隨機(jī)過程的線性變換

1、 第三章第三章 隨機(jī)過程的線性變換隨機(jī)過程的線性變換隨機(jī)過程的線性變換隨機(jī)過程的線性變換3.1 線性系統(tǒng)的基本理論線性系統(tǒng)的基本理論3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析3.4 隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析3.5 最佳線性濾波器最佳線性濾波器3.6 線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)過程的概率分布線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)過程的概率分布3.3 限帶過程限帶過程3.1 3.1 線性系統(tǒng)的基本理論線性系統(tǒng)的基本理論一、線性系統(tǒng)一、線性系統(tǒng)時(shí)不變性：時(shí)不變性：()()Y tL X t( )Y t( )X tL.( )( )Y tL X t分類：分類：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)、離散時(shí)間系統(tǒng)連

2、續(xù)時(shí)間系統(tǒng)、離散時(shí)間系統(tǒng)因果系統(tǒng)、非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)、非因果系統(tǒng)線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)1 1221122( )( )( )( )L Ax tA x tAL x tA L x t疊加性、齊次性疊加性、齊次性線性：線性：一、線性系統(tǒng)一、線性系統(tǒng)3.1 3.1 線性系統(tǒng)的基本理論線性系統(tǒng)的基本理論T( )y t( )x t 2線性放大器線性放大器線性濾波器線性濾波器線性系統(tǒng)平方律檢波平方律檢波全波線性檢波全波線性檢波非線性系統(tǒng)二、連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)二、連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)( )y t( )x tL.( )( )( )() ( )y tx th tx thd( )( )( )YXH(

3、)( )( )Y sX s H s3.1 3.1 線性系統(tǒng)的基本理論線性系統(tǒng)的基本理論三、離散時(shí)不變線性系統(tǒng)三、離散時(shí)不變線性系統(tǒng)( )y n( )x nL.3.1 3.1 線性系統(tǒng)的基本理論線性系統(tǒng)的基本理論( )( )( )() ( )ky nx nh nx nk h k( )( )( )Y zX z H z四、線性變換的基本定理四、線性變換的基本定理3.1 3.1 線性系統(tǒng)的基本理論線性系統(tǒng)的基本理論定理一定理一( )( )E Y tL E X t定理二定理二21212( , )( , )XYtXRt tLRt t112121212( , )( , )( , )YtXYttXR t tL

4、Rt tLLRt t3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析LX(t)Y(t)已知：已知：輸入和線性系統(tǒng)的特性。輸入和線性系統(tǒng)的特性。求解：求解：輸出的統(tǒng)計(jì)特征。輸出的統(tǒng)計(jì)特征。線性系統(tǒng)的描述方法：線性系統(tǒng)的描述方法：微分方程微分方程沖擊響應(yīng)沖擊響應(yīng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程法微分方程法沖擊響應(yīng)法沖擊響應(yīng)法頻譜法頻譜法3.1 3.1 線性系統(tǒng)的基本理論線性系統(tǒng)的基本理論定理一定理一( )( )E Y tL E X t定理二定理二21212( , )( , )XYtXRt tLRt t112121212( , )( , )( , )YtXYttXR t tLRt t

5、LLRt t一、沖激響應(yīng)法一、沖激響應(yīng)法3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析h(t)X(t)Y(t)( ,)(,) ( )( )( ,)iiiiiiy t ex te hdh tx t e系統(tǒng)的輸出：系統(tǒng)的輸出： ( )() ( )( )( )Y tX thdh tX t 一、沖激響應(yīng)法一、沖激響應(yīng)法3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析h(t)X(t)Y(t)( )() ( )( )( )Y tX thdh tX t ( )() ( )( )( )YXXm tmthdh tmt均值均值一、沖激響應(yīng)法一、沖激響應(yīng)法3.2 3.2 隨機(jī)過程通

6、過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析h(t)X(t)Y(t)( )() ( )( )( )Y tX thdh tX t 互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)1212212( , )( ) ( )( )( , )XYXRt tE X t Y th tRt t1212112( , ) ( )( )( )( , )YXXRt tE Y t X th tRt t1212( ) ( )( )() ( )X t Y tX tX thd一、沖激響應(yīng)法一、沖激響應(yīng)法3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析h(t)X(t)Y(t)( )() ( )( )( )Y tX thdh tX t 自相關(guān)函數(shù)自

7、相關(guān)函數(shù)1212112( , ) ( ) ( )( )( , )YXYR t tE Y t Y th tRt t1212( )( )( , )Xh th tRt t212( )( , )YXh tRt t一、沖激響應(yīng)法一、沖激響應(yīng)法3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析h(t)X(t)Y(t)(tmX)(tmY)(th一、沖激響應(yīng)法一、沖激響應(yīng)法3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例例1、設(shè)有微分方程描述的線性系統(tǒng)：設(shè)有微分方程描述的線性系統(tǒng)：( )( )( )dY taY tX tdt其中其中a為常數(shù)，系統(tǒng)的起始狀態(tài)為為常數(shù)，系統(tǒng)的起始狀

8、態(tài)為Y(0)=0，輸入，輸入X(t)為平穩(wěn)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且隨機(jī)過程，且 ， ，求輸出，求輸出Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性。的統(tǒng)計(jì)特性。( )E X t2( )( )XR 一、沖激響應(yīng)法一、沖激響應(yīng)法3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例例2、設(shè)有圖示的設(shè)有圖示的RC電路，假定輸入為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過電路，假定輸入為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，且自相關(guān)函數(shù)為程，且自相關(guān)函數(shù)為求穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出求穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。的自相關(guān)函數(shù)。( )XRe )()(tUethtjH)(RC/1平穩(wěn)性討論平穩(wěn)性討論對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，假定輸入對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，假定輸入X(t)X(t)平穩(wěn)平穩(wěn)

9、, ,若輸入從若輸入從- - 加加入入( (雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)) )0(HmX 則輸出則輸出Y(t)Y(t)平穩(wěn)，且與平穩(wěn)，且與X(t)X(t)聯(lián)合平穩(wěn)；聯(lián)合平穩(wěn)；0( )( )YXm tmh u du(, )() ( )XYRttE X tY t0() ( )XRv h v dv(, ) () ( )YR ttE Y tY t0() ( )XYRu h u du00() ( ) ( )XRvu h u h v dudv )( XYR)( YR3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，假定輸入對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，假定輸入X(t)X(t)平穩(wěn)平穩(wěn),

10、 ,若輸入從若輸入從- - 加加入入( (雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)) )0(HmX 則輸出則輸出Y(t)Y(t)平穩(wěn)，且與平穩(wěn)，且與X(t)X(t)聯(lián)合平穩(wěn)；聯(lián)合平穩(wěn)；0( )( )YXm tmh u du(, )() ( )XYRttE X tY t0() ( )XRv h v dv(, ) () ( )YR ttE Y tY t0() ( )XYRu h u du00() ( ) ( )XRvu h u h v dudv )(*)( hRX)(*)( hRXY )(*)(*)( hhRX)( XYR)( YR平穩(wěn)性討論平穩(wěn)性討論3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分

11、析3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析tduuhutXtY0)()()(tXYduuhmtm0)()( 對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，假定輸入對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，假定輸入X(t)X(t)平穩(wěn)平穩(wěn), ,若輸入從若輸入從0 0時(shí)刻時(shí)刻加入加入( (單側(cè)隨機(jī)信號(hào)單側(cè)隨機(jī)信號(hào)) )則輸出則輸出Y(t)Y(t)非平穩(wěn)。非平穩(wěn)。平穩(wěn)性討論平穩(wěn)性討論二、頻譜法二、頻譜法3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析)()()(*XXYGHG)()()(XXYRhR)()()(XYXGHG)()()(XYXRhR)()()()()(*YXXYYGHGHG)()()()()(

12、2*XXGHGHH)()()()()(YXXYYRhRhR)()()(XRhh只適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程的分析只適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程的分析3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例例3、設(shè)有微分方程描述的線性系統(tǒng)：設(shè)有微分方程描述的線性系統(tǒng)：( )( )( )dY taY tX tdt其中其中a為常數(shù)，系統(tǒng)的起始狀態(tài)為為常數(shù)，系統(tǒng)的起始狀態(tài)為Y(0)=0，輸入，輸入X(t)為平穩(wěn)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且隨機(jī)過程，且 ， ，運(yùn)用頻譜，運(yùn)用頻譜法求輸出法求輸出Y(t)的功率譜和自相關(guān)函數(shù)。的功率譜和自相關(guān)函數(shù)。( )E X t2( )( )XR 二、頻譜法二、頻譜法3.2 3.2 隨機(jī)過

13、程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例例4、設(shè)有圖示的設(shè)有圖示的RC電路，假定輸入為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過電路，假定輸入為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，且自相關(guān)函數(shù)為程，且自相關(guān)函數(shù)為運(yùn)用頻譜法求輸出運(yùn)用頻譜法求輸出Y(t)的功率譜和自相關(guān)函數(shù)。的功率譜和自相關(guān)函數(shù)。( )XRe )()(tUethtjH)(RC/1二、頻譜法二、頻譜法二、頻譜法二、頻譜法輸入輸出相關(guān)函數(shù)關(guān)系圖輸入輸出相關(guān)函數(shù)關(guān)系圖3.2 3.2 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析時(shí)域法時(shí)域法變換域方法變換域方法微分方程法微分方程法沖擊響應(yīng)法沖擊響應(yīng)法頻譜法頻譜法系統(tǒng)特系統(tǒng)特性描述性描述微分方程和初始值h(t)H( )

14、適用適用范圍范圍平穩(wěn)和非平穩(wěn)平穩(wěn)和非平穩(wěn)平穩(wěn)特點(diǎn)特點(diǎn)運(yùn)算繁瑣h(t)較簡單時(shí)，較方便方法簡單3.3 3.3 限限帶過程帶過程定義：定義：若隨機(jī)過程在一個(gè)有限的頻帶內(nèi)具有非零的功率譜，而若隨機(jī)過程在一個(gè)有限的頻帶內(nèi)具有非零的功率譜，而在頻帶之外為零，則稱其為在頻帶之外為零，則稱其為限帶隨機(jī)過程限帶隨機(jī)過程，或，或限帶過程限帶過程。顯然，。顯然，白噪聲通過一個(gè)限帶系統(tǒng)，輸出就是一個(gè)限帶隨機(jī)過程。白噪聲通過一個(gè)限帶系統(tǒng)，輸出就是一個(gè)限帶隨機(jī)過程。常見限帶隨機(jī)過程有常見限帶隨機(jī)過程有 低通隨機(jī)過程低通隨機(jī)過程 和和 帶通隨機(jī)過程帶通隨機(jī)過程 。3.3 3.3 限限帶過程帶過程一、低通過程一、低通過程c

15、0( )XGc定義：定義：若功率譜若功率譜 在在 內(nèi)不為零，而在其外為零，為內(nèi)不為零，而在其外為零，為低通低通隨機(jī)過程隨機(jī)過程。其自相關(guān)函數(shù)為。其自相關(guān)函數(shù)為( )XGC-1( )( )2CCjXXRGed低通隨機(jī)過程低通隨機(jī)過程 的任意的任意n n階導(dǎo)數(shù)存在。階導(dǎo)數(shù)存在。3.3 3.3 限限帶過程帶過程一、低通過程一、低通過程理想低通理想低通白噪聲白噪聲功率譜：功率譜：02( )0otherCCXNG 相關(guān)函數(shù)：相關(guān)函數(shù)：0sin( )2CCXCNR 輸出功率：輸出功率：20(0)2CXXNR 3.3 3.3 限限帶過程帶過程一、低通過程一、低通過程理想低通理想低通白噪聲白噪聲低通型限帶白噪

16、聲的相關(guān)函數(shù)低通型限帶白噪聲的相關(guān)函數(shù) c0c)(XR隨機(jī)過程的采樣定理：隨機(jī)過程的采樣定理：當(dāng)采樣頻率等于或大于當(dāng)采樣頻率等于或大于2 2倍帶寬時(shí)，一個(gè)倍帶寬時(shí)，一個(gè)限帶平穩(wěn)隨機(jī)過程可以用它的一組樣本值唯一的表示。限帶平穩(wěn)隨機(jī)過程可以用它的一組樣本值唯一的表示。3.3 3.3 限限帶過程帶過程二、帶通過程二、帶通過程( )XGc0c0c0c0000( )XGc0c0c0c0000理想帶通隨機(jī)過程理想帶通隨機(jī)過程帶通隨機(jī)過程帶通隨機(jī)過程二、帶通過程二、帶通過程 理想帶通隨機(jī)過程理想帶通隨機(jī)過程輸出功率譜輸出功率譜：0002( )0ccXNGother 輸出功率：輸出功率：20(0)CXXNR

17、相關(guān)函數(shù)：相關(guān)函數(shù)：00sin( ).cosCCXCNR 3.3 3.3 限限帶過程帶過程二、帶通過程二、帶通過程 理想帶通隨機(jī)過程理想帶通隨機(jī)過程3.3 3.3 限限帶過程帶過程)(XR帶通型限帶白噪聲帶通型限帶白噪聲三、噪聲等效通能帶三、噪聲等效通能帶3.3 3.3 限限帶過程帶過程在一般線性系統(tǒng)中，通常都是以半功率點(diǎn)的通頻帶（即在一般線性系統(tǒng)中，通常都是以半功率點(diǎn)的通頻帶（即3dB3dB帶寬）帶寬）來表示該系統(tǒng)對(duì)確定信號(hào)頻譜的選擇性，而這里則以等效噪聲來表示該系統(tǒng)對(duì)確定信號(hào)頻譜的選擇性，而這里則以等效噪聲帶寬來表示該系統(tǒng)對(duì)輸入白噪聲功率譜的選擇性，它們都是由帶寬來表示該系統(tǒng)對(duì)輸入白噪聲功

18、率譜的選擇性，它們都是由系統(tǒng)本身參數(shù)決定的。實(shí)際上，當(dāng)線性系統(tǒng)的形式和級(jí)數(shù)確定系統(tǒng)本身參數(shù)決定的。實(shí)際上，當(dāng)線性系統(tǒng)的形式和級(jí)數(shù)確定之后，兩者也被確定，有著確定的關(guān)系。級(jí)數(shù)越高，兩者越接之后，兩者也被確定，有著確定的關(guān)系。級(jí)數(shù)越高，兩者越接近。近。202max( )( )eHdH 等效原則：等效原則：理想系統(tǒng)理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一白與實(shí)際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵(lì)下的輸出噪聲激勵(lì)下的輸出平平均功率均功率相等，且理想相等，且理想系統(tǒng)的增益為實(shí)際系系統(tǒng)的增益為實(shí)際系統(tǒng)的統(tǒng)的最大增益。最大增益。三、噪聲等效通能帶三、噪聲等效通能帶3.3 3.3 限限帶過程帶過程0()H e0|( )|H 0用一個(gè)幅頻響

19、應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實(shí)際系統(tǒng)。用一個(gè)幅頻響應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實(shí)際系統(tǒng)。e 等效噪聲帶寬：等效噪聲帶寬：理想系統(tǒng)的帶寬，用理想系統(tǒng)的帶寬，用 來表示。來表示。三、噪聲等效通能帶三、噪聲等效通能帶 噪聲等效通能帶只由線性系統(tǒng)特性確定：噪聲等效通能帶只由線性系統(tǒng)特性確定： 對(duì)于對(duì)于帶通系統(tǒng)帶通系統(tǒng)，輸出平均功率：，輸出平均功率： 對(duì)于對(duì)于低通系統(tǒng)低通系統(tǒng)，輸出平均功率：，輸出平均功率：202max( )2( )eHdfH 200(0)()YeRf N H 200(0)()YeRf N H 三、噪聲等效通能帶三、噪聲等效通能帶例例5、白噪聲通過白噪聲通過圖示的圖示的RC電路，分析輸出的統(tǒng)

20、計(jì)特性。電路，分析輸出的統(tǒng)計(jì)特性。3.3 3.3 限限帶過程帶過程3.4 3.4 隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析)(nh)(nh)(nX)(nX)(nY)(nY)()()()()(nXnhknXkhnYk系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出nnznhzH)()( )( )jnnHh n e，系統(tǒng)描述系統(tǒng)描述3.4 3.4 隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析均值均值: :)(nh)(nh)(nX)(nX)(nY)(nY相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù): :一、沖激響應(yīng)法一、沖激響應(yīng)法( ) ( )( )( )YXm nE Y nh nmn( )()Xkh k mnk1212212(

21、,) ( ) ()()( ,)XYXRn nE X n Y nh nRn n121212( ,)( )()( ,)YXR n nh nh nRn n3.4 3.4 隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析二、平穩(wěn)性討論二、平穩(wěn)性討論( )(0)YXXkmmh km H假定輸入假定輸入X(n)X(n)平穩(wěn)平穩(wěn), ,若輸入從若輸入從- - 加入加入( (雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)) )則輸出則輸出Y(n)Y(n)平穩(wěn)，且與平穩(wěn)，且與X(n)X(n)聯(lián)合平穩(wěn)；聯(lián)合平穩(wěn)；( )()( )XYXRmhmRm( )()( )( )YXR mhmh mRm均值均值: :相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù): :3

22、.4 3.4 隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析三、頻譜法三、頻譜法( (平穩(wěn)隨機(jī)序列平穩(wěn)隨機(jī)序列) )( )()( )XYXGHG 功率譜密度：功率譜密度：若用若用z變換表示：變換表示：2( )( )( )( )( )YXYXGHGHG 1( )()( )XYXGzH zGz1( )( )()( )XYXGzH z H zGz三、頻譜法三、頻譜法( (平穩(wěn)隨機(jī)序列平穩(wěn)隨機(jī)序列) )例例6 設(shè)有如下差分方程描述的離散線性系統(tǒng)，設(shè)有如下差分方程描述的離散線性系統(tǒng)， X(n)=aX(n-1)+W(n) 其中其中W(n)為平穩(wěn)白噪聲，方差為為平穩(wěn)白噪聲，方差為 2，模型所產(chǎn)生的

23、隨機(jī)過程，模型所產(chǎn)生的隨機(jī)過程稱為稱為AR過程，求一階過程，求一階AR過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。單位延遲X(n)W(n)aX(n-1)單位延遲X(n)W(n)aX(n-1)自回歸模型自回歸模型3.4 3.4 隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)分析三、頻譜法三、頻譜法( (平穩(wěn)隨機(jī)序列平穩(wěn)隨機(jī)序列) )1( )(1)()NY naY na Y nN常用時(shí)間序列模型常用時(shí)間序列模型式中式中X(n)X(n)為零均值、方差為為零均值、方差為 2 2的平穩(wěn)白噪聲，模型稱為的平穩(wěn)白噪聲，模型稱為自回歸自回歸滑動(dòng)平均模型滑動(dòng)平均模型，用，用ARMA(N,r)ARM

24、A(N,r)表示。表示。 許多隨機(jī)序列可以看成是典型的白噪聲序列激勵(lì)一個(gè)線性許多隨機(jī)序列可以看成是典型的白噪聲序列激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)所產(chǎn)生的，一般表示式為：系統(tǒng)所產(chǎn)生的，一般表示式為：1( )(1)()rX nb X nb X nr三、頻譜法三、頻譜法( (平穩(wěn)隨機(jī)序列平穩(wěn)隨機(jī)序列) )常用時(shí)間序列模型常用時(shí)間序列模型當(dāng)系數(shù)當(dāng)系數(shù) 均為零時(shí)，均為零時(shí)，)()() 1()(1nXNnYanYanYNrbbb,21模型稱為模型稱為自回歸模型自回歸模型，用，用AR(N)AR(N)表示。表示。)() 1()()(1rnXbnXbnXnYr當(dāng)系數(shù)當(dāng)系數(shù) 均為零時(shí)，均為零時(shí)，Naaa,21模型稱為模型稱為滑

25、動(dòng)平均模型滑動(dòng)平均模型，用，用MA(r)MA(r)表示。表示。三、頻譜法三、頻譜法( (平穩(wěn)隨機(jī)序列平穩(wěn)隨機(jī)序列) )例例5: 設(shè)有如下差分方程描述的離散線性系統(tǒng)，設(shè)有如下差分方程描述的離散線性系統(tǒng)， X(n) = b0W(n) + b1W(n-1)其中其中W(n)為平穩(wěn)白噪聲，方差為為平穩(wěn)白噪聲，方差為 2，模型所產(chǎn)生的隨機(jī)過，模型所產(chǎn)生的隨機(jī)過程稱為程稱為MA過程，求一階過程，求一階MA過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。 單位延遲X(n)W(n)b1b單位延遲單位延遲X(n)W(n)b1b0滑動(dòng)平均模型滑動(dòng)平均模型3.5 3.5 最佳線性濾波器最佳線性濾波器一、輸出信噪比

26、最大的最佳線性濾波器一、輸出信噪比最大的最佳線性濾波器( )( )s tn t)(nh)(th確知確知信號(hào)信號(hào)零均值平穩(wěn)隨機(jī)過零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，功率譜程，功率譜Gn( ). ( )( )oos tn t信噪比最大信噪比最大一、輸出信噪比最大的最佳線性濾波器一、輸出信噪比最大的最佳線性濾波器( )( )s tn t)(nh )(th( )( )oos tn tdeSHtstj)()(21)(0dGHtnEn)()(21)(220輸出噪聲功率為輸出噪聲功率為: :200020( )( )s tdE n t輸出信號(hào)為輸出信號(hào)為: :信噪比：信噪比：輸出端信號(hào)在輸出端信號(hào)在t=tt=t0 0 時(shí)的瞬

27、時(shí)功率與噪聲的平均功率之比時(shí)的瞬時(shí)功率與噪聲的平均功率之比022( ) ( )2( )( )j tnHSedHGd一、輸出信噪比最大的最佳線性濾波器一、輸出信噪比最大的最佳線性濾波器( )( )s tn t)(nh )(th( )( )oos tn t設(shè)計(jì)最佳濾波器設(shè)計(jì)最佳濾波器( (使輸出信噪比最大使輸出信噪比最大):):其幅頻特性為其幅頻特性為: :其相頻特性為其相頻特性為: :0*( )( )( ) jtnSHceG ( )( )( ) nSHcG 0arg( )arg ( )HSt 一、輸出信噪比最大的最佳線性濾波器一、輸出信噪比最大的最佳線性濾波器( )( )s tn t)(nh )

28、(th( )( )oos tn t當(dāng)當(dāng):最大輸出信噪比為最大輸出信噪比為: :輸出信號(hào)波形為輸出信號(hào)波形為: :當(dāng)當(dāng) t=t0 t=t0 時(shí)時(shí), ,輸出信號(hào)值最大輸出信號(hào)值最大, ,是波形是波形s0(t)s0(t)的尖峰的尖峰. .0*( )( )( ) jtnSHceG 2( )12( )mnSddG 02()0( )( )2( )jt tnScs tedG 一、輸出信噪比最大的最佳線性濾波器一、輸出信噪比最大的最佳線性濾波器濾波器物理意義分析濾波器物理意義分析: :相頻特性為相頻特性為: :0*( )( )( ) jtnSHceG 00arg ( ) arg( )0arg ( ) arg

29、( )()1( )( )( )21( )( )21( )( )2jSHtjSSttjt ts tSHedSHedSHed 0arg( )arg ( )HSt 信噪比得到提高！信噪比得到提高！3.5 3.5 最佳線性濾波器最佳線性濾波器二、匹配濾波器及其性質(zhì)二、匹配濾波器及其性質(zhì)0*()()jtHcSe ( )( )s tn t)(nh)(th確知信號(hào)確知信號(hào)白噪聲白噪聲( )( )oos tn t信噪比最大信噪比最大匹配濾波器匹配濾波器0*( )( )( ) ，jtnSHceG 當(dāng)當(dāng):( )tannGconst 匹配濾波器的傳遞函數(shù)為：匹配濾波器的傳遞函數(shù)為：3.5 3.5 最佳線性濾波器最佳

30、線性濾波器二、匹配濾波器及其性質(zhì)二、匹配濾波器及其性質(zhì)匹配濾波器沖激響應(yīng)匹配濾波器沖激響應(yīng): :即匹配濾波器的沖激響應(yīng)為即匹配濾波器的沖激響應(yīng)為信號(hào)的共軛鏡像信號(hào)的共軛鏡像。如果如果 c=1,h(t)c=1,h(t)與與s(t)s(t)對(duì)于對(duì)于 t t0 0/2 /2 點(diǎn)呈偶對(duì)稱關(guān)系點(diǎn)呈偶對(duì)稱關(guān)系. .對(duì)于實(shí)信號(hào)對(duì)于實(shí)信號(hào), ,有有: :( )h t*0()cs tt0()*1=( )2( )2j tjt tHedcSed 0( )()h tcs tt3.5 3.5 最佳線性濾波器最佳線性濾波器二、匹配濾波器及其性質(zhì)二、匹配濾波器及其性質(zhì)如果如果 c=1,h(t)c=1,h(t)與與s(t)s

31、(t)對(duì)于對(duì)于 t t0 0/2 /2 點(diǎn)呈偶對(duì)稱關(guān)系點(diǎn)呈偶對(duì)稱關(guān)系. .對(duì)于實(shí)信號(hào)對(duì)于實(shí)信號(hào), ,有有: :0( )()h tcs tttt0/2s(t) h(t)h(t)s(-t)0s(t)實(shí)信號(hào)及其匹配濾波器的沖激響應(yīng)實(shí)信號(hào)及其匹配濾波器的沖激響應(yīng)3.5 3.5 最佳線性濾波器最佳線性濾波器二、匹配濾波器及其性質(zhì)二、匹配濾波器及其性質(zhì)最大最大 輸出信噪比輸出信噪比dm與信號(hào)與信號(hào)s(t)波形無關(guān)波形無關(guān);輸出最大信噪比只與信號(hào)能量有關(guān)輸出最大信噪比只與信號(hào)能量有關(guān),而與信號(hào)波形無關(guān)。而與信號(hào)波形無關(guān)。其中其中20( )122( )mnSEddGN 221( )( )2ESds t dt

32、3.5 3.5 最佳線性濾波器最佳線性濾波器二、匹配濾波器及其性質(zhì)二、匹配濾波器及其性質(zhì) t0時(shí)刻應(yīng)當(dāng)選在信號(hào)時(shí)刻應(yīng)當(dāng)選在信號(hào)s(t)結(jié)束之后結(jié)束之后;物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器滿足物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器滿足:0( )0,s ttt0()0,0s ttt如果選擇輸出最大的時(shí)刻如果選擇輸出最大的時(shí)刻 t0 在信號(hào)結(jié)束之前在信號(hào)結(jié)束之前,則匹配濾則匹配濾波器在物理上不可實(shí)現(xiàn)，即波器在物理上不可實(shí)現(xiàn)，即( )0,0h tt3.5 3.5 最佳線性濾波器最佳線性濾波器二、匹配濾波器及其性質(zhì)二、匹配濾波器及其性質(zhì) 匹配濾波器對(duì)信號(hào)幅度和時(shí)延具有適應(yīng)性；匹配濾波器對(duì)信號(hào)幅度和時(shí)延具有適應(yīng)性； 匹配濾波器對(duì)信號(hào)的頻移不

33、具有適應(yīng)性。匹配濾波器對(duì)信號(hào)的頻移不具有適應(yīng)性。1( )()，s tas t 1( )( )jSaSe 11()*11( )( )( )j tjtHcSecaSe 2( )()dSS 0*2( )()( )j tdHcSeH 01010()()*( )( ) j tjttjttcaSeeaHe 3.5 3.5 最佳線性濾波器最佳線性濾波器二、匹配濾波器及其性質(zhì)二、匹配濾波器及其性質(zhì)例例7:7: 單個(gè)矩形脈沖信號(hào)單個(gè)矩形脈沖信號(hào)求其匹配濾波器的傳輸函數(shù)及輸出信號(hào)波形求其匹配濾波器的傳輸函數(shù)及輸出信號(hào)波形. .tttats, 0, 00,)(ta0s(t)解解: : 信號(hào)頻譜為信號(hào)頻譜為二、匹配濾

34、波器及其性質(zhì)二、匹配濾波器及其性質(zhì)0( )( )(1)j tj tjaSs t edtaedtej取匹配濾波器時(shí)間取匹配濾波器時(shí)間 ，則，則0=t ( )(1)(1)jjjcacaHeeejj 沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為( )( )h tcs t2200( )( )( )( )( )(2)200ca tts ts th tcs ts tcatt 0s(t)ta0h(t)tca0s0(t)t2ca2圖3.17 矩形脈沖的匹配濾波器(a)矩形脈沖信號(hào) (b)匹配濾波器的沖擊響應(yīng)(c)匹配濾波器的輸出信號(hào)(a)(b)(c)0s(t)ta0h(t)tca0s0(t)t2ca2圖3.17 矩形脈沖的匹配濾波器

35、(a)矩形脈沖信號(hào) (b)匹配濾波器的沖擊響應(yīng)(c)匹配濾波器的輸出信號(hào)(a)(b)(c)積分器延遲線s(t)jcaj+-s0(t)積分器延遲線s(t)jcae+-s0(t)矩形脈沖信號(hào)匹配濾波器實(shí)現(xiàn)框圖 二、匹配濾波器及其性質(zhì)二、匹配濾波器及其性質(zhì)信號(hào)的頻譜為信號(hào)的頻譜為s(t)s(t)的匹配濾波器的匹配濾波器 取取 t0=(M-1)T+ 矩形脈沖串信號(hào)的匹配濾波器矩形脈沖串信號(hào)的匹配濾波器 矩形脈沖串信號(hào)為矩形脈沖串信號(hào)為110( )=( -)Mks ts t kT110( )( )Mjk TkSSe 001*10( )( )( )MjtjtjkTkHc SecSee 11*(1)*(1)

36、1100( )( )( ) MMjk TjMTjjMk TkkHcSeecSee 二、匹配濾波器及其性質(zhì)二、匹配濾波器及其性質(zhì)矩形脈沖串信號(hào)的匹配濾波器矩形脈沖串信號(hào)的匹配濾波器 匹配濾波器可表示為匹配濾波器可表示為 H( ) = H1( ) H2( ) 相參積累器相參積累器輸出的最大信噪比輸出的最大信噪比11*(1)*(1)1100( )( )( ) MMjk TjMTjjMk TkkHcSeecSee *11( )( )jHc Se 1(1)(1)20( )1 MjMk Tj TjMTkHeee 子脈沖匹配濾波器子脈沖匹配濾波器111000222mMEEEdMMdNNN脈沖串信號(hào)匹配濾波實(shí)

37、現(xiàn)的結(jié)構(gòu)脈沖串信號(hào)匹配濾波實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)二、匹配濾波器及其性質(zhì)二、匹配濾波器及其性質(zhì)3.5 3.5 最佳線性濾波器最佳線性濾波器三、廣義匹配濾波器三、廣義匹配濾波器假定噪聲具有有理的功率譜假定噪聲具有有理的功率譜 ( )( )/( )nSSG 0*( )( )( )jtnSHceG 一般平穩(wěn)噪聲環(huán)境的最佳線性濾波器一般平穩(wěn)噪聲環(huán)境的最佳線性濾波器*( )( )( )( ) ( )nnnnnGGGGG 則則00*121( )( )( )/( )( )( )( )( )jtjtnnnSHcSeGceHHGG 11( )( )，nHG 0*2( )( )j tHcSe 三、廣義匹配濾波器三、廣義匹配濾波器對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)