《高等數(shù)學(xué)（工科類）》高職教學(xué)PPT課件

1、高等數(shù)學(xué) 第一節(jié) 函數(shù) 第二節(jié) 極限的概念 第三節(jié) 無窮小量與無窮大量 第四節(jié) 極限的運(yùn)算法則l第一章極限與連續(xù) 第五節(jié) 兩個(gè)重要極限 第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性1函數(shù)的概念(定義、表示法)，函數(shù)的幾種特性，反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)。2. 數(shù)列極限的概念，函數(shù)極限的概念(xxo與x時(shí)函數(shù)的極限)，函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系，無窮小性質(zhì)，極限四則運(yùn)算法則，兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則：夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限的結(jié)果：=1，=e，無窮小量的比較。3. 連續(xù)函數(shù)的概念，函數(shù)的間斷點(diǎn)，連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(敘述)。學(xué)習(xí)重點(diǎn) 第一章 極限與連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù)一、函數(shù)的概念

2、1函數(shù)的定義定義1：設(shè)D是由數(shù)組成的集合。如果對于每個(gè)數(shù)xD，變量y按照一定的對應(yīng)法則f總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，那么將對應(yīng)法則f稱為在D上x到y(tǒng)的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為函數(shù)的定義域。 第一節(jié) 函數(shù)2函數(shù)的表示法（1） 表格法 將自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表格表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法，如三角函數(shù)表、常用對數(shù)表及經(jīng)濟(jì)分析中的各種統(tǒng)計(jì)報(bào)表等。（2） 圖像法 用圖像表示兩個(gè)變量函數(shù)關(guān)系的方法。（3） 解析法 用一個(gè)等式表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法，如y=x+3，y=lg（x+2）等。 第一節(jié) 函數(shù)3函數(shù)的定義域 在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域要根據(jù)問題的實(shí)

3、際意義確定。當(dāng)不考慮函數(shù)的實(shí)際意義，而僅就抽象的解析式來研究函數(shù)時(shí)，這時(shí)定義域就取使解析式有意義的自變量的全體。要使解析式有意義，我們通常考慮以下幾點(diǎn)：（1）分式的分母不能為零；（2）偶次根式的被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)；（3）對數(shù)式中的真數(shù)必須大于零；（4）冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)考慮各自的定義域；（5）若函數(shù)表達(dá)式由幾個(gè)數(shù)學(xué)式子組成，則其定義域應(yīng)取各部分定義域的交集；（6）分段函數(shù)的定義域是各個(gè)定義區(qū)間的并集。 第一節(jié) 函數(shù)二、函數(shù)的幾種特性1.奇偶性定義2：設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱.如果對于任意的xD，f（-x）=-f（x），那么f（x）為奇函數(shù)；如果對于任意的xD

4、，f（-x）=f（x），那么f（x）為偶函數(shù)，否則f（x）為非奇非偶函數(shù)。 第一節(jié) 函數(shù)2.單調(diào)性定義3：若對于區(qū)間D內(nèi)任意的兩點(diǎn)x1、x2，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有f（x1）f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調(diào)增加，區(qū)間D稱為單調(diào)增區(qū)間；特別地，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有f（x1)f（x2)，則稱f（x)為D上的嚴(yán)格增函數(shù).如果恒有f（x1）f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調(diào)減少，區(qū)間D稱為單調(diào)減區(qū)間；特別地，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有f（x1)f（x2)，則稱f（x)為D上的嚴(yán)格減函數(shù)。 第一節(jié) 函數(shù)3.有界性定義4：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集XD.如果存在數(shù)K1，使得f（x）K1對任意xX都成立，

5、則稱函數(shù)f（x）在X上有上界，而K1稱為函數(shù)f（x）在X上的一個(gè)上界（任何大于K1的數(shù)也是f（x)在X上的上界）；如果存在數(shù)K2，使得f（x）K2對任意xX都成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有下界，而K2稱為函數(shù)f（x）在X上的一個(gè)下界（任何小于K2的數(shù)也是f（x)在X上的下界）；如果存在正數(shù)M，使得|f（x）|M對任意xX都成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有界；如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f（x）在X上無界；這就是說，如果對于任何正數(shù)M，總存在x1X，使|f（x1）|M，那么函數(shù)f（x）在X上無界。 第一節(jié) 函數(shù)三、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù) 我們把常數(shù)函數(shù)y=c（c為常數(shù)）、冪函數(shù)y=x（為實(shí)數(shù)）、

6、指數(shù)函數(shù)y=ax（a0，a1，a為常數(shù)）、對數(shù)函數(shù)y=logax（a0，a1，a為常數(shù)）、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。 第一節(jié) 函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)定義6:若函數(shù)y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定義域中，則變量y通過變量u與變量x建立了對應(yīng)關(guān)系，這個(gè)對應(yīng)關(guān)系稱為y是x的復(fù)合函數(shù)。3.初等函數(shù)定義7:基本初等函數(shù)（常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)）經(jīng)過有限次的加、減、乘、除（分母不為零）的四則運(yùn)算，以及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，叫作初等函數(shù)。 第二節(jié) 極限的概念一、數(shù)列的極限定義1：如果無窮數(shù)列an

7、的項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，an無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫作數(shù)列an的極限（limit）.記作 或anA（當(dāng)n時(shí)）.Aannlim 第二節(jié) 極限的概念二、函數(shù)的極限1.當(dāng)x時(shí)函數(shù)f（x）的極限定義2：如果當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f（x）無限趨近于確定的常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)f（x）當(dāng)x時(shí)的極限，記作 或當(dāng)x時(shí)，f（x）A.Axfx)(lim定義3：如果當(dāng)x+（或x-）時(shí)，函數(shù)f（x）的值無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就稱為函數(shù)f（x）當(dāng)x+（或x-）時(shí)的極限，記作 ，或當(dāng)x+時(shí)，f（x）A.Axfx)(lim 第二節(jié) 極限的概念2.當(dāng)xx0時(shí)函數(shù)f（x）的極限定義4：設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某

8、空心鄰域鄰域就是在數(shù)軸上滿足x|x-x0|，其中0的點(diǎn)的集合.即區(qū)間（x0-，x0+）內(nèi)的一切實(shí)數(shù).x0為鄰域的中心，為半徑.如果這個(gè)區(qū)間不含x0點(diǎn)，則稱x0的空心鄰域.內(nèi)有定義，如果當(dāng)x無限趨近于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無限趨近于常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)f（x）當(dāng)xx0時(shí)的極限，記作 ， 或當(dāng)xx0時(shí)，f（x）A.Axfxx)(lim0定義5：如果當(dāng)xx0-時(shí)，函數(shù)f（x）的值無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就稱為函數(shù)f（x）在x0處的左極限（left limit），記作 ，f（x0-）=A或f（x）A（xx0-）Axfxx)(lim-0 第三節(jié) 無窮小量與無窮大量一、無窮小量定義1：如果當(dāng)x

9、x0（或x）時(shí)，函數(shù)f（x）的極限為零，那么稱函數(shù)f（x）當(dāng)xx0（或x）時(shí)為無窮小量，簡稱無窮小. 二、無窮大量定義2：如果當(dāng)xx0（或x）時(shí)，函數(shù)f（x）的絕對值無限增大，那么稱函數(shù)f（x）當(dāng)xx0（或x）時(shí)為無窮大量，簡稱無窮大. 第三節(jié) 無窮小量與無窮大量三、無窮小量與無窮大量的關(guān)系定理3：在自變量的同一變化過程中，如果f（x）為無窮大，那么1f（x）為無窮??；反之，如果f（x）為無窮小，且f（x）0，那么1f（x）為無窮大. 四、無窮小量的性質(zhì)在自變量的同一變化過程中，無窮小具有以下三個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1：有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮小.性質(zhì)2：有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小.性質(zhì)3：有限個(gè)

10、無窮小的乘積為無窮小.第四節(jié) 極限的運(yùn)算法則第五節(jié) 兩個(gè)重要極限一、判定極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1：如果函數(shù)f（x），g（x），h（x）在同一變化過程中滿足g（x）f（x）h（x）且limg（x）=limh（x）=A，那么limf（x）存在且等于A。 準(zhǔn)則2：如果數(shù)列xn單調(diào)有界，則 一定存在。nnxlim第五節(jié) 兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限公式1sinlim. 10 xxxexxx)11lim. 2（第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)的增量定義1：設(shè)函數(shù)y=f（x），當(dāng)自變量由初值x0變到終值x1時(shí)，我們把差值x1-x0叫作自變量的增量（或改變量），記作x，即x=x1-x0，2.函

11、數(shù)的連續(xù)定義2：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在x0處的增量x趨近于零時(shí)，函數(shù)y=f（x）的相應(yīng)增量y=f（x0+x）-f（x0）也趨近于零，也就是說，有 或 ，那么稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn).0=ylim0 x0=）x（f-）x+x（flim000 x第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性定義3：如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0及其近旁有定義， 存在并且 ,那么稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn).定義4：設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0處及其左（或右）近旁有定義，如果 或 ，那么稱函數(shù)f（x）在x0處左連續(xù)（或右連續(xù)）.定義5：如果

12、函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，或稱函數(shù)f（x）為區(qū)間（a，b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間（a，b）稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)區(qū)間.）x（flim0 xx）x（f=）x（flim0 xx0）x（f=）x（flim00 xx）x（f=）x（flim0 xx0第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性 性質(zhì)1：如果函數(shù)f（x）與g（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，那么它們的和、差、積、商（分母在x0處不等于零）也都在x0處連續(xù)，即），x（g）x（f=）x（g）x（flim00 xx0），x（g）x（f=）x（g）x（flim00 x

13、x00）x（g ）xg（）x（f=）xg（）x（flim000 xx0第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)2：如果函數(shù)u=（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，且（x0）=u0，而函數(shù)y=f（u）在點(diǎn)u0處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處也連續(xù). 3.初等函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)3：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4：如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，那么函數(shù)f（x）在a，b上一定有最大值與最小值.第一章 極限與連續(xù)思考題：1. 下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx與

14、axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax與0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 與高等數(shù)學(xué) 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則 第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) 第四節(jié) 函數(shù)的微分l第二章導(dǎo)數(shù)與微分1導(dǎo)數(shù)的概念(定義、幾何意義、幾何應(yīng)用)，函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，初等函數(shù)的求導(dǎo)問題，高階導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)求導(dǎo)法,對數(shù)求導(dǎo)法。2微分的概念，微分運(yùn)算法則，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。學(xué)習(xí)重點(diǎn) 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念一、引例1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度物體在時(shí)間間隔t內(nèi)的平均速度是：2.切線問題 當(dāng)

15、x0時(shí)，割線MN將繞著點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)到極限位置MT.直線MT就是曲線y=f（x）在點(diǎn)M處的切線.割線MN的斜率tan的極限就是切線MT的斜率tan（是切線MT的傾斜角）. 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念二、導(dǎo)數(shù)的概念定義1：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y有增量如果當(dāng)x0時(shí)，的極限存在，這個(gè)極限就稱為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為即也可以記作如果式（2-1）的極限存在，就稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo). 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念定義2：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果：存在，則稱y=f（x）在點(diǎn)x0的左（右）導(dǎo)數(shù)存在，記作f-（x0）f+（x0

16、）函數(shù)的左（右）導(dǎo)數(shù)，又稱函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù). 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 由切線斜率問題的討論及導(dǎo)數(shù)定義可知：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f（x0）的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）處的切線斜率，即 f（x0）=tan.其中是切線的傾斜角.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程可得，曲線y=f（x）在給定點(diǎn)M（x0，y0）處的切線方程是: y-y0=f（x0）（x-x0）.過切點(diǎn)M（x0，y0）且與切線垂直的直線叫作曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）的法線.如果f（x0）0，則法線方程為: 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性關(guān)系 如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可

17、導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)處必連續(xù). 如果函數(shù)y=f（x）在某一點(diǎn)處連續(xù)，卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo). 第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則一、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則1：若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)u（x）v（x）也在x處可導(dǎo)，且 u（x）v（x）=u（x）v（x）.法則2：若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)u（x）v（x）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且 u（x）v（x）=u（x）v（x）+u（x）v（x）.特別地，令v（x）=C（常數(shù)），則由于C=0，所以有 Cu（x）=Cu（x）.法則3：若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且v（x）0，則函數(shù)u（x）v（x）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)

18、，且 第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則4：如果函數(shù)u=（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且y=f（u）在對應(yīng)點(diǎn)u=（x）處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)f（x）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且或 f（x）=f（u）（x）. 第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則三、隱函數(shù)的求導(dǎo)（1） 將方程F（x，y）=0的兩端對x求導(dǎo)，在求導(dǎo)過程中把y看成x的函數(shù)，把y的函數(shù)看成x的復(fù)合函數(shù)；（2） 求導(dǎo)后，解出y即可（式子中允許有y出現(xiàn)）。 第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則四、反函數(shù)的求導(dǎo)法則5：設(shè)函數(shù)x=（y）在區(qū)間D內(nèi)單調(diào).在y處可導(dǎo)，且（y）0，則其反函數(shù)y=f（x）在x=（y）處也可導(dǎo)，且 第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則五、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo) 由復(fù)

19、合函數(shù)的求導(dǎo)法則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式有 第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念 一般來說，函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f（x）仍是x的函數(shù).如果函數(shù)y=f（x）仍是可導(dǎo)的，則把y=f（x）的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。 二、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義物體的加速度a是路程s對時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)，即 第四節(jié) 函數(shù)的微分一、微分的概念定義:如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)f（x0），那么f（x0）x就叫作函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的微分，記作 若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)任一點(diǎn)x處都可導(dǎo)，則把它在點(diǎn)x處的微分叫作函數(shù)的微分，記作dy或df（x），即 dy=f（

20、x）x. 第四節(jié) 函數(shù)的微分二、微分的幾何意義 函數(shù)在點(diǎn)x0的微分是: 這說明函數(shù)在x=x0處的微分是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0）處切線的縱坐標(biāo)對應(yīng)于x的改變量.這就是微分的幾何意義. 第四節(jié) 函數(shù)的微分三、微分的運(yùn)算1. 微分的基本公式 第四節(jié) 函數(shù)的微分三、微分的運(yùn)算1. 微分的基本公式 第四節(jié) 函數(shù)的微分2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則 由函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可以求得函數(shù)和、差、積、商的微分法則： 第四節(jié) 函數(shù)的微分3. 復(fù)合函數(shù)微分法則 若函數(shù)y=f（u）及u=（x）都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f（x）的微分為: dy=yxdx=f（u）（x）dx. 第四節(jié) 函數(shù)的

21、微分四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 f（x）f（0）+f（0）x.（2-4）應(yīng)用式（2-4）可推得幾個(gè)工程上常用的近似公式（假定|x|是很小的數(shù)值）：（1） （2） sinxx；（3） tanxx；（4） ln（1+x）x；（5） ex1+x. 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分思考題：設(shè)由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù), )(xyy 求.dd22xy高等數(shù)學(xué) 第一節(jié) 中值定理 第二節(jié) 洛必達(dá)法則 第三節(jié) 函數(shù)單調(diào)性的判定法 第四節(jié) 函數(shù)的極值及其求法l第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第五節(jié) 函數(shù)的最大值和最小值 第六節(jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 第七節(jié) 函數(shù)圖形的描繪1中值定理(羅爾、拉格朗日、柯西定

22、理),洛必達(dá)法則,泰勒中值定理. 2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:函數(shù)單調(diào)性的判定法，函數(shù)的極值，判斷函數(shù)圖形的凹凸性，求拐點(diǎn)，最大值與最小值問題及其求法，描繪函數(shù)的圖形(包括水平與垂直漸近線)。學(xué)習(xí)重點(diǎn) 第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第一節(jié) 中值定理第一節(jié) 中值定理一、羅爾定理羅爾定理:如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)（ab），使得函數(shù)f（x）在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零：f（）=0。 第一節(jié) 中值定理二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a，

23、b）內(nèi)至少有一點(diǎn)（ab），使下式成立：f（b）-f（a）=f（）（b-a）（3-1）推論1：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)恒有f（x）=0，那么在區(qū)間I內(nèi)函數(shù)f（x）=C，其中C為常數(shù)。 推論2：設(shè)f（x），g（x）是在I內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，若f（x）=g（x），則f（x）-g（x）=C，其中C為常數(shù)。 第一節(jié) 中值定理三、柯西中值定理 柯西中值定理如果函數(shù)f（x）及F（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且F（x）在（a，b）內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使下式成立： 第二節(jié) 洛必達(dá)法則一、0/0型未定式定理1：（洛必達(dá)法則）如果函數(shù)f（x），g（x）滿足條件：（2

24、） f（x）和g（x）在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g（x）0；那么:）x（g）x（flim=）x（g）x（flim00 xxxx第二節(jié) 洛必達(dá)法則二、/型未定式定理2：如果f（x），g（x）滿足條件：；=）x（glim，=）x（flim ）1（00 xxxx（2） f（x），g（x）在點(diǎn)x0的空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g（x）0；）為）存在（或x（g）x（flim ）3（0 xx那么:）x（g）x（flim=）x（g）x（flim00 xxxx第三節(jié) 函數(shù)單調(diào)性的判定法定理：設(shè)函數(shù)y=f（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)：（1） 如果在（a，b）內(nèi)f（x）0，那么函數(shù)y=f（x）在a，b上單調(diào)

25、增加；（2） 如果在（a，b）內(nèi)f（x）0，那么函數(shù)y=f（x）在a，b上單調(diào)減少。第四節(jié) 函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)極值的定義定義:設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有定義，x0（a，b）.如果對于點(diǎn)x0近旁的任意點(diǎn)x（xx0），均有f（x）f（x0）成立，則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，點(diǎn)x0稱為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；如果對于點(diǎn)x0近旁的任意點(diǎn)x（xx0），均有f（x）f（x0）成立，則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，點(diǎn)x0稱為f（x）的極小值點(diǎn).第四節(jié) 函數(shù)的極值及其求法 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).（1） 極值是指函

26、數(shù)值，而極值點(diǎn)是指自變量的值，兩者不應(yīng)混淆.（2） 函數(shù)的極值概念是局部性的，它只是在與極值點(diǎn)近旁的所有點(diǎn)的函數(shù)值相比較為較大或較小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小.因此，函數(shù)的極大值不一定比極小值大.例如，在圖中，極大值f（c1）就比極小值f（c5）還小.（3） 函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)；而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間內(nèi)部，也可能是區(qū)間的端點(diǎn).第四節(jié) 函數(shù)的極值及其求法二、函數(shù)極值的判定和求法定理1：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，則必有f（x0）=0.使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)即方程f（x）=0的實(shí)根叫作函數(shù)f（x）的駐點(diǎn)（又稱

27、穩(wěn)定點(diǎn)）。定理2：（第一種充分條件）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)：（1） 如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f（x）0；當(dāng)x取x0右側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f（x）0，那么函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極大值f（x0）。（2） 如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f（x）0；當(dāng)x取x0右側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f（x）0，那么函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極小值f（x0）。（3） 如果在x0的兩側(cè)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號相同，那么函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處沒有極值.第四節(jié) 函數(shù)的極值及其求法 當(dāng)函數(shù)f（x）在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零時(shí)，也可以利用下列定理來判定f（x）在駐點(diǎn)處取得極大值還是極小值。定理3：（第二種

28、充分條件）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f（x0）=0，f（x0）0，那么：（1） f（x0）0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0處取得極大值；（2） f（x0）0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0處取得極小值。第五節(jié) 函數(shù)的最大值和最小值一、函數(shù)的最大值和最小值的求法 求閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值時(shí)，只要把可能取得極值的點(diǎn)（駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)）與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較大小，最大的就是f（x）在a，b上的最大值，最小的就是f（x）在a，b上的最小值。如果函數(shù)f（x）在一個(gè)開區(qū)間或無窮區(qū)間（-，+）內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極值點(diǎn)x0，那么當(dāng)f（x0）是極大值時(shí)，f（x0）就是f（x）在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)f（x0

29、）是極小值時(shí)，f（x0）就是f（x）在該區(qū)間上的最小值.有時(shí)，函數(shù)f（x）也可能在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處取得最大值或最小值。第五節(jié) 函數(shù)的最大值和最小值 在一些特殊情況下，求函數(shù)的最大值或最小值的問題比較簡單.例如：（1） 如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上單調(diào)遞增（減），則兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值f（a），f（b）分別就是最?。ù螅┲岛妥畲螅ㄐ。┲怠＃?） 如果函數(shù)f（x）在某區(qū)間（開或閉、有限或無限）上連續(xù)，且在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，則當(dāng)f（x0）是極大（?。┲禃r(shí)，f（x0）也就是該區(qū)間上的最大（?。┲怠５诹?jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)一、曲線的凹凸性及其判別法定義1:若在開區(qū)間（a，b）內(nèi)，曲線y=f（x

30、）的各點(diǎn)處切線都位于曲線的下方，則稱此曲線在（a，b）內(nèi)是凹的；若曲線y=f（x）的各點(diǎn)處切線都位于曲線的上方，則稱此曲線在（a，b）內(nèi)是凸的。 定理：設(shè)函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則（1） 如果在區(qū)間（a，b）內(nèi)f（x）0，則曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的；（2） 如果在區(qū)間（a，b）內(nèi)f（x）0，則曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)是凸的。第六節(jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、曲線的拐點(diǎn)定義2:若連續(xù)曲線y=f（x）上的一點(diǎn)是凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點(diǎn)，則稱該點(diǎn)是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)。 判定曲線的拐點(diǎn)的步驟：（1） 確定函數(shù)y=f（x）的定義域；（2） 求出二階導(dǎo)數(shù)f

31、（x），令f（x）=0，求出定義域內(nèi)的所有實(shí)根，指出f（x）不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)來劃分定義域；（3） 列表討論f（x）在各個(gè)區(qū)間f（x）的符號和f（x）的凹凸性；（4） 確定y=f（x）的拐點(diǎn)。第七節(jié) 函數(shù)圖形的描繪一、曲線的漸近線定義：如果曲線y=f（x）的定義域是無限區(qū)間，且有b=）x（flim-x或b=）x（flimx，則直線y=b為曲線y=f（x）的水平漸近線；如果曲線y=f（x）有=）x（flim0 xx或=）x（flim-0 xx則直線x=x0是曲線y=f（x）的垂直漸近線。第七節(jié) 函數(shù)圖形的描繪二、描繪函數(shù)圖形的一般步驟（1） 確定函數(shù)的定義域，并討論函數(shù)的有界性、周期性、奇偶性

32、等；（2） 求f（x），f（x），解出f（x）=0及f（x）=0在定義域內(nèi)的全部實(shí)根及一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（3） 列表討論f（x），f（x）的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)；（4） 計(jì)算一些必要的輔助點(diǎn)；（5） 討論曲線的漸近線；（6） 描出函數(shù)圖像。思考題： 第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用)0()1arctan(arctanlim2ananann求高等數(shù)學(xué) 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 第二節(jié) 換元積分法 第三節(jié) 分部積分法l第四章不定積分1原函數(shù)與不定積分的定義，不定積分性質(zhì)、基本積分公式.2換元積分法，分部積分法,有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式積分的舉例，積分表用法。學(xué)習(xí)重點(diǎn)

33、 第四章不定積分 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分定義1:設(shè)函數(shù)F（x）和f（x）在區(qū)間I上有定義，若對于I上每一點(diǎn)x，都有:F（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，則稱F（x）是f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)。定理：若函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，那么f（x）在I上的原函數(shù)F（x）存在。定義2：函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱為f（x）在I上的不定積分，記作f（x）dx，其中，記號稱為積分號，f（x）稱為被積函數(shù)，f（x）dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量。 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)二、不定積分的幾何意義 一條曲線y=F（x），這條曲線上任意點(diǎn)（x，F(xiàn)（x）處的切線的

34、斜率F（x）恰為函數(shù)值f（x），稱這條曲線為f（x）的一條積分曲線.f（x）的不定積分F（x）+C則是一個(gè)曲線簇，稱為積分曲線簇. 由不定積分和微分的關(guān)系可知：f（x）dx=f（x）或df（x）dx=f（x）dx，F(xiàn)（x）dx=F（x）+C或dF（x）=F（x）+C. 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)三、不定積分的基本公式常用的不定積分公式：為常數(shù)）；k（C+kx=kdx ）1（為常數(shù)）；，-1（C+1+x=xd ）2（1+；+C|x|ln=xdx=dxx1）3（；C+e=dxe ）4（xx為常數(shù)）；a，1a，0a（C+lnaa=dxa ）5（xx；C+-cosx=sinxdx ）6（ 第一節(jié) 不

35、定積分的概念與性質(zhì)三、不定積分的基本公式常用的不定積分公式：；C+sinx=cosxdx ）7（；C+tanx=xdxsec ）8（2；C+-cotx=xdxcsc ）9（2；C+secx=secxtanxdx ）10（；C+-cscx=cscxcotxdx ）11（；C+arcsinx=x-1dx ）12（2C.+arctanx=x+1dx）13（2 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)四、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1：若f（x）和g（x）的不定積分存在，則f（x）+g（x）的不定積分也存在，且 f（x）+g（x）dx=f（x）dx+g（x）dx。 性質(zhì)2：若f（x）的不定積分存在，k為非零常數(shù)，則kf（x

36、）的不定積分也存在，且 kf（x）dx=kf（x）dx。 第二節(jié) 換元積分法一、第一類換元積分法定理1：設(shè)函數(shù)u=（x）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（u）du=F（u）+C，則 f（x）（x）dx=F（x）+C.（4-1）運(yùn)用湊微分法求不定積分，需要熟悉以下常用的微分式：）；0a）（b+ax（da1=dx ）1（）；x（d21= xdx）2（2）；lnx（d=dxx1 ）3（；x1-d=dxx1 ）4（2）；x（2d=dxx1 ）5（）；e（d=dxe ）6（xx）；cosx（-d=sinxdx ）7（）；sinx（d=cosxdx ）8（）；tanx（d=xdxsec ）9（2）；secx（d=sec

37、xtanxdx ）10（）；arctanx（d=dxx+11 ）11（2）arcsinx（d=dxx-11 ）12（2 第二節(jié) 換元積分法二、第二類換元積分法定理2:設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，x=（t）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且導(dǎo)數(shù)不為零，t=-1（x）是其反函數(shù).如果（t）是f（t）（t）的原函數(shù)，則）2 -4（C.+）x（=C+）t（=dt）t（）t（fdx）x（f1 -)(tx 在應(yīng)用第二類換元積分法中，有些結(jié)果在求其他積分時(shí)會經(jīng)常用到.為了降低計(jì)算的難度，把這些結(jié)果也作為積分公式列出如下，供以后使用.；+C|cosx|-ln=tanxdx ）1（；+C|sinx|ln=cotxdx ）2（；+C|tan

38、x+secx|ln=secxdx ）3（；+C|cotx-cscx|ln=xcscxd ）4（；C+axarctana1=x+adx ）5（22；C+axarcsin=x-adx ）6（22；C+a+xa-xln2a1=a-xdx ）7（22）；0a（+C|ax+x|ln=axdx ）8（2222）0a（C+axarcsina21+x-ax21=dxx-a ）9（22222 第三節(jié) 分部積分法定理:設(shè)函數(shù)u=u（x），v=v（x）均具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則由兩個(gè)函數(shù)乘法的微分法則可得: d（uv）=udv+vdu或udv=d（uv）-vdu，兩邊同時(shí)積分得: udv=d（uv）-vdu=uv-vdu，

39、這個(gè)公式被稱為分部積分公式。u，v的選擇原則如下：（1） 由（x）dx=dv，求v比較容易；（2） vdu比udv更容易計(jì)算。思考題： 第四章不定積分如何求下列積分更簡便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23高等數(shù)學(xué) 第一節(jié) 定積分的概念 第二節(jié) 微積分基本定理 第三節(jié) 定積分的計(jì)算l第五章定積分及其應(yīng)用 第四節(jié) 廣義積分 第五節(jié) 定積分的應(yīng)用1定積分的概念與性質(zhì)，定積分中值定理.2. 定積分作為變上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，牛頓萊布尼茨公式。3定積分的換元法與分部積分法，4定積分在幾何上的應(yīng)用(如面積、體積和弧長等求法)。5定積分在物理上的應(yīng)用(如功、水壓力、引力等求法)

40、。學(xué)習(xí)重點(diǎn) 第五章定積分及其應(yīng)用 第一節(jié) 定積分的概念一、引例1. 曲邊梯形的面積 在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線y=f（x），直線x=a，x=b及x軸所圍成的圖形稱為曲邊梯形. 曲邊梯形的面積是一個(gè)和式的極限：2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 設(shè)一物體沿一直線運(yùn)動(dòng)，已知速度v=v（t）是時(shí)間區(qū)間a，b上t的連續(xù)函數(shù)，且v（t）0,路程S的精確值為：.x）（flim=An1=iii0 xi.t）t（vlim=Sn1iii0t 第一節(jié) 定積分的概念二、定積分的概念定義:設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間a，b上有定義.在區(qū)間a，b中任取分點(diǎn)a=x0 x1x2x3xi-1xixn-1xn=b， 將區(qū)間a，b分成n個(gè)小區(qū)

41、間xi-1，xi，其長度為:xi=xi-xi-1（i=1，2，n）. 在每個(gè)小區(qū)間xi-1，xi上任取一點(diǎn)i（xi-1ixi）求乘積f（i）xi（i=1，2，n）的和式：）1-5（ .x）（fn1=iii 第一節(jié) 定積分的概念 如果不論對區(qū)間a，b采取何種分法及i如何選取，當(dāng)n個(gè)小區(qū)間中區(qū)間的長度最大值趨近于零，即xi0時(shí)，和式（5-1）的極限存在，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上可積， 并稱此極限值為函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上的定積分，即：，dx）x（f=x）（flimban1=iii0 xi 其中f（x）叫作被積函數(shù)，f（x）dx叫作被積表達(dá)式，x叫作積分變量，a與b分別叫作積分的下限和上限

42、，a，b叫作積分區(qū)間。 第一節(jié) 定積分的概念三、定積分的幾何意義 在閉區(qū)間a，b上，若函數(shù)f（x）0，則abf（x）dx在幾何上表示由曲線y=f（x）（0），直線x=a，x=b和x軸圍成的曲邊梯形的面積. 在閉區(qū)間a，b上，若函數(shù)f（x）0，則abf（x）dx在幾何上表示由曲線y=f（x）（0），直線x=a，x=b和x軸圍成的曲邊梯形（在x軸下方）的面積的相反數(shù). 在閉區(qū)間a，b上，f（x）有正有負(fù)時(shí)，如果我們約定位于x軸上方的面積為“正”，下方的面積為“負(fù)”，這時(shí)，abf（x）dx在幾何上表示介于x軸及直線x=a，x=b和曲線y=f（x）之間的各部分面積的代數(shù)和，即:.A+A-A=dx）xf

43、（321ba 第一節(jié) 定積分的概念四、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即 abkf（x）dx=kabf（x）dx.性質(zhì)2：兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即 abf（x）g（x）dx=abf（x）dxabg（x）dx. 性質(zhì)2可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況，即 abf1（x）f2（x）fn（x）dx= abf1（x）dxabf2（x）dxabfn（x）dx. 第一節(jié) 定積分的概念性質(zhì)3：如果acb，那么abf（x）dx=acf（x）dx+cbf（x）dx.性質(zhì)4：在a，b上，若f（x）g（x），則：abf（x）dxabg（x）dx.性質(zhì)4說明：比較兩個(gè)

44、定積分的大小，只需在同一積分區(qū)間上比較兩個(gè)被積函數(shù)的大小。 性質(zhì)5（估值定理）：如果函數(shù)f（x）在a，b上可積，對任意xa，b恒有mf（x）M，則m（b-a）abf（x）dxM（b-a）.性質(zhì)5的幾何意義是：曲線y=f（x）在a，b上曲邊梯形的面積介于區(qū)間a，b長度為底，分別以m和M為高的兩個(gè)矩形面積之間。 第一節(jié) 定積分的概念性質(zhì)6（積分中值定理）：如果函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)a，b，使得 abf（x）dx=f（）（b-a）.性質(zhì)6的幾何意義是：以區(qū)間a，b為底，以曲線y=f（x）為頂?shù)那吿菪蚊娣e等于同一底邊而高為f（）的矩形面積（a，b）。 第二節(jié) 微積分基本定理 對于

45、a，b上任一給定的x，有唯一確定的積分值axf（t）dt與之對應(yīng)，因而axf（t）dt是定義在區(qū)間a，b上的自變量x在積分上限的函數(shù)，稱為 積分上限函數(shù)，也稱變上限定積分，記作（x），即 （x）=axf（t）dt，xa，b. 第二節(jié) 微積分基本定理定理1：如果f（x）在a，b上連續(xù)，則積分上限函數(shù)（x）=axf（t）dt在a，b上對其上限x的導(dǎo)數(shù)存在，且. b，ax），x（f=dt）t（fdxd=）x（xa定理2：（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，則f（x）在a，b上存在原函數(shù)，并且積分上限函數(shù)（x）=axf（t）dt是f（x）在a，b上的一個(gè)原函數(shù)。 第二節(jié) 微積分基本定理二

46、、微積分基本定理定理3：設(shè)f（x）在a，b上連續(xù)，F(xiàn)（x）是f（x）在a，b上的一個(gè)原函數(shù)，則 abf（x）dx=F（b）-F（a）.（5-2）定理3通常稱為微積分基本定理，公式（5-2）稱為牛頓（Newton）-萊布尼茨（Leibniz）公式，簡記為N-L公式。N-L公式把定積分的問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的原函數(shù)，揭示了定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系。 第三節(jié) 定積分的計(jì)算 與不定積分類似，定積分也有相應(yīng)的換元法與分部積分法。一、定積分的換元積分法定理1：如果函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，函數(shù)x=（t）在，上是單調(diào)的且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)（t），又（）=a，（）=b，且當(dāng)t在，上變化時(shí)，相應(yīng)的x值不越出a，b

47、的范圍，那么 abf（x）dx=f（t）（t）dt. 這個(gè)公式稱為定積分的換元公式。 第三節(jié) 定積分的計(jì)算二、分部積分法定理2：如果函數(shù)u（x），v（x）在區(qū)間a，b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么，）x（ud）x（v-）x（v）x（u=）x（vd）x（ubababa 也可簡寫為：.vdu-uv=udvbababa 以上兩個(gè)公式稱為定積分的分部積分公式。 第四節(jié) 廣義積分ba+b+adx）x（flim=dx）x（f為f（x）在無限區(qū)間a，+）上的廣義積分.如果上式右邊的極限存在，稱廣義積分a+f（x）dx收斂，極限值為廣義積分值；否則，稱廣義積分發(fā)散。一、無限區(qū)間上的廣義積分定義1:假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間

48、a，+）上連續(xù)，對任意ba，積分abf（x）dx存在，我們稱: 第四節(jié) 廣義積分 同樣地，假設(shè)函數(shù)f（x）在（-，b）上連續(xù)，對于任意ab，我們稱:ba-ab-dx）x（flim=dx）x（f 為f（x）在無限區(qū)間（-，b上的廣義積分.如果極限存在，稱廣義積分-bf（x）dx收斂，極限值為廣義積分值；否則稱廣義積分發(fā)散。 如果f（x）在（-，+）上連續(xù)，則將廣義積分+-f（x）dx作如下定義 -+f（x）dx=-af（x）dx+a+f（x）dx， 其中，a為任意確定常數(shù).僅當(dāng)?shù)仁接疫叺膬蓚€(gè)廣義積分都收斂時(shí)，廣義積分-+f（x）dx收斂。 第四節(jié) 廣義積分 我們以a+f（x）dx為例，介紹廣義積

49、分的幾個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1：若a+f（x）dx收斂，則對任意常數(shù)k， a+kf（x）dx也收斂，且 a+kf（x）dx=ka+f（x）dx.性質(zhì)2：若a+f（x）dx，a+g（x）dx都收斂，則a+f（x）+g（x）dx也收斂，且 a+f（x）+g（x）dx=a+f（x）dx+a+g（x）dx.性質(zhì)3：分部積分公式成立： a+udv=uva+-a+vdu.性質(zhì)4：換元法成立。 第四節(jié) 廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分定義2：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b上連續(xù)，=）x（flim+ax對充分小的正數(shù)，稱：b+a0badx）x（flim=dx）x（f+為f（x）在區(qū)間（a，b上的廣義積分.若等式右邊的極限存

50、在，則稱廣義積分abf（x）dx收斂，極限值為廣義積分值；否則，稱廣義積分發(fā)散。類似地，設(shè)f（x）在區(qū)間a，b）上連續(xù)，=）x（flim-bx對充分小的正數(shù)，稱：-ba0badx）x（flim=dx）x（f+為f（x）在區(qū)間a，b）上的廣義積分.如果極限存在，則稱廣義積分abf（x）dx收斂，極限值為廣義積分值；否則，稱廣義積分發(fā)散。 第四節(jié) 廣義積分如果acb，=）x（flimcxf（x）在a，c）（c，b上連續(xù)，則將廣義積分abf（x）dx定義為 abf（x）dx=acf（x）dx+cbf（x）dx.只有等式右邊兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí)，廣義積分abf（x）dx才收斂。 第五節(jié) 定積分的應(yīng)用一

51、、微元法前面我們從分析解決曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程兩個(gè)例子中引入了定積分的概念.如果用定積分來表示的量U滿足以下條件：（1） U依賴于區(qū)間a，b，當(dāng)將a，b分成若干子區(qū)間后，量U成為對應(yīng)于各子區(qū)間上部分量U的和；（2） U依賴于區(qū)間a，b上的某函數(shù)；（3） 在a，b的微小子區(qū)間x，x+dx上對應(yīng)的部分量Uf（x）dx.若記量U的微元為dU，即有UdU，U與dU的差是比dx高階的無窮小.那么以dU=f（x）dx為積分表達(dá)式，從x=a到x=b的定積分abf（x）dx就是所求量U. 第五節(jié) 定積分的應(yīng)用 綜上可知，用定積分解決實(shí)際問題的方法和步驟如下：（1） 根據(jù)問題的實(shí)際情況，選取一個(gè)變

52、量為積分變量，并確定它的變化區(qū)間a，b；（2） 把區(qū)間a，b分成n個(gè)小區(qū)間，取其中一個(gè)小區(qū)間并記x，x+dx，求出該小區(qū)間上U的近似值dU，若dU=f（x）dx，就把f（x）dx稱為量U的元素；（3） 以元素f（x）dx為積分表達(dá)式，在區(qū)間a，b上作定積分，得U=abf（x）dx. 這種方法稱為定積分的微元法. 第五節(jié) 定積分的應(yīng)用二、定積分在幾何上的應(yīng)用1.平面圖形的面積用微元法分析：第一步：選積分變量xa，b和典型區(qū)間x，x+dxa，b；第二步：在x，x+dx上用矩形面積代替小曲邊梯形面積A，f（x）為小矩形的高，則得到面積微元為： dA=f（x）dx，（5-3） 所求圖形的面積為： A=

53、abf（x）dx.（5-4） 第五節(jié) 定積分的應(yīng)用2.旋轉(zhuǎn)體的體積 由連續(xù)曲線y=f（x）和直線x=a，x=b（ab）及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體.這個(gè)幾何體的體積也可以用微元法討論.第一步：選取積分變量xa，b和典型區(qū)間x，x+dxa，b；第二步：在子區(qū)間x，x+dx上，小旋轉(zhuǎn)體的體積可以用以f（x）為半徑，dx為高的小圓柱體的體積近似代替，而小圓柱體的體積為： dV=f2（x）dx， 在a，b上積分得旋轉(zhuǎn)體的體積為： Vx=abf2（x）dx.（5-5） 用類似的方法，可求得由曲線x=g（y）及直線y=c，y=d（cd）與y軸所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋

54、轉(zhuǎn)體的體積為 Vy=cdg2（y）dy.（5-6） 第五節(jié) 定積分的應(yīng)用3. 平面曲線的弧長 如圖所示，設(shè)光滑曲線 y=f（x），axb的弧長為s，取x為積分變量，x的變化區(qū)間是a，b. 顯然弧長s對區(qū)間具有可加性.在a，b上取微小區(qū)間x，x+dx，對應(yīng)于該區(qū)間上的小弧度MN的弧長可以用曲線y=f（x）在點(diǎn)（x，y）處的切線上相應(yīng)直線段MT的長度近似代替，而MT的長為:，dx y+1=）dy（+）dx（222 得弧長微分（簡稱弧微分）:dx. y+1=ds2 第五節(jié) 定積分的應(yīng)用 上式對x從x=a到x=b積分，得所求曲線弧長:.dx y+1=sba2 如果平面曲線由參數(shù)方程 x=x（t）， y

55、=y（t）， t給出，其中x（t），y（t）在，上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么弧微分:dt.）t（y+）t（x=）dy（+）dx（=ds2222取參數(shù)t為積分變量，對t從t=到t=積分，得曲線弧長:.dt）t（ y+）t（ x=s22 第五節(jié) 定積分的應(yīng)用 如果平面曲線由極坐標(biāo)方程: r=r（），給出，其中r（）在，上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).若取極角為參數(shù)，那么上述 極坐標(biāo)曲線方程可化為參數(shù)方程: x=r（）cos， y=r（）sin， .于是，弧微分:d）（r+）（r=d）（y+）（x=ds2222 取為積分變量，對=到=積分，得曲線弧長:.d）（ r+）（r=s22思考題： 第五章定積分及其應(yīng)用 用定積分表示

56、下述極限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim高等數(shù)學(xué) 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù) 第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用l第六章多元函數(shù)微積分 第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 第五節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 第六節(jié) 多元函數(shù)的極值 第七節(jié) 二重積分1多元函數(shù)的概念(定義、二元函數(shù)的幾何意義)，二元函數(shù)的極限與連續(xù)，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(敘述)。2偏導(dǎo)數(shù)的概念(定義、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義、求法)，高階偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù)可交換求導(dǎo)次序的條件(敘述)，全微分的概念定義、全微分存在的充分條件，可導(dǎo)、可微與連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系，全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

57、法則，全導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)法。3偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用(空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線)，多元函數(shù)的極值及其求法，最大值與最小值問題，條件極值。學(xué)習(xí)重點(diǎn)第六章多元函數(shù)微積分 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念一、區(qū)域1. 鄰域 設(shè)P0（x0，y0）是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)，是某一正數(shù).與點(diǎn)P0距離小于的點(diǎn)P（x，y）的全體稱為點(diǎn)P0的鄰域，記為U（P0，），即 U（P0，）=P|PP0| 在幾何上，U（P0，）就是xOy平面上以點(diǎn)P0為中心、0為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)P（x，y）的全體。 如果不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑，則用U（P0）表示點(diǎn)P0的鄰域.點(diǎn)P0的去心鄰域記作U。（P0）。

58、 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念2. 區(qū)域 設(shè)D為一平面點(diǎn)集，若有點(diǎn)P的某鄰域U（P）D，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集D的內(nèi)點(diǎn)。 若點(diǎn)集D的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱D為開集.例如，點(diǎn)集D=（x，y）|1x2+y24就是開集。 設(shè)D為一開集，若對D中的任意兩點(diǎn)，都可以用完全落在D內(nèi)的折線連接起來，則稱D具有連通性。連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.例如，點(diǎn)集（x，y）|x+y0及（x，y）|1x2+y24都是區(qū)域。 若點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于D的點(diǎn)也有不屬于D的點(diǎn)（點(diǎn)P本身可以屬于D，也可以不屬于D），則稱P為D的邊界點(diǎn)。D的邊界點(diǎn)的全體稱為D的邊界。 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 開區(qū)域與其邊界的并集稱為閉區(qū)域。例如，點(diǎn)集（x

59、，y）|1x2+y24是閉區(qū)域。 對于點(diǎn)集D，若存在一個(gè)正實(shí)數(shù)M，使得D內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離都不大于M，則稱D為有界點(diǎn)集，否則，稱D為無界點(diǎn)集。 若D為閉區(qū)域而且有界，則稱D為有界閉區(qū)域.例如，點(diǎn)集（x，y）|1x2+y24是有界閉區(qū)域，而點(diǎn)集（x，y）|x+y0就是無界區(qū)域。 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念二、多元函數(shù)的概念定義1：設(shè)D是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)集，若對D中的每一點(diǎn)P（x，y），變量z按照一定的法則總有確定的值與之對應(yīng)，則稱z為變量x，y的二元函數(shù)（或點(diǎn)P的函數(shù)），記為 z=f（x，y）或z=f（P）. 點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，x，y稱為自變量，z稱為因變量.數(shù)集 M=z|z=f（x，

60、y），（x，y）D稱為該函數(shù)的值域。 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念二、二元函數(shù)的極限定義2：設(shè)二元函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）的某鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)P0可以除外）.如果點(diǎn)P（x，y）在該鄰域內(nèi)以任意方式無限趨于點(diǎn)P0（x0，y0）時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值f（x，y）無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A是二元函數(shù)f（x，y）當(dāng)（x，y）（x0，y0）時(shí)的極限，記作:A.=）y，x（flim或A=）y，x（flim0000yyxx）y，x（）y，x（ 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3：設(shè)函數(shù)f（x，y）在P0的某鄰域內(nèi)有定義，若有），y，x（f=）y，x（flim00yyxx0