第4章無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器的設(shè)計(jì)方法

1、1第第4 4章章 無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（IIR）濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì) 4.2 4.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法4.6 IIR4.6 IIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法4.4 4.4 從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換變換4.5 4.5 從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換4.3 4.3 根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIRIIR濾波器濾波器4.1 4.1 濾波器的基本原理濾波器的基本原理 2 在第在第2 2章中已涉及模擬濾波器的特

2、性與應(yīng)用。本章將在進(jìn)章中已涉及模擬濾波器的特性與應(yīng)用。本章將在進(jìn)一步討論濾波器的基本原理和模擬濾波器特性的基礎(chǔ)上，討一步討論濾波器的基本原理和模擬濾波器特性的基礎(chǔ)上，討論論IIRIIR濾波器的設(shè)計(jì)方法。濾波器的設(shè)計(jì)方法。 設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字濾波器一般包括以下三步：設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字濾波器一般包括以下三步：(1) 按照任務(wù)要求，確定濾波器的性能。按照任務(wù)要求，確定濾波器的性能。(2) 用一個(gè)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)去逼近這個(gè)性用一個(gè)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)去逼近這個(gè)性能要求。這種系統(tǒng)函數(shù)可以分為能要求。這種系統(tǒng)函數(shù)可以分為IIR和和FIR兩類(lèi)系統(tǒng)。兩類(lèi)系統(tǒng)。確定系數(shù)確定系數(shù) ai 、bi 或零、

3、極點(diǎn)或零、極點(diǎn) ci 、di，以使濾波器滿足給，以使濾波器滿足給定的性能要求定的性能要求第四章、五章討論第四章、五章討論(3) 數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)。用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)。用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)：如級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型、卷這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)：如級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型、卷積型、頻率采樣型以及快速卷積（積型、頻率采樣型以及快速卷積（FFT）型等）型等;確定運(yùn)算和系確定運(yùn)算和系數(shù)存儲(chǔ)的字長(zhǎng)；選用通用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾數(shù)存儲(chǔ)的字長(zhǎng)；選用通用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件實(shí)現(xiàn)這一系統(tǒng)。波器硬件實(shí)現(xiàn)這一系統(tǒng)。34.1 4.1 濾波器的基

4、本原理濾波器的基本原理 所謂濾波，就是濾除或削弱信號(hào)中不需要的分量，所謂濾波，就是濾除或削弱信號(hào)中不需要的分量，保留有用的分量。保留有用的分量。在離散線性時(shí)不變系統(tǒng)中就是要尋找一系在離散線性時(shí)不變系統(tǒng)中就是要尋找一系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù)H(z)或其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)或其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)對(duì)信號(hào)對(duì)信號(hào)x(n)作差分作差分運(yùn)算實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波。運(yùn)算實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波。01( )()()MNiiiiy na x nib y ni 當(dāng)選擇特定的系數(shù)當(dāng)選擇特定的系數(shù)ai、bi,得到得到y(tǒng)(n)便濾除了某些頻便濾除了某些頻率分量，率分量，數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的一項(xiàng)重要工作就是按一定的要求數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的一項(xiàng)重要工作就是按

5、一定的要求尋找特定的系數(shù)尋找特定的系數(shù)ai、bi。4000,N0,0,( )0,0,( ),1( )( )( )( ) ( - )( ) ( - )IIRiMiiiiiMMiiFIRMNbih nbiH za zaMh nx ny nh i x n ix i h n i 一般滿足這類(lèi)系統(tǒng)稱(chēng)為 階系統(tǒng)。上式中只要有一項(xiàng)其對(duì)應(yīng)的為無(wú)限長(zhǎng)，該系統(tǒng)為；但所有該系統(tǒng)為，其也就是說(shuō) 就是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，其長(zhǎng)度為，這時(shí)原差分方程等效于與的卷積系統(tǒng)系統(tǒng)。 具有上述差分方程的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為具有上述差分方程的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為01( )1MiiiNiiia zH zb z5()jL PHe-c-c

6、01(a)()jB PHe-0 2-21-11(c)圖圖4.1 四種類(lèi)型的理想濾波器四種類(lèi)型的理想濾波器 對(duì)于經(jīng)典濾波器，濾波器的對(duì)于經(jīng)典濾波器，濾波器的幅頻特性幅頻特性是分段常數(shù)，在通是分段常數(shù)，在通帶內(nèi)逼近于帶內(nèi)逼近于1 1，阻帶內(nèi)逼近于，阻帶內(nèi)逼近于0 0。從功能上可分為四種類(lèi)型，。從功能上可分為四種類(lèi)型，如圖如圖4.1所示所示()jH PHe-c-c01(b)()jB SHe-021-2-11(d)4.1.1 4.1.1 濾波器的分類(lèi)濾波器的分類(lèi)6理想濾波器的沖激響應(yīng)是非因果的、無(wú)限長(zhǎng)的，因此是理想濾波器的沖激響應(yīng)是非因果的、無(wú)限長(zhǎng)的，因此是不可實(shí)現(xiàn)的。不可實(shí)現(xiàn)的。以低通為例，一種以低

7、通為例，一種可實(shí)現(xiàn)的逼近方法是對(duì)理想可實(shí)現(xiàn)的逼近方法是對(duì)理想濾波器的沖激響應(yīng)進(jìn)行截短濾波器的沖激響應(yīng)進(jìn)行截短，從而得到一個(gè)有限沖激響應(yīng)的，從而得到一個(gè)有限沖激響應(yīng)的低通濾波器，它的幅頻特性曲線如圖低通濾波器，它的幅頻特性曲線如圖4.24.2所示，不是理想的陡所示，不是理想的陡截止的通帶和阻帶，而是出現(xiàn)了一個(gè)平滑下降的截止的通帶和阻帶，而是出現(xiàn)了一個(gè)平滑下降的“過(guò)渡帶過(guò)渡帶”。4.1.2 4.1.2 可實(shí)現(xiàn)濾波器的特性可實(shí)現(xiàn)濾波器的特性11-102cr通帶通帶過(guò)渡帶過(guò)渡帶阻帶阻帶圖圖 4.2 低通濾波器的幅頻特性低通濾波器的幅頻特性()jH e7在具體技術(shù)指標(biāo)中通常用在具體技術(shù)指標(biāo)中通常用通帶波

8、動(dòng)通帶波動(dòng)和和最小阻帶衰減最小阻帶衰減tt來(lái)表示：來(lái)表示：max1mi1n2ax2m()120lg20lg()1()1120lg20lg(20lg(1)20lg)()crjjjH edBH edBHAet通帶內(nèi)1)(maxjeH阻帶內(nèi)2max)(jeHrjcjeHeH21)(1)(1其中其中c c、r r分別稱(chēng)為通帶邊界頻率和通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率阻帶邊界頻率。 可實(shí)現(xiàn)的數(shù)字濾波器在通帶和阻帶的幅度響應(yīng)指標(biāo)一般可實(shí)現(xiàn)的數(shù)字濾波器在通帶和阻帶的幅度響應(yīng)指標(biāo)一般以一定容限的以一定容限的允許誤差允許誤差來(lái)表征：來(lái)表征：8IIRIIR濾波器的設(shè)計(jì)方法：濾波器的設(shè)計(jì)方法：1 1）先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬

9、濾波器，然后變換成滿足先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。由于模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟、模擬濾由于模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟、模擬濾波器有簡(jiǎn)單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，設(shè)計(jì)起來(lái)方便、準(zhǔn)確、可波器有簡(jiǎn)單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，設(shè)計(jì)起來(lái)方便、準(zhǔn)確、可將這些理論推廣到數(shù)字域，作為設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的工具。將這些理論推廣到數(shù)字域，作為設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的工具。2 2）最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法分兩步：分兩步： (a) 確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則：如最小均方誤差準(zhǔn)則。使設(shè)計(jì)確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則：如最小均方誤差準(zhǔn)則。使設(shè)計(jì)出的實(shí)際頻率響應(yīng)的幅度特性出的實(shí)際頻率響應(yīng)的幅度特

10、性 與所要求的理想頻與所要求的理想頻率響應(yīng)率響應(yīng) 的均方誤差最小，的均方誤差最小，| )(|jeH| )(|jdeHmin)()(21MijdjiieHeH9或最大誤差最小準(zhǔn)則等?；蜃畲笳`差最小準(zhǔn)則等。(b) 在此最佳準(zhǔn)則下，求濾波的系數(shù)在此最佳準(zhǔn)則下，求濾波的系數(shù)ai和和bi：通過(guò)不斷地：通過(guò)不斷地迭代運(yùn)算，改變迭代運(yùn)算，改變ai、bi，直到滿足要求為止。，直到滿足要求為止。下面著重講下面著重講第一種第一種設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法，因?yàn)閿?shù)字濾波器在很多場(chǎng)，因?yàn)閿?shù)字濾波器在很多場(chǎng)合所要完成的任務(wù)與模擬濾波器相同，如設(shè)計(jì)低通、高通、合所要完成的任務(wù)與模擬濾波器相同，如設(shè)計(jì)低通、高通、帶通及帶阻網(wǎng)絡(luò)等，這

11、時(shí)帶通及帶阻網(wǎng)絡(luò)等，這時(shí)數(shù)字濾波也可看作是數(shù)字濾波也可看作是“模仿模仿”模擬模擬濾波器濾波器。在。在IIRIIR濾波器設(shè)計(jì)中，采用這種設(shè)計(jì)方法目前最普濾波器設(shè)計(jì)中，采用這種設(shè)計(jì)方法目前最普遍；由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的使用也逐漸遍；由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的使用也逐漸增多。增多。104.2* 常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法為了方便學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，先討論幾種常用的模擬低通濾波器設(shè)計(jì)方法，高通、帶通 、帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法，由低通濾波器變換得到。 模擬濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)一組設(shè)計(jì)規(guī)范設(shè)計(jì)模擬系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計(jì)模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使

12、其逼，使其逼近某個(gè)理想濾波器特性。近某個(gè)理想濾波器特性。 模擬濾波器的設(shè)計(jì)中通常是根據(jù)幅度平方函數(shù)來(lái)模擬濾波器的設(shè)計(jì)中通常是根據(jù)幅度平方函數(shù)來(lái)逼近理想系統(tǒng)。逼近理想系統(tǒng)。 因果系統(tǒng)中式中ha(t)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是實(shí)函數(shù)。0)()(dtethjHtjaa幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)22()()()()aaaAHjHjHj0sincos)()(dttjtthjHaa*()()aaHjHj 11式中式中 Ha(s)模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) Ha(j)模擬濾波器的頻率響應(yīng)模擬濾波器的頻率響應(yīng) |Ha(j)|模擬濾波器的幅頻響應(yīng)模擬濾波器的幅頻響應(yīng)問(wèn)題：由問(wèn)題：由A(2)Ha(S)對(duì)于給定的

13、對(duì)于給定的A(2) ，先在先在S復(fù)平面上標(biāo)出復(fù)平面上標(biāo)出A(-S2)的極點(diǎn)的極點(diǎn)和零點(diǎn)。和零點(diǎn)。由于由于ha(t)為實(shí)函數(shù)，所以為實(shí)函數(shù)，所以Ha(s)的零、極點(diǎn)應(yīng)成對(duì)出的零、極點(diǎn)應(yīng)成對(duì)出現(xiàn)且互為共軛（對(duì)稱(chēng)于現(xiàn)且互為共軛（對(duì)稱(chēng)于S平面的實(shí)軸）；而平面的實(shí)軸）；而Ha(-s)的零、極的零、極點(diǎn)與點(diǎn)與Ha(s)的零、極點(diǎn)成象限對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)于的零、極點(diǎn)成象限對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)于S平面的虛軸。平面的虛軸。所所以選用以選用A(-S2)的對(duì)稱(chēng)零、極點(diǎn)的任一半作為的對(duì)稱(chēng)零、極點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的極點(diǎn)，則的極點(diǎn)，則可得到可得到Ha(s)。22(,(,)sjsjAAs 22由于在穩(wěn)態(tài)條件下：因此=-S 即2()()

14、()( )()(1)aaaasjAHjHjHs Hs 12三種常用模擬濾波器的設(shè)計(jì)三種常用模擬濾波器的設(shè)計(jì)：4.2.1 巴特沃茲濾波器巴特沃茲濾波器 (Butterworth 濾波器濾波器) (巴特沃茲逼近巴特沃茲逼近)特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f ，幅頻，幅頻特性特性 A(2)單調(diào)單調(diào) 。其幅度平方函數(shù)為：其幅度平方函數(shù)為：NcajjjHA22211)()(N為濾波器階數(shù)，為濾波器階數(shù)，c為截止頻率；其幅度平方函數(shù)為截止頻率；其幅度平方函數(shù) 如圖如圖4.3為了保證為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，應(yīng)選用的穩(wěn)定性，應(yīng)選用A(-S2)在在S左半平面

15、的左半平面的極點(diǎn)作為極點(diǎn)作為Ha(s)的極點(diǎn)，零點(diǎn)可選用任一半（若要求最小相位的極點(diǎn)，零點(diǎn)可選用任一半（若要求最小相位，則應(yīng)選，則應(yīng)選S左半平面的）。左半平面的）。13圖圖4.3 4.3 巴特沃茲濾波器振幅平方函數(shù)巴特沃茲濾波器振幅平方函數(shù)r1422222(1)0( 0)112(2) (),()22( 0)=20log3()(3)() 0,()1,NacacacaaccacacaHjHjHjHjdBHjHjHjHj cc當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：即此時(shí)，在的通帶內(nèi)有最大平坦的幅頻特性 ，：?jiǎn)握{(diào)下降，由于所以下降較慢， 越大衰減越慢；當(dāng)時(shí)，單調(diào)下降，由于所以下降速度比通帶內(nèi)快得多，且 越大 20log()rr

16、arAtHj 衰減越快；當(dāng)時(shí)(稱(chēng)為阻帶截止頻率）,衰減為：（通常稱(chēng)c為為3dB截止頻率截止頻率）15振幅平方函數(shù)：振幅平方函數(shù)：NcaajSSHSH2)(11)()(令分母為零，得其極點(diǎn)：1121222(1)()1, 2, 2kkjNNpcckNSje 可見(jiàn)，可見(jiàn)，Butterworth濾波器濾波器 的振幅平方函數(shù)有的振幅平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，個(gè)極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ(chēng)地分布在它們均勻?qū)ΨQ(chēng)地分布在|S|=c的圓周上。的圓周上。則NksssHNkkpNca2, 1)()(1Spk為S平面左半部分的N個(gè)極點(diǎn)（5）在過(guò)渡帶內(nèi)，階次為）在過(guò)渡帶內(nèi)，階次為N N 的的Butterworth濾波器的幅度相應(yīng)濾波

17、器的幅度相應(yīng)趨于斜率為趨于斜率為-6NdB/倍頻程倍頻程的漸近線。的漸近線。16 例：例：N=3階BF振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)分布，如圖4.4。此時(shí);6,2,1)()1(61kjScpk圖4.4 三階A(-S2)的極點(diǎn)分布17對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)應(yīng)位于S平面左半部分，因此Ha(s)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為SP3，SP4，SP5，它們分別為：3254323,jcpcpjcpeSSeS系統(tǒng)函數(shù)為：)()()(5433pppcaSSSSSSsH令c=1，得歸一化歸一化的三階BF：1221)(23SSSsHa如果要還原的話，則用S/c代替S，得：1)/(2)/(2)/(1)(23cccassssH18 由以上

18、分析可知：設(shè)計(jì)模擬濾波器其關(guān)鍵是確定其階由以上分析可知：設(shè)計(jì)模擬濾波器其關(guān)鍵是確定其階數(shù)數(shù)N和和3dB截止頻率。截止頻率。 0.10.1110.10.122101log 1 N3 01N;2log (101)At ;(101)AtprAtNNcpcr cpr下面討論如何根據(jù)實(shí)際濾波器的性能指標(biāo)確定巴特沃斯濾波器的階數(shù) 及其 dB截止頻率；若要求設(shè)計(jì)的濾波器的通帶截止頻率為，阻帶截止頻率為，通帶內(nèi)最大衰減為為 ，阻帶最小或衰減為則有19Butterworth 濾波器的設(shè)計(jì)步驟：濾波器的設(shè)計(jì)步驟：0.10.1110.10.12213dB101log 101N;2log(101)(101)2 ( )

19、 ,3 ( )prcAtprAtNNcpcraacAtNNHsHsss 、由、 、確定濾波器的階數(shù) 及截止頻率，或、根據(jù) 查表得到相應(yīng)的規(guī)一化的系統(tǒng)函數(shù)、將規(guī)一化的系統(tǒng)函數(shù)中的“ ”用“”帶入。20幾種低階歸一化巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：幾種低階歸一化巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：一階：一階：1( )1aHss二階：二階：21( )21aHsss三階：三階：321( )221aHssss210.10.10.130.131,12At30,Butterworth101101log log3.5864101101N2.979;2log2log3/121.204(101)pppprAtprcpfkHzdB

20、fkHzdB 已知某濾波器的技術(shù)指標(biāo)為：通帶截止頻率，通帶最大衰減為阻帶截止頻率，阻帶最小衰減為設(shè)計(jì)滿足條件的低通濾波器。解：例：110.1426323c3223cccc3000 2 (101)2.361 10 (/ )N=31 ( ),s +2s +2s+1( )s +2s+2s+Naarad sHsHs取，查表可知?dú)w一化系統(tǒng)函數(shù)為去歸一化得滿足條件的系統(tǒng)函數(shù)為將代入上式則可得最終的系統(tǒng)函數(shù)。22 4.2.2 切比雪夫（切比雪夫（chebyshev）濾波器）濾波器 (切比雪夫多項(xiàng)式逼近切比雪夫多項(xiàng)式逼近)特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。巴特沃茲濾波

21、器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率c處，幅度下降很多，或者說(shuō)，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次(N)很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近所希望的|H(j)|2。 切比切比雪夫?yàn)V波器的雪夫?yàn)V波器的|H(j)|2 在通帶范圍內(nèi)是等波紋起伏的，所以同在通帶范圍內(nèi)是等波紋起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小。可根據(jù)需要對(duì)通帶內(nèi)允許的衰減量(波動(dòng)范圍)提出要求，如要求波動(dòng)范圍小于1db。振幅平方函數(shù)為:)(11)()(2222cNaVjHA23與通帶波紋有關(guān)的參量， 大 ，波紋大。10有效通帶截止頻率cV

22、N（x）N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為1)coshcosh(1)coscos()(11xxNxxNxVN)(, 11)(,1xVxxxVxNN時(shí)241/(1+2)A(2)11/A2rc(a)N為奇數(shù)A(2)11/(1+2)1/A2cr(b)N為偶數(shù)圖圖4.5 4.5 切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方特性切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方特性25有關(guān)參數(shù)的確定有關(guān)參數(shù)的確定: :a、通帶截止頻率c，預(yù)先給定b、通帶波動(dòng)為 2minmax111lg20)()(lg20jHjHaa 所以給定通帶波動(dòng)值分貝數(shù) 后，可求 。)(dB)1lg(1021101.022r21,()raHjA 時(shí)26c、階數(shù)N由阻帶的邊界條件(c

23、、 r、A)確定。221)(,AjHar時(shí))coshcosh()(,1xNarxVxN 時(shí)222111AVcrN21()rNcAV將|VN(r/c)|代入上式得： )/cosh(/1cosh(2crarAarN 有了N、c、之后即可查表求得Ha(s),然后去歸一化的Ha(s) 。274.2.3 4.2.3 橢圓濾波器（考爾濾波器）橢圓濾波器（考爾濾波器）特點(diǎn)：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的特點(diǎn)：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對(duì)于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過(guò)渡帶寬濾波器更窄的過(guò)渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。其振幅平方函

24、數(shù)為),(11)()(2222LRjHANaRN(，L)雅可比橢圓函數(shù)L表示波紋性質(zhì)的參量28圖4.6 N=5， 的特性曲線 ),(25LR可見(jiàn)，在歸一化通帶內(nèi)（-11），R52(,L)在（0，1）間振蕩，而超過(guò)L后， R52(,L)在(L2 )間振蕩。這一特點(diǎn)使濾波器同時(shí)在通帶和阻帶具有任意衰減量。29(b)N為偶數(shù)rcA(2)11/A21/(1+2)(a)N為奇數(shù)1/(1+2)rcA(2)11/A2 下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù)圖4.7 橢圓濾波器的振幅平方函數(shù)圖中和A的定義 同切比雪夫?yàn)V波器30當(dāng)c、r、和A確定后，階次N的確定方法為：式中2/1222/1210)1 ()1 ()(

25、tktdtkK為第一類(lèi)完全橢圓積分 )1()(/)1()(1/212121kKkKkKkKNAkkrc確定參量確定參數(shù)31上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)時(shí)按照指標(biāo)要求，合理選用。 一般，相同指標(biāo)下，橢圓濾波器階次最低，切比雪一般，相同指標(biāo)下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。以上討論了由以上討論了由A(2）Ha(s),下面討論由下面討論由Ha(s)H(Z)的變換設(shè)計(jì)法。的變換設(shè)計(jì)法。324.3 4.3 根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIRIIR濾波器濾波器利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字

26、濾波器，就是從已知的模擬利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)H(z)，這歸，這歸根到底是一個(gè)由根到底是一個(gè)由S平面到平面到Z平面的變換，這種映射變換應(yīng)遵平面的變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個(gè)基本原則：循兩個(gè)基本原則：(1)(1)H(z)的頻響要能模仿的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即的頻響，即S平面的虛軸平面的虛軸應(yīng)映射到應(yīng)映射到Z平面的單位圓平面的單位圓ej上。上。(2)(2)Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射成的因果穩(wěn)定性映射成H(z)后保持不變，即后保持不變，即S平平面的左半平面面的左半平面ReS0應(yīng)映射到應(yīng)

27、映射到Z平面的單位圓以內(nèi)平面的單位圓以內(nèi)|Z|2.5kHZ, ,（但不必考慮（但不必考慮fm/25kHZ以以上的頻率分量），通帶內(nèi)損耗不大于上的頻率分量），通帶內(nèi)損耗不大于1dB。 解：解：首先確定數(shù)字域截止頻率首先確定數(shù)字域截止頻率c=2fc/fs=0.5, , 則則cot222ccTT 切比雪夫低通原型的振幅平方函數(shù)為：切比雪夫低通原型的振幅平方函數(shù)為：2221()1/aNcHjV 其中：其中：VN()為為N階切比雪夫多項(xiàng)式階切比雪夫多項(xiàng)式80N=3N=3時(shí)時(shí), ,系統(tǒng)函數(shù)為：系統(tǒng)函數(shù)為：332230.4913( )0.49131.2380.9883cacccHssss 于是于是11123

28、1231211 33( )( )0.13211 0.34320.60430.2041aTzszzzzH ZHszzz5089. 01101 . 0通帶損耗通帶損耗 時(shí)，時(shí)，dB1230.4913( )0.4913 1.2380.9883()()acccHssss81圖4.20 三階切比雪夫高通頻響82例例4.104.10 設(shè)計(jì)一數(shù)字高通濾波器，它的通帶為設(shè)計(jì)一數(shù)字高通濾波器，它的通帶為400500Hz，通帶內(nèi)容許有通帶內(nèi)容許有0.5dB的波動(dòng)，阻帶內(nèi)衰減在小于的波動(dòng)，阻帶內(nèi)衰減在小于317Hz的頻的頻帶內(nèi)至少為帶內(nèi)至少為19dB，采樣頻率為，采樣頻率為1000Hz。 32492. 021000

29、24002cot2cTT6498. 02100023172cot2rTT解：解：預(yù)畸變后的模擬邊界頻率預(yù)畸變后的模擬邊界頻率32492. 02/ccTcT26498. 02/sr將將c、r、對(duì)對(duì)T/2歸一化：歸一化：2/Tss 83 A2實(shí)際是與阻帶最小衰減有關(guān)的值，實(shí)際是與阻帶最小衰減有關(guān)的值，1/A2是阻帶內(nèi)最是阻帶內(nèi)最大振幅平方，也就是最小阻帶衰減，如以分貝值表示這一大振幅平方，也就是最小阻帶衰減，如以分貝值表示這一衰減量，則衰減量，則 ，e e是以分貝計(jì)的阻帶衰減是以分貝計(jì)的阻帶衰減 已知最小阻帶衰減為已知最小阻帶衰減為e=19dB，故，故 ；將將 一起代入一起代入(1)(1)式，即求

30、得最小的式，即求得最小的N N為為3 3。)(1lg102dBeA9 . 1210A及、2AcS1220184. 0110,5 . 01 . 02時(shí)當(dāng)確定最小階數(shù)確定最小階數(shù) N:) 1 (/cosh/1cosh121crAN模擬切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)中階數(shù)的確定公式為模擬切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)中階數(shù)的確定公式為:843213145376786. 052427784. 197486024. 11)1 (01594149. 0)(zzzzzH0255842155. 0166563075. 04127346. 00255842155. 0)(23assssH 根據(jù)根據(jù)N、c則可查找濾波器手冊(cè)得到相應(yīng)歸一化

31、系則可查找濾波器手冊(cè)得到相應(yīng)歸一化系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù): :11112/zzTss將將 代入上式得：代入上式得：85wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000);wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000);N,wn=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,s);B,A=cheby1(N,0.5,wn,high,s);num,den=bilinear(B,A,1000);h,w=freqz(num,den);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(0,500,-80,10);grid; xlabel() ylabel(幅度

32、/dB)86圖圖4.21 切比雪夫高通濾波器切比雪夫高通濾波器050100150200250300350400450500-80-70-60-50-40-30-20-10010頻 率 / Hz幅 度 / dB頻率頻率/Hz幅幅度度/dB874.4.3 4.4.3 帶通變換帶通變換( (LP-BP) ) 圖4.22 帶通原型變換 88 如圖如圖4.224.22所示，若數(shù)字頻域帶通的中心頻率為所示，若數(shù)字頻域帶通的中心頻率為 ，則帶，則帶通變換的目的是將：通變換的目的是將：000 0 00 00 （頻率映射關(guān)系具有周期性，頻率響應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)具有對(duì)稱(chēng)性）（頻率映射關(guān)系具有周期性，頻率響應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)具有對(duì)

33、稱(chēng)性）即：將即：將 映射到映射到 ，而將，而將 映射到映射到 ，滿足這一要求的滿足這一要求的s s平面到平面到z z平面的變換式如下，平面的變換式如下，0 0jze 1z 002022 cos1()()(1)(1)1jjzzzezeszzz89 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 因此因此 （帶通變換關(guān)系（帶通變換關(guān)系 ）jjojjjojjeeeeeeescos211cos222jsjso又,sincoscoscoscossino jz e90圖中圖中 點(diǎn)正好映射在點(diǎn)正好映射在 上，而上，而 映射映射在在 ， 兩端，因此滿足帶通變換的要求。兩端，因此滿足帶通變換的要求。000圖圖4.23 4.23 帶通變換的頻率關(guān)系

34、帶通變換的頻率關(guān)系00 091穩(wěn)定性證明：穩(wěn)定性證明： 這一變換也滿足穩(wěn)定性要求，設(shè)這一變換也滿足穩(wěn)定性要求，設(shè)0 rz2022cos11rrsr則 ：由于上式完全是實(shí)數(shù)，所以是映射在由于上式完全是實(shí)數(shù)，所以是映射在S平面平面軸上。軸上。220022121cos12cos11rrrrrr其中分子永遠(yuǎn)為正的其中分子永遠(yuǎn)為正的 ，2012(1cos)0rr因此因此的正負(fù)決定于分母的正負(fù)決定于分母r r2 2-1-1010, 1時(shí)，時(shí)，rr由此證明了，由此證明了，S S左半平面映射在單位圓內(nèi)，而右半平面映左半平面映射在單位圓內(nèi)，而右半平面映射在單位圓外射在單位圓外，這種變換關(guān)系是穩(wěn)定的變換關(guān)系，可用

35、它來(lái)完，這種變換關(guān)系是穩(wěn)定的變換關(guān)系，可用它來(lái)完成帶通的變換，如圖成帶通的變換，如圖4.234.2392設(shè)計(jì)帶通時(shí)，一般只給出上、下邊帶的截止頻率設(shè)計(jì)帶通時(shí)，一般只給出上、下邊帶的截止頻率 作為設(shè)計(jì)要求。作為設(shè)計(jì)要求。21,為了應(yīng)用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù)為了應(yīng)用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù) 換算成中心頻率換算成中心頻率 及模擬低通截止頻率及模擬低通截止頻率 。21,0cco,21？為此將為此將 代入變換關(guān)系式：代入變換關(guān)系式：21,111sincoscoso222sincoscoso 由于由于 在模擬低通中是一對(duì)鏡像頻率，在模擬低通中是一對(duì)鏡像頻率，所以將所以將代入上面兩等式，求出代

36、入上面兩等式，求出12 21,0cos121201212cossin2cossinsincos293又又1同時(shí)也就是模擬低通的截止頻率同時(shí)也就是模擬低通的截止頻率11co sco ssinoc有了這兩個(gè)參數(shù)就可完成全部計(jì)算。有了這兩個(gè)參數(shù)就可完成全部計(jì)算。例例4.114.11設(shè)計(jì)一巴特沃茲帶通濾波器，其設(shè)計(jì)一巴特沃茲帶通濾波器，其3dB3dB邊界頻率分別為邊界頻率分別為f2=90kHz,f1=110kHz, ,在阻帶在阻帶f3=120kHz處最小衰減大于處最小衰減大于10dB；采樣采樣fs=400kHz。0圖圖4.24 帶通濾波器設(shè)計(jì)帶通濾波器設(shè)計(jì)3dB10dBf2f1 f3f()jH e94

37、 從從 頻率增加了約頻率增加了約1.051.05倍，幅頻特性衰減增加了倍，幅頻特性衰減增加了(10-3)dB，故選用，故選用二階二階巴特沃茲濾波器可滿足指標(biāo)巴特沃茲濾波器可滿足指標(biāo)( (查表查表) )，或見(jiàn)或見(jiàn)P145P145。rc 到1584. 055. 0sin55. 0cos5 . 0cosc3249.06 .0sin6 .0cos5 .0cosr(3)(3)求模擬低通的通帶截止頻率求模擬低通的通帶截止頻率 與阻帶邊界頻率與阻帶邊界頻率 ：cr解解: :(1)(1)確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率45.0/222sff55.0/211sff6.0/233sff

38、(2)(2)求中心頻率：求中心頻率：55. 0sin45. 0sin55. 045. 0sincos05 . 009522212221221( )( )116.3172 6.317111azszH zHszzzz66.3725.8466.37)1(2422zzz121)(2sssHa(4)(4)歸一化的系統(tǒng)函數(shù)：歸一化的系統(tǒng)函數(shù)： (5) (5)代入變換公式代入變換公式1111cos222202zzzzzs1/2/1)(2ccasssH將將 代入得代入得:css 96 w1=2*400*tan(2*pi*90/(2*400);w2=2*400*tan(2*pi*110/(2*400);wr=2

39、*400*tan(2*pi*120/(2*400);N,wn=buttord(w1 w2,0 wr,3,10,s);B,A=butter(N,wn,s);num,den=bilinear(B,A,400);h,w=freqz(num,den);f=w/pi*200;plot(f,20*log10(abs(h);axis(40,160,-30,10);grid; xlabel(頻率/kHz) ylabel(幅度/dB)97圖4.25 巴特沃茲帶通濾波器406080100120140160-30-25-20-15-10-50510頻 率 / kH z幅 度 / dB頻率/kHz幅度/dB984.4

40、.4 4.4.4 帶阻變換帶阻變換(LP-BS)(LP-BS)0 02 21 10 00 00 00 0cc-c-c()H j()jH e0sincoscos 圖圖4.26 帶阻原型變換帶阻原型變換99把帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換。把帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換。2201,2 cos1zszz?12102,()oc 例例4.124.12 一數(shù)字濾波器采樣頻率一數(shù)字濾波器采樣頻率fs=1kHz，要求濾除，要求濾除100Hz的干擾，其的干擾，其dB的邊界頻率為的邊界頻率為95Hz和和105Hz，原型歸一化，原型歸一化低通濾波器為低通濾波器為a1( )1Hss212010sinsincos

41、coscoscosc 12012sin()cos,sinsin 000, 100解解: :(1)(1)先確定數(shù)字上、下邊界頻率、中心頻率先確定數(shù)字上、下邊界頻率、中心頻率11222/2105/10000.212/295/10000.19ssffff0sin(0.210.19 )cos0.8095sin0.21sin0.19(2)(2)再求模擬低通的邊界頻率再求模擬低通的邊界頻率101sinsin0.2131.68299coscos0.8095cos0.21c (4)(4)反歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為反歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為)(11)(cassH(5)(5)代入變換公式得帶阻數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為代入變換公

42、式得帶阻數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為9390. 05695. 1) 16188. 1(9695. 0)()(2218095. 02122zzzzsHzHzzzsa101MATLAB程序?yàn)椋?w1=95/500;w2=105/500;B,A=butter(1,w1, w2,stop);h,w=freqz(B,A);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(50,150,-30,10);grid; xlabel(頻率/Hz) ylabel(幅度/dB)1025060708090100110120130140150-30-25-20-15-10-50510頻 率 / H

43、z幅 度 / dB頻率/Hz圖4.27 巴特沃茲帶阻濾波器幅 度/dB103從模擬低通原型從模擬低通原型 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器: :LP LP:11211( )( )zasTzH zHs2tan()2ccT cot()22ccT 11121( )( )TzaszH zHsLP HP:104LP BS:12012sin()cos,sinsin 22012 cos1( )( )zaszzH zHs 110sincoscosc LP BP:2022 cos11( )( )zzaszH zHs 011coscossinc 12012sin()cos,sinsin END1054.54.5* * 從低通

44、數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（的頻率變換（Z Z平面變換法）平面變換法）上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡(luò)的低通原型來(lái)設(shè)計(jì)各種上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡(luò)的低通原型來(lái)設(shè)計(jì)各種DFDF的方的方法，這種原型變換的設(shè)計(jì)方法同樣也可直接在數(shù)字域上進(jìn)行。法，這種原型變換的設(shè)計(jì)方法同樣也可直接在數(shù)字域上進(jìn)行。DFDF低通原型函數(shù)低通原型函數(shù)變換)(zHp各種各種DF的的 H(z)這種變換是由這種變換是由H Hp p(z)(z)所在的所在的Z Z平面到平面到H(z)H(z)所在的所在的Z Z平面的一平面的一個(gè)映射變換。個(gè)映射變換。為便于區(qū)分變換前后兩個(gè)不同的為便于區(qū)分變換前后兩個(gè)不同的

45、Z Z平面，我們平面，我們把變換前把變換前的的 Z Z平面定義為平面定義為u u平面平面，并將這一映射關(guān)系用一個(gè)函數(shù)，并將這一映射關(guān)系用一個(gè)函數(shù)G G表示：表示：)1 ()(11zGu10611()( )( )uG zpHzH Zuz 平面平面于是，于是，DF的原型變換可表為：的原型變換可表為： )(11)()(zGupuHzH107函數(shù)函數(shù)G(z-1)的要求：的要求：1)G(z1)G(z-1-1) )是是z z-1-1的有理函數(shù)。的有理函數(shù)。2 2）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求求u u的單位圓內(nèi)部必須對(duì)應(yīng)于的單位圓內(nèi)部必須對(duì)應(yīng)于

46、z z的單位圓內(nèi)部。的單位圓內(nèi)部。3 3）G(zG(z-1-1) )必須是全通函數(shù)。必須是全通函數(shù)。為使兩個(gè)函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，為使兩個(gè)函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，Z Z的單位圓的單位圓應(yīng)映射到應(yīng)映射到u u的單位圓上，若以的單位圓上，若以e ejj、e ejj分別表示分別表示u u平面和平面和Z Z平平面的單位圓，則面的單位圓，則)(jjjjeeGeGe1jeG并要求并要求其中其中 是是 的相位函數(shù)的相位函數(shù) )(jeG即即G(z-1)在單位圓上的幅度必須恒為在單位圓上的幅度必須恒為1，稱(chēng)為全通函數(shù)。，稱(chēng)為全通函數(shù)。108全通函數(shù)的基本特性全通函數(shù)的基本特性：NiiizzzG11

47、*111)(任何全通函數(shù)都可以表示為：任何全通函數(shù)都可以表示為：(2) (2) 的所有零點(diǎn)的所有零點(diǎn) 都是其極點(diǎn)的共軛倒數(shù)都是其極點(diǎn)的共軛倒數(shù))(1zG*/1i(3)(3)當(dāng)當(dāng) 變化時(shí)，相位函數(shù)變化時(shí)，相位函數(shù) 的變化量為的變化量為 。 不同的不同的N和和 對(duì)應(yīng)各類(lèi)不同的變換。對(duì)應(yīng)各類(lèi)不同的變換。 0i N N N：全通函數(shù)的階數(shù)，：全通函數(shù)的階數(shù)， 為全通函數(shù)的極點(diǎn)為全通函數(shù)的極點(diǎn)( (在單位圓內(nèi)在單位圓內(nèi)) )。i(1) (1) 可為實(shí)數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)，但必須在單位圓以可為實(shí)數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)，但必須在單位圓以內(nèi)，即內(nèi)，即 ，以保證變換的穩(wěn)定性不變，以保證變換的穩(wěn)定性不變，*為取共軛。為

48、取共軛。1ii109下面具體討論幾種原型變換：下面具體討論幾種原型變換： 低通低通低通（低通（LPLP） LPLP LPLP的變換中，的變換中， 和和 都是低通函數(shù)，都是低通函數(shù)，只是截止頻率互不相同（或低通濾波器的帶寬不同），因只是截止頻率互不相同（或低通濾波器的帶寬不同），因此當(dāng)此當(dāng) 時(shí)，相應(yīng)的時(shí)，相應(yīng)的 ，如圖，如圖4.28(a)4.28(a)，根據(jù)，根據(jù)全通函數(shù)相位全通函數(shù)相位 變化量為變化量為 的性質(zhì)，可確定全通函數(shù)的性質(zhì)，可確定全通函數(shù)的階數(shù)的階數(shù)N=1N=1，且必須滿足以下兩條件：，且必須滿足以下兩條件：G(1)=1, G(-1)=-1G(1)=1, G(-1)=-1。)(jpe

49、HjeH0 N0滿足以上要求的映射函數(shù)應(yīng)為滿足以上要求的映射函數(shù)應(yīng)為111()1zG zz其中其中 是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，且| |1| | HP LP = HP 。圖圖4.29(a) LP-HP4.29(a) LP-HP0 00 022-=H(-z)=H(-z)115b. b. 高通變換高通變換）（21jjjeee或或, 00LP-HP變換變換中中 cc如圖如圖4.29（b）, 在在LP-LP 變換中，將變換中，將 Z代以代以Z , 得得 LP - HP變換關(guān)系：變換關(guān)系：11111111zzuzz （ ）116:確定原型低通的截止頻率原型低通的截止頻率 對(duì)應(yīng)于高通的邊界頻率對(duì)應(yīng)于高通的邊界頻率

50、，欲將，欲將 變換到變換到 ，由（，由（2 2）式有，）式有，cccccccccccjjjjjjeeeeee1,1cos2cos2cccc （2 2）式的）式的 頻率關(guān)系，如圖頻率關(guān)系，如圖4.29(b)4.29(b)中的實(shí)線。中的實(shí)線。117圖圖4.29(b) LP-Hp4.29(b) LP-Hp變換變換cc00118 低通（低通（LPLP）- -帶通（帶通（BPBP）102cc00cc01020)(jeH圖圖4.30 (a) LP-BP4.30 (a) LP-BP變換變換119如圖如圖4.30(a),LP-BPLP-BP變換把帶通的中心頻率變換把帶通的中心頻率00c2c100000,0時(shí)，

51、故故N=2N=2。由以上分析得變換關(guān)系：由以上分析得變換關(guān)系：2111122121(1)()1zrzruG zrzrz) 2(1122212jjjjjererreree或或, 1)1(,0G，時(shí)全通函數(shù)取負(fù)號(hào)。全通函數(shù)取負(fù)號(hào)。120確定確定r1, r2 ：把變換關(guān)系把變換關(guān)系 代入（代入（2 2）式得）式得 ：cc21,1122221111122212122212jjjjjjjjjjererrereeererrereecc消去消去r1r1，得：，得：)()()()(1212121222111122)()(2jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeeeerccc

52、ccc121可得：可得：211krk121krk 2121cos()2cos()2其中：其中：r1,r2r1,r2代入代入(2)(2)式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖4.30(b)4.30(b)。21tan()tan22ck令122圖圖4.30(b) LPBP4.30(b) LPBP變換頻率關(guān)系變換頻率關(guān)系123低通低通(LP)(LP)帶阻帶阻(BS)(BS)圖圖4.31(a) LP-BS4.31(a) LP-BS變換變換201cc)(jeH00201cc)(jeH00124如圖如圖4.31(a),LPBS4.31(a),LPBS變換把帶阻的中心頻率變換把帶阻的中心

53、頻率0000000，的變化范圍為的變化范圍為2,2,故故 N=2N=2又又 G(1)=1,G(1)=1,所以，全通函數(shù)取正號(hào)。所以，全通函數(shù)取正號(hào)。由以上分析得變換關(guān)系：由以上分析得變換關(guān)系：2111122121()(1)1zrzruG zr zrz)2(1122212jjjjjererreree 或或 125確定確定r1,r2 r1,r2 ：把變換關(guān)系把變換關(guān)系 代入（代入（2 2）式得）式得 ：cc21,121rk211krk21tantan22ck2121cos2cos2其中：其中：r1,r2r1,r2代入代入(2)(2)式，得圖式，得圖4.31(b),4.31(b),此頻率變換關(guān)系與前

54、面此頻率變換關(guān)系與前面的分析相吻合。的分析相吻合。126圖圖4.31(b)4.31(b)LP-BSLP-BS頻率變換關(guān)系頻率變換關(guān)系127LP-BSLP-BS變換的又一種實(shí)現(xiàn)方法變換的又一種實(shí)現(xiàn)方法: : 由低通到帶阻的變換同樣可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換來(lái)完成由低通到帶阻的變換同樣可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換來(lái)完成, ,但變但變換的次序與模擬低通到數(shù)字帶阻的次序不同換的次序與模擬低通到數(shù)字帶阻的次序不同, ,是先由低通到是先由低通到高通高通( (低阻低阻),),再利用再利用3.4.33.4.3的方式由低阻到帶阻的方式由低阻到帶阻, ,即即21111121121111121()11()()()zrzrvvG zuG vr zrzvH uH vH z高通