FIR濾波器論文

1、FIR數(shù)字濾波器設計指導老師：趙春雨老師專 業(yè)：測控技術與儀器姓 名：張志斌（1301190048） 劉鳳媛（1301190049） 鄭開放（1301190047）摘 要21世紀是數(shù)字化的時代，縱觀當代通信的發(fā)展趨勢，已成為引領通信變革的主潮流。通信是在數(shù)字化浪潮的背景下，在計算機技術的應用和信息技術的發(fā)展的結果。數(shù)字信號濾波器在各種數(shù)字信號處理中發(fā)揮著重要的作用，數(shù)字信號設計一直是數(shù)字信號處理領域的重要研究課題。近年來，數(shù)字信號技術在我國也得到迅速發(fā)展，不論是在科學技術研究，還是在開發(fā)等發(fā)面，其應用越來越廣泛，并取得了豐碩的成果。本文主要介紹如何用窗函數(shù)法設計FIR濾波器的的具體步驟與方法，

2、以及相關數(shù)字信號處理的一些具體算法，并在MATLAB環(huán)境下進行仿真。根據(jù)仿真運行的結果來說明各項運行指標均達到設計要求。關鍵詞：FIR數(shù)字濾波器 線性相位 MATLAB仿真 窗函數(shù) 16緒 論隨著信息時代和數(shù)字世界的到來，數(shù)字信號處理己成為當今一門極其重要的學科和技術領域，數(shù)字信號處理在通信、雷達、軍事、航空航天、語音、圖像、自動控制、醫(yī)療和家用電器等眾多領域得到了廣泛的應用。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要基礎，在對信號的濾波、檢測及參數(shù)的估計等信號應用中，數(shù)字濾波器是使用最為廣泛的一種線性系統(tǒng)，在研究信號的時候，首先必須考慮噪聲的干擾對信號的傳輸影響，噪聲是一切干擾信號的泛指，有的僅希望最大

3、限度地去除噪聲而已，有的希望在去除噪聲時能讓濾波器具有線形相位，有的則是強調濾波的實時性，在設計時針對一些情況，制定有針對性的濾波器，來改善信號的質量。數(shù)字濾波器從功能上分為低通濾波器(LPF)、高通濾波器(HPF)、帶通濾波器(BPF)、帶阻濾波器(BSF)。我們可以得出第一類線性相位濾波器可以用于實現(xiàn)低通、高通、帶通和帶阻等各種濾波特性；通過數(shù)據(jù)和圖形分析得出在相同的濾波器抽樣響應長度下，如果在一個頻帶內賦予了大的加權，那么這個頻帶內將獲得大的衰減。因此，通過調整加權值，可得到不同的衰減，在通帶和阻帶都具有較好的性能。1.數(shù)字濾波器的簡介1.1數(shù)字濾波器的介紹數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的

4、時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應（IIR）濾波器和有限長沖激響應（FIR）濾波器。IIR系統(tǒng)易取得較好的通帶和阻帶衰減特性，一般要求H（z）階次要高，即M要大。FIR系統(tǒng)有自己突出的優(yōu)點：系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，易實現(xiàn)線性相位，允許設計多通帶（或多阻帶）濾波器，后兩項都是IIR系統(tǒng)不易實現(xiàn)的。FIR數(shù)字濾波器的設計方法有多種，如窗函數(shù)設計法、頻率采樣法和Chebyshev逼近法等。隨著MATLAB軟件尤其是MATLAB的信號處理工作箱的不斷完善，不僅數(shù)字濾波器的計算機輔助設計有了可能，而且還可以使設計實現(xiàn)最優(yōu)化。1.2數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器可分為FIR（有限脈沖響應）和IIR（無限脈沖響應）

5、兩種。IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是兩個Z的多項式的有理分式，而FIR濾波器的分母為1，即只有一個分子多項式。數(shù)字濾波器的理想幅頻特性如圖1所示。在0到的全部頻段上，其幅值為1的區(qū)域為通帶，其余為阻帶，即其幅值為0。根據(jù)wc1和wc2取值不同可分為4種類型：（1）低通濾波器，當wc1=0時；（2）高通濾波器，當wc2=時；（3）帶通濾波器，當wc1及wc2如圖1所示時；（3）帶阻濾波器，當0,wc1及wc2,1區(qū)間幅度為1，wc1,wc2區(qū)間幅度為0時。圖1 理想幅頻特性有些情況下，還對濾波器的相位特性提出要求，理想的是線性相位特性，即相移與頻率成線性關系。實際的濾波器不可能完全實現(xiàn)理想幅頻特性，必

6、有一定誤差，因此要規(guī)定適當?shù)闹笜?。低通濾波器在0，的通帶區(qū)，幅頻特性會在1附近波動；在1的阻帶區(qū)，幅頻特性不會真等于零是一個大于零的值；在, 之間，為過渡區(qū)；這三個與理想特性的不同點就構成了濾波器的指標體系。即通帶頻率和通帶波動，阻帶頻率和阻帶衰減。在許多情況下，人們習慣用分貝為單位，定義通帶波動為（分貝）阻帶衰減為（分貝）。 (1-1) （1.1）對于帶通濾波器，范圍為,；對于帶阻濾波器，應表為。其他復雜形狀的預期特性通常也可由若干理想的幅頻特性疊合構成。FIR數(shù)字濾波器最大的優(yōu)點是容易設計成線性相位特性，并且具有穩(wěn)定性。1.3數(shù)字濾波器的設計(1) 確定技術指標 在設計一個濾波器之前，必須

7、首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術指標。在很多實際應用中，數(shù)字濾波器常被用來實現(xiàn)選頻操作。因此指標的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應。幅度指標主要以兩種方式給出。第一種是絕對指標。他提供對幅度響應函數(shù)的要求，一般應用于FIR濾波器的設計。第二種指標是相對指標。他以分貝值的形式給出要求。(2) 逼近 確定了技術指標后，就可以建立一個目標的數(shù)字濾波器模型（通常采用理想的數(shù)字濾波器模型）。之后，利用數(shù)字濾波器的設計方法（窗函數(shù)法、頻率采樣法等），設計出一個實際濾波器模型來逼近給定的目標。 (3) 性能分析和計算機仿真 上兩步的結果是得到以誤差或系統(tǒng)函數(shù)或沖激響應描述的濾波器。根據(jù)這個描述就可以

8、分析其頻率特性和相位特性，以驗證設計結果是否滿足指標要求；或者利用計算機仿真實現(xiàn)設計的濾波器，再分析濾波結果。1.3.1數(shù)字濾波器的設計過程（1）按照實際需要，確定濾波器的性能要求。通常是在頻域中給定數(shù)字濾波器的性能要求。通帶截止頻率在通帶內幅度響應以的誤差接近于1，即（1.2）為阻帶起始頻率，在阻帶內幅度響應小于的誤差接近于零，即 （1.3）為了使逼近理想低通濾波器的方法成為可能，還必須提供一寬度為的不為零的過濾頻帶。在這個頻帶內，幅度響應從通帶平滑地下落到阻帶。這里（）指的是數(shù)字域頻率，或者說是沿單位圓周的相角變化。相位特性受到穩(wěn)定性和因果性要求的限制（即要求系統(tǒng)函數(shù)的極點必須位于單位圓內

9、部）。（2）尋找滿足預定性能要求的離散時間線性系統(tǒng)。IIR函數(shù)是的有理函數(shù)。FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是的多項式。這樣，濾波器的設計問題，變成了一個數(shù)字逼近問題，即用一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)函數(shù)去逼近給定的性能要求，以確定濾波器系數(shù)。（3）用有限精度的運算來實現(xiàn)設計的系統(tǒng)。包括選擇運算結構，濾波器的系數(shù)，輸入變量，中間變量，和輸出變量。（4）通過模擬，驗證所設計的系統(tǒng)是否符合給定性能要求。根據(jù)這步的結果決定是否對第二步和第三步作修改，以滿足技術的要求。1.3.2數(shù)字濾波器的設計方法設計FIR數(shù)字濾波器的基本方法有窗函數(shù)法、頻率取樣法和等波動最佳逼近法，這些方法主要是針對選頻型濾波器（低通、高通、帶通和帶阻

10、濾波器）的設計，這種濾波器的設計指標是類似的，典型的指標為通帶波動和阻帶衰減。數(shù)字濾波器的設計方法很多，大多數(shù)方法都在計算的復雜性和滿足設計濾波器的指標兩個問題間取得折衷。FIR濾波器的設計法方法可以分為以下幾種：（1）頻率采樣法，（2）窗函數(shù)法。 2.線性相位FIR數(shù)字濾波器2.1線性相位的概念數(shù)字濾波器的頻率響應可以由幅值表示。如果數(shù)字濾波器的相位響應滿足條件，那么稱該數(shù)字濾波器是線性相位。式中是一個常量。如果是正數(shù)，那么該系統(tǒng)延遲信號；否則就是一個超前系統(tǒng)，此時相位是頻率的線性方程，可以歸為的形式，其中斜率為，截距。假設正弦曲線的頻率為，即周期為，其中 因為一個周期對應于，所以相位改變對

11、應于延遲。同樣 , 如果，那么對應的延遲時間為 ，可見延遲時間和頻率無關。因此如果數(shù)字濾波器滿足線性相位條件，那么所有頻率分成的延遲量是一樣的。這意味著濾波后的輸出只是輸入信號的一個簡單的延遲信號。從另一方面來講，如果濾波器不具有線性相位，那么輸入信號的不同頻率成分延遲量是不同的，這將會導致輸出信號的失真，在實際設計中通常要回避這種情況。 如果系統(tǒng)的頻率響應為.那么其幅值響應是1,相位響應是,表明是線性相位的。假設,那么它只是起到延遲的作用，其相位響應只畫出了區(qū)間內的相位，這也導致了原本是線性的相位出現(xiàn)了彎折。下面考慮給出了頻率響應的情況，給定 （2.1）式中是實數(shù)。既然是實數(shù)，所以它只會影響

12、輸入信號的幅值大小，而僅僅使輸入信號產(chǎn)生相移。如果。相位，那么系統(tǒng)是一個線性想一系統(tǒng)。如果，相位，那么這種情況下，延遲時間和頻率是有關的。從上面給出的線性相位的定義的角度來說，該系統(tǒng)不是嚴格意義上的線性相位系統(tǒng)。但是可以將上面的式子寫成。這樣一來中括號里的函數(shù)就變成了線性相位，此時波紋不再失真，負號只要將波紋沿縱軸反轉即可。但是如果會改變符號，那么波紋就可能失真。只改變水平軸附近的符號，即阻帶內的符號，此時阻帶內的信號極大地衰減。所以信號通過一個頻率響應系統(tǒng)時，通帶內信號沒有產(chǎn)生任何失真。這樣的系統(tǒng)也常常稱為線性相位系統(tǒng)。這里順便要指出的是模擬濾波器不可能有線性相位特性，只可能在很小的一個頻帶

13、內近似地認為是線性相位。2.2線性相位FIR數(shù)字濾波器的設計方法最優(yōu)設計就是充分利用技術指標來進行設計。誤差容限設計低通濾波器，要求在頻帶內以最大誤差逼近1，在頻帶內以最大誤差逼近零位。我們將一要求表示為加權逼近誤差函數(shù)的形式。并且使用最大誤差最小化準則將其描述為切比雪夫逼近問題。最優(yōu)線性相位FIR數(shù)字濾波器的設計就是要設法求得切比雪夫逼近的最優(yōu)解的濾波器的系數(shù)。人們在尋求最優(yōu)化設計上做了大量的工作。1970年發(fā)表了非線性方程的方法求解切比雪夫逼近的最優(yōu)解。1971年出現(xiàn)了更好的拉格朗日內插多項式求解法。到了1973年又找到了雷米茲算法求解加權誤差的方法。非線性方程解法及多項式內插法，之適用于

14、設計那些誤差極值點數(shù)目為最大可能性的濾波器，也即最多波紋濾波器。同時由于N，是固定的，所以濾波器的頻帶邊緣不能預先規(guī)定，需在最后的解求得以后，才能計算出來。它可用來設計任何最優(yōu)（最大誤差最小化）線性相位FIR濾波器。此外，目前還有線性規(guī)劃技術設計方法，下面對雷米茲算法及線性規(guī)劃技術設計法分別加以介紹。2.2.1雷米茲交換法設計FIR數(shù)字濾波器雷米茲交換算法是為了在N固定時，能控制和的需要而產(chǎn)生的。前面已將最優(yōu)線性相位FIR濾波器的設計問題描述為切比雪夫逼近問題，逼近函數(shù)是r個獨立的余弦函數(shù)之和。交替定理給出了加權逼近誤差函數(shù)的一組必要充分條件，使逼近成為所需頻率響應的唯一最好逼近?；诮惶娑ɡ?/p>

15、的最優(yōu)FIR濾波器的設計程序的主要步驟：（1）輸入部分：規(guī)定所需要的頻率響應為，加權函數(shù)和濾波器的長度N。（2）用公式表示逼近問題，即形成。（3）用雷米茲多次交換算法，求逼近問題的解。（4）計算濾波器的單位取樣響應。第一步設計濾波器算法，表達所要求設計的濾波器的類型和必須滿足的性能要求。第二步在前面切比雪夫加權逼近已提及。第三步用雷米茲算法求逼近問題的解。需要指出的是，在整個程序中，雷米茲算法是作為一個子程序出現(xiàn)的，在調用該子程序以前，主程序已完成了以下幾點。 讀輸入數(shù)據(jù)（濾波器的技術規(guī)格） 根據(jù)濾波器的類型和長度確定了逼近函數(shù)cos的個數(shù)r 用密集的格點代替了頻率區(qū)間。確定了兩格點間的距離為

16、因而總格點數(shù)等于（N+1）×格點密度/2，并給所有下標格點賦上了標稱頻率值。調用了子程序EFF和WATE計算各格點頻率上所要求的函數(shù)值和加權函數(shù)值。根據(jù)四種情況統(tǒng)一的公式將、，變成了。根據(jù)交替定理，建立了一組等間隔的極值頻率初始值。等波紋的誤差曲線是在多次迭代中形成的。雷米茲迭代計算是從（r+1）個極值頻率的初始假設值開始的。第一次迭代的（r+1）個極值頻率是按等間隔假設的，這些頻率位于區(qū)間內，并且由于和是固定的，所以中的某一頻率，即。假定這些頻率點上的誤差函數(shù)的數(shù)值為，其符號為正負交替。這就是說根據(jù)問題的原始要求，對于給定的一組極值頻率，需要求以下方程 式中 計算出以后，確定出r個

17、極值頻率上的值 利用拉格朗日內插公式得出式中 要注意也可以內插到求出的內插值以后，在根據(jù)公式在密集的頻率組上計算值。若在改頻率組的某些頻率上，則選擇（r+1）個新的頻率作為可能的極值點，新的頻率就選所得誤差曲線上那些峰值點頻率，然后重新計算這些點上的誤差函數(shù)值。作為這次迭代尋找新的r+1個誤差最大點的比較標準，看在這些頻率上計算值。為求那些峰值點，應在通帶和阻帶上把頻率分點取得更密一些，以便在這些細分點上搜索出峰值點。如果在任一次迭代中的極值點多于（r+1）個，就保留值最大的（r+1）個頻率作為下一次迭代的假設極值點。隨著迭代次數(shù)的增加，極值頻率的位置逐次向最佳位置上調整，一直重復到與其前一個

18、值相同為止，最后一次迭代的結果對應于問題的解。此時誤差曲線上每個格點頻率處的誤差值都滿足，r+1個極值頻率處的，并且具有正負交替的符號，這標志著加權切比雪夫等波紋逼近誤差已經(jīng)形成，最佳逼近找到了。在每次迭代中都是將，定位極點頻率中的兩個頻率。若最后得到的,并且規(guī)定加權函數(shù)為 則在通帶內值逼近，在阻帶內值逼近于。由雷米茲迭代算法最后所求得值是要求的最小值。如果要求的和值是已知的，則計算濾波器時可以固定，改變，重復進行以上迭代計算，直至得出要求的和值。過度區(qū)寬度出現(xiàn)的局部極小值，曲線上的這些點相當于超波紋濾波器。極小值之間的所有點對應于按交替定理為最優(yōu)的濾波器。第四步求濾波器的單位取樣響應。在區(qū)間

19、的個等間隔的頻率點上計算值，利用IDFT求得，最后，根據(jù)四種線性相位濾波器的不同情況，求出于a(n)相應的單位取樣響應h(n)。于是滿足預定要求的最優(yōu)線性相位FIR濾波器被唯一確定。3. 線性相位FIR濾波器的仿真設計3.1 線性相位FIR濾波器的窗函數(shù)法的仿真設計這種方法也稱為傅立葉級數(shù)法。其設計是在時域進行的，先用傅氏反變換求出理想數(shù)字濾波器的單位抽樣響應hd(n)，然后時域移位并加時間窗w(n)對其截斷，從而求得FIR 濾波器的單位抽樣響應h(n)； 在設計過程中，將無限長序列變?yōu)橛邢揲L是通過時域加矩形窗乘積實現(xiàn)數(shù)據(jù)的截斷的。時域乘積對應了頻域卷積，從而對頻響特征發(fā)生的改變。常見的窗函數(shù)

20、有：矩形窗、三角形(Bartlertt)窗、漢寧(Hanning)窗。海明(Hamming)窗、布拉克曼(Blackman)窗、凱澤(kaiser)窗等利用窗函數(shù)法設計低通濾波器設計要求：海明窗，采樣頻率2000Hz通帶截頻0.1，阻帶截頻0.17通帶衰減小于等于0.1dB，阻帶衰減大于等于50dB程序如下f1=100;f2=200;%待濾波正弦信號頻率fs=2000;%采樣頻率m=(0.3*f1)/(fs/2);%定義過度帶寬M=round(8/m);%定義窗函數(shù)的長度N=M-1;%定義濾波器的階數(shù)b=fir1(N,0.5*f2/(fs/2);%使用fir1函數(shù)設計濾波器%輸入的參數(shù)分別是濾

21、波器的階數(shù)和截止頻率figure(1)h,f=freqz(b,1,512);%濾波器的幅頻特性圖%H,W=freqz(B,A,N)當N是一個整數(shù)時函數(shù)返回N點的頻率向量和幅頻響應向量plot(f*fs/(2*pi),20*log10(abs(h)%參數(shù)分別是頻率與幅值xlabel('頻率/赫茲');ylabel('增益/分貝');title('濾波器的增益響應');figure(2)subplot(211)t=0:1/fs:0.5;%定義時間范圍和步長s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);%濾波前信號plot(t,s);

22、%濾波前的信號圖像xlabel('時間/秒');ylabel('幅度');title('信號濾波前時域圖');subplot(212)Fs=fft(s,512);%將信號變換到頻域AFs=abs(Fs);%信號頻域圖的幅值f=(0:255)*fs/512;%頻率采樣plot(f,AFs(1:256);%濾波前的信號頻域圖xlabel('頻率/赫茲');ylabel('幅度');title('信號濾波前頻域圖');figure(3)sf=filter(b,1,s);%使用filter函數(shù)對信號進行濾波

23、%參數(shù)分別為濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量和待濾波信號輸入subplot(211)plot(t,sf)%濾波后的信號圖像xlabel('時間/秒');ylabel('幅度');title('信號濾波后時域圖');axis(0.2 0.5 -2 2);%限定圖像坐標范圍subplot(212)Fsf=fft(sf,512);%濾波后的信號頻域圖AFsf=abs(Fsf);%信號頻域圖的幅值f=(0:255)*fs/512;%頻率采樣plot(f,AFsf(1:256)%濾波后的信號頻域圖xlabel('頻率/赫茲');ylabel('幅度');title('信號濾波后頻域圖');圖2 窗函數(shù)法設計低通濾波器的增益響應從