九年級數(shù)學(xué)上第三章證明三

1、九年級數(shù)學(xué)上第三章證明三九年級數(shù)學(xué)(上)第三章 證明(三) 3.1 平行四邊形(三） 三角形的中位線及性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)w定理:平行四邊形的對邊相等.駛向勝利的彼岸w證明后的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用. BDCA四邊形ABCD是平行四邊形.AB=CD,BC=DA.w定理:平行四邊形的對角相等.四邊形ABCD是平行四邊形.A=C, B=D.定理:平行四邊形的對角線互相平分.四邊形ABCD是平行四邊形.CO=AO,BO=DO.BDCAO定理:夾在兩條平等線間的平等線段相等.MNPQ,ABCD,AB=CD.BDCAMNPQ回顧 思考平行四邊形的判定平行四邊形的判定駛向勝利的彼岸w定理:

2、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.w定理:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.定理:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.定理:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形的.回顧 思考wAB=CD,AD=BC,w四邊形ABCD是平行四邊形.BDCABDCAOwABCD,AB=CD,w四邊形ABCD是平行四邊形.wAO=CO,BO=DO,w四邊形ABCD是平行四邊形.wA=C,B=D.w四邊形ABCD是平行四邊形.等腰梯形的性質(zhì)w定理:等腰梯形同一底上的兩個角相等.w定理:等腰梯形的兩條對角線相等.w在梯形ABCD中,ADBC,wAB=DC,wAC=DB.w在梯形ABCD中,ADBC,wAB=D

3、C,wA=D, B=C.BDCABDCAw證明后的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用. 回顧 思考等腰梯形的判定等腰梯形的判定定理:同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,ADBC,A=D或B=C,AB=DC.定理:兩條對角線相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,ADBC,AC=DB.AB=DC.BDCABDCAw證明后的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用. 回顧 思考駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)分割三角形挑戰(zhàn)分割三角形 我思我思,我進(jìn)步我進(jìn)步w你能將任意一個三角形分成四個全等的三角形嗎?w連接每兩邊的中點,看看得到了什么樣的圖形?w四個全等的三角形.w請你設(shè)法驗證.連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線

4、.猜一猜,三角形中位線有什么性質(zhì)?BCADEF三角形中位線的性質(zhì)三角形中位線的性質(zhì)w定理:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半. 我思我思,我進(jìn)步我進(jìn)步已知已知: :如圖如圖,DE,DE是是ABCABC的中位線的中位線. .w分析:要證明線段的倍分關(guān)系到,可將DE加倍后證明與BC相等.從而轉(zhuǎn)化為證明平行四邊形的對邊的關(guān)系, 于是可作輔助線,利用全等三角形來證明相應(yīng)的邊相等.證明:如圖,延長DE至F, 使EF=DE,連接CF. AE=CE,AED=CEF,ABCCDA(SAS).AD=CF,ADE=F.BDCF.BD=CF.AD=BD,DEBCA.21BCDE求證:DEBC,F四邊形A

5、BCD是平行四邊形.DFBC,DF=BC.21BCDE DEBC,三角形中位線的性質(zhì)三角形中位線的性質(zhì)駛向勝利的彼岸 我思我思,我進(jìn)步我進(jìn)步w利用定理“三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半”,請你證明下面分割出的四個小三角形全等.已知:如圖,D,E,F分別是ABC各邊的中點.求證: ABCABCABC.證明: D,E,F分別是ABC各邊的中點.(三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半).ADEDBFEFCFED(SSS).w分析:利用三角形中位線性質(zhì),可轉(zhuǎn)化用(SSS)來證明三角形全等.BCADEF.FCBFDE.DBADEF.EACEFD三角形中位線性質(zhì)的應(yīng)用三角形中位線性

6、質(zhì)的應(yīng)用 我思我思,我進(jìn)步我進(jìn)步w如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD四邊的中點分別為四邊的中點分別為E,F,G,H,E,F,G,H,四邊形四邊形EFGHEFGH是怎樣四邊形是怎樣四邊形? ?你的結(jié)論對所有的四邊形你的結(jié)論對所有的四邊形ABCDABCD都成立嗎都成立嗎? ?求證:四邊形EFGH是平行四邊形.w分析:將四邊形ABCD分割為三角形,利用三角形的中位線可轉(zhuǎn)化兩組對邊分別平行或一組對邊平行且相等來證明.證明:連接AC.E,F,G,H分別為各邊的中點,四邊形EFGH是平行四邊形.ABCHDEFG已知:如圖,在四邊形ABCD中, E,F,G,H分別為各邊的中點.21ACEF EFAC

7、,HGAC,.21ACHG 做一做做一做,想一想想一想 我思我思,我進(jìn)步我進(jìn)步駛向勝利的彼岸1、已知，如圖,A,B兩地被池塘隔開,在沒有任何測量工具的情況下,有通過學(xué)習(xí)方法估測出了A,B兩地之間的距離:先在AB外選一點C,然后步測出AC,BC的中點M,N,并測出MN的長,由此他就知道了A,B間的距離.你能說出其中的道理嗎?CMBAN如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD中，中，AC=6AC=6，BD=8BD=8且且ACBDACBD順次連接四順次連接四邊形邊形ABCDABCD各邊中點，得到四邊形各邊中點，得到四邊形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1；再順次連接四；再順次連接四邊形

8、邊形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1各邊中點，得到四邊形各邊中點，得到四邊形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2如此進(jìn)如此進(jìn)行下去得到四邊形行下去得到四邊形A An nB Bn nC Cn nD Dn n . .（1 1）證明：四邊形）證明：四邊形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是矩形；是矩形； （2 2）寫出四邊形）寫出四邊形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1和四邊形和四邊形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2的面積；的面積； （3 3）寫出四邊形）寫出四邊形A An nB Bn nC Cn nD Dn n的面積；的面積；

9、（4 4）求四邊形）求四邊形A A5 5B B5 5C C5 5D D5 5的周長的周長. 做一做做一做,想一想想一想123321123321ABCDDCBAABCDDCBA三角形的重心三角形的重心駛向勝利的彼岸w我們知道,三角形的三條中線交于一點.這一點叫做三角形的重心.w三角形的重心分每一條中線的比為1 2(重心到每邊的中點距離重心到所對角的頂點的距離).w你能證明這個命題嗎?w與同伴交流你的想法和具體的證明方法.w三角形的重心有一個重要的幾何性質(zhì):ABCDEFG心動 不如行動三角形重心的幾何性質(zhì)三角形重心的幾何性質(zhì)w已知已知: :如圖如圖,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCAB

10、C的三條中線的三條中線, ,且相交且相交于點于點G.G.求證求證: :GE GA=GF GB=GD GC=1 2. .w分析:要證明GE GA=1 2,可以考慮折半法(如取GA的中點M,GB的中點N).轉(zhuǎn)化為證明AM=MG=GE,BN=NG=GF.分別連接FE,EN,NM,MF.ABCDEFGM N從而借助于三角形的中位線構(gòu)造平行四邊形來獲得證明.w怎么樣,在老師的幫助下,你可以寫出證明過程了嗎?w由此你又悟出了些什么?已知.如圖,AE,BF,CD是ABC的三條中線,且相交于點G.求證:GE GA=GF GB=GD GC=1 2.w證明:取GA的中點M,GB的中點N,分別連接FE,EN,NM,

11、MF.F,E是AC,BC的中點, FEMN,FE=MN.ABCDEFGM N四邊形FENM是平行四邊形.MG=GE,NG=GF.21ABFE FEAB,MNAB,.21ABMN AM=MG=GE,BN=NG=GF. GE GA=GF GB=1 2.w同同理,GD GC=1 2.wGE GA=GF GB=GD GC=1 2.你還能用另外的方法證明嗎？你還能用另外的方法證明嗎？ABCDEFGABCDEFG已知已知: :如圖如圖,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三條中線的三條中線, ,且相交且相交于點于點G.G.求證求證: :GE GA=GF GB=GD GC=1 2. .三角形

12、中位線的性質(zhì)三角形中位線的性質(zhì)w定理:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.w這個定理提供了證明線段平行,和線段成倍分關(guān)系的根據(jù).模型:連接任意四邊形各邊中點所成的四邊形是平行四邊形.要重視這個模型的證明過程反映出來的規(guī)律:對角線的關(guān)系是關(guān)鍵.改變四邊形的形狀后,對角線具有的關(guān)系(對角線相等,對角線垂直,對角線相等且垂直)決定了各中點所成四邊形的形狀.回顧 思考wDE是ABC的中位,DEBCA.21BCDE DEBC,ABCHDEFG知識的升華獨立獨立作業(yè)作業(yè)P79習(xí)題3.3 1,2,3,4題.祝你成功！思考題？思考題？1 1、如圖，在、如圖，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，E E為為ABAB中點，中點，延長延長ABAB到到D D，使，使BD=ABBD=AB，連接，連接CDCD、CECE，求證：求證：CD=2CECD=2CE2 2、如圖，在