000010101 1xyyxyxXY(a)關(guān)于x軸對稱XY(b)關(guān)于y軸對稱XY(c)關(guān)于原點(diǎn)對稱XY(d)關(guān)于x=y對稱XY(e)關(guān)于x=-y對稱YX圖6-

7、4 旋轉(zhuǎn)變換PPrr（3 3）旋轉(zhuǎn)變換）旋轉(zhuǎn)變換 旋轉(zhuǎn)變換是指在坐標(biāo)軸不動的情況下將旋轉(zhuǎn)變換是指在坐標(biāo)軸不動的情況下將p p點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動某個(gè)角度（逆點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動某個(gè)角度（逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)）得到新的點(diǎn)時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)）得到新的點(diǎn)pp的重定位過程。的重定位過程。對于給定的點(diǎn)對于給定的點(diǎn)p(x,y)p(x,y)，其極坐標(biāo)形式為，其極坐標(biāo)形式為x = rcosy = r sin于是于是p(x,y)為為x = rcos(+)=rcoscosrsinsin=xcosysin y= rsin(+) =rcossin + rsincos=xsin+ ycos1000cossin0sincos

8、11yxyxl2.2.直線的變換直線的變換對于直線來言，它的位置可由它的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)對于直線來言，它的位置可由它的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)來確定，如直線來確定，如直線ABAB，其兩端點(diǎn)，其兩端點(diǎn)A A和和B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x(x1 1,y,y1 1) ) 和和(x(x2 2,y,y2 2) )。這樣線段。這樣線段ABAB就可以表示成矩就可以表示成矩陣形式陣形式l二維空間中的一條直線，在同一變換矩陣的作用二維空間中的一條直線，在同一變換矩陣的作用下會變成什么樣子，變換時(shí)有什么特點(diǎn)？下會變成什么樣子，變換時(shí)有什么特點(diǎn)？ l特點(diǎn)特點(diǎn)1 1：直線變換后仍為直線，且變換前后線上：直線變換后仍為直線，且變換

9、前后線上各點(diǎn)一一對應(yīng)。各點(diǎn)一一對應(yīng)。l特點(diǎn)特點(diǎn)2 2：兩條平行直線經(jīng)過同一矩陣變換后仍然：兩條平行直線經(jīng)過同一矩陣變換后仍然為平行直線。為平行直線。l特點(diǎn)特點(diǎn)3 3：相交的兩條直線在同一變換矩陣作用后：相交的兩條直線在同一變換矩陣作用后仍然相交，并且交點(diǎn)也有對應(yīng)關(guān)系。仍然相交，并且交點(diǎn)也有對應(yīng)關(guān)系。l3.3.平面圖形的變換平面圖形的變換l根據(jù)平面幾何的知識，我們知道，平行、相交兩根據(jù)平面幾何的知識，我們知道，平行、相交兩條直線，可以唯一決定一個(gè)平面。條直線，可以唯一決定一個(gè)平面。l那么，我們通過直線變換特性就可以推出，平面那么，我們通過直線變換特性就可以推出，平面圖形經(jīng)過變換后仍然為平面圖形。

10、圖形經(jīng)過變換后仍然為平面圖形。l下面我們介紹平面圖形的下面我們介紹平面圖形的比例變換、旋轉(zhuǎn)變換及比例變換、旋轉(zhuǎn)變換及錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換。 比例變換比例變換是指對p點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)沿x方向放縮Sx倍，沿y方向放縮Sy倍。其中Sx和Sy稱為比例系數(shù)比例系數(shù)。變換后有：x=xsxy=ysyYX圖6-2 比例變換(Sx=2,Sy=3)P(4,3)P(2,1)1100000011ysxsssyxyxyxyx比例變換的坐標(biāo)計(jì)算如下：(a) Sx=Sy比例原圖(b) SxSy比例原圖圖6-3 比例變換SxSySx=Sy1Sx=Sy1比例變換見右圖 (1)當(dāng)Sx = Sy =1時(shí)，為恒等比例變換，即圖形不變；(

11、2)當(dāng)Sx = Sy 1時(shí)，圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向等比放大。(3)當(dāng)Sx = Sy 1時(shí)，圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向等比縮小。(4)當(dāng)SxSy時(shí)，圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向進(jìn)行非等比變換。示例l旋轉(zhuǎn)變換是將圖形繞一固定點(diǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。規(guī)定：逆時(shí)針方向?yàn)檎?，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)。下面討論圖形繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換。如果點(diǎn)（x,y）沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，變換后的點(diǎn)（ , ）的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 示例 l齊次坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換為 錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換，也稱為剪切、錯(cuò)位變換，用于產(chǎn)生彈性也稱為剪切、錯(cuò)位變換，用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理。物體的變形處理。YXYXYX(a) 原圖(b) 沿x方向錯(cuò)切(c) 沿y方向錯(cuò)切

12、圖6-7 錯(cuò)切變換示例1000101cbT (1)沿沿x x方向錯(cuò)切方向錯(cuò)切 x=x+cy y=yx=x+cy y=y (2)沿沿y y方向錯(cuò)切方向錯(cuò)切 x=x y=bx+yx=x y=bx+y (3)兩個(gè)方向錯(cuò)切兩個(gè)方向錯(cuò)切x=x+cy y=bx+yx=x+cy y=bx+yl在平面圖形的變換中，在平面圖形的變換中，比例變換比例變換改變了圖形的大改變了圖形的大小，但其形狀未發(fā)生變化；小，但其形狀未發(fā)生變化；l錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換不僅改變尺寸大小，而且也改變了圖形不僅改變尺寸大小，而且也改變了圖形的形狀；的形狀；l旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換只是改變了圖形的位置，其本身大小形只是改變了圖形的位置，其本身大小形

13、狀都未發(fā)生變化（因此旋轉(zhuǎn)變換矩陣通常用于正狀都未發(fā)生變化（因此旋轉(zhuǎn)變換矩陣通常用于正投影變換）。投影變換）。 l分別討論幾種不同的對稱變換。 示例 l(1)以y軸為對稱線的對稱變換，變換后，圖形點(diǎn)集的x坐標(biāo)值不變，符號相反，y坐標(biāo)值不變。矩陣表示為l(2)以x軸為對稱線的對稱變換，變換后，圖形點(diǎn)集的x坐標(biāo)值不變，y坐標(biāo)值不變,符號相反。矩陣表示為 l(3)以原點(diǎn)為對稱的對稱變換，變換后，圖形點(diǎn)集的x和y坐標(biāo)值不變，符號均相反。矩陣表示為 l (4)以直線y=x為對稱線的對稱變換，變換后，圖形點(diǎn)集的x和y坐標(biāo)對調(diào)。矩陣表示為 l(5)以直線y=-x為對稱線的對稱變換，變換后，圖形點(diǎn)集的x和y坐標(biāo)

14、對調(diào)，符號相反。矩陣表示為 l 平移是將圖形中的每一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行移動。若將一個(gè)點(diǎn)（x,y）沿水平方向移動c單位，平移到一個(gè)新位置（ ），數(shù)學(xué)表達(dá)式為 l如果c是正值，則點(diǎn)向右移動，如果是負(fù)值，則向左移動； l同理，如果f是正值，則點(diǎn)向上移動，如果f是負(fù)值，則向下移動。 示例 引進(jìn)齊次坐標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)引進(jìn)齊次坐標(biāo)的優(yōu)點(diǎn) : 提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間中的提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效方法。方法。 可以表示無窮遠(yuǎn)的點(diǎn)。可以表示無窮遠(yuǎn)的點(diǎn)。n+1n+1維的齊次坐標(biāo)中如果維的齊次坐標(biāo)中如果h=0h

15、=0，實(shí)際上就表示了，實(shí)際上就表示了n n維空維空間的一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。間的一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 4. 4. 平面齊次坐標(biāo)變換平面齊次坐標(biāo)變換所謂齊次坐標(biāo)法就是用所謂齊次坐標(biāo)法就是用n+1n+1維向量來表示一個(gè)維向量來表示一個(gè)n n維向維向量量. . 101000111mlyxyx100mldcbaT smlqdcpbayxTyxyxD1112上面矩陣每一個(gè)元素都是有特殊含義的。l 可以對圖形進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)、對稱、錯(cuò)切等變換；l 是對圖形進(jìn)行平移變換；l 是對圖形作投影變換；l 則是對圖形整體進(jìn)行縮放變換。dcbaT1mlT2qpT3 sT4l實(shí)際上，圖形變換中常常是相對于任意點(diǎn)或任意直線變換。解決這個(gè)

16、問題的思路是這樣的：先將任意點(diǎn)移向坐標(biāo)原點(diǎn)（任意線則移向與X或Y軸重合的位置），再用前述變換矩陣加以變換，最后反向移回任意點(diǎn)（任意線移回原位）?？梢?，這是經(jīng)過平移、某種變換、再平移的多次變換構(gòu)成，而不僅僅是一種獨(dú)立的變換，故而稱為復(fù)合變換。l復(fù)合變換中，多個(gè)變換矩陣之積稱為復(fù)合變換矩陣。l1. 1.圖形相對于任意點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換圖形相對于任意點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換 l 例：求三角形以點(diǎn)（4,6）為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30的組合變換矩陣 示例l由此可知，相對于（e,f）點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換，由以下三個(gè)矩陣相乘來實(shí)現(xiàn)： l T稱為組合變換矩陣。 l 圖形相對于任意點(diǎn)作比例變換與旋轉(zhuǎn)變換相似。 相對于（e,f）點(diǎn)作比例變換，由

17、以下三個(gè)矩陣相乘來實(shí)現(xiàn)：l2.圖形對于任一條線y=ax+b對稱 示例l由5種變換組合而成l（1）將直線y=ax+b沿著y軸平移-b,使直線通過坐標(biāo)原點(diǎn)，方程變?yōu)閥=ax，變換矩陣為l（2）將直線y=ax旋轉(zhuǎn)角，使其與x軸重合，變換矩陣為：10010001barctga1000cossin0sincos100010001（3）關(guān)于x軸對稱變換，變換矩陣為：（4）方向旋轉(zhuǎn)，恢復(fù)直線y=ax，變換矩陣為：arctga1000cossin0sincosl（5）方向平移，恢復(fù)直線y=ax+bl思考題：l1.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（10,20）、（20,20）及（15,30），要求此三角形以點(diǎn)（15,

18、25）為中心，作二維比例變換，x方向的比例因子為3，y方向的比例因子為2，試求此變換矩陣及變換之后的新三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)。l2.試求圖形關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱的變換矩陣。10010001bl1. 1.圖形相對于任意點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換圖形相對于任意點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換 示例l 思考：圖形相對于任意點(diǎn)的比例變換如何實(shí)現(xiàn)？l2. 2. 圖形對于任一條過原點(diǎn)的直線圖形對于任一條過原點(diǎn)的直線y=axy=ax對對稱稱 l 思考：圖形對于任一條過原點(diǎn)的直線y=ax+b對稱 示例l3.已知圖1所示的五角星的10個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）、（ ）、（ ）（ ）?，F(xiàn)要使該五角星的中心沿 的圓運(yùn)動，且運(yùn)動中，五角星的一條對稱軸線A

19、B始終通過該圓的圓心，試推導(dǎo)實(shí)現(xiàn)該運(yùn)動過程的坐標(biāo)變換矩陣。 yxBA11,x y22,xy33,xy1010,xy22(3)(4)36xyl對于三維空間的點(diǎn)用對于三維空間的點(diǎn)用4 4個(gè)分量個(gè)分量 x y z 1 x y z 1來表示它的來表示它的各個(gè)位置向量，變換矩陣要用各個(gè)位置向量，變換矩陣要用4 44 4矩陣才能表示包矩陣才能表示包括平移在內(nèi)的所有變換。括平移在內(nèi)的所有變換。l如果我們用如果我們用x y z 1x y z 1表示變換前點(diǎn)的位置向量，用表示變換前點(diǎn)的位置向量，用X Y Z HX Y Z H表示變換后點(diǎn)的位置向量，表示變換后點(diǎn)的位置向量，用用 xx* * y y* * z z*

20、 * 11表示正?；幚砗簏c(diǎn)的位置向量，那表示正?；幚砗簏c(diǎn)的位置向量，那么空間點(diǎn)的位置向量變換可寫成么空間點(diǎn)的位置向量變換可寫成 11*zyxHZYXTzyxsnmlrjihqfedpcbaTl將此矩陣分成將此矩陣分成4 4個(gè)子矩陣進(jìn)行分析個(gè)子矩陣進(jìn)行分析l在這在這4 4個(gè)子矩陣中，各個(gè)子矩陣的作用分別是：個(gè)子矩陣中，各個(gè)子矩陣的作用分別是：l3 3* *3 3矩陣：矩陣：使立體產(chǎn)生比例、鏡射、旋轉(zhuǎn)和錯(cuò)切使立體產(chǎn)生比例、鏡射、旋轉(zhuǎn)和錯(cuò)切變換。變換。l1 1* *3 3矩陣：矩陣：使立體產(chǎn)生平移變換。使立體產(chǎn)生平移變換。l3 3* *1 1矩陣：矩陣：使立體產(chǎn)生透視變換。使立體產(chǎn)生透視變換。l

21、1 1* *1 1矩陣：矩陣：使立體產(chǎn)生整體比例變換。使立體產(chǎn)生整體比例變換。l下面我們分別來介紹立體的平移、比例、旋轉(zhuǎn)、下面我們分別來介紹立體的平移、比例、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切等變換。錯(cuò)切等變換。 l一、平移變換一、平移變換 平移變換是使立體在空間平行移動到另一新的位平移變換是使立體在空間平行移動到另一新的位置，在變換過程中，立體的形狀并沒有發(fā)生變化，置，在變換過程中，立體的形狀并沒有發(fā)生變化，它的變換矩陣就是在單位矩陣內(nèi)加入平移參數(shù)，它的變換矩陣就是在單位矩陣內(nèi)加入平移參數(shù)，即即1010000100001nmlTZYX(x,y,z)(x,y,z)圖7-5 平移變換l二、比例變換二、比例變換 l空間立

22、體各點(diǎn)坐標(biāo)按某一比例放大或縮小，這種變換成空間立體各點(diǎn)坐標(biāo)按某一比例放大或縮小，這種變換成為比例變換。為比例變換。l在變換矩陣在變換矩陣T T中，中，a,e,ja,e,j起局部比例變換作用，而元素起局部比例變換作用，而元素s s起起整體比例變換作用。局部比例變換矩陣整體比例變換作用。局部比例變換矩陣T T為：為：l對點(diǎn)的位置向量進(jìn)行變換對點(diǎn)的位置向量進(jìn)行變換lx y z 1.T=ax ey jzx y z 1.T=ax ey jz 1=x 1=x* * y y* * z z* * 1 1 l由上式可以看出，空間點(diǎn)的由上式可以看出，空間點(diǎn)的x,y,zx,y,z坐標(biāo)是分別按比例坐標(biāo)是分別按比例a,

23、e,ja,e,j變化的。變化的。a=e=j0 a=e=j0 局部比例變換，局部比例變換，aej0aej0。1000000000000jeaT在討論了在討論了a,e,ja,e,j的作用之后，再來研究元素的作用之后，再來研究元素s s，元素元素s s的作用是使圖形產(chǎn)生整體比例變換，其的作用是使圖形產(chǎn)生整體比例變換，其變換矩陣變換矩陣T T為：為：sT000010000100001x y z 1.T=x y z s= x/s y/s z/s 1=x y z 1.T=x y z s= x/s y/s z/s 1= x x* * y y* * z z* * 1 1例子例子：對如圖所示的長方形體進(jìn)行比例變

24、換，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求變換后的長方形體各點(diǎn)坐標(biāo)。 yzxyzxABCDEFGH圖7-6 比例變換223111l三、旋轉(zhuǎn)變換三、旋轉(zhuǎn)變換 l旋轉(zhuǎn)變換是使空間立體繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，旋轉(zhuǎn)后的立體只旋轉(zhuǎn)變換是使空間立體繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，旋轉(zhuǎn)后的立體只改變了空間位置，它的形狀沒有發(fā)生任何變化改變了空間位置，它的形狀沒有發(fā)生任何變化. .l作旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，立體可以繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，也可以以空間任意直線作旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，立體可以繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，也可以以空間任意直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一定的角度。為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一定的角度。l對于旋轉(zhuǎn)變換中，旋轉(zhuǎn)角度的正負(fù)我們用右手定則來確定，既右對于旋轉(zhuǎn)變換中，旋轉(zhuǎn)

25、角度的正負(fù)我們用右手定則來確定，既右手大拇指指向旋轉(zhuǎn)軸的正向，其余四個(gè)手指指向表示旋轉(zhuǎn)方向，手大拇指指向旋轉(zhuǎn)軸的正向，其余四個(gè)手指指向表示旋轉(zhuǎn)方向，符合右手定則，旋轉(zhuǎn)角度為正，否則為負(fù)。符合右手定則，旋轉(zhuǎn)角度為正，否則為負(fù)。 zyX 旋轉(zhuǎn)變換的角度方向1. 1.繞繞z z軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣 在二維圖形旋轉(zhuǎn)變換中，我們已經(jīng)用圖解法證得在二維圖形旋轉(zhuǎn)變換中，我們已經(jīng)用圖解法證得在在XOY平面中圖形繞原點(diǎn)平面中圖形繞原點(diǎn)o的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為1000cossin0sincosT在在XOY平面繞原點(diǎn)平面繞原點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)可視為繞旋轉(zhuǎn)可視為繞z軸旋轉(zhuǎn)，只是軸旋轉(zhuǎn)，只是Z為零，為零，在

26、三維旋轉(zhuǎn)變換中，在三維旋轉(zhuǎn)變換中，z坐標(biāo)不為零，但在繞坐標(biāo)不為零，但在繞Z軸的旋轉(zhuǎn)過軸的旋轉(zhuǎn)過程中，程中，Z坐標(biāo)不發(fā)生變化，因此，三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣只是坐標(biāo)不發(fā)生變化，因此，三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣只是在二維旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)上加一在二維旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)上加一Z坐標(biāo)，故三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：坐標(biāo)，故三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為： 1000010000cossin00sincoszT1. 2. 2.繞繞X X軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣用同樣的方法可得繞用同樣的方法可得繞X X軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣10000cossin00sincos00001xT 3.繞Y軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣用同樣的方法可得繞用同樣的方法可得繞Y Y軸旋轉(zhuǎn)變

27、換矩陣軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣10000cos0sin00100sin0cosyT四四. . 錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換是指立方體沿錯(cuò)切變換是指立方體沿x,y,zx,y,z三個(gè)方向的錯(cuò)切變形，三個(gè)方向的錯(cuò)切變形，在上述在上述4 4* *4 4變換矩陣中，令主對角線各元素為變換矩陣中，令主對角線各元素為1 1，第，第4 4行和第行和第4 4列元素均為零，可得到三維錯(cuò)切變換矩陣，列元素均為零，可得到三維錯(cuò)切變換矩陣，即即1000010101ihfdcbT11)()()(1*zyxzfycxjzybxhzdyxTzyxl五五. .鏡射變換鏡射變換l在二維平面中，鏡射變換是對坐標(biāo)軸的鏡射。在二維平面中，鏡射變換是

28、對坐標(biāo)軸的鏡射。l在三維空間中，立體的鏡射變換則是對坐標(biāo)平面在三維空間中，立體的鏡射變換則是對坐標(biāo)平面的鏡射，因此，只要將恒等變換的單位矩陣中的有的鏡射，因此，只要將恒等變換的單位矩陣中的有關(guān)列的符號改變即可。關(guān)列的符號改變即可。l對對xoyxoy平面的鏡射變換矩陣：平面的鏡射變換矩陣：l將單位矩陣中控制將單位矩陣中控制Z Z坐標(biāo)的（坐標(biāo)的（+1+1）改為（）改為（-1-1）即可）即可。 1000010000100001T1000010000100001yozT1000010000100001xozT三維圖形復(fù)合變換5.4 正投影變換正投影變換將空間三維物體，通過矩陣變換而獲得國家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)將空

29、間三維物體，通過矩陣變換而獲得國家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的三個(gè)投影視圖（即主視圖、俯視圖和、左視圖）定的三個(gè)投影視圖（即主視圖、俯視圖和、左視圖）或六個(gè)投影視圖的繪圖信息，這種變換就稱為正投影或六個(gè)投影視圖的繪圖信息，這種變換就稱為正投影變換。下面，我們就用前面所講的基本變換方法來獲變換。下面，我們就用前面所講的基本變換方法來獲得三個(gè)視圖的變換矩陣。得三個(gè)視圖的變換矩陣。xzyOZYXY主視圖俯視圖側(cè)視圖7-13 三維形體及其三視圖1. 主視圖主視圖l將三維形體向xoz面（又稱V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主視圖。 xzyOZYXY主視圖俯視圖側(cè)視圖7-13 三維形體及其三視圖1000010000000001xozT2. 俯視圖俯視圖三維形體向xoy面（又稱H面）作垂直投影得到俯視圖，(1) 投影變換(2)使H面繞x軸負(fù)轉(zhuǎn)90(3)使H