第三章參數(shù)估計(jì)第四章假設(shè)檢驗(yàn)回歸

1、第三章 參數(shù)估計(jì)2.區(qū)間估計(jì)：一般可用在食品及藥品某些主要指標(biāo)的含量、產(chǎn)品的使用壽命（均值）以及離散程度等數(shù)字特征，用抽樣的樣本去推斷總體的特性。設(shè)總體為X,含未知參數(shù)， 是樣本，都是樣本的函數(shù)（不含任何未知參數(shù)），對01,使得，即未知參數(shù)以大概率100（）%落在區(qū)間內(nèi)，稱（）為置信度（可相信的程度），為的置信區(qū)間，分別為置信上下限。以上過程稱為對的區(qū)間估計(jì)，可分為雙側(cè)與單側(cè)區(qū)間估計(jì)。由中心極限定理，大容量的樣本一般都假設(shè)總體，對單個(gè)正態(tài)總體的未知參數(shù)，作區(qū)間估計(jì)，其估計(jì)量用及表示。例1:某廠生產(chǎn)一批清漆，為考慮該批清漆的平均干燥時(shí)間及離散程度，任取n=9個(gè)樣本。測得干燥時(shí)間分別為6.0，5.

2、7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0小時(shí)；設(shè)總體的干燥時(shí)間服從一般正態(tài)分布，即 。 （1）若=0.36，求總體平均干燥時(shí)間的95%的置信區(qū)間；解：1、 總體的方差已知， 對作區(qū)間估計(jì)，取統(tǒng)計(jì)量及分布： ， 2 、對，查表取， 雙側(cè)區(qū)間估計(jì)，如圖使，3、 將 代入并解不等式，有： ， 則：，4、 由樣本值： ， 5、可以認(rèn)為該批產(chǎn)品的平均干燥時(shí)間以95%的可能性落在區(qū)間內(nèi)。（2）1、未知，用代替，取統(tǒng)計(jì)量及分布：2、對，雙側(cè)區(qū)間估計(jì)，取，如圖示，使： 3、將統(tǒng)計(jì)量代入，4、代樣本值， 5、可以認(rèn)為該批產(chǎn)品當(dāng)方差未知時(shí)，平均干燥時(shí)間以95%的可能性落在區(qū)間內(nèi)。（3）求的95%

3、的置信區(qū)間。1、取統(tǒng)計(jì)量及其分布， ，2、對，雙側(cè)區(qū)間估計(jì)， 取，使，如圖：3、代有：4、由樣本值：，5、可以認(rèn)為該批產(chǎn)品平均干燥時(shí)間的方差以95%的可能性落在區(qū)間內(nèi)。例2、單側(cè)區(qū)間估計(jì)。科學(xué)上重大發(fā)現(xiàn)往往是年輕人作出的，美國科學(xué)院統(tǒng)計(jì)了15世紀(jì)到20世紀(jì)12名科學(xué)偉人。（1）哥白尼 1543年 日心學(xué)說 40歲（2）伽利略 1600年 天文學(xué)，望遠(yuǎn)鏡 34歲 （3）牛頓 1665年 三大定律，微積分 23歲 （4）富蘭克林 1746年 電的本質(zhì) 40歲（5）拉瓦錫 1774年 氧氣及燃燒本質(zhì) 31歲 （6）萊爾 1830年 地球的演化過程 33歲 （7）達(dá)爾文 1858年 生物進(jìn)化論 49歲

4、（8）麥克斯維爾 1864年 光 磁 電場 33歲 （9）居里 1896年 放射性 34歲 （10）普朗克 1911年 量子論 43歲 （11）愛因斯坦 1905年 廣義狹義相對論 26歲 （12）薛定諤 1926年 量子論數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 39歲求：重大發(fā)現(xiàn)偉人年齡的上限。解： 由未知，取統(tǒng)計(jì)量及分布：（求年齡的上限用單側(cè)區(qū)間估計(jì)） ， 基于該統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)（四年頒發(fā)一次），只獎(jiǎng)勵(lì)給40歲以下的年輕人。第四章 假設(shè)檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)推斷一般分為兩大類：一類是對未知參數(shù)作點(diǎn)估計(jì)及區(qū)間估計(jì)，另一類是對總體的分布和未知參數(shù)的某些特性作假設(shè)檢驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)首先是提出假設(shè)，然后根據(jù)假設(shè)選取適合的統(tǒng)計(jì)量及分布，

5、再用隨機(jī)抽樣的樣本去推斷假設(shè)的合理性，是拒絕或是接受假設(shè)，假設(shè)檢驗(yàn)是概率論中的反證法。1、對參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)： 其步驟是先對參數(shù)提出原假設(shè)，如，檢驗(yàn)總體的均值。為額定的標(biāo)準(zhǔn)，稱其為原假設(shè)，及，稱為備擇或?qū)α⒓僭O(shè)。由檢驗(yàn)均值選擇統(tǒng)計(jì)量，若方差未知時(shí)，選取統(tǒng)計(jì)量及其分布：，（稱為檢驗(yàn)法）對， 取，使為顯著性水平，取等式時(shí)為雙側(cè)檢驗(yàn)，取不等式時(shí)為單側(cè)檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)推斷的基本原理是：小概率事件在一次隨機(jī)試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生，若小概率事件發(fā)生，則說明假設(shè)不真，則有拒絕域或接受域。如：，在為真的條件下，由樣本值去推斷是否在拒絕域內(nèi)，作出對總體的某些特性是拒絕或是接受的推斷。例1 某鹽業(yè)公司用一臺(tái)包裝機(jī)包裝精碘鹽，

6、額定標(biāo)準(zhǔn)每袋凈重,隨機(jī)抽取,其凈重分別為497、506、518、524、488、511、510、515、512.對，檢驗(yàn)包裝機(jī)工作是否正常。假設(shè)每袋的凈重，由經(jīng)驗(yàn)得標(biāo)準(zhǔn)差。解： （1），（2）由總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，選取統(tǒng)計(jì)量及其分布。，（稱為檢驗(yàn)法）（3）對顯著性水平，查表取，使，拒絕域?yàn)?雙側(cè)檢驗(yàn)，（4）由樣本值 當(dāng) 成立時(shí)， ，（5）小概率事件沒有發(fā)生，樣本值不在拒絕域內(nèi)，接受，即認(rèn)為包裝機(jī)工作正常。說明：在假設(shè)檢驗(yàn)中提出假設(shè)時(shí)有可能發(fā)生假設(shè)錯(cuò)誤，一般可用區(qū)間估計(jì)作驗(yàn)證。在本例中，。例2：某廠生產(chǎn)某種固體燃料，其燃燒率,額定標(biāo)準(zhǔn)。現(xiàn)給出一種新的生產(chǎn)方法，任取新方法生產(chǎn)的根產(chǎn)品，測得，樣本標(biāo)準(zhǔn)差

7、,對，檢驗(yàn)新方法較原方法生產(chǎn)的固體燃料其燃燒率是否有顯著提高。解：（1），（給出反假設(shè)，一般否定比肯定更具說服力） ， （2）總體方差未知，檢驗(yàn)總體，取，（3）對顯著性水平，取 ，單側(cè)檢驗(yàn)（檢驗(yàn)不等式時(shí)為單側(cè)檢驗(yàn)），使,其拒絕域 ， 當(dāng)成立時(shí)，, 則拒絕域 (4)由樣本值 ，=40，, ，(5) 樣本值在拒域內(nèi)的小概率事件發(fā)生，拒絕，接受，即認(rèn)為新方法生產(chǎn)的產(chǎn)品燃燒率有顯著性提高。例3：兩個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)：假設(shè)兩個(gè)公司生產(chǎn)同類型電子產(chǎn)品，其使用壽命分別為，為檢驗(yàn)兩個(gè)公司的產(chǎn)品質(zhì)量是否一致。任取=9個(gè)樣本，測得，=18個(gè)樣本，測得，對顯著性水平，檢驗(yàn)兩個(gè)公司生產(chǎn)的同類電子產(chǎn)品的質(zhì)量是否有顯著

8、性差異。解：（1） 首先檢驗(yàn)正態(tài)總體的均值差，1、 ， 或者 ， ， 2、 在條件下，取統(tǒng)計(jì)量及其分布： ，（稱為檢驗(yàn)法）其中，3、 對顯著性水平，查表， 使得 ， 在成立下，拒絕域， 4、由樣本值， ， ， ， ， 5、樣本值不在拒絕域內(nèi)，小概率事件沒有發(fā)生，即可認(rèn)為兩家公司產(chǎn)品的壽命沒有顯著性差異。 （2）檢驗(yàn)產(chǎn)品使用壽命的方差比 1、 ， ，2、 選取統(tǒng)計(jì)量及其分布，（稱為檢驗(yàn)法） 3、 對顯著性水平查表 ， ，使：，拒絕域 ：，或者 ，雙側(cè)檢驗(yàn)， 4、 當(dāng) 成立時(shí)，代樣本值，5、由 ，樣本值不在拒絕域內(nèi)，接受，即可認(rèn)為產(chǎn)品使用壽命方差沒有顯著性差異。綜合（1）（2）可以認(rèn)為兩家公司生產(chǎn)

9、同類產(chǎn)品質(zhì)量沒有顯著性差異。例4、 據(jù)推測：工作和經(jīng)歷相類似的人群中，矮個(gè)子人的壽命較高個(gè)子人壽命長，美國科學(xué)院統(tǒng)計(jì)了31位自然死亡的總統(tǒng)，其中5位個(gè)子矮58， 5位矮個(gè)子總統(tǒng)身高從1.651.76m，壽命從6590歲；26位高個(gè)子總統(tǒng)從1.771.97m,壽命從5390。 矮、高個(gè)子的壽命分別是隨機(jī)變量，記為 ， 且 。 解答：，反假設(shè)否定更有說服力，在方差相等的條件下，選?。?，不等式檢驗(yàn)，為單側(cè)檢驗(yàn)，對顯著性水平：，拒絕域；當(dāng)成立時(shí)，由樣本值小概率事件發(fā)生，拒絕，接受推測成立。2、兩類錯(cuò)誤，假設(shè)檢驗(yàn)作統(tǒng)計(jì)推斷是基于小概率事件在一次隨機(jī)試驗(yàn)幾乎不會(huì)發(fā)生的原理。但并不說明小概率事件不會(huì)發(fā)生。由此假設(shè)檢驗(yàn)作統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)可能發(fā)生兩類錯(cuò)誤：（1）棄真錯(cuò)誤 （第一類）P（拒絕|為真時(shí)）=，（2）取偽錯(cuò)誤 （第二類）P（接受|不真時(shí)）=，一般控制犯第一類錯(cuò)誤的概率為，越小有利于假設(shè)的成立，但否定，又更有說服力。犯第二類錯(cuò)誤的概率，越大，有利于假設(shè)，如在對犯罪嫌疑人做無罪推斷時(shí)。嫌疑人無罪， 嫌疑人有罪（拒絕|為真時(shí)）=，（接受|不真時(shí)）=，那種情況對社會(huì)危害大？經(jīng)分析：應(yīng)是第一種。若要使兩類錯(cuò)誤發(fā)生都較小，可增加樣本的容量n(尋找新證據(jù)以形成證據(jù)鏈)。在生產(chǎn)實(shí)際中由0-C準(zhǔn)則，以作為樣本容量n選取的參考標(biāo)準(zhǔn)。例5、 工業(yè)產(chǎn)品的抽樣方案：某公司生產(chǎn)了一大批產(chǎn)品、產(chǎn)品質(zhì)量的主要指標(biāo)，要