大學物理-振動和波.

1、 1-1 簡諧振動 1-2 簡諧振動的合成 1-3 簡諧波 1-4 波的疊加和干涉23振動振動： 任何一個物理量隨任何一個物理量隨時間時間的的周而復始周而復始的的變化變化。1-1 簡諧振動4機械振動機械振動：CLAB K微觀振動微觀振動： 電磁振蕩電磁振蕩如圖如圖,電荷在電荷在LC電路中往復運動電路中往復運動.物體在其平衡位置附近物體在其平衡位置附近,位移位移x隨時間隨時間t 的的周期性變化周期性變化.電磁振動電磁振動： 電場、磁場等電場、磁場等電磁量電磁量隨隨t周期周期性變化性變化.如晶格上原子的振動。如晶格上原子的振動。振動的分類振動的分類1：mglq q5(簡諧振動簡諧振動)振動的分類振

2、動的分類2： 無阻尼自由諧振動無阻尼自由諧振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由非諧振動阻尼自由振動阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由振動自由振動自由振動受迫振動受迫振動6一一. . 簡諧振動（簡諧振動（S.H.V.S.H.V.）: : 1. 定義：定義： 位置坐標按余弦位置坐標按余弦(或正弦或正弦)規(guī)律隨時間變化。規(guī)律隨時間變化。tx，qtx,q q x(t)=Acos( t+ ) x(t)=Asin( t+ )或或簡諧振動的簡諧振動的運動學方程運動學方程( )iti tx tAeAe也可用復數(shù)表示：也可用復數(shù)表示：計算結果一般取計算結果一般取實部實部782. 簡諧振動的速度、加速度簡諧振動的速

3、度、加速度由由 , 得得 )cos( tAx)(cos)sin(2tAtAtdxdx )cos()cos( tAtAtdda22xx a, , x 都是諧振動，都是諧振動， 振幅不同，角頻率不變振幅不同，角頻率不變 a, , x 依次超前依次超前 /2； a, x 反相（諧振動特點）反相（諧振動特點）曲線描述曲線描述ToxtAAaA2tAxcoscos2xvAt2cosxaAttx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT10 等幅等幅、周期性周期性3. 簡簡諧振動諧振動特性特性 最簡單、最基本。其他復雜振動可分解成諧振動最簡單、最基本。其他復雜振動可分解成諧振動的疊加。的疊

4、加。簡諧振動被認為是各式周期運動的基本成分，這簡諧振動被認為是各式周期運動的基本成分，這有兩個根據(jù)。有兩個根據(jù)。1.1.數(shù)學上：數(shù)學上：傅里葉分析傅里葉分析2.2.物理上：物理上：動力學系統(tǒng)的線性動力學系統(tǒng)的線性11彈簧振子彈簧振子( (諧振子諧振子) )在彈性恢復力的在彈性恢復力的作用下作自由振動作用下作自由振動簡諧振動簡諧振動kxFx 由由kxxm 則則0 xx2 m/k2 簡諧振動的動力學方程簡諧振動的動力學方程( (特征方程特征方程) )( (加速度與加速度與“位移位移”正比、反正比、反向向) )O Ox x二二. . 簡諧振動動力學方程簡諧振動動力學方程12質點作直線諧振動質點作直線

5、諧振動. 對特征方程對特征方程 xdtxd222 兩邊同乘以振子質量兩邊同乘以振子質量m, 有有 xkxmF2x* 且且*km即即: 作直線諧振動的質點必受作直線諧振動的質點必受線性回復力線性回復力. 1. 線諧振動線諧振動 k* 有效勁度系數(shù)有效勁度系數(shù) 2. 角諧振動角諧振動 (定軸轉動定軸轉動/小角擺動小角擺動) 13特征方程特征方程: q q q q222dtd 02 q q q q 或或 同乘以同乘以I：q qq q *kIM2 即：角諧振動即：角諧振動 線性回復力矩線性回復力矩, 且且Ik* 擺：擺：q qsinmglM 當當q q 很小很小, sinq q q q 時時 單擺單擺

6、 q qmglM 2mlImglk ;*lgIk/* mglq qTm14如果物體受到的力是線性回復力，則可判定物體作簡諧振動，如果不是，那么物體不作簡諧振動。線性回復力f= - kx的特點如下：1.力力 f 與位移與位移 x 的一次方成正比，這個就是的一次方成正比，這個就是“線性線性”的含義；的含義；2.式中負號表明力的方向永遠與位移方向相反，即式中負號表明力的方向永遠與位移方向相反，即力總是指向平衡位置，這個就是力總是指向平衡位置，這個就是“回復回復”的含義；的含義；3.當當x=0 時，力時，力 f=0，運動存在一個平衡位置，在，運動存在一個平衡位置，在這個位置上物體沿振動方向不受力。這個

7、位置上物體沿振動方向不受力。簡諧振動的判據(jù)簡諧振動的判據(jù)3）簡諧振動運動學方程）簡諧振動運動學方程0222xtxddtAxcos2）簡諧振動動力學方程）簡諧振動動力學方程1）受力情況）受力情況受到線性回復力 *Fk x 例例：如圖：如圖, 寬闊水面上的柱形浮寬闊水面上的柱形浮體體, 質量質量m, 水平截面面積為水平截面面積為S, 平衡時吃水深度平衡時吃水深度h.試證明它作簡諧振動試證明它作簡諧振動. 16解解：寬闊水面：寬闊水面液面不變。取液面不變。取坐標系如圖，坐標系如圖，SgxgxhSmgFx水水水水 )( 與與x無關無關. Sgk水水 *mX-h平衡平衡Ox-(h-x)mm偏離平衡位置為

8、偏離平衡位置為x 時時, 浮體所受合力為浮體所受合力為 xdtxd222 xkdtxdm22* mk/* 得證！得證！17)cos( tAx三三. 簡諧振動的參量簡諧振動的參量相位相位頻率頻率振幅振幅 tT2Axcos)cos( t2Ax初相初相周期周期或或圓 頻 率圓 頻 率(角頻率角頻率)182. 圓頻率圓頻率(角頻率角頻率) 、周期、頻率、周期、頻率描述振動系統(tǒng)的描述振動系統(tǒng)的固有固有屬性屬性圓頻率圓頻率：T22 (注意注意 和和 的區(qū)別的區(qū)別)(rad/s)mk 也稱為也稱為固有圓頻率固有圓頻率maxx 質點離開平衡位置的最大距離質點離開平衡位置的最大距離1.振幅：振幅：A 19T1

9、單位時間內振動的次數(shù)單位時間內振動的次數(shù)(Hz)頻率頻率：T 完成一次振動的時間完成一次振動的時間(s)周期周期： )(coscosTtAtAxkm22T 也稱為也稱為固有周期固有周期mk21T1 也稱為也稱為固有頻率固有頻率203. 位相位相和和初相初相相位相位(位相位相): tt)(描述描述 t 時刻的時刻的振動狀態(tài)振動狀態(tài)(周期變化的物理量變化到周期變化的物理量變化到哪個階段哪個階段)cos;sindxxAvAdt如如 2當當時時 Ax,0 x 物體在物體在O點向左運動點向左運動 Ax,0 x 物體在物體在O點向右運動點向右運動32當當時時 t 0 時的時的相位相位初相：初相： 21諧振

10、動系統(tǒng)特征量的求法：諧振動系統(tǒng)特征量的求法：p諧振動系統(tǒng)的諧振動系統(tǒng)的角頻率取決于系統(tǒng)的彈性元角頻率取決于系統(tǒng)的彈性元件和質量元件件和質量元件，因此分析系統(tǒng)的裝置情況一，因此分析系統(tǒng)的裝置情況一般就可以得到角頻率。般就可以得到角頻率。p振幅和初相位則取決于振動的初始狀態(tài)振幅和初相位則取決于振動的初始狀態(tài)（初始位置和初始速度），因此求振幅和相（初始位置和初始速度），因此求振幅和相位就歸結為求初始位置和初始速度。位就歸結為求初始位置和初始速度。22020vxA00tanxv常數(shù)常數(shù) 和和 的確定的確定A000vv xxt初始條件初始條件cos0Ax sin0Av 對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質

11、決定，對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質決定，振幅和初相由初始條件（兩個）決定振幅和初相由初始條件（兩個）決定.)sin(tAv)cos(tAx曲線描述曲線描述ToxtAAaA2tAxcoscos2xvAt2cosxaAttx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT四四. . 諧振系統(tǒng)的能量諧振系統(tǒng)的能量24xdtxd222 由由xdxd2 有有0 xm21m21d222 222xm21m21 簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒，各時刻的機械能均各時刻的機械能均等于起始能量等于起始能量E0 (t 0 時輸入的能量時輸入的能量)。動能動能彈性勢能彈性勢能1. 諧振系

12、統(tǒng)的動能和勢能諧振系統(tǒng)的動能和勢能dxddtddtxd22 及及, 同乘以同乘以m2xmktAtAx )sin()cos(常常量量 EAk212*諧振系統(tǒng)中動能、勢諧振系統(tǒng)中動能、勢能間的關系如右圖：能間的關系如右圖： 25EEpEkEtxt 由起始能量求振幅：由起始能量求振幅： kE2kE2A0 2. 諧振系統(tǒng)的平均動能和平均勢能諧振系統(tǒng)的平均動能和平均勢能 周期函數(shù)周期函數(shù)在一個周期內的平均值在一個周期內的平均值: )()(tfTtf TttdttfT1f)(應用于諧振動：應用于諧振動：)cos( tAx)sin( tA262pkAk412EEE* ),(cos* tAk21E22p),(

13、sin tAm21E222k TttkkdttET1E)( TttppdttET1E)(例例1 1：簡諧振動物體的位移為振幅的一半時，其動能和勢：簡諧振動物體的位移為振幅的一半時，其動能和勢能之比為：能之比為：（A A） 1 1：1 1 ；（B B）1 1：2 2 ；（C C） 3 3：1 1 ；（D D） 2 2：1 1。正確答案：正確答案：（C C）簡諧振動的總能量為：簡諧振動的總能量為：221kAEEEpk其勢能為：其勢能為：其動能為：其動能為：當物體的位移為振幅的一半時當物體的位移為振幅的一半時EAkkxEp412212122EEEEpk431:3:pkEE例例2: 豎直彈簧諧振子豎直

14、彈簧諧振子, 平衡后用恒平衡后用恒力力F 向下拉向下拉0.5m, 撤去撤去F, 此時此時t = 0, 已知已知: k = 200N/m, m = 4.0kg, F = 100N, S = 0.5m, 求振動方程求振動方程. 28OSXkmF解解: 如圖，如圖，m作諧振動的圓頻率為作諧振動的圓頻率為 rad/s0774200mk./ 對諧振系統(tǒng)對諧振系統(tǒng)(k, m)用功能原理用功能原理: ;2kA21FS 由由0A22Sx00 ;4 得得 諧振動方程諧振動方程: 0.707cos 7.074xtm7070kFS2A./ 能量守恒能量守恒簡諧運動方程簡諧運動方程推導推導常量222121kxmEv0

15、)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx例例3: 光滑光滑U型管內裝水銀型管內裝水銀, 密度為密度為 . 管截面為管截面為S, 使使水銀偏離平衡位置后任其自由振動水銀偏離平衡位置后任其自由振動. 求其往復振動求其往復振動的周期的周期T. 30OxX解解: 如圖如圖, 平衡時右管中液面坐標平衡時右管中液面坐標x = 0, t 時刻為時刻為x. 各處水銀質元切各處水銀質元切向加速度相等向加速度相等 22tdtxdmgSx2F )( mgS2/ 22mTgS五五. . 諧振動的旋轉矢量表示諧振動的旋轉矢量表示31)cos(tAx 旋轉旋轉矢量矢量 的的端點在端點在

16、 軸上的投軸上的投影點的運影點的運動為簡諧動為簡諧運動運動. .xA 以以 為為原點旋轉矢原點旋轉矢量量 的端點的端點在在 軸上的軸上的投影點的運投影點的運動為簡諧運動為簡諧運動動. .xAoxoAcos0Ax 當當 時時0t0 x 以以 為為原點旋轉矢原點旋轉矢量量 的端點的端點在在 軸上的軸上的投影點的運投影點的運動為簡諧運動為簡諧運動動. .xAoxoAtt t)cos(tAx時時 （旋轉矢量旋轉一周所需的時間）（旋轉矢量旋轉一周所需的時間）2T用旋轉矢量圖畫簡諧運動的用旋轉矢量圖畫簡諧運動的 圖圖tx旋轉矢量表示的優(yōu)越性直觀展示簡諧振動各參量的關系，便于確定 的象限便于對兩個或多個簡諧

17、振動進行比較便于處理簡諧振動疊加問題AAx2AtoabxAA0討論討論 相位差：表示兩個相位之差相位差：表示兩個相位之差 . . 1 1）對對同一同一簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間態(tài)間變化所需的時間. .)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt0 xto同相同相 2 2）對于兩個對于兩個同同頻率頻率的簡諧運動，相位差表示它的簡諧運動，相位差表示它們間們間步調步調上的上的差異差異. .（解決振動合成問題）（解決振動合成問題）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xt

18、o為其它為其它超前超前落后落后txo反相反相cos2coscos2tAatAtAxxaAAA2由圖看出：速度超前位移由圖看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2稱兩振動稱兩振動同相同相3） 方便方便比較不同物理量振動步調比較不同物理量振動步調位移與加速度位移與加速度稱兩振動稱兩振動反相反相0若若 例例1 1 如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)簧的勁度系數(shù) ，物體的質量，物體的質量 . . （1 1）把物體從平衡位置向右拉到把物體從平衡位置向右拉到 處停處停下后再釋放，求簡諧運動方程；下后再釋放，求簡諧運動方程； 1mN72. 0kg

19、20mm05. 0 xm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物體在如果物體在 處時速度不等于零，處時速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其運動方程，求其運動方程. .2A （2 2）求物體從初位置運動到第一次經過求物體從初位置運動到第一次經過 處時的處時的速度；速度；m/ xo0.05ox解解 （1）11s0 . 6kg02. 0mN72. 0mkm05. 0022020 xxAv0tan00 xv 0 或A由旋轉矢量圖可知由旋轉矢量圖可知 0)cos(tAx)s0 . 6cos()m05. 0(1t（1 1）把物體從平衡位置向右拉到把物體從平衡位置向右拉

20、到 處停處停下后再釋放，求簡諧運動方程；下后再釋放，求簡諧運動方程； m05. 0 xoxA2A解解 )cos(tAx)cos(tA21)cos(Axt3 5 3或tA3t由旋轉矢量圖可知由旋轉矢量圖可知tAsinv1sm26. 0（負號表示速度沿（負號表示速度沿 軸負方向）軸負方向）Ox2A （2 2）求物體從初位置運動到第一次經過求物體從初位置運動到第一次經過 處時的處時的速度；速度；解解 m0707. 022020vxA1tan00 xv4 3 4或 oxA4)cos(tAx4)s0 . 6cos()m0707. 0(1tm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物體在如果物體

21、在 處時速度不等于零，處時速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其運動方程，求其運動方程. .因為因為 ，由旋轉矢量圖可知，由旋轉矢量圖可知400v 例例2 2 一質量為一質量為 的物體作簡諧運動，其振的物體作簡諧運動，其振幅為幅為 ，周期為，周期為 ，起始時刻物體在，起始時刻物體在kg01. 0m08. 0s4xm04. 0處，向處，向 軸負方向運動（如圖）軸負方向運動（如圖）. .試求試求Ox （1 1） 時，物體所處的位置和所受的力；時，物體所處的位置和所受的力； s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xv解解m08. 0A1s22To08.

22、004. 004. 008. 0m/x300vm04. 0, 0 xt代入代入)cos(tAxcos)m08. 0(m04. 03A332cos)m08.0(txm08. 0A1s22To08. 004. 004. 008. 0m/xv32cos)m08.0(txs0 . 1t代入上式得代入上式得m069. 0 xxmkxF2)m069.0()2)(kg01.0(2N1070. 13kg01. 0mo08. 004. 004. 008. 0m/xv （2 2）由起始位置運動到由起始位置運動到 處所需要處所需要的最短時間的最短時間. .m04. 0 x 法一法一 設由起始位置運動到設由起始位置運

23、動到 處所處所需要的最短時間為需要的最短時間為m04. 0 xt32cos)m08.0(m04.0ts23)21(arccosts667. 0s32o08. 004. 004. 008. 0m/x解法二解法二33起始時刻起始時刻 時刻時刻tt3ts667. 0s32t1s2阻尼振動阻尼振動 48能量耗散能量耗散 阻尼振動阻尼振動原因原因: 空氣阻力空氣阻力, 摩擦力摩擦力, 電阻電阻, 電磁輻射等電磁輻射等 機械振動機械振動: 低速時低速時阻力阻力 速度速度: fv阻力系數(shù)阻力系數(shù)阻尼振動阻尼振動特征方程特征方程: 2020 xxx 0 系統(tǒng)系統(tǒng)無阻尼時的無阻尼時的固有頻率固有頻率, 且且 表

24、示阻尼大小表示阻尼大小 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 2mmk0* 阻尼項阻尼項49 按特征根按特征根分類分類: 220 弱阻尼弱阻尼: 220220cos()txAet振幅隨振幅隨t t衰減衰減220 臨界阻尼臨界阻尼: ()txABt e, 非周期非周期, 直接回到平衡位置直接回到平衡位置 220 過阻尼過阻尼: 222200()()ttxCeDe非周期非周期, 緩慢趨向平衡位置緩慢趨向平衡位置. 振幅隨振幅隨 t 減小減小,近似具有周期近似具有周期過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼弱阻尼弱阻尼xt0受迫振動受迫振動 50外界周期性驅動外界周期性驅動(交變電動勢交變電動勢) 可使振動不衰減可使振動不衰減 設

25、驅動力為設驅動力為 非齊次微分方程非齊次微分方程 cosFtcosmxxkxFt101cos()cos()txAetAt解解: )cos(tAx2202tg222202;()4FAm 其中其中 t 時時, 即即: 系統(tǒng)以外來驅動力的頻率系統(tǒng)以外來驅動力的頻率 振動振動阻尼項阻尼項周期驅動項周期驅動項共振共振 51分析振幅A、相位 : 0時, A 取極大值 位移共振； 222202;()4FAm 2202tan例：Tacoma大橋(1940.11.7, 4個月，駐波+共振)同理，可以討論速度共振 1-2. 1-2. 簡諧振動的合成簡諧振動的合成52 簡諧振動簡諧振動. 頻率不變頻率不變, A和和

26、 與分振動有關與分振動有關. tAx111);cos( tx20 2A2x Ax10O 1A1)cos(12212221AA2AAA 11221122sinsincoscosAAtgAA(k 0,1,2) 12 振動加強振動加強! 振動減弱振動減弱! 一一. . 同方向同方向、同頻率同頻率諧振動的合成諧振動的合成)cos(222tAx )cos( tAxxx21122kAAA21AAA1k2 )(11Axo 多個同方向同頻率簡諧運動多個同方向同頻率簡諧運動的的合成合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多個個同同方向方

27、向同同頻率簡諧運動頻率簡諧運動合成合成仍為仍為簡諧簡諧運動運動二二. . 同方向不同頻率的諧振動的合成同方向不同頻率的諧振動的合成 54A2A1OX 2 1A兩個同方向、兩個同方向、不同頻率不同頻率的的 諧諧振動合成振動合成不再是簡諧運動不再是簡諧運動！ 以同振幅情況為例：以同振幅情況為例： )cos();cos( tAx tAx2211 t2t2A2xxx121221coscos拍拍(beat)：當當 時時 拍拍21這時質點近似作角頻率這時質點近似作角頻率 的諧振動的諧振動, 212/ )( 但但 振幅隨時間振幅隨時間t 緩慢變化緩慢變化. 2tA212/)(cos A2A1A5522T12

28、/ )( 緩緩121222T1 /緩緩拍拍拍頻拍頻: 合振動在單位時間內加強合振動在單位時間內加強(或減弱或減弱)的次數(shù)的次數(shù) /2T緩三. 相互垂直的諧振動的合成1. 同頻率同頻率56)cos();cos(2211tAy tAx 2222212122cos()sin ()xyxyAAA A軌跡方程軌跡方程:5 /43 /27 /4 = 0 /4 /23 /4 PQ用用旋旋轉轉矢矢量量描描繪繪振振動動合合成成圖圖簡簡諧諧運運動動的的合合成成圖圖兩兩相相互互垂垂直直同同頻頻率率不不同同相相位位差差2. 不同頻率不同頻率 591212nn n1, n2為不可約的正整數(shù)為不可約的正整數(shù) 合振動周期合

29、振動周期: 2211TnTnT 軌跡成閉合平面曲線軌跡成閉合平面曲線 李薩如圖形李薩如圖形頻率不成整數(shù)比頻率成整數(shù)比)cos(111tAx)cos(222tAy1221NN2,83,4,8,0201李李 薩薩 如如 圖圖 形形李薩如圖形與 和 都有關1N1x方向切線對圖形方向切線對圖形切點數(shù)切點數(shù)N2y方向切線對圖形方向切線對圖形切點數(shù)切點數(shù)諧振分析（頻譜分析）諧振分析（頻譜分析）一個周期性振動可分解為一系列頻率分立的簡諧振動61若周期振動的頻率為：0 則各分振動的頻率為：0， 20， 30，分別稱作基頻，二次諧頻，三次諧頻， xOt鋸齒波A03050鋸齒波頻譜圖O62x3Otx5OtOtx0

30、+x1+x3+x5x1x0+ x1x0Ot方波的分解t方波xO思考:歌唱家“聲音洪亮,音域寬廣,音色甜美”。各指什么？ 一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動63阻尼振動曲線xO阻尼振動頻譜圖O A00sincos)(mmnntmatnatfFourier分析：波波 某處的擾動以特定規(guī)律在空間傳播某處的擾動以特定規(guī)律在空間傳播 能量傳播的一種方式能量傳播的一種方式，t時刻、時刻、 附近物理量附近物理量的分布在的分布在t +t 時刻出現(xiàn)在時刻出現(xiàn)在 的周圍的周圍.rt vr用用波函數(shù)波函數(shù)描寫描寫(特定邊界條件下波動方程的解特定邊界條件下波動方程的解)分類分類: 按物理量按物理量

31、: 機械波機械波(彈性波彈性波), 電磁波電磁波, 物質波物質波按傳播方式按傳播方式: 縱波縱波, 橫波橫波；按波面：按波面：球面波球面波、柱面波柱面波、平面波平面波 波動性波動性: 對對線性無吸收媒質線性無吸收媒質滿足滿足疊加原理疊加原理 反射反射,折射折射,干涉干涉, 衍射衍射, (橫波橫波: 偏振偏振) 1-3 簡諧波波源波源介質介質+彈性作用彈性作用機械波機械波一一 機械波的形成機械波的形成產生條件：產生條件：1）波源；）波源；2）彈性介質）彈性介質. 波是運動狀態(tài)的傳播，介質的波是運動狀態(tài)的傳播，介質的質點并不隨波傳播質點并不隨波傳播.注意注意機械波：機械振動在彈性介質中的傳播機械波

32、：機械振動在彈性介質中的傳播.真空真空機械波的傳播機械波的傳播橫波：質點的振動方向與波的傳播方向垂直縱波：質點的振動方向與波的傳播方向平行軟繩軟彈簧波的傳播方向質點振動方向波的傳播方向質點振動方向 在機械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庵械穆暡ㄊ强v波。液體表面的波動情況較復雜，不是單純的縱波或橫波。橫波：質點振動方向與波的傳播方向相橫波：質點振動方向與波的傳播方向相垂直垂直的波的波.（僅在固體中傳播（僅在固體中傳播 ）二二 橫波與縱波橫波與縱波 特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷.縱波：質點振動方向與波的傳播方向互相縱波：質點振動方向與

33、波的傳播方向互相平行平行的波的波.（可在固體、液體和氣體中傳播）（可在固體、液體和氣體中傳播） 特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部.水表面的波水表面的波既非橫波又既非橫波又非縱波非縱波波 前波 面波 線波面波面振動相位相同的點連成的面。波前波前最前面的波面。平面波 （波面為平面的波）球面波 （波面為球面的波）波線（波射線）波線（波射線）波的傳播方向。在各向同性媒質中，波線恒與波面垂直。波傳播方向波速周期波長振動狀態(tài)完全相同的相鄰兩質點之間的距離。波形移過一個波長所需的時間。頻率周期的倒數(shù)。波速單位時間內振動狀態(tài)（相位）的傳播速度，又稱相速。機械波速取決于彈性媒質的物理

34、性質?；蚯蛎娌ā⒅娌?、平面波球面波、柱面波、平面波: xyz平面波平面波xyz 柱面波柱面波xyz球面波球面波媒質中媒質中各質點各質點的的位移位移都都隨時間變化隨時間變化，如何描述？，如何描述？二二. .波函數(shù)波函數(shù)( (波方程波方程) )波函數(shù)波函數(shù) y : : 隨其隨其平衡位置平衡位置 和時間和時間t變化的數(shù)學函數(shù)變化的數(shù)學函數(shù)r( , )yy x t振動方程振動方程： 對對確定的確定的 , 給出以給出以 為平衡為平衡位置的質點的振動。相應的位置的質點的振動。相應的 y-t曲線稱為曲線稱為振動曲線振動曲線 0 x0(, )y x t0 x波形方程波形方程：對對確定的確定的 給出給出t0時

35、刻各質點的位移時刻各質點的位移 。00, ( , )ty x t注意注意波函數(shù)波函數(shù)與與振動方程振動方程、波形波形方程方程的區(qū)別！的區(qū)別！相應的相應的y-x曲線稱為曲線稱為波形曲線波形曲線線性無吸收媒質中的平面簡諧波線性無吸收媒質中的平面簡諧波平面簡諧波平面簡諧波 波場中波場中各質點各質點在各時刻的振動方程在各時刻的振動方程均為余弦均為余弦(或正弦或正弦)形式的平面波形式的平面波. 線性無吸收媒質線性無吸收媒質中中, 波不衰減波不衰減! 各質點各質點振幅相同振幅相同.平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)(波方程波方程)已知某點振動情況已知某點振動情況 + 描述波的參數(shù)描述波的參數(shù)(如波速如波速

36、)求求媒質中任意質點的振動媒質中任意質點的振動. 各質點各質點(質元質元) 都按照都按照波源波源的振動規(guī)律振動的振動規(guī)律振動 振動相位沿波的傳播方向依次落后振動相位沿波的傳播方向依次落后 (, )(0,)py xtytt ?若若t時刻時刻x0處有處有0cos()yAt00cos()cospxyAttAtut + txp令令 為為波數(shù)波數(shù), , 有有平面簡諧波波函數(shù)平面簡諧波波函數(shù): :k2u 00( , )coscosxy x tAtAtkxu其他形式其他形式: : 如如0( , )cos 2txy x tATxytOu則則xp點在點在t 時時的位移為的位移為注意注意:1. 波函數(shù)的意義波函數(shù)

37、的意義: 是是平衡位置為平衡位置為x的質元在的質元在t時刻時刻對對于其于其平衡位置平衡位置的的位移位移.2. 波速波速 媒質媒質, 頻率頻率波源波源. 3. 0的意義：的意義：原點處原點處質點振動的初相位質點振動的初相位4. 區(qū)別區(qū)別波速波速u和質點和質點振動速度振動速度v，確定，確定傳播方向傳播方向5. 波速波速u是是相位相位傳播速度傳播速度(相速度相速度). 相速度相速度: 令某令某相位相位在在x，t變化時變化時保持不變保持不變, 則則 0dtdxk ukkxtdtdxvp 不不變變波動方程的一般形式波動方程的一般形式 ( (線性無吸收媒質線性無吸收媒質): ):222222( , )2(

38、 , )2( , );( , )y x ty x ty x ty x ttTx 22222( , )1( , )y x ty x txut滿足該方程都是平面波滿足該方程都是平面波(或多個簡諧波的疊加或多個簡諧波的疊加).三維三維:222222222( , )( , )( , )1( , )ytytytytxyzutrrrr一維一維: : 對對 各求關于各求關于x和和t的二階偏導數(shù)的二階偏導數(shù)( , )y x t例例:一平面簡諧波在媒質中以一平面簡諧波在媒質中以u=20m s-1的速度沿直線的速度沿直線傳傳播，已知傳播路徑上某點播，已知傳播路徑上某點A的振動方程為的振動方程為y = 3cos4

39、t ，如下圖所示。如下圖所示。(1)如以如以A點為坐標原點，寫出波函數(shù)；點為坐標原點，寫出波函數(shù)；(2)如以距如以距A點為點為5m處的處的B點為坐標原點，寫出波函數(shù)；點為坐標原點，寫出波函數(shù)；(3)寫出圖中寫出圖中C、D點的振動方程及振動速度表達式。點的振動方程及振動速度表達式。 8m5m9muABCD解：已知解：已知u = 20m/s, = 2s-1, = u/ =10 mA點的振動方程為點的振動方程為 y = 3cos4 t (1)以以A點為原點的波函數(shù)為點為原點的波函數(shù)為)m)(20 xt(4cos3)uxt(4cos3y (2)已知波的傳播方向由左向右，故已知波的傳播方向由左向右，故B

40、點的相位比點的相位比A點超點超前，其振動方程為前，其振動方程為)t4cos(3)205t(4cos3yB 以以B點為原點的波函數(shù)為點為原點的波函數(shù)為)5xt4cos(3)ux4t4cos(3y (3)分別將分別將xC = - 8 m, xD = 14 m代入代入B點為原點的波函點為原點的波函數(shù)，得數(shù)，得 到到C點和點和D點的振動方程為點的振動方程為)m)(59t4cos(3y)m)(513t4cos(3yDC 將上兩式分別對時間求導，可得將上兩式分別對時間求導，可得C點、點、D點的振動點的振動速度表達式速度表達式)s/m)(59t4cos(12dtdyv)s/m)(513t4cos(12dtd

41、yvDDCC 例例: : 如圖如圖, , 已知兩個不同時刻的波形曲線已知兩個不同時刻的波形曲線, , 試確定試確定其傳播方向其傳播方向. . t 0 xyt 3T/4t 0Ot 3T/4解解: : 旋轉矢量法旋轉矢量法或：波形沿傳播方或：波形沿傳播方向傳播距離向傳播距離tTtux 4T3 的時間內，的時間內，43x y(x = 0處處) 傳播方向向右傳播方向向右x(m)y (cm)o1050.10.40.71.01.3t = 0u = 1.2 102 m/s例例: 已知已知t = 0時的平面余時的平面余弦波波形如圖弦波波形如圖, 求求:1)波方程波方程, 2)t = 0.0025s時的波形時的

42、波形3)x = 0.6m處的質元振動曲線處的質元振動曲線. 解解: (1) 設波方程設波方程( , )cos 2/y x tAtx 由圖得由圖得Hz100u1.2m,=m,10A /.3 (0,0)cos2AyA( , )(0,0)2sin0(0,0)y x tvAt( , )0.1cos 2100 1.23xy x tt圖中圖中 處最大處最大, 故該點振動方程為故該點振動方程為: m01x0t. 時時，( , )cos(2)y x tAt對任一對任一x, 波方程為波方程為 3521xt1002A .cos2( , )cos 2cos 2x xxxy x tAtAtuu方法二方法二: (2)

43、求求 時的波形時的波形s00250t. ( , )0.1cos2 (100/1.2)/3y x ttxx(m)y /6Oo2 /3y(cm)101.00.4-0.18.7x1t = 0.0025s)/./cos(.621x210 m60 x. (3) 求求 處質元的振動曲線處質元的振動曲線( , )0.1cos(2002/ 3)y x tt波形圖：波形圖：t(s)y(cm)o5T/12=4.17 10-2-10-511T/12 =9.17 10-2 現(xiàn)象：若將一軟繩（彈性媒質）劃分為多個小單元（體積元）上下抖動振速 最小振速 最大形變最小形變最大時刻波形在波動中，各體積元產生不同程度的 彈性形

44、變，具有 彈性勢能未起振的體積元各體積元以變化的振動速率 上下振動， 具有振動動能 理論證明: 當媒質中有 波傳播時，媒質中一個體積元在作周期性振動的過程中，其彈性勢能 和振動動能 同時增大、同時減小，而且其量值相等 ，即 。波的能量波的能量 可見，波動過程是媒質中各體積元不斷地從與其相鄰的上一個體積元接收能量，并傳遞給與其相鄰的下一個體積元的能量傳播過程過程。振動速度體積元 的動能勢能總量能設 一平面簡諧波媒質密度處取體積元體積元的質量在能量密度lim平均能量密度是在一周期內的時間平均值。 單位： 焦耳 米（ J m 3 ）能流、能流密度平均能流 一周期內垂直通過某截面積 S 的能量的平均值

45、單位：瓦 ( W )能流密度（波的強度）垂直通過單位截面積的平均能流 單位：瓦米-2( W m 2 )振動狀態(tài)以波速 u 在媒質中傳播 體積元的能量取決于其振動狀態(tài)能量以波速 u 在媒質中傳播能流 單位時間垂直通過的某截面積 S 的能量PSuPSu2212APuIuSu3. 各向同性均勻無吸收媒質中波的振幅變化 S1S2S1S2, A1A2S1S2S2S1rArS/1 ,rArS/1 ,2平面波平面波柱面波柱面波球面波球面波以以平面波為例：平面波為例：21WW 由由21AA 得得uSAuSwSIW2212, 12, 12, 12, 121 平面波在媒質不吸收的情況下平面波在媒質不吸收的情況下,

46、 , 振幅不變。振幅不變。4. 波的吸收I0IIOxx波在傳播中的能量損耗波在傳播中的能量損耗對對線性媒質線性媒質，設入射波強，設入射波強I0，透射透射dx距離，距離，波強改變波強改變dI, , IdxdI( (指數(shù)衰減指數(shù)衰減! !）dxIdI分離變量法求解：分離變量法求解：xeII0 媒質的媒質的吸收系數(shù)吸收系數(shù)，與，與物性物性和和波頻率波頻率有關有關對確定物質，對確定物質， 或或 色散色散、濾色濾色)()(k如濾色鏡、交通燈顏色、衛(wèi)星通訊頻率如濾色鏡、交通燈顏色、衛(wèi)星通訊頻率 在彈性介質中傳播的機械縱波，一般統(tǒng)稱為聲波在彈性介質中傳播的機械縱波，一般統(tǒng)稱為聲波. 可聞聲波可聞聲波 20

47、20000 Hz次聲波次聲波低于低于20 Hz 超聲波超聲波高于高于20000 Hz 聲強：聲強：聲波的能流聲波的能流密度密度.聲波和超聲波聲波和超聲波0lgIILI 貝爾（貝爾（B） 聲強級：聲強級：人們規(guī)定聲強人們規(guī)定聲強 （即相（即相當于頻率為當于頻率為 1000 Hz 的聲波能引起聽覺的最弱的聲強）的聲波能引起聽覺的最弱的聲強）為測定聲強的標準為測定聲強的標準. 如某聲波的聲強為如某聲波的聲強為 I ， 則比值則比值 的對數(shù)，叫做相應于的對數(shù)，叫做相應于 I 的聲強級的聲強級 LI .2120mW10I0II聲強：聲強：聲波的能流密度聲波的能流密度.能夠引起人們聽覺的聲強范圍：能夠引起

48、人們聽覺的聲強范圍：0lg10IILI分貝（分貝（ dB ）2212W/m1W/m10聲源聲源聲強聲強W/m2聲強級聲強級dB響度響度引起痛覺的聲音引起痛覺的聲音1120鉆巖機或鉚釘機鉆巖機或鉚釘機10-2100震耳震耳交通繁忙的街道交通繁忙的街道10-570響響通常的談話通常的談話10-660正常正常耳語耳語10-1020輕輕樹葉的沙沙聲樹葉的沙沙聲10-1110極輕極輕引起聽覺的最弱聲音引起聽覺的最弱聲音10-120一. 惠更斯原理任一點振動任一點振動 鄰近各點振動鄰近各點振動 各點都可視為新波源各點都可視為新波源, 發(fā)球面波發(fā)球面波.惠更斯原理惠更斯原理: 媒質中波動傳到的媒質中波動傳到

49、的各點各點, 都可以看作是都可以看作是發(fā)射子波的波源發(fā)射子波的波源, 在其后的任一時刻在其后的任一時刻, 這些這些子波的包子波的包絡面絡面就決定了新的波陣面就決定了新的波陣面. Christian Huygens, (荷荷),1690 平面波平面波:球面波球面波:可可定性定性解釋波的衍射、反射和折射解釋波的衍射、反射和折射1-4. 波的疊加和干涉二. 波的衍射(繞射)波傳播中遇到有限大障礙物波傳播中遇到有限大障礙物 (或大障礙物中的孔隙或大障礙物中的孔隙) 繞過邊緣繞過邊緣, 傳播方向彎曲傳播方向彎曲(障礙物或孔隙邊緣的背后衍展障礙物或孔隙邊緣的背后衍展)三. 波的反射和折射兩種媒質的界面兩種

50、媒質的界面 反射反射和和折射折射.對各向同性的媒質對各向同性的媒質, 有有1. 波的波的反射定律反射定律:ii12 入射線、反射線和界面法線共面入射線、反射線和界面法線共面 入射角等于反射角入射角等于反射角, i = i2. 波的波的折射定律折射定律: 入射線、反射線和界面法線共面入射線、反射線和界面法線共面 入射角和反射角正弦值之比等于相應波速之比入射角和反射角正弦值之比等于相應波速之比1212sinsinuinun21 相對折射率相對折射率i123. 不足之處：未涉及振幅，相位等的分布規(guī)律。不足之處：未涉及振幅，相位等的分布規(guī)律。一. 波的疊加原理線性波線性波相遇相遇: : 各波各波保持原

51、有特性保持原有特性( (如如 , , , , 振動方向等振動方向等), ), 并并沿各自的傳播方向繼續(xù)前進沿各自的傳播方向繼續(xù)前進（波的獨立性）。（波的獨立性）。 在交疊區(qū)在交疊區(qū): :質元質元合振動合振動 各波各波分振動的矢量疊加分振動的矢量疊加. .數(shù)學數(shù)學: 線性波動方程的幾個解之和仍是該方程的解線性波動方程的幾個解之和仍是該方程的解.二. 波的干涉現(xiàn)象幾列波的交疊區(qū)中幾列波的交疊區(qū)中, 質元的合振動出現(xiàn)質元的合振動出現(xiàn)強弱強弱(振幅振幅)隨位置不同而異隨位置不同而異的的穩(wěn)定穩(wěn)定圖象圖象.三. 波的干涉1. 波的相干條件波的相干條件 頻率頻率相同相同; 振動方向振動方向相同相同; 分振動

52、的分振動的相位差相位差恒定恒定.從觀察角度還要求：從觀察角度還要求： 各分振動各分振動振幅相差不太大振幅相差不太大.相干波源相干波源2. 兩列簡諧波的干涉兩列簡諧波的干涉如圖，兩如圖，兩相干波源相干波源 ，21SS ,Pr1r2S1,y1S2,y221rr ,經經 在在P點相遇點相遇波程波程：幾何距離：幾何距離 或或1r2r波程差波程差：12rr 相位差相位差波源波源S1, S2的振動方程的振動方程:111222coscosyAtyAt兩波在兩波在P點相遇，引起的振動方程分別為：點相遇，引起的振動方程分別為：Pr1r2S1,y1S2,y21111cos 22ryAt2222cos 22ryAt

53、P點相遇，質點的合振動方程：點相遇，質點的合振動方程：12cos()yyyAt兩列波在兩列波在P點的點的相位差相位差: 1212rr2 合振幅合振幅: cos212221AA2AAA 波的強度波的強度 A2 cos2121II2III 其中其中I1, I2為為S1, S2單獨單獨發(fā)出的波強。發(fā)出的波強?？梢娍梢?)2 , 1 , 0( ,2kk 滿足滿足的點，的點，振幅振幅(強度強度)最大：最大：21AAA2121II2III 相干極大相干極大 滿足滿足的點，的點，)2 , 1 , 0( ,) 12(kk振幅振幅(強度強度)最?。鹤钚。?1AAA2121II2III 相干極小相干極小Pr1r2

54、S1, 1S2, 2 P點處波強：點處波強： 從能量上看，兩波干涉從能量上看，兩波干涉時，在兩波交疊區(qū)域，合成時，在兩波交疊區(qū)域，合成波在空間各處的強度并不等波在空間各處的強度并不等于兩個分波強度之和，而是于兩個分波強度之和，而是發(fā)生重新分布。這種新的強發(fā)生重新分布。這種新的強度分布是度分布是時間上穩(wěn)定、空間時間上穩(wěn)定、空間上強弱周期性相間上強弱周期性相間的分布。的分布。特例特例:AAA21 0I0A minmin0I4IA2A maxmax干涉相長干涉相長干涉相消干涉相消一. 駐波的波函數(shù)入射波：入射波：兩列兩列傳播方向相反傳播方向相反的的相干波相干波的疊加的疊加.四. 駐波振幅隨位置變化振幅隨位置變化振動振動11( , )cos2 ()ty x tAxT22( , )cos2 ()tyx tAxT2112( , )cos(2)cos(2)22xyTxttAxt = T/8xt = 3T/8xt