新湘教版八年級數(shù)學上冊第三章實數(shù)小結與復習

1、小結與復習小結與復習湘教版數(shù)學八年級上冊湘教版數(shù)學八年級上冊本課內容本節(jié)內容3.41.平方根的定義平方根的定義: 如果有一個數(shù)如果有一個數(shù)r，使得，使得r2=a，那么我們把，那么我們把r叫作叫作a的一個平方根，也叫作二次方根的一個平方根，也叫作二次方根.符號表示為：若符號表示為：若 r2= a ；r= . a2.平方根的性質平方根的性質:(1)一個正數(shù)有一個正數(shù)有2個個平方根，它們平方根，它們互為相反數(shù)互為相反數(shù)；(2)0的平方根與算術平方根都是的平方根與算術平方根都是0；(3)負數(shù)負數(shù)沒有平方根沒有平方根。.,aaa讀作正、負根號的平方根記作3.算術平方根的定義算術平方根的定義: 如果有一個

2、數(shù)如果有一個數(shù)r(r0)，使得，使得r2=a，那么我，那么我們把們把r叫作叫作a的算術平方根的算術平方根.4.算術平方根的性質算術平方根的性質:);0(0) 1 (aa且|)3(2aa)0( aa)0( aa)0()2(2aaa一個非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)。一個非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)。一個數(shù)的算術平方根的平方等于這個數(shù)本身。一個數(shù)的算術平方根的平方等于這個數(shù)本身。一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值。一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值。a-aa代數(shù)式的意義代數(shù)式的意義 代數(shù)式的表達代數(shù)式的表達a a的算術平方根的算術平方根a a的負平方根的負平方根a a的平方根的平方根5.

3、平方根的表示方法平方根的表示方法:（設設a0）求一個非負數(shù)的平方根的運算，叫作求一個非負數(shù)的平方根的運算，叫作開平方開平方. .6.6.開平方開平方: :開平方開平方平方平方互逆互逆7.7.平方根與算術平方根之間的區(qū)別與聯(lián)系平方根與算術平方根之間的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別區(qū)別 定義定義 個個數(shù)數(shù)符符號號表示表示法法等于本身等于本身的數(shù)的數(shù) 平方根 算術平方根 aaax 2xa如果 那么 叫做 的平方根。ax 2)0(xxa如果 那么 叫做 的算術平方根1 12 2+00、1二者有著包含關系：平方根中包含算術平方根，算術二者有著包含關系：平方根中包含算術平方根，算術平方根是平方根中的非負的那一個；平方根是

4、平方根中的非負的那一個；存在條件相同，非負數(shù)才有平方根和算術平方根；存在條件相同，非負數(shù)才有平方根和算術平方根；0的平方根和的平方根和0的算術平方根都是的算術平方根都是0。);0(0) 1 (aa且即一個非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)。即一個非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)。; 0|(2)a. 0)3(2a即一個數(shù)的絕對值是非負數(shù)。即一個數(shù)的絕對值是非負數(shù)。即一個數(shù)的平方是非負數(shù)。即一個數(shù)的平方是非負數(shù)。8.非負性：非負性：如果幾個非負數(shù)相加和為如果幾個非負數(shù)相加和為0 0，則這幾個非負數(shù)都等于則這幾個非負數(shù)都等于0.0.課堂練習課堂練習一一.求下列各式的平方根與算術平方根：求下列各式的平方根與算術平方

5、根：6 . 1 )2(01. 0) 1 (1691 ) 3(2)7)(4(|41| )5(）（ 5-)6(2243)7(81)8(327-)9(一般地，求一個數(shù)的平方根的方法有一般地，求一個數(shù)的平方根的方法有兩種兩種：1.根據(jù)乘方意義求平方根根據(jù)乘方意義求平方根; 2.用計算器求平方根用計算器求平方根. 二二. 用計算器求下列各式的值：用計算器求下列各式的值： 三三. 用計算器求下列各式的近似值用計算器求下列各式的近似值（精確到精確到0.001）解：解：解解3136561.53761.24 1 3136 2 1.5376（ ） （ ） 2110.5821.414113.317 0.580.76

6、21.41.4的的平方根平方根是是 ；算術平方根是；算術平方根是_2 24的平方根是 ，算術平方根是 。222 2四四.填空：填空：2.若若x2=3，則，則 x= ，若，若 =3，則，則 x= ；2x333.若若（x-1）2=4，則則x= ，3或或14.若若一個數(shù)的一個平方根為一個數(shù)的一個平方根為-7，則另一個平，則另一個平方根為方根為 ，這個數(shù)是，這個數(shù)是 。7495.若若一個正數(shù)的兩個平方根為一個正數(shù)的兩個平方根為2a-6、3a+1，則則a= ，這個正數(shù)為，這個正數(shù)為 ；116。的算術平方根等于的算術平方根等于）（23. 6 3。），則（，則（若若7 7 25x245x2.256。的算術平

7、方根為的算術平方根為時，時，當當8 8a3a9a.20-5._,5. 9的關系為與此時的最大值為baba互為相反數(shù)11.11.一個自然數(shù)的算術平方根是一個自然數(shù)的算術平方根是a，則下一個自然數(shù)的算，則下一個自然數(shù)的算術平方根是術平方根是_.21610. 10. 的算術平方根的相反數(shù)是的算術平方根的相反數(shù)是_.12a-1612.一個自然數(shù)的平方一個自然數(shù)的平方b,那么比這個自然數(shù)大那么比這個自然數(shù)大1的數(shù)是的數(shù)是_1b._,2729729. 245. 7.13yy則，若74500001. 的平方根是的平方根是4. ( ) 162. 一定是正數(shù)一定是正數(shù). ( )a3.a2的算術平方根是的算術平方

8、根是a. ( )4.若若 ,則則a=-5. ( )5)(2a5. . ( )396.-6是是(-6)2的平方根的平方根. ( )7.若若x2=36,則則x= ( ) 6368.如果兩個數(shù)的平方相等如果兩個數(shù)的平方相等,那么這兩個數(shù)也相等（那么這兩個數(shù)也相等（ ）五五.判斷：判斷：9.平平方根是本身的數(shù)有方根是本身的數(shù)有0 ,1 ( )1.下下列各數(shù)中，不一定有平方根的是（列各數(shù)中，不一定有平方根的是（ ）（A）x2+1 （B）|x|+2 （C） （D）|a|-11a D2.2.已已知知 有意義有意義, ,則則x一定是一定是( ) ( ) （A A）正數(shù)）正數(shù) （B B） 負數(shù)負數(shù) （C C）

9、非負數(shù)非負數(shù) （D D）非）非正數(shù)正數(shù)Dx六六.選擇選擇:(1)x2=25； (2) 9x2=100;(4)2x2-3=13; (5)4(x-1)2=81. 七七.解方程：解方程：6)100()3(2 x 如果一個數(shù)如果一個數(shù)b，使得，使得b3=a，那么我們把，那么我們把b叫作叫作a的一個立方根，也叫作三次方根的一個立方根，也叫作三次方根. a 的立方根記作的立方根記作 ，讀作，讀作“立方根號立方根號a”或或“三次根號三次根號a”3a 用符號表示為：若用符號表示為：若b3=a，則，則b= . = . 3a9.9.立方根的定義：立方根的定義：立方根的符號與被開方數(shù)的符號相同。立方根的符號與被開方

10、數(shù)的符號相同。 (1) (1) 一個正數(shù)有一個立方根，是正數(shù)；一個正數(shù)有一個立方根，是正數(shù)；(2) 0(2) 0的立方根是的立方根是0 0；(3) (3) 一個負數(shù)有一個立方根，是負數(shù)。一個負數(shù)有一個立方根，是負數(shù)。10.10.立方根的性質（唯一性）：立方根的性質（唯一性）： .33aa.33aa .33aa一個數(shù)的立方根的立方等于這個數(shù)本身。一個數(shù)的立方根的立方等于這個數(shù)本身。一個數(shù)的立方的立方根等于這個數(shù)本身。一個數(shù)的立方的立方根等于這個數(shù)本身。 若兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個若兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)。數(shù)的立方根也互為相反數(shù)。代數(shù)式的意義代數(shù)式的意義 代數(shù)式的表

11、達代數(shù)式的表達12.12.立方根的表示方法：立方根的表示方法：3a3a3aa的立方根a 的立方根a的立方根的相反數(shù)求一個數(shù)的立方根的運算，叫作求一個數(shù)的立方根的運算，叫作開立方開立方. .11.11.開立方開立方: :開立方開立方立方立方互逆互逆聯(lián)系：聯(lián)系：(1)0的平方根、立方根都是的平方根、立方根都是0.(2)平方根、立方根都是開方的結果平方根、立方根都是開方的結果. 定義定義表示法表示法被開方數(shù)被開方數(shù)a的取值范圍的取值范圍正數(shù)正數(shù) 0負數(shù)負數(shù) 平方根平方根立方根立方根 如果如果b3=a，那么那么b叫作叫作a的一的一個立方根，個立方根， 如果如果r2=a，那，那么么r叫作叫作a的一個的一

12、個平方根，平方根，a3a 非負數(shù)非負數(shù) 任何實數(shù)任何實數(shù) 2個個平方根平方根 1個個平方根平方根 無無 1個個立方根立方根 1個個立方根立方根 1個個立方根立方根區(qū)別區(qū)別13.13.平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系：平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系：一一.求下列各式的立方根：求下列各式的立方根：課堂練習課堂練習7)2(001. 0) 1 (833) 3(3)7)(4(|641| )5(）（512-)6(2243)7(81)8(327-)9(一般地，求一個數(shù)的立方根的方法有一般地，求一個數(shù)的立方根的方法有兩種兩種：1.根據(jù)乘方意義求立方根根據(jù)乘方意義求立方根; 2.用計算器求立方根用計算器求立方根. 二二.

13、 用計算器求下列各數(shù)的立方根：用計算器求下列各數(shù)的立方根： 解：解：三三. 用計算器求下列各數(shù)的近似值用計算器求下列各數(shù)的近似值（精確到精確到0.001）333 357, , ., , .- -解：解：1010003621635 . 1375. 33442. 133710. 153913. 173-1000-1000， 216216， -3.375 .-3.375 .(1)平方根是它本身的數(shù)是平方根是它本身的數(shù)是_(2)算術平方根是其本身的數(shù)是算術平方根是其本身的數(shù)是_(3)立方根是其本身的數(shù)是立方根是其本身的數(shù)是_(4) 的立方根為的立方根為 . 64 (5) 的平方根為的平方根為 . 32

14、)8( (6) 的立方根的相反數(shù)為的立方根的相反數(shù)為 . 3512 00，1，-10，1，2 22 2-2-2四四.求下列各式的立方根：求下列各式的立方根：(7)若若x=16，則，則12-x的立方根是的立方根是_. (8)若若4a+1的平方根是的平方根是5，求，求2a-8的立方根。的立方根。 (9)已知已知 (b-2)+|c+5|=0，求，求c-a-b的立方根。的立方根。(10)已知已知y= + -3，求，求xy的立方根。的立方根。1a9xx93162或五五. .判斷正誤：判斷正誤：82（7 7）的立方根是的立方根是（9 9）0 0的平方根與立方根都是的平方根與立方根都是0 027832的立方

15、根是的立方根是（10）（5）負數(shù)沒有立方根）負數(shù)沒有立方根（6）4的平方根是的平方根是2（8）負數(shù)有一個平方根）負數(shù)有一個平方根464) 1 (3864)4(464)2(3464)3(3(1)x=125； (2) 8x=-27;(3)x+3=2; (4)（x-1）=8. 六六.運用立方根的定義解方程：運用立方根的定義解方程：按定義分：按定義分：13.實數(shù)的分類：實數(shù)的分類：實數(shù)有理數(shù)整數(shù)正整數(shù) (自然數(shù))零負整數(shù)分數(shù)正分數(shù)負分數(shù)無理數(shù)正無理數(shù)負無理數(shù)(自然數(shù))按定義分：按定義分：圓周率圓周率及一些化簡之后含有及一些化簡之后含有的數(shù)的數(shù)開不盡方的數(shù)及開不盡方的數(shù)及化簡之后含根號的數(shù)化簡之后含根號

16、的數(shù)有一定的規(guī)律，但不循環(huán)的無限小數(shù)有一定的規(guī)律，但不循環(huán)的無限小數(shù).76, 5, 3, 2例如：注意注意:帶根號帶根號的數(shù)不一定是的數(shù)不一定是無理數(shù)無理數(shù),如如4例如：2+，-3，5例如：0.1010010001，-2.7878878887無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)( (強調強調: :無限無限, ,不循環(huán)不循環(huán).) .)無理數(shù)常見的無理數(shù)常見的3 3種典型種典型: :一一. 判斷：判斷：（1 1）任何一個無理數(shù)的絕對值都是正數(shù)）任何一個無理數(shù)的絕對值都是正數(shù); ;（2 2）帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；）帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；（3 3）實數(shù)可以分為正實數(shù)和負實數(shù)兩類；）實數(shù)可以

17、分為正實數(shù)和負實數(shù)兩類；（4）有理數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應）有理數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應; (5)(5)實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù); ; (6)(6)無理數(shù)都是無限小數(shù)。無理數(shù)都是無限小數(shù)。（7）有理數(shù)與無理數(shù)之和一定是無理數(shù)；）有理數(shù)與無理數(shù)之和一定是無理數(shù)； （8）有理數(shù)與無理數(shù)之差一定是無理數(shù)；）有理數(shù)與無理數(shù)之差一定是無理數(shù)； （9）有理數(shù)與無理數(shù)之積一定是無理數(shù)；）有理數(shù)與無理數(shù)之積一定是無理數(shù)； （10）有理數(shù)與無理數(shù)之商一定是無理數(shù)；）有理數(shù)與無理數(shù)之商一定是無理數(shù)； （11）無有理數(shù)與無理數(shù)之和一定是無理數(shù)；）無有理數(shù)與無理數(shù)之和一定是無理數(shù)； （12）無理數(shù)

18、與無理數(shù)之差一定是無理數(shù)；）無理數(shù)與無理數(shù)之差一定是無理數(shù)； （13）無理數(shù)與無理數(shù)之積一定是無理數(shù)；）無理數(shù)與無理數(shù)之積一定是無理數(shù)； （14）無理數(shù)與無理數(shù)之商一定是無理數(shù)；）無理數(shù)與無理數(shù)之商一定是無理數(shù)； 2.2.把下列各數(shù)填入相應的集合內：把下列各數(shù)填入相應的集合內：935646. 03439313. 0有理數(shù)集合：有理數(shù)集合：無理數(shù)集合：無理數(shù)集合：整數(shù)集合：整數(shù)集合：分數(shù)集合：分數(shù)集合：實數(shù)集合：實數(shù)集合： 3539 9643 9646 . 043313. 0 6 . 04313. 0 935646. 04339313. 0353312, 1,02p2p 5.5.倒數(shù)是它本身的數(shù)是倒數(shù)是它本身的數(shù)是_。1或-17.7.若若3 3，5 5為三