高考數(shù)學總復習之分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

1、抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考第第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理【2014年高考會這樣考年高考會這樣考】1會用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理分析和解決會用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際應用問題一些簡單的實際應用問題2結(jié)合分類討論和結(jié)合分類討論和“補集補集”思想考查兩個原理的區(qū)別應用思想考查兩個原理的區(qū)別應用.抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考點梳理考點梳理完成一件事，可以有完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有類辦法，在第一類辦法中有m1種方種

2、方法，在第二類辦法中有法，在第二類辦法中有m2種方法，種方法，在第，在第n類辦法中類辦法中有有mn種方法，那么，完成這件事共有種方法，那么，完成這件事共有N_種方法種方法(也稱加法原理也稱加法原理)完成一件事情需要經(jīng)過完成一件事情需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有種方法，做第二步有m2種方法，種方法，做第，做第n步有步有mn種種方法，那么，完成這件事共有方法，那么，完成這件事共有N_種種方法方法(也稱乘法原理也稱乘法原理)1分類加法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理2分步乘法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理m1m2mnm1m2mn抓住抓住3個考點個考點突破突

3、破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考聯(lián)系：兩個計數(shù)原理都是關于完成一件事的不同方法種數(shù)聯(lián)系：兩個計數(shù)原理都是關于完成一件事的不同方法種數(shù)的問題的問題區(qū)別：分類計數(shù)原理與分類有關，各種方法相互獨立，且區(qū)別：分類計數(shù)原理與分類有關，各種方法相互獨立，且任何一種方法都可以完成這件事；分步計數(shù)原理與分步有任何一種方法都可以完成這件事；分步計數(shù)原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成才算完成3兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考兩個特點兩個特點分類加法計

4、數(shù)原理的特點是獨立、互斥；分步乘法計數(shù)原分類加法計數(shù)原理的特點是獨立、互斥；分步乘法計數(shù)原理的特點是關聯(lián)、連續(xù)解題時經(jīng)常是兩個原理交叉在一理的特點是關聯(lián)、連續(xù)解題時經(jīng)常是兩個原理交叉在一起使用，兩個原理綜合使用時，一般先分類，再分步，分起使用，兩個原理綜合使用時，一般先分類，再分步，分類要標準明確，分步要步驟連續(xù)，有的題目也可能出現(xiàn)先類要標準明確，分步要步驟連續(xù)，有的題目也可能出現(xiàn)先分步，在分步，在“步步”里面再分類里面再分類兩個關鍵兩個關鍵分類的關鍵在于要做到分類的關鍵在于要做到“不重不漏不重不漏”，分步的關鍵在于要正，分步的關鍵在于要正確設計分步的步驟，既要合理分類，又要準確分步確設計分步

5、的步驟，既要合理分類，又要準確分步【助學助學微博微博】抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考A238個個 B232個個 C174個個 D168個個答案答案C考點自測考點自測1(教材習題改編教材習題改編)由由0,1,2,3這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重 復數(shù)字的四位數(shù)共有復數(shù)字的四位數(shù)共有 ()抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考A33! B3(3！)3C(3！)4 D9!解析解析把一家三口看作一個排列，然后再排列這把一家三口看作一個排列，然后再排列這3家，所家，所以有以有(3！)4種種答案答案C2(2012

6、遼寧遼寧)一排一排9個座位坐了個座位坐了3個三口之家，若每家人個三口之家，若每家人 坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考A3個個 B4個個 C5個個 D10個個解析解析x0，y0,1,2,3，共，共4個；個；x1，y0,1,2，共，共3個；個；x2，y0,1，共，共2個；個；x3，y0,1個個M(x，y)共有共有432110個，故選個，故選D.答案答案D3設設x,yN且且xy3，則直角坐標系中滿足條件的點，則直角坐標系中滿足條件的點 M(x，y)共有共有 ()抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭

7、秘揭秘3年高考年高考A81種種 B12種種C7種種 D256種種解析解析每位老師都有每位老師都有3種分配方案分四步完成，種分配方案分四步完成，共有共有333381種種答案答案A4將將4位老師分配到位老師分配到3個學校去任教，共有分配方案個學校去任教，共有分配方案()抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析從從1到到100的整數(shù)中，共有的整數(shù)中，共有5的倍數(shù)的倍數(shù)20個，取兩數(shù)個，取兩數(shù)積為積為5的倍數(shù)的取法有兩類，第一類為兩個數(shù)都從這的倍數(shù)的取法有兩類，第一類為兩個數(shù)都從這20個數(shù)中取，有個數(shù)中取，有190種，另外一類為從這種，另外一類為從這20個數(shù)中取一個數(shù)

8、中取一個，再從另外個，再從另外80個數(shù)中取一個，共有個數(shù)中取一個，共有80201 600種取種取法，所以共法，所以共1 6001901 790種不同的取法種不同的取法答案答案1 7905從從1,2,3,4，100這這100個自然數(shù)中，每次取出兩個個自然數(shù)中，每次取出兩個 不同的數(shù)相乘，積是不同的數(shù)相乘，積是5的倍數(shù)的取法有的倍數(shù)的取法有_種種抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考A60種種 B63種種 C65種種 D66種種審題視點審題視點 先找出和為偶數(shù)的各種情況，再利用分類加法先找出和為偶數(shù)的各種情況，再利用分類加法計數(shù)原理求解計數(shù)原理求解考向一分類加法計數(shù)原理

9、考向一分類加法計數(shù)原理【例例1】 (2012浙江浙江)若從若從1,2,3，9這這9個整數(shù)中同時取個整數(shù)中同時取4個個 不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有 ()抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案D 分類時，首先要確定一個恰當?shù)姆诸悩藴?，分類時，首先要確定一個恰當?shù)姆诸悩藴?，然后在這個標準下進行分類；其次分類時要注意完成這件然后在這個標準下進行分類；其次分類時要注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，

10、才可種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理以用分類加法計數(shù)原理抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析把與正八邊形有公共邊的三角把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：形分為兩類：答案答案40【訓練訓練1】如圖所示，在連接正八邊形的如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有形有公共邊的三角形有_個個第一類，有一條公共邊的三角形共有第一類，有一條公共邊的三角形共有8432(個個)；第二類，有兩條公共邊的三角形共有第二類，有兩條公共邊的三角形共有8(個個)由分類加法計

11、數(shù)原理知，共有由分類加法計數(shù)原理知，共有32840(個個)抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考審題視點審題視點 組成這個四位數(shù)須分組成這個四位數(shù)須分4步完成，故用分步乘法步完成，故用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)原理解析解析法一法一用用2,3組成四位數(shù)共有組成四位數(shù)共有222216(個個)，其中不出現(xiàn)其中不出現(xiàn)2或不出現(xiàn)或不出現(xiàn)3的共的共2個，因此滿足條件的四位數(shù)個，因此滿足條件的四位數(shù)共有共有16214(個個)法二法二滿足條件的四位數(shù)可分為三類：第一類含有一個滿足條件的四位數(shù)可分為三類：第一類含有一個2，三個，三個3，共有，共有4個；第二類含有三個個；第二類含有三個2，一

12、個，一個3共有共有4個；個；第三類含有二個第三類含有二個2，二個，二個3共有共有C6(個個)，因此滿足條件的，因此滿足條件的四位數(shù)共有四位數(shù)共有24C14(個個)答案答案14考向二分步乘法計數(shù)原理考向二分步乘法計數(shù)原理【例例2】 (2011北京北京)用數(shù)字用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個個(用數(shù)字作答用數(shù)字作答)抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考 此類問題，首先將完成這件事的過程分步，然此類問題，首先將完成這件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積注意：各步

13、后再找出每一步中的方法有多少種，求其積注意：各步之間相互聯(lián)系，依次都完成后，才能做完這件事簡單說之間相互聯(lián)系，依次都完成后，才能做完這件事簡單說使用分步計數(shù)原理的原則是步與步之間的方法使用分步計數(shù)原理的原則是步與步之間的方法“相互獨相互獨立，逐步完成立，逐步完成”抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考A12種種 B10種種 C9種種 D8種種解析解析利用分步乘法計數(shù)原理和組合數(shù)公式求解分兩利用分步乘法計數(shù)原理和組合數(shù)公式求解分兩步：第一步，選派一名教師到甲地，另一名到乙地，共有步：第一步，選派一名教師到甲地，另一名到乙地，共有C2(種種)選派方法；第二步，選派兩名學

14、生到甲地，另外選派方法；第二步，選派兩名學生到甲地，另外兩名到乙地，共有兩名到乙地，共有C6(種種)選派方法由分步乘法計數(shù)原選派方法由分步乘法計數(shù)原理得不同的選派方案共有理得不同的選派方案共有2612(種種)答案答案A【訓練訓練2】 (2012新課標全國新課標全國)將將2名教師，名教師，4名學生分成名學生分成2個小個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由由1名教師和名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有名學生組成，不同的安排方案共有 ()抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考A10種種 B15種種

15、C20種種 D30種種審題視點審題視點 比賽場數(shù)至少比賽場數(shù)至少3場，至多場，至多5場，通過分類討論，場，通過分類討論，用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析問題，解決用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析問題，解決問題問題考向三兩個計數(shù)原理的綜合應用考向三兩個計數(shù)原理的綜合應用【例例3】 (2012陜西陜西)兩人進行乒乓球比賽，先贏兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，局者獲勝， 決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不各人輸贏局次的不 同視為不同情形同視為不同情形)共有共有 ()抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高

16、考解析解析分三種情況：恰好打分三種情況：恰好打3局，有局，有2種情形；恰好打種情形；恰好打4局局(一人前一人前3局中贏局中贏2局，輸局，輸1局，第局，第4局贏局贏)，共有，共有2C6種情種情形；恰好打形；恰好打5局局(一人前一人前4局中贏局中贏2局，輸局，輸2局，第局，第5局贏局贏)，共，共有有2C12種情形所有可能出現(xiàn)的情形共有種情形所有可能出現(xiàn)的情形共有261220種，故選種，故選C.答案答案C (1)解決此類綜合題的關鍵在于區(qū)分該問題是解決此類綜合題的關鍵在于區(qū)分該問題是“分類分類”還是還是“分步分步”(2)解決既有解決既有“分類分類”又有又有“分步分步”的綜合問題時，應的綜合問題時，應

17、“先分先分類，后分步類，后分步”抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考A18 B10 C16 D14解析解析M中的元素作點的橫坐標，中的元素作點的橫坐標，N中的元素作點的縱坐中的元素作點的縱坐標，在第一象限的點共有標，在第一象限的點共有22個，在第二象限的點共有個，在第二象限的點共有12個個N中的元素作點的橫坐標，中的元素作點的橫坐標，M中的元素作點的縱中的元素作點的縱坐標，在第一象限的點共有坐標，在第一象限的點共有22個，在第二象限的點共有個，在第二象限的點共有22個所求不同的點的個數(shù)是個所求不同的點的個數(shù)是2212222214(個個)答案答案D【訓練訓練3】 已

18、知集合已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，從兩，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在直角個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是坐標系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是 ()抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【命題研究命題研究】 縱觀歷年高考對兩個計數(shù)原理應用的考查，縱觀歷年高考對兩個計數(shù)原理應用的考查，多以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，考查蘊含在實際問多以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，考查蘊含在實際問題的解決中，多是兩原理結(jié)合在一起應用，做好問題題的解決中，多是兩原理結(jié)合在一起應用，做好問

19、題轉(zhuǎn)化，分好類與步是關鍵，今年高考仍會堅持此規(guī)律，轉(zhuǎn)化，分好類與步是關鍵，今年高考仍會堅持此規(guī)律，不會有大的變化不會有大的變化熱點突破熱點突破24計數(shù)原理的應用計數(shù)原理的應用抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考A60條條 B62條條 C71條條 D80條條教你審題教你審題 帶字母系數(shù)的曲線方程，字母系數(shù)的不同取值帶字母系數(shù)的曲線方程，字母系數(shù)的不同取值個數(shù)即為所求，求解時可選擇某一系數(shù)的取值為標準進行個數(shù)即為所求，求解時可選擇某一系數(shù)的取值為標準進行分類，但要做到不重不漏分類，但要做到不重不漏解法解法 法一法一當當a1時，若時，若c0，則，則b2有有4,9兩個取值

20、，共兩個取值，共2條拋物線；若條拋物線；若c0，則，則c有有4種取值，種取值，b2有兩種，共有有兩種，共有248(條條)拋物線；當拋物線；當a2時，若時，若c0，b2取取1,4,9三種取值，三種取值，共有共有3條拋物線；若條拋物線；若c0，c取取1時，時，b2有有2個取值，共有個取值，共有2條條拋物線，拋物線，c取取2時，時，b2有有2個取值，共有個取值，共有2條拋物線，條拋物線，c取取3時，時，b2有有3個取值，共有個取值，共有3條拋物線條拋物線c取取3時，時，b2有有3個取個取值，共有值，共有3條拋物線條拋物線【真題探究真題探究】 (2012四川四川)方程方程ayb2x2c中的中的a，b，c3，2,0,1,2,3