有限元方法-03

1、2.2.3坐標(biāo)變換P=20kNL2=2mL1=1mL2/21234123232121343yxxyyx(a) 平面剛架(b)單元、節(jié)點編號與整體、局部坐標(biāo)（有限元直接法例題1坐標(biāo)變換）UYUYUXUX2.2.4等效節(jié)點載荷n所有施加在幾何實體邊界上的載荷或約束必須最終傳遞到有限元模型上（節(jié)點或單元上）進行求解。 n靜力等效原則。只需給出載荷作用下兩端固定梁的固端反力公式，將固端反力前加一負號即為等效節(jié)點載荷。2.2.4等效節(jié)點載荷2.2.4等效節(jié)點載荷2.2.4等效節(jié)點載荷2.2.5建立節(jié)點平衡方程n總剛度矩陣建立的原則n各單元變形后，在節(jié)點處協(xié)調(diào)聯(lián)接。即與i節(jié)點有n個單元相連，要求這n個單元

2、在i節(jié)點處具有相同的節(jié)點位移值。n結(jié)構(gòu)的有限元各節(jié)點必須滿足平衡條件。即與i節(jié)點相連的所有各單元作用在i節(jié)點上的節(jié)點力，應(yīng)與作用在i節(jié)點上的節(jié)點載荷保持平衡。2.2.6引入邊界條件n消除結(jié)構(gòu)的剛體位移，求得唯一解。總剛度矩陣是奇異的，不存在逆矩陣。n邊界約束條件的處理方法： 劃行劃列降階法 劃零置1法 乘大數(shù)法（對角線元素擴大法）2.2.6引入邊界條件n劃行劃列降階法劃行劃列降階法n當(dāng)結(jié)構(gòu)的邊界條件是零位移時，把邊界條件帶入到總剛度方程中，在節(jié)點位移列向量中相應(yīng)項為零值，在總剛度矩陣中，與位移為零的項所對應(yīng)的行與列的元素，在求其它節(jié)點的位移時將不起作用，因而可從剛度矩陣中劃去相應(yīng)的行與列。降低

3、總剛度矩陣的階數(shù)。2.2.6引入邊界條件2.2.6引入邊界條件n劃零置劃零置1 1法法n當(dāng)邊界條件不一定是零位移，而是已知值時，在總剛度矩陣中，把與給定節(jié)點位移對應(yīng)的主對角線上的元素置1，而該行該列上的其余元素置零。n在節(jié)點載荷列向量中，把相應(yīng)的項用給定位移值代替，而其余元素，則應(yīng)從中減去給定節(jié)點位移與總剛度矩陣中相應(yīng)的列項的乘積。2.2.6引入邊界條件2.2.6引入邊界條件n乘大數(shù)法（對角線元素擴大法）乘大數(shù)法（對角線元素擴大法）n當(dāng)邊界條件不一定是零位移，而是已知值時，在總剛度矩陣中，把與給定節(jié)點位移對應(yīng)的主對角線上的元素程乘以相當(dāng)大的一個數(shù)，如1x1015，而該行該列上的其余元素不變。n

4、在節(jié)點載荷列向量中，把相應(yīng)的項用給定位移與相應(yīng)的主對角線上的元素、同一相當(dāng)大的數(shù)如1x1015這三項的乘積代替，而其余元素不變。2.2.6引入邊界條件2.2.7解方程組求節(jié)點位移n高斯消元法n三角分解法2.2.8求單元內(nèi)力n求解得到的節(jié)點位移帶到單元方程中返求由節(jié)點位移引起的節(jié)點力。n計算每個單元的內(nèi)力、彎矩圖和變形。2.2.9平面剛架例題P=20kNL2=2mL1=1mL2/21234123232121343yxxyyx(a) 平面剛架(b)單元、節(jié)點編號與整體、局部坐標(biāo)（有限元直接法例題1）UYUYUXUX232121343UYUYUXUX節(jié)點力和節(jié)點位移在整體坐標(biāo)下的編號F9F7F8F6

5、F4F5F9F7F8F6F4F5F3F1F2F12F10F112.2.9平面剛架例題有限元的理論基礎(chǔ)-預(yù)備知識n1.變分法的基本概念n2.待定邊界泛函的變分問題n3.彈性力學(xué)的基本方程n4.虛功原理n5.最小勢能原理1.變分法的基本概念n泛函概念的引出1.變分法的基本概念n泛函概念的引出（續(xù)）n泛函是函數(shù)的函數(shù)，y(x)叫做宗量1.變分法的基本概念n變分概念的引出n求泛函極大值和極小值的問題，都可以叫做變分問題1.變分法的基本概念n求泛函極大值和極小值的方法叫做變分法n變分取極值的條件與函數(shù)取極值的條件相似。即一階導(dǎo)數(shù)為零，二階導(dǎo)數(shù)大于或小于零，泛函取極大或極小值n變分和微分、積分能夠互調(diào)n泛

6、函的和、差、積、商的變分形式與函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)形式一致1.變分法的基本概念n變分法的幾何意義1.變分法的基本概念n變分法的基本預(yù)備定理n如果函數(shù)F(x)在線段x0,x1上連續(xù)且對于只滿足某些一般條件的任意的函數(shù)，有上面的關(guān)系，則在線段x0 xx1上，函數(shù)F(x)恒等于零2.待定邊界泛函的變分問題n變分與定解的微分方程 求泛函極值的方法，即從試探解中挑選正確解的數(shù)學(xué)方法n泛函極值（單一自變量）n歐拉方程及邊界條件nN個宗變量的泛函極值，歐拉方程推導(dǎo)n含有二階以上導(dǎo)數(shù)的泛函極值，歐拉方程推導(dǎo)n是下次課的基礎(chǔ)2.待定邊界泛函的變分問題n變分法的優(yōu)點1.求泛函的極值問題與求解微分方程的邊值問題是等價的，也可以稱為變分定理2.大多數(shù)實際問題，泛函都具有明顯的物理意義