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1、2218.2.3正方形基礎(chǔ)闖關(guān)全練拓展訓(xùn)練1順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH要使四邊形EFGH是正方形,需要添加的條件是()A.AD/BC,AC=BDB.AC=BDC.AC丄BD,AC=BDD.AD=AB答案C由題意知,四邊形EFGH是平行四邊形,由正方形的判定方法知選C.2. 如圖,下列四組條件中,能判定?ABCD是正方形的有() AB=BCZA=90°ACLBD,AC=BDDOA=OD,BC=Q®/BOC=90,/ABD玄DCA.A.1個(gè)B.2個(gè)答案D根據(jù)有一個(gè)角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形,能判定?ABCD是正方形,故正確; 由對角線互相
2、垂直的平行四邊形是菱形,對角線相等的平行四邊形是矩形,既是菱形又是矩形的四邊形是正方形,能判定?ABCD是正方形,故正確; 由四邊形ABCD是平行四邊形,可得AC與BD互相平分,而OA=OD所以AC=BD對角線相等的平行四邊形是矩形,有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,既是矩形又是菱形的四邊形是正方形,能判定?ABCD是正方形,故正確; /BOC=90,根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形,可得?ABCD是菱形;由四邊形ABCD是平行四邊形,可得AC與BD互相平分,AB/CD,則/ABDHCDB2DCA所以O(shè)C=OD又對角線相等的平行四邊形是矩形,既是菱形又是矩形的四邊形是正方形,能判定?ABC
3、D是正方形,故正確3. 如圖,在矩形ABCD中,M、N分別是ADBC的中點(diǎn),E、F分別是邊BMCM勺中點(diǎn),當(dāng)AB:AD=時(shí),四邊形MENF是正方形.答案1:2解析/AB:AD=1:2,AM=DM,AB=CD,AB=AM=DM=DC,/A=ZD=90,/ABM2AMB2DMCWDCM=45,/BMC=90.四邊形ABCD是矩形,/ABC玄DCB=90,/MBCMMCB=45, BM=CM./NE、F分別是BGBMCM勺中點(diǎn), BE=CF=ME=MF,NFBM,NE/CM,四邊形MENF是平行四邊形,/ME=MF,BMC=90,四邊形MENF是正方形,能力提升全練拓展訓(xùn)練1. 如圖,正方形ABCD
4、勺邊長為3,將等腰直角三角板的45°角的頂點(diǎn)放在B處,兩邊與CD及其延長線交于E,F,若CE=1,則BF的長為()A.2B.3C.2D.答案B如圖,將厶BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ABAM設(shè)BF與AD交于點(diǎn)G.四邊形ABCD是正方形, AB=BC=CD=AD=ABC=90,/GBE=45, /CBE+ZGBA=/ABM#GBA=45=ZGBM,/BG=BG#GBM#GBE,BE=BM,BGMABGE,EG=GM=AM+AG=AG+CE.設(shè)AG=x,則DG=3-x,GE=1+x,在RtDGE中,/Gh=DG+DE222(3-x)+2=(x+1),x=_,AG=DG,易證AGB2AD
5、GF,BG=FG=BF=2BG=3一.故選B.2. 如圖,正方形ABCD勺邊長為2,點(diǎn)E、F分別在邊ADCD上,若/EBF=45,則EDF的周長等于.t答案4解析將厶BCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至仏BAC'的位置,/BAC'+ZBAD=180, C'、A、D三點(diǎn)共線.vZABC=90,ZEBF=45, ZFBC+ZEBA=45.vZFBC=/C'BA, ZC'BA+ZEBA=45, ZEBF=ZEBC'=45°.在厶EBF和厶EBC'中, EBFAEBC', EF=EC',又易知CF=AC',EF=EA+
6、AC'=EA+FC,DEF的周長=DE+DF+EF=DA+DC=4.3. 如圖,在RtABC中,/ACB=90,分別以AB,BC為一邊向外作正方形ABFG,BCED連接AD,CF,AD與CF交于點(diǎn)M.求證:ABDAFBC;如圖,已知AD=6,求四邊形AFDC的面積;在ABC中,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,當(dāng)/ACB90°時(shí),c力+b.在任意ABC中,c=a+b+k,就a=3,b=2的情形,探究k的取值范圍(只需寫出結(jié)論即可).解析證明:四邊形ABFG,BCED?E是正方形 AB=FB,BC=BD,ABF=/CBD=90,/ABF+/ABC玄CBD/ABC,即/CBF=/A
7、BD,/.ABDAFBC(SAS).(2)由(1)知厶ABDAFBC, CF=AD=6/DAB=/CFB.設(shè)CF交AB于點(diǎn)N./ABF=90,/CFB+ZBNF=90.又/DAB/CFB,/BNF=ZANM, /DAB+ZANM=90,/ADLCF,四邊形AFDC的面積為-ADCF=X6X6=18.k的取值范圍為-12<k<12.4. 如圖1,在正方形ABCD的外側(cè),作兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF連接AF,BE.(1)請判斷:AF與BE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是如圖2,若將條件兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF變?yōu)閮蓚€(gè)等腰三角形ADE和DCF,且ea=ed=fd=FC第問中的結(jié)論是否仍然成
8、立?請作出判斷并給予證明;若三角形ADE和DCF為一般三角形,且AE=DF,ED=FC第問中的結(jié)論都能成立嗎?請直接寫出你的判斷解析(1)AF=BE;AF丄BE.(2)結(jié)論仍然成立.證明:四邊形ABCD是正方形,BA=AD=DC,BAD/ADC=90.在厶EAD和FDC中,EADAFDC/.ZEAD/FDC./EAD+/DAB玄FDC/CDA,即/BAE=/ADF.在BAE和AADF中, BAEAADF. BE=AF/ABE=ZDAF./DAF-/BAF=90,/ABE+/BAF=90, AF丄BE.(3)結(jié)論都能成立.模擬全練拓展訓(xùn)練1. 如圖,在正方形ABCD中,AD=5,點(diǎn)E、F是正方形
9、ABCD內(nèi)的兩點(diǎn),且AE=FC=3,BE=DF=繃UEF的長為()A.一B.一C.一D.答案D延長AE交DF于G,如圖./AB=5,AE=3,BE=4, ABE是直角三角形,同理,DFC是直角三角形,可得AGD是直角三角形, /ABE-/BAE=ZDAE/BAE,/GAD=/EBA,同理,/ADG2BAE,在厶AGDDBEA中,AGDABEA(ASA), AG=BE=4,DG=AE=3, EG=43=1,同理可得,GF=1,EF=一故選D.2. 如圖,在正方形ABCD中,AB=2,延長AB至點(diǎn)E,使得BE=1,EF丄AE,EF=AE.分別連接AF,CF,M為CF的中點(diǎn),則AM的長為(A.2B.
10、3C.D.答案D連接AC,四邊形ABCD是正方形, /BAC=45./EF丄AE,EF=AE, AEF是等腰直角三角形 /EAF=45,:丄CAF=90./AB=BC=2, AC=2_./AE=EF=AB+BE=2+1=3, AF=3一, CF=M為CF的中點(diǎn),AM=CF.故選D.3. 如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,連接AC,BD,相交于點(diǎn)O,CE平分/ACD交BD于點(diǎn)E,則DE=.答案-1解析過E作EF丄DC于F,四邊形ABCD是正方形,ACLBD./CE平分/ACD交BD于點(diǎn)E, EO=EF,在RtCOE和RtCFE中, RtCOE2RtCFE(HL), CO=FC,正方形ABCD的
11、邊長為1, AC=_, CO二AC, CF=COr易證DEF是等腰直角三角形. EF=DF=DCCF=1-, DE=_-1.4. 如圖,設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形,以對角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF再以對角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH;記正方形ABCD的邊長為ai=1,按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2,a3,a4,an50答案2解析由勾股定理得a2=(1);a3=2=(23);a4=2=();10050故ae1=()=2.5. (2016遼寧丹東東港新城中學(xué)第一次月考,16,)如圖,以邊長為2的正方形CDEF的中心O為端點(diǎn),引兩條相互垂直的射線,分別與正方形的邊交于A,B
12、兩點(diǎn),則線段AB長度的最小值為答案解析在正方形CDEF中,/0CD2ODB=45,/COD=90,OC=OD,/OALOB,/AOB=90,/AOD丄DOB=90,又/COA+ZAOD=90,/COA=ZDOB.在厶COADOB中, COAmDOB(ASA), OA=OB,/AOB=90, AOB是等腰直角三角形,由勾股定理得AB=_OA,要使AB最短,只要OA最短即可.根據(jù)垂線段最短,當(dāng)OALCD時(shí),OA最短,此時(shí)CA=DA又O為DF的中點(diǎn),OA二CF=1,.AB=:故答案為中考全練拓展訓(xùn)練1. 一個(gè)大矩形按如圖方式分割成九個(gè)小矩形,且只有標(biāo)號為和的兩個(gè)小矩形為正方形在滿足條件的所有分割中,
13、若知道九個(gè)小矩形中n個(gè)小矩形的周長,就一定能算出這個(gè)大矩形的面積,則n的最小值是(A.3B.4C.511二nOD.6答案A如圖,設(shè)正方形的邊長為a,正方形的邊長為b,矩形的長為c,矩形的寬為d,則大矩形的長和寬分別是(a+c+b)和(a+d+b),a+c為矩形的周長的一半,a+d為矩形的周長的一半,于是只需知道這兩個(gè)矩形的周長和正方形的周長即可算出大矩形面積故選A.<£>2. 如圖,在正方形ABCD和正方形DEFG中,點(diǎn)G在CD上,DE=2,將正方形DEFG繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到正方形DE'F'G',此時(shí)點(diǎn)G'在AC上,連接
14、CE',則CE'+CG'=()A.C.B._+1D.答案A過點(diǎn)G'作G'M丄DC于點(diǎn)M,過點(diǎn)E'作E'P丄DC于點(diǎn)P.由旋轉(zhuǎn)的知識可得/EDE'=60°,DE'=DE=2.四邊形DEFGDE'F'G'是正方形,/G'DE'=/EDG=90,DG'=DE'=2./E'DG=30,/MDG'=60.在RtDG'M中,由DG'=2,/MDG'=60,可得G'M=_,DM=1./AC是正方形ABCD勺對角線,/DCG&
15、#39;=45.又G'M丄DC, CMG是等腰直角三角形,MG'=MC=- CG'=_,CD=DM+CM=1+.在RtDE'P中,由DE'=2,/E'DG=30,可得E'P=1,DP=一.CP=CDDP=1.在RtCE'P中,E'P=PC=1,由勾股定理可得CE'=_. CE'+CG'=_+一,故選A.3. 如圖所示,正方形ABCD的面積為12,ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),點(diǎn)P是AC上的一點(diǎn),則PD+PE的和的最小值為()A.一B.2一C.2D.-答案Bvs正方形abc=12,AB=
16、2,ABE是等邊三角形,二AB=BE=2-點(diǎn)B、D關(guān)于對角線AC對稱,PD+PE的和的最小值即為BE的長,故選B.4. 如圖,將n個(gè)邊長都為2的正方形按如圖所示擺放,點(diǎn)Ai,A2,An分別是正方形的中心,則答案B由題意可得一個(gè)陰影部分的面積等于正方形的面積的-,即是-X4=1,5個(gè)這樣的正方形重疊部分(陰影部分)的面積和為1X4,n個(gè)這樣的正方形重疊部分(陰影部分)的面積和為1X(n-1)=n-1.5如圖為某城市部分街道示意圖,四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)G在對角線BD上,GE丄CD,GHBC,AD=1500m,小敏行走的路線為B2AE,小聰行走的路線為Bt2DEF.若小敏行走的路程為3100m
17、,則小聰行走的路程為m.答案4600解析連接GC,v四邊形ABCE為正方形,AD=D(ADB=/CDB=45°,/BCD=90在厶ADG與CDG中,ADGACDGAG=GC.又GE1CD,GF1BC,ZBCD=90,四邊形GFCE是矩形,GC=EF/-AG=EF./CDG=45,GE丄CD/.GED是等腰直角三角形,DE=GE.小敏走的路程為AB+AG+GE小聰走的路程為AB+AD+DE+EF寸比發(fā)現(xiàn)小聰比小敏多走了AD,故小聰走的路程為4600米.6. 如圖,正方形ABCD和正方形EFCG的邊長分別為3和1,點(diǎn)F,G分別在邊BC,CD上,P為AE的中點(diǎn),連接PG,則PG的長為.答案
18、解析如圖,過P作PH丄DG,H為垂足,過E作EJ丄AD,J為垂足,設(shè)EJ與PH交于I.因?yàn)樗倪呅蜛BCD和四邊形EFCG都是正方形,所以PH/AD,四邊形EGDJ和四邊形EGHI是矩形,所以DJ=EG=1,所以AJ=AD-DJ=3-1=2.又因?yàn)镻為AE的中點(diǎn),所以I為EJ的中點(diǎn),所以PI=-AJ=1,IE=-JEdDG=1.因?yàn)樗倪呅蜤GHI是矩形,所以HI=EG=1,HG=IE=1,所以PH=PI+IH=2.在RtPGH中,PG=_.7. 如圖,正方形ABCD的邊長為1,AC,BD是對角線.將厶DCB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到DGH,HG交AB于點(diǎn)E,連接DE交AC于點(diǎn)F,連接FG,則下列
19、結(jié)論:四邊形AEGF是菱形;AEDAGED;/DFG=112.5;BC+FG=1.5.其中正確的結(jié)論是.(填寫所有正確結(jié)論的序號)答案解析由題意可知DGHADCB,DH=DB/DHGMDBC=45,/DGHMDCB=90,DG=DC=AD,又/DAC=45,/DAC=zDHG, AF/EG.在RtAED和RtGED中,ED=ED,AD=GD, RtAE醫(yī)RtGED,/ADENGDE故正確.在ADF與厶GDF中,AD=GD,ZADF=ZGDF,FD=FD, ADFAGDF, AF=GF/DGF=/DAF=45,又/DBA=45, FG/AE,四邊形AEGF是平行四邊形,又AF=GF,平行四邊形A
20、EGF是菱形,故正確由上知/GDF=ZADB=22.5,/DGF=45, /DFG=180-/GDF-ZDGF=112.5,故正確.由上知FG=AE=HA=HD-AD=BD-AD1,BC+FG=1+_-1=_,故不正確核心素養(yǎng)全練拓展訓(xùn)練1. 在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x軸和y軸的正半軸上,OA=OB=a,以線段AB為邊在第一象限作正方形ABCD,CD勺延長線交x軸于點(diǎn)E,再以CE為邊作第二個(gè)正方形ECGF;;依此方法作下去,則第n個(gè)正方形的邊長是.答案n-1a2解析/OA=OB,/AOB=90°, AOB是等腰直角三角形,第一個(gè)正方形的邊長AB=a./DAE=180-45
21、°-90°=45°,/ADE=90, ADE是等腰直角三角形, AD=DE,第二個(gè)正方形的邊長CE=CD+DE=2AB.依題中方法作下去,后一個(gè)正方形的邊長等于前一個(gè)正方形的邊長的2倍,所以,第n個(gè)正方形的邊長=2n-1AB=飛2n-1.2. 操作示例:對于邊長為a的兩個(gè)正方形ABCD和EFGH按圖甲所示的方式擺放,在沿虛線BD,EG剪開后,可以按圖中所示的移動(dòng)方式拼接為圖甲中的四邊形BNED.從拼接的過程容易得到結(jié)論: 四邊形BNED是正方形; S正方形ABC+S正方形EFG=S正方形BNED實(shí)踐與探究:(1)對于邊長分別為a,b(a>b)的兩個(gè)正萬形AB
22、CD和EFGH按圖乙所示的萬式擺放,連接DE,過點(diǎn)D作DMLDE,交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MNLDM過點(diǎn)E作EN!DE,MN與EN相交于點(diǎn)N. 證明四邊形MNED正方形,并用含a,b的代數(shù)式表示正方形MNE啲面積; 在圖乙中,將正方形ABCD和正方形EFGH沿虛線剪開后,能夠拼接為正方形MNED青簡略說明你的拼接方法(類比圖甲,用數(shù)字表示對應(yīng)的圖形);對于n(n是大于2的自然數(shù))個(gè)任意的正方形方形?請簡要說明你的理由能否通過若干次拼接,將其拼接成為一個(gè)正解析(1)由作圖的過程可知四邊形MNE是矩形./ADM#MDCMCDEfMDC=9°,/ADM#CDE.在RtADM與RtCDE中,#A=#DCE=90,AD=CD#
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