利用Excel進(jìn)行時間序列的譜分析Read

1、利用Excel進(jìn)行時間序列的譜分析(I)在頻域分析中，功率譜是揭示時間序列周期特性的最為有力的工具之一。下面列舉幾個例子，分別從不同的角度識別時間序列的周期。1時間序列的周期圖【例1】某水文觀測站測得一條河流從1979年6月到1980年5月共計12月份的斷面平均流量。試判斷該河流的徑流量變化是否具有周期性，周期長度大約為多少？分析：假定將時間序列xt展開為Fourier級數(shù)，則可表示為kXtgcos2fitbisin2fit)t(1)i1式中fi為頻率，t為時間序號，k為周期分量的個數(shù)即主周期(基波)及其諧波的個數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)誤差(白噪聲序列)。當(dāng)頻率fi給定時，式(1)可以視為多元線性回歸模型，

2、可以證明，待定系數(shù)a、bi的最小二乘估計為2N?ixtcos2fitNt1.o2N.一一b?一xtsin2fitNt1這里N為觀測值的個數(shù)。定義時間序列的周期圖為_N22I(fi)-(aibi),i1,2,k2式中I(fi)為頻率fi處的強(qiáng)度。以fi為橫軸，以I(fi)為縱軸，繪制時間序列的周期圖，可以在最大值處找到時間序列的周期。對于本例，N=12,t=1,2,N,fi=i/N,下面借助Excel,利用上述公式，計算有關(guān)參數(shù)并分析時間序列的周期特性。第一步，錄入數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化或中心化(圖1)。AC1DEF11月份月份序號i輕流量/中心化周期序號頻率2二s119014Z10.083333

3、37224879.19220.1666674二33553384.3Q.255二94286117.14240.333333610520435.141250,4166677116106-62.85860.5S二12765.4-103.15870.5833339r_1846.9-121,95830.6666671012933.8-135.05890.7511P3105L司-117.CJ5S100.833333124：1173.4-90.153110.91666713512163-5.858121圖1錄入的數(shù)據(jù)及其中心化結(jié)果中心化與標(biāo)準(zhǔn)化的區(qū)別在于，只需將原始數(shù)據(jù)減去均值，而不必再除以標(biāo)準(zhǔn)差。不難想到

4、，中心化的數(shù)據(jù)均值為0,但方差與原始數(shù)據(jù)相同（未必為1）。第二步，計算三角函數(shù)值為了借助式（1）計算參數(shù)ai、bi,首先需要計算正弦值和余弦值。取i1,2,6,則頻率為fii/N1/12,2/12,6/12（圖1）。將頻率寫在單元格C3-C14中（根據(jù)對稱性，我們只用前6個），將中心化的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)置D2-O2中（與中心化數(shù)據(jù)對齊）粘貼于第一行的單元格D1-O1中，月份的序號寫在單元格cDEFGHTJELKN0121.14167T9L141B11384.1417117.1417.35.14167-103.46T3£.055-W.4633-E.8SS3S1234567a9101112L.O罵

5、3的96E0.500AOjO-C.50(.Ilgbt1.ooo-u.B6SASUOL門口(J.蝴1a(Ll&G網(wǎng)7C500-0.50'J-1.000也5000.500l.ood0.500-0L500-1-0D0£5000.E00i50.260.J00-1.oooOiO.iO1.期1),必-i.ooo0.見。1.順c.o»o1.oot0.coo1Q匚3冥333-fl,F.500LOW-d,fq-c.-0.500-0+5n0：,G1QF.5QC-o,孰1TQ.416667甌60.500(LOQO也加口0.器樂-LDOOQr8E6EMCL0口口凡/T,甑BLg.E

6、T.00口L口叩=1,OMkQOQacwLDOOH.DOOLOWT.口口口LODO-1.0001L90.5833331亂就9時m0.0CW1-溫團(tuán)叩.RF?eo.阪qC.rio-5S.二3-72.339-5,85B100.版667W.5YLT9.571的1暇一照571ir+mg距m亂729135553風(fēng)29T5,二EJ黜11OlTEc.ooo-711.OlOOO117.1420.CM62.好S0.DOC-121.580.DOO117.口S30,000-5,S58120.SS3333-io.sn-By.5'-l334.142-S3.57L-IV.STIH52,S5E：ELT29Gol班-

7、136.OSSS3.529皈229T.BBSLi1.乳陶斜-IL3099571d0見-犯S7L：；u.按62.出0甌5g&Di9790-Uffl0-58.S29飛339七，七3二141-21,M27.142TM也1J7.142US-62.B5813E.C53TIT.現(xiàn)2,期七，黜圖2計算余弦值的表格在D2單元格中輸入公式“=COS（$B$1*$D$2*C3）”，回車得到0.866;按住單元格的右下角右拉至O3單元格，得到f=1/12=0.083,t=1,2,12時的全部余弦值。在D2單元格中輸入公式“=COS（$B$1*$D$2*C4）”，回車得到0.5;按住單元格的右下角右拉至O4單

8、元格，得到f=2/12=0.167,t=1,2,12時的全部余弦值。依次類推，可以算出全部所要的余弦值（在D3-O8區(qū)域中）。根據(jù)對稱性，我們的計算到k=6為止（圖2）。注意，這里B1單元格是2聲6.28319（圖中未能顯示）。在上面的計算中，只要將公式中的“COS”換成“SIN”，即可得到正弦值，不過為了計算過程清楚明白，最好在另外一個區(qū)域給出結(jié)算結(jié)果（在D17-O22區(qū)域中，參見圖3）。1!瓠率r1234A6T91.01112rJ0.0833：3。上見0.3661.0W)0.淑0.5g0.000-0.5001.0000.湫-0,SOO0.000IS&-.1&6667Q.3&

9、amp;66B66以0網(wǎng)-0.866p8660.0000.3660.8661mq-0P366-0.366aooo1251.DD00PiOO-1.o(nO,(HQ1BDOO1000-laaoo.Q00LOO口I.ODD-1.0000,00D,20E35-：3;30.866YLB6&(LOCK)o.seeTlB6&0.0000.366-a3660.000Cl88&Tl26S-0.000210,416667O.SHO也寐L媾T,魄0.500aooo510.*5-IMO-o.sooj.coo320.CWO0.000i)-0W0,WOdooo0.0000.0000,000）鮑)O

10、DO0,000230L5B3953io.赧5的Idl.MR11.S71tn000SL723105.61913S.0&BLO1.37S4S.W建o.coo網(wǎng)仇$稀篇718.309煙蹦.阿-101.U3也啦-S9t59B-IKflU小阿10L.37E；程期0,000器D.7521.142Q.DQO-3B4,IIS0.(M0加，MWOlflQO103.韭Ra,000-13E,058口.。9530.ow踽(183333313.3葉FE.535id;,rw-30.涮OlOOO105.心0h000r.i.!：.用33S3,COO2710.S71T瓜卷3B£142-101,則總IT.571

11、OlOOO51.72?_1OS,6L$135.OSS-101.3754蟠。，頓鴕10.0000.lU'Jla.oao0.DOO0.I0l>tUJOO0.000o.Udo0LQJ0.ODD0.0000.000圖3計算正弦值的表格第三步，計算參數(shù)ai、bi利用中心化的數(shù)據(jù)（仍然表作xt）計算參數(shù)ai、bio首先算出xtcos2fit和xtsins2fit。在D9單元格中輸入公式“=D1*D3"，回車得到18.309;按住單元格的右下角右拉至O9單元格，彳導(dǎo)到f=1/12=0.083,t=1,2,12時的全部xtcos2f值；加和得39.584,再除以6,即得a1=6.597

12、o在D10單元格中輸入公式“=D1*D4"，回車得到10.571;按住單元格的右下角右拉至O10單元格,得到f=2/12=0.083,t=1,2,12時的全部xtcos2f值；加和得-365.25,再除以6,得到a2=-60.875。其余依此類推。bi值（見下表）。上面的計算過程相當(dāng)于將上面公式中的余弦值換成正弦值，即可得到采用式（2）進(jìn)行逐步計算。L加39.5846.5971021.281170,213-365.250-60.875-60.535-10-0899aloo15.017-269.000-44.8332TO.55045.09213.7702.295F41.3166.S86

13、267.31044,553-222.900-37.1500.0000.000第四步，計算頻率強(qiáng)度利用式（3）,非常容易算出I（fi）值。例如_N22_2_2I（fi）萬（a；b2）6*（6.5972170.2132）174096.914其余依此類推（見圖4）。QRST頻率三力如0.0836.597170.213174096.9140.167-60.275-10.08922845.3450.25015.01?T4,83313413.1680.33345.0922.29512231.1520.4176.88644.55312194,4230.500-37.1500,0008280.T35圖4計算頻

14、率強(qiáng)度第五步，繪制時間序列周期圖利用圖4中的數(shù)據(jù)，不難畫出周期圖（圖5）。圖5某河流徑流量的周期圖（1979年6月一1980年5月）第六步，周期識別關(guān)鍵是尋找頻率的極值點(diǎn)或突變點(diǎn)。在本例中，沒有極值點(diǎn)，但在f1=1/12=0.0833處,頻率強(qiáng)度突然增加（陡增），而此時T=1/f1=12,故可判斷時間序列可能存在一個12月的周期，即1年周期?！纠?】為了映證上述判斷，我們借助同一條河流的連續(xù)兩年的平均月徑流量（1961年6月一1963年5月）。原始數(shù)據(jù)見下圖（圖6）。ABcDEFGH16.28319中心化數(shù)據(jù)徑流量39.54583163.545858,5458366,545832月粉徑流量中心

15、化數(shù)據(jù)頻率f1234Is114939.545830.0416670.9660.8660.7070.5004227B168.54580.0933330.S660.5000.000-0.500Ie316358,545g30.1250,7070.000-0.707-1.0006q17666.545230.1666670.500-0.500-1.000-0.5007512212.545830.2083330.259-0.866-0.7070.5008672-37.45420.250.000-1.0000.0001.0009150-59.45420.291667-0.259-0.8660.7070.50

16、010843.6-65.85420.333333-0,500-0.5001.000-0.50011928-81.45420.375-0.7070.0000.707-LOGO121041.4-68.05420.416667-0.8660.5000.000-0.500131156-53.45420.458333-0.9660.886-0.7070.500141265-44.45420.5-1.0001.000-1.000LOGO151315242.545830.54166738.198145.96541.39833.2731614229119.54580.5833333124884.2730.00

17、0-33.2731715323213.54580.62527.9630.000-41.398-66.5g6101614434.545S30.66666719.773-84.273-58.546-33.2731917191Bl.545830.70833310,235-145.965-41.39833.273201884-25.45420.750.000-168.5460.00066.546211935.S-73.65420,791667-10.235-145.96541.39333.273222029.4-80.05420.833333-19.773-24.27358,546-33.273232

18、125.1-84.35420.875-27.9630.00041,398-66.546242225.1-84.3542Q.916667-34.248例.2730.000-33,273252350-59.45420.958333-38.198145,965-41.39833.273262489.5-19.95421-39.546168.546-53.54686,546圖6原始數(shù)據(jù)及部分處理結(jié)果將原始數(shù)據(jù)回車時間序列變化圖，可以初步估計具有12月變化周期，但不能肯定（圖6）。051015202530時間（月份序號）350300250量流徑均平月200150100500圖6徑流量的月變化圖（1961

19、年6月1963年5月）按照例1給出的計算步驟，計算參數(shù)數(shù)ai、bi,進(jìn)而計算頻率強(qiáng)度（結(jié)果將圖7）。然后繪制時間序列的周期圖（圖8）。注意這里，N=24,我們?nèi)=12o匚陋AFAG|頻率尊biF0.0417-6.6800-8.2539135工99510.08337.9876103.6994129803.3420.125014.23500.8850244L0060.1667-26.162511.64089839.823(X20832.£366.408g589,4190.2500-15.1667-1.30832730.S74Q.2917-1,8976355LISI,619r0.3333

20、-2.6292-16.28853266.7310.3750-13.1183-11.99833792.599r(14167r6.80404.4673795.02210.458316.,9665-18.36407501.1780.5000-6.07500.0000皿868圖7參數(shù)和頻率強(qiáng)度的計算結(jié)果頻率從圖8中可以看出，頻率強(qiáng)度的最大值（極值點(diǎn)）對應(yīng)于頻率f1=1/12=0.0833,故時間序列的周期判斷為T=1/f1=12。這與用12月的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計的結(jié)果是一致的，但由于例2的時間序列比例1的時間序列長1倍，故判斷結(jié)果更為可靠。度強(qiáng)率頻圖8某河流徑流量的周期圖（1961年6月一1963年5月）2

21、時間序列的頻譜圖【例3】首先考慮對例1的數(shù)據(jù)進(jìn)行功率譜分析。例1的時間序列較短，分析的效果不佳，但計算過程簡短。給出這個例子，主要是幫助大家理解Fourier變換過程和方法。為了進(jìn)行Fourier分析，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。第一，將數(shù)據(jù)中心化，即用原始數(shù)據(jù)減去其平均值。中心化的數(shù)據(jù)均值為0,我們對中心化的數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，其周期更為明顯。第二，由于Fourier分析通常采用所謂快速Fourier變換（FastFourierTransformation,FFT）,而FFT要求數(shù)據(jù)必須為2n個，這里n為正整數(shù)（1,2,3,），而我們的樣本為N=12,它不是2的某個n次方。因此，在中心化的數(shù)據(jù)后面加上4

22、個0,這樣新的樣本數(shù)為N'=12+4=16=24個，這才符合FFT的需要（圖9）。下面，我們對延長后的中心化數(shù)據(jù)進(jìn)行Fourier變換。AB11C1月份徑流量中心化211902L142322487914254286117.1426520935*276106-62.8588765.4-103.儂g846.9-121.95810g33.8-135.05811105L8-117.05812n-90.4581312163-5.85814J130151401615°IT160圖9數(shù)據(jù)的中心化與“延長”第一步，打開Foureir分析對話框沿著主菜單白“工具（To

23、ols）”一“數(shù)據(jù)分析（DataAnalysis）”路徑打開數(shù)據(jù)分析選項框（圖10）,從中選擇“傅立葉分析（FourierAnalysis。圖10在數(shù)據(jù)分析選項框中選擇Fourier分析第二步，定義變量和輸出區(qū)域確定之后，彈出傅立葉分析對話框，根據(jù)數(shù)據(jù)在工作表中的分布情況進(jìn)行如下設(shè)置：將光標(biāo)置于“輸入?yún)^(qū)域”對應(yīng)的空白欄，然后用鼠標(biāo)選中單元格C1-C17,這時空白欄中自動以絕對單元格的形式定義中心化數(shù)據(jù)的區(qū)域范圍（即$C$1-$C$17）。選中“標(biāo)志位于第一行”。選中輸出區(qū)域，定義范圍為D2-D17（圖11）。注意：如果輸入?yún)^(qū)域的數(shù)據(jù)范圍定義為C2-C17,則不要選中“標(biāo)志位于第一行”，這與回歸

24、分析中的原始變量定義是一樣的（圖12）。如果不定義輸出區(qū)域范圍，則變換結(jié)果將會自動給在新的工作表組上。這一點(diǎn)也與回歸分析一樣。圖11選中“標(biāo)志位于第一行”與數(shù)據(jù)輸入范圍的定義圖12不選中“標(biāo)志位于第一行”與數(shù)據(jù)輸入范圍的定義第三步，結(jié)果轉(zhuǎn)換定義數(shù)據(jù)輸入輸出區(qū)域完成之后，確定，立即得到Fourier變換的結(jié)果（圖13）。ABCDE_LFG1月份徑流量中心化Foune技換結(jié)果2119021142930.013844619619-381.5531666564ggi43553,384,142-296.348675854492-579.7Q4852456013i54286117

25、,142-302.505754499164-272.87025947891216620435,142-269X0Ji76106-62.858-202592180343623+181.7199857495091S785.4-103,458-L76799081217553+214,5784S03T732ig846.9-12L958199.88409022316+213.60374523859i10933.8-135,068222,9111051.8-117,058199.8S4090223168-213.603745238589i121178,4TO.458-1.76799081217551-21

26、4.5784808773211312LS3-6.858-202.592130343624-18L719985749509114130-269-90Ji15140-302.505754499164+272.870259478913116150-296,348675854491+579.7048524560141170q3cL。13弘461961州3KL55316665649%變換的結(jié)果為一組復(fù)數(shù)，相當(dāng)于將f(t)變成了F(co),實際上是將xt變成了XT(f)o我們知道，有了f(t)的象函數(shù)F(3)就可以計算能量譜密度函數(shù)S(co),即有2(4)S()F()F()F()相應(yīng)地，有了Xt也就容易計

27、算功率譜(密度)P(f)上T式中f表示線頻率，與角頻率3的轉(zhuǎn)換關(guān)系是03=2t/T,這里T為數(shù)據(jù)區(qū)間長度。如果將XT表作XT(f)=A+jB(這里A為實部，B為虛部)，則有|XT(fi)2XT(fi)Xf(AijBi)(AijBi)A2Bi2(6)因此這一步是要分離變換結(jié)果的實部與虛部。逐個手動提取是非常麻煩而且容易出錯的，可以利用Excel有關(guān)復(fù)數(shù)計算的命令。提取實部的Excel命令是imreal。在H2單元格中輸入命令“=IMREAL(D2)”(這里D2為變換結(jié)果的第一個復(fù)數(shù)所在的單元格)，回車得到第一個復(fù)數(shù)的實部0;點(diǎn)中H2單元格的右下角，揪住鼠標(biāo)左鍵下拉至H17,得到全部的實部數(shù)值。提

28、取虛部的命令是imaginaryo在I2單元格中輸入公式“=IMAGINARY(D2)”，回車得到第一個復(fù)數(shù)的虛部0;下拉至I17,得到全部的虛部數(shù)值。根據(jù)式(5)、(6),功率譜密度的計算公式為P(fi)A2Bi2考慮到本例中T=N=16,在J2單元格中輸入公式“=(H2A2+I2A2)/16"，回車得到第一個功率譜密度0;下拉至J17,得到全部譜密度數(shù)值(圖14)?；贔FT的譜密度分布是對稱的，可以看出，以J10所在的3105.28為對稱點(diǎn)，上下的數(shù)值完全對稱。DTEF1GHILJ1Foui訕變換結(jié)果imrealimaginaryF(/)20I0003930.013844616

29、1-381.553166656491930.0138-381.55363156.74-295.343675蹌4492T座,7Q4852456Q,-296.349-579.70526492.525-302.50575449S164-272.8702594789121-302.506-272.8710372.996-26升go.li-26990,15029.9387-202.592180343623+181.7199857495091-202.592181.724629.109S-1.76792081217553+214.57848087732i-L7679921157852877.9419199

30、.88409022316+213,6037452385199,8841213.60875348.76310222,9222.g03105.281L19g.884090223168-213.6037452385891199.8841-213.&045348.763112-1.76799081217561-214.578480877321-1*76799-214.5782877.94113-202.592180343624-181-719985749509i-202.592-181.72462g.10914-269-90.li-269-90.15029.93815-302.50575441

31、64+272.870259473131-302.506272.870310372.9916-296.348675854491+579.7048524560141-296.349579.704926492.5217930.013S4461S61S+3B1.553166656497i930.0138381.553263156.79圖14功率譜密度的計算結(jié)果第四步，繪制頻譜圖線頻率fi可以表作fii/Ti/N,i0,1,2,N-1頻率f圖16對稱分布的頻譜圖b度密譜率功由于功率譜圖的對稱性,出左半邊（圖17）。畫出整個譜圖實在沒有必要，因此，在實際工作中,通常只畫顯然fo=0/16=0,fi=1/1

32、6=0.0625,f2=2/16=0.125,，fi5=15/16=0.9375。在Excel中，容易計算頻率的數(shù)值。將頻率與功率譜對應(yīng)起來（圖15）,就可以畫出頻譜圖。如果補(bǔ)上最后一個頻率數(shù)值f16=1及其對應(yīng)的功率0,則可畫出完全對稱的譜圖（圖16）。LN1序號頻率/功率譜密度分布FCZ）2000310.062563156.78564420*12526492.51585530.187510372.99438640.255029.933125750.31254629.109047860.3752877.940649T0.43755348.76309410S0.53105.2756251190

33、.56255348.76309412100.6252877.9406413110.6875462g.10904714120,75502g.93812515130.812510372.9943816140.87526492.5158517150.937563156.78564圖15功率譜密度與頻率的對應(yīng)關(guān)系70000600005000040000P率功300002000010000000.10.20.30.40.50.6頻率f圖17實用的頻譜圖第五步，功率譜分析頻域分析的主要目標(biāo)之一是判斷時間序列是否存在周期性。從圖17可以看出，功率最大點(diǎn)對應(yīng)的頻率是f1=0.0625,該頻率對應(yīng)的周期長度為1

34、6?？梢?，在時間序列較短的情況下之間用功率譜圖尋找時間序列的周期不如周期圖準(zhǔn)確。另外可以初步估計數(shù)據(jù)的性質(zhì)。在圖17中，去掉第一個0點(diǎn)，剩余的點(diǎn)一般呈哥指數(shù)分布(在雙對數(shù)坐標(biāo)圖上點(diǎn)列具有直線趨勢)，可以擬合募指數(shù)函數(shù)如下：(8)頻率fP(f)f圖18功率P(f)與頻率f的雙對數(shù)坐標(biāo)圖結(jié)果得到功率譜指數(shù)3=1.49521.5。功率譜指數(shù)與時間序列的Hurst指數(shù)具有如下關(guān)系2H1(9)據(jù)此估計Hurst指數(shù)約為0.25。我們知道，Hurst指數(shù)介于01之間，當(dāng)H>0.5時，表明時間序列存在正的自相關(guān)，意味著系統(tǒng)演化具有持久性；當(dāng)H<0時，表明時間序列具有負(fù)的自相關(guān)，意味著系統(tǒng)演化具有

35、反持久性；當(dāng)H=0時，表明時間序列不存在自相關(guān)，過去與未來無關(guān)。對于這條河流的徑流量而言，H=0.25<0.5,表明時間序列具有反持久性：過去的增量意味著今后的減少，過去的減少意味著未來的增加。因此，徑流量必然周期性的變化?！纠?】下面對前述例2的數(shù)據(jù)進(jìn)行Fourier變換，方法與例3相同，但由于N=24,我們?nèi)=32=25。也就是說，對于中心化的數(shù)據(jù)，要在后面添加8個0作為補(bǔ)充點(diǎn)數(shù)?；贔FT的變換結(jié)果如下(見圖19)。AnEFG11月份徑流量中心化Foun七凌換結(jié)果2114939.54583032278168.5458175.697209544&61-182.7937690

36、5547114316g58.54583875.211791457811+481.96764957647215417566.54583'135.552842511169-1003.1725467126516512212.54583128.29696g619&7+1112782612482317672-37.454298,3772036360729-336.06927332013718T50-59.4542-184.362200004434-70.78851551733119843.6-65.8542121.43913435022-02.229467661831511092S-81

37、.4542-15.7000000000001-1821111041.4-68.0542-19.175281683S816+39.3246603853799i121156-53.454265.0634777431574-258.012L75990945i131265-44.4542-98.215776868803-16.4167496B6007H141315242.545839.503030380329gl-213.1217387517711514229119.5458-186.345383599078+36.709021020982111615您213.545854.2702641367997

38、-162.6726775638081171614434.54523292.224262863224+17.35606g757910北131719181,5458372.9191884-25.4542-292,224262863224-17.35606975790931201935,§-73.654254.2702641367gg7+1826726775&3808i21204-80.0542-186.345383599079-36.70902102098181222125.1-84.35429.50303038033012+213.121738751771232225.1-84

39、.3542-92.215776S6BS036+16.41&7496860068i24235059.454265.06347774315781258.0121759909461252489.5-19.9542-19.1752816836821-39.3246603853802i26250-IB.6999999999999+182127260121.439134350Z2+92.2294676618306128270-184.362200004435+70.788515517332212922098.3772036360742+336.069273320137130290128.29696

40、961967-113.2782E124X23i圖19例2數(shù)據(jù)(經(jīng)中心化處理)的FFT變換結(jié)果計算功率譜除例3講述的方法外，還可以利用Excel的另外兩個命令實現(xiàn)：一是計算共軻復(fù)數(shù)的命令imconjugate,首先求出XT(f)的共軻復(fù)數(shù)XT(f)；然后借助復(fù)數(shù)的乘積命令improduct,計算復(fù)數(shù)的XT(f)與XT(f)的乘積|XT(f)2;最后利用式(5)得到功率譜。不過，此時的時間序列長度視為T=32o例如在H2中鍵入公式“=IMCONJUGATE(D2)”，回車得到第一個共軻數(shù)，下拉至H33,得到全部共軻數(shù)值。在L2中鍵入公式“=IMPRODUCT(D2,H2)”，回車，得到第一個復(fù)數(shù)乘

41、積，下拉至L33,得到全部XT(f)2值。最后用XT(f)2除以32得到功率譜密度(圖20)。根據(jù)計算結(jié)果畫出頻譜圖（圖21）,從圖上可以看出，頻率密度的極值點(diǎn)對應(yīng)的頻率為0.09375,相應(yīng)的周期為T=10.667;在極值點(diǎn)附件存在一個次最大點(diǎn)，但相對于其他數(shù)值卻顯然又是突變點(diǎn)，該點(diǎn)對應(yīng)的頻率為0.0625,相應(yīng)的周期為16。故可斷定，該時間序列的1265.365477T431574+258.01217599045113-9a115m86s803H£4L67496E60071i149.E030303S0329S14-213.131733751771151-155.34538S599

42、07S-36,汨90210209g2E16154.2102641367997+162.672b7753BO8i17'292,2242628&B224-17.35606975791021IB72.313-292.E242623S8224+17.3F6O69757O93i2DEJ2限26篁孤7兆7-16£6726叫E6非C2i211-1S6.345383599079+36,90210209010122150303038033012-213.121738751m2390.21577G0GDB036-1G.41G749C860O6312416E,063477743157S-2

43、5S.01217599094617803.53幻魴61ST箝ISB4B436195514S511.183114907236/2一皿1300647MB.6615356753L4.41就6gs.2ES3&6318329407.鴕15躬左675077.15421300fjS45511.18311498729915.348495195622212.511泗.”031422.224L127.25?318.9RS42678.008156.07526密00S32,9的40l31250.343750.3750.40625CLq3750.468752212.611309.87031422.2241127

44、.25591&93網(wǎng)2f78.0080.5166.OY50.531252STS.003Q56251127.255Q.59375912羽94127.2550.62525-19.1752S16836821+39.324603S53E02i期-156599999999999-1咫1ZrllZl.4313435022-92.229676613306i231S4.3622000D443S-70.Ta85155173322i1914.1203420740533704923253.*8056915433000.4M門9622g239S.377203636D742-336.06927332D137i7

45、)1方.5匕氏/EQ氏1口£741-77中口以idD?戈:12262).63。&6817g305.¥Q32212.611覽SU2&IU4Z.S287Z6./鄒1218.7643831.MS27f7a0.G5625309.37030lBS752212.EllQ.71875D.750.7B125EX21626H42.R2BT26.6793aBl251218.7640.S43753831.S95n飛7Td圖20功率譜密度值及其相應(yīng)的頻率頻率f周期比在1016之間。H|1JK1LJtH01盾兇的扶胡iraconjuate乘積irupgduci;w頻率F(f)2000

46、003175.6S7209544661+182.376S055471i64283.”1447空542008.MG0.051252008.E4G4STB.211791457811-4S1,967649578472199828B.4951450631198,E2a0625乳1茹£2-135.552842511161001172546712651102472ft.731590S32022.S0.093753202248f128.29696961967-1：3.2T826：2%券i2292.0768860128915.升T40.125915.37747E&3T72O36360T29+

47、336.069273320137i1226216335651783831,資50.156253E31.895E-184.3622000044370.738515517331139000.43471562231218.7640.1S7C1213.764g121.4313435022+92.22g46766831鼠232E3.7330&915e72£.7530.2187F726.793ID-15+"000000000001+182135370,49inj2.sssD.25104Z9231.1-19.75281683681&-39-3246603853799i19

48、14.12034207459.01f>260.2R12559,81626圖21例4的頻譜圖不過，由于這里的數(shù)據(jù)包含兩個周期在內(nèi)，用它估計數(shù)據(jù)的自相關(guān)性質(zhì)不太準(zhǔn)確。最后給一個較長時間序列的分析實例?！纠?】某海域測得多年連續(xù)的海平面年平均高度，發(fā)現(xiàn)大約每隔11年左右海平面達(dá)到一個最高值（圖22）,于是科學(xué)家判斷海平面的升降存在一個11年周期，與太陽黑子（sunspot）白111年周期變化一致，而太陽黑子的活動正是海平面升降的原因所在。問題在于，前述11年周期是通過原始數(shù)據(jù)的變化曲線直觀發(fā)現(xiàn)的，未必可靠。為此，可以進(jìn)行個功率譜分析，判斷這種周期是否確實存在。ACtiEFHIJL時序海面高縈時序再面信度時序港百自理時序海面而良時序海1角民21b21