清晰空間幾何體的表面積與體積

1、一、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積一、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 (1)(1)矩形面積公式：矩形面積公式： _。 (2)(2)三角形面積公式：三角形面積公式：_。 正三角形面積公式：正三角形面積公式：_。 (3)(3)圓面積面積公式：圓面積面積公式：_。 (4)(4)圓周長(zhǎng)公式：圓周長(zhǎng)公式： _。 (5)(5)扇形面積公式：扇形面積公式： _。 (6)(6)梯形面積公式：梯形面積公式： _abS ahS21243aS 2rS2CrhbaS)(21復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧12slr柱體柱體錐體錐體臺(tái)體臺(tái)體球球多面體多面體旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體 在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，你知道在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)了正方體和長(zhǎng)方體的

2、表面積，你知道正方體和長(zhǎng)方體的表面積怎樣得到的正方體和長(zhǎng)方體的表面積怎樣得到的幾何體表面積幾何體表面積展開圖展開圖平面圖形面積平面圖形面積空間問題空間問題平面問題平面問題把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？chhcbaS )（直棱拄側(cè)直棱拄側(cè)habcabchh底側(cè)表面積SSS2正棱錐的側(cè)面展開圖是什么？正棱錐的側(cè)面展開圖是什么？側(cè)面展開正棱錐的正棱錐的側(cè)面積側(cè)面積如何計(jì)如何計(jì)算？算？表面積表面積如何計(jì)算？如何計(jì)算？21chS正棱錐側(cè)正棱錐側(cè) 正棱臺(tái)的正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖側(cè)面展開圖是什么？是什么？側(cè)面展開側(cè)面展開hh正棱臺(tái)的正棱臺(tái)的側(cè)面積側(cè)面積如何計(jì)算？如何計(jì)算？ 表面積表面

3、積如何計(jì)算？如何計(jì)算？) 21hccS （正棱臺(tái)側(cè)正棱臺(tái)側(cè)h一般地一般地, ,多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和表面積表面積= =側(cè)面積側(cè)面積+ +底面積底面積小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開圖的形狀是關(guān)鍵； 2、對(duì)應(yīng)的面積公式)cc21hS（正正棱棱臺(tái)臺(tái)C=021chS三三棱棱錐錐C=CchchS 直直棱棱柱柱 例例1 已知棱長(zhǎng)為已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形，各面均為等邊三角形的四面體的四面體S-ABC，求它的表面積，求它的表面積 BCAS 例例1 已知棱長(zhǎng)為已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面，各面均為等邊三角形的四面體體S-ABC，求它的表面積

4、，求它的表面積 DBCASaaaBDSBSD2322222所以：所以： 243232121aaaSDBCSSBC因此，四面體因此，四面體S-ABC 的表面積的表面積交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D解：先求解：先求 的面積，過(guò)點(diǎn)的面積，過(guò)點(diǎn)S作作SBCBCSD 223434aaS因?yàn)橐驗(yàn)閍BC 思考)(2222lrrrlrS圓柱表面積rlr2)(2lrrrlrS圓錐表面積r2lOr)(22rll rrrSr2lOrO r2 rlrrrrS222122lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS?)(22rllrrrS?rr上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大r0上底縮小上底縮小圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么

5、關(guān)系？圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？ 例例2 2 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑20 cm20 cm，盆，盆底直徑為底直徑為15cm15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm1.5 cm，盆壁長(zhǎng)，盆壁長(zhǎng)15cm15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取取3.143.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圓臺(tái)的表面積公式得解：由圓臺(tái)的表面積公式得 花盆的表面積：花盆的表面積：2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面積約是

6、答：花盆的表面積約是999 999 2cm)(22rllrrrS圓臺(tái)表面積各面面積之和各面面積之和rr0 r展開圖展開圖22()Srrr lrl 圓臺(tái)圓臺(tái)圓柱圓柱)(2lrrS)(lrrS圓錐圓錐空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題棱柱、棱錐、棱柱、棱錐、棱臺(tái)棱臺(tái)圓柱、圓錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)圓臺(tái)所用的數(shù)學(xué)思想：所用的數(shù)學(xué)思想：柱體、錐體、臺(tái)體的表面積柱體、錐體、臺(tái)體的表面積二、柱體、錐體、臺(tái)體的體積二、柱體、錐體、臺(tái)體的體積長(zhǎng)方體體積：長(zhǎng)方體體積：正方體體積：正方體體積：圓柱的體積：圓柱的體積：Vabh3Va2Vr hVShabhaaah底面積底面積高高aa 2 以前學(xué)過(guò)特殊的棱柱以前

7、學(xué)過(guò)特殊的棱柱正方體、長(zhǎng)方體以及圓柱正方體、長(zhǎng)方體以及圓柱的體積公式的體積公式, ,它們的體積公式可以統(tǒng)一為：它們的體積公式可以統(tǒng)一為：柱體（棱柱、圓柱）柱體（棱柱、圓柱）的體積公式：的體積公式：ShV （其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為柱體的高）為柱體的高）VSh3.13.1錐體（棱錐、圓錐）的體積錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積（底面積S，高高h(yuǎn)） 注意：三棱錐的頂點(diǎn)和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個(gè)面都可以作為底面，可以用來(lái)求點(diǎn)到面的距離問題問題:錐體錐體( (棱錐、圓錐）棱錐、圓錐）的體積的體積shV31三棱錐椎體（圓錐、棱錐）的體積公式：椎體（圓錐、棱錐）的體積公式：S

8、hV31（其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為高）為高）h 由此可知，由此可知， 棱柱與圓柱棱柱與圓柱的體積公式類似，都是的體積公式類似，都是底面面積乘高；底面面積乘高； 棱錐與圓錐棱錐與圓錐的體積公式類似，都是的體積公式類似，都是底面面積乘高的底面面積乘高的 13ss/ss/hx四四.臺(tái)體的體積臺(tái)體的體積V V臺(tái)體臺(tái)體= =1 1h(s+ss +s)h(s+ss +s)3 3上下底面積分別是上下底面積分別是s/,s,高是高是h，則，則VVV大 錐小 錐1133113313S hShSSSSShSSS hh SSSSS hxSS11 =33S xhS x 11 =33ShSSx2xSxhS

9、xSxhSS hxSSSShx臺(tái)體（棱臺(tái)、圓臺(tái)）的體積公式臺(tái)體（棱臺(tái)、圓臺(tái)）的體積公式hSSSSV)(31 , S Sh其中 ，分別為上、下底面面積，為圓臺(tái)（棱臺(tái)）的高柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？hSSSSV)(31S為底面面積，為底面面積，h為柱體高為柱體高ShV SS 分別為上、下分別為上、下底面面積，底面面積，h 為臺(tái)體為臺(tái)體高高ShV310SS為底面面積，為底面面積，h為錐體高為錐體高上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大上底縮小上底縮小,SS21.,a m已知圓錐的表面積且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求這個(gè)圓錐的底面直徑。例例2 2 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花

10、盆盆口直徑如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑20 cm20 cm，盆底直徑為盆底直徑為15cm15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5 1.5 cmcm，盆壁長(zhǎng)，盆壁長(zhǎng)15cm15cm那么花盆的表面積約是多那么花盆的表面積約是多少平方厘米？少平方厘米？cm15cm20cm15 例例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊，已知底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為形，邊長(zhǎng)為12mm，內(nèi)孔直徑為，內(nèi)孔直徑為10mm，高為，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個(gè)（問這堆螺帽大約有多少個(gè)（ 取取3.14）？）？3/8 . 7

11、cmg 解：六角螺帽的體積是六棱解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，即柱的體積與圓柱體積之差，即: :10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的個(gè)數(shù)為所以螺帽的個(gè)數(shù)為252)956. 28 . 7(10008 . 5（個(gè)）（個(gè)）答：這堆螺帽大約有答：這堆螺帽大約有252252個(gè)個(gè)RROORR球的體積：球的體積：一個(gè)半徑和高都等于一個(gè)半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè)的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的的半球

12、的體積相等。半球的體積相等。探究球球1 1V =V =2 23 32 2= = R R3 33 3球球4 4V =V = R R3 3RROORR22221 1 RR-RR- RRRR3 3半徑為半徑為R R的球的體積的球的體積 343VR第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n個(gè)網(wǎng)格，個(gè)網(wǎng)格， 表面積分別為：表面積分別為：nSSSS.321，則球的表面積則球的表面積：nSSSSS.321則球的體積為：則球的體積為：設(shè)設(shè)“小錐體小錐體”的體積的體積為：為：iViVnVVVVV.321iSO O知識(shí)點(diǎn)三、球的表面積和體積知識(shí)點(diǎn)三、球的表面積和體積（O O第二步：求近似和第二步

13、：求近似和O Oih由第一步得由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiV第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的體積球的體積: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑R RRihiSO OiV“小錐體小錐體”就越接近小棱錐。就越接近小棱錐。半徑為半徑為R R的球的的球的表面積表面積公式公式24SR設(shè)球的半

14、徑為R，則球的體積公式為V球 .43R3例例1(2009年高考上海卷年高考上海卷)若球若球O1、O2表表面積之比面積之比4，則它們的半徑之比，則它們的半徑之比_.(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的倍。倍。(2)(2)若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍。倍。(3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是。(4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是。例例2 2：2422:134:

15、1例例3.3.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為a,a,它的各個(gè)它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球頂點(diǎn)都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。略解：22222

16、11113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球O O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=S=。變題變題2.2.如果球如果球O O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=S=。2a2 2 a 關(guān)鍵關(guān)鍵：找正方體的棱長(zhǎng)找正方體的棱長(zhǎng)a a與球半徑與球半徑R R之間的關(guān)系之間的關(guān)系OABCO 例例4已知過(guò)球面上三點(diǎn)已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距離的距離等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體，求球的體積，表面積積，表

17、面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑為半徑為R，截面截面 O的半徑為的半徑為r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 題型一題型一 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積 如圖所示如圖所示, ,半徑為半徑為R R的半圓內(nèi)的的半圓內(nèi)的 陰影部分以直徑陰影部分以直徑ABAB所在直線為軸所在直線為軸, ,旋旋 轉(zhuǎn)一周得到一幾何體轉(zhuǎn)一周得到一幾何體, ,求該幾何體的求該幾何體的 表面積表面積( (其中其中BACBAC=30=30) )及其體積及其體積. . 先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的 形狀形狀, ,再求表面積再求表面積. .

18、解解 如圖所示如圖所示, ,過(guò)過(guò)C C作作COCO1 1ABAB于于O O1 1, ,在半圓中可得在半圓中可得BCABCA=90=90, ,BACBAC=30=30, ,ABAB=2=2R R, ,ACAC= = , ,BCBC= =R R, ,S S球球=4=4R R2 2, ,R3,231RCO ,231123234,2323,233232222112121RRRRSSSSRRRSRRRSBOAOBOAO側(cè)圓錐側(cè)圓錐球幾何體表側(cè)圓錐側(cè)圓錐.23112R表面積為旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的 解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，形成

19、的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算. . .652134)(41314131,34333111221111221113RRRVVVVBORCOBOVAORCOAOVRVBOAOBOAO圓錐圓錐球幾何體圓錐圓錐球又知能遷移知能遷移2 2 已知球的半徑為已知球的半徑為R R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解解 如圖為軸截面如圖為軸截面. . 設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h h，底面半徑為，底面半

20、徑為r r， 側(cè)面積為側(cè)面積為S S，則，則,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圓柱側(cè)面積時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)即知能遷移知能遷移2 2 已知球的半徑為已知球的半徑為R R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解解 如圖為軸截面如圖為軸截面. . 設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h h，底面半徑為，底面半徑為r r， 側(cè)面積為側(cè)面積為S

21、 S，則，則,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圓柱側(cè)面積時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)即題型二題型二 多面體的表面積及其體積多面體的表面積及其體積 一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6 6，側(cè)棱長(zhǎng)，側(cè)棱長(zhǎng) 為為 ，求這個(gè)三棱錐的體積，求這個(gè)三棱錐的體積. . 本題為求棱錐的體積問題本題為求棱錐的體積問題. .已知底面已知底面 邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，可先求出三棱錐的底面面積邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，可先求出三棱錐的底面面積 和高，再根據(jù)體積公式求出其體積和高，再根據(jù)體積公式求出其體積. .

22、解解 如圖所示，如圖所示， 正三棱錐正三棱錐S SABCABC. . 設(shè)設(shè)H H為正為正ABCABC的中心，的中心， 連接連接SHSH， 則則SHSH的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高. .15連接連接AHAH并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交BCBC于于E E，則則E E為為BCBC的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且AHAHBCBC. .ABCABC是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為6 6的正三角形，的正三角形，, 33623AE. 93393131312153215,Rt. 393362121,. 323222SHSV，AHSASH，AHSASHAAEBCSABCAEAHABCABC正三棱錐中在中在 求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡?/p>

23、面和求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?，然后?yīng)用公式高，然后應(yīng)用公式 進(jìn)行計(jì)算即可進(jìn)行計(jì)算即可. .常用方常用方法：割補(bǔ)法和等積變換法法：割補(bǔ)法和等積變換法. .（1 1）割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾）割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積體的體積，從而得出幾何體的體積. .（2 2）等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為）等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面三棱錐的底面. .求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來(lái)計(jì)算；利用式來(lái)計(jì)算；利用“等積性等積性”可求可求“點(diǎn)到面的點(diǎn)到面的距離距離”. .ShV31題型題型三三 組合體的表面積及其體積組合體的表面積及其體積 (12 (12分分) )如圖所示如圖所示, ,在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中, , ABAB=2=2DCDC=2=2，DABDAB=60=60，E E為為ABA