正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理-

1、正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)1 .概述任何生產(chǎn)部門，任何科學(xué)實(shí)驗(yàn)工作，為達(dá)到預(yù)期目的和效果都必須恰當(dāng)?shù)匕才艑?shí)驗(yàn)工作，力求通過(guò)次數(shù)不多的實(shí)驗(yàn)認(rèn)識(shí)所研究課題的基本規(guī)律并取得滿意的結(jié)果。例如為擬定一個(gè)正確而簡(jiǎn)便的分析方法，必然要研究影響這種分析方法效果的種種條件，諸如試劑濃度和用量、溶液酸度、反應(yīng)時(shí)間以及共存組分的干擾等等。同時(shí)，對(duì)于影響分析效果的每一種條件，還應(yīng)通過(guò)試驗(yàn)選擇合理的范圍。在這里，我們把受到條件影響的反系方法的準(zhǔn)確度、精密度以及方法的效果等叫做指標(biāo)；把試驗(yàn)中要研究的條件叫做因素；把每種條件在試驗(yàn)范圍內(nèi)的取值（或選取的試驗(yàn)點(diǎn)）叫做該條件的水平。這就是說(shuō)我們常常遇到的問(wèn)題可能包括多種因素，各種因素又有不同

2、的水平，每種因素可能對(duì)分析結(jié)果產(chǎn)生各自的影響，也可能彼此交織在一起而產(chǎn)生綜合的效果。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)就是用于安排多因素實(shí)驗(yàn)并考察各因素影響大小的一種科學(xué)設(shè)計(jì)方法。它始于1942年,之后在各個(gè)領(lǐng)域里都得到很快的發(fā)展和廣泛應(yīng)用。這種科學(xué)設(shè)計(jì)方法是應(yīng)用一套已規(guī)格化的表格一一正交表來(lái)安排實(shí)驗(yàn)工作，其優(yōu)點(diǎn)是適合于多種因素的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，便于同時(shí)考查多種因素各種水平對(duì)指標(biāo)的影響通過(guò)較少的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，選出最佳的實(shí)驗(yàn)條件，即選出各因素的某一水平組成比較合適的條件，這樣的條件就所考查的因素和水平而言，可視為最佳條件。另一方面，還可以幫助我們?cè)阱e(cuò)綜復(fù)雜的因素中抓住主要因素，并判斷那些因素只起單獨(dú)的作用，那些因素除自身的單獨(dú)

3、作用外，它們之間還產(chǎn)生綜合的效果。數(shù)理統(tǒng)計(jì)上的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)還能給出誤差的估計(jì)。2 .試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本方法2.1 全面試驗(yàn)法正交設(shè)計(jì)的方法，首先應(yīng)根據(jù)實(shí)驗(yàn)的目的，確定影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的各種因素，選擇這些影響因素的試驗(yàn)點(diǎn)，進(jìn)而擬出實(shí)驗(yàn)方案，之后按所擬方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果作出評(píng)估。必要時(shí)再擬出進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)方案，使實(shí)驗(yàn)工作更趨完善，所得結(jié)果也更為可靠。如在研究某一顯色反應(yīng)時(shí)，為選擇合適的顯色溫度、酸度和顯色完全的時(shí)間，可作如下的試驗(yàn)安排。首先確定上述三因素的實(shí)驗(yàn)范圍：顯色溫度：2535C（溫度以A表示）酸濃度：0.40.6mol/L（酸濃度以B表示）顯色時(shí)間：1030min（時(shí)間以C表?。┢浯未_定每種因素在

4、上述實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)各取的水平數(shù)（如各取三個(gè)水平）。因素A的三個(gè)水平分別以A1,A2,慶3表?。灰蛩谺的三個(gè)水平分別以Bi,B2,B3表小；因素C的三個(gè)水平分別以C1,C2,C3表??；然后將顯色試驗(yàn)的因素、水平列為下表。.因素ABC水平溫度（t/C）酸濃度（C/molL-1）時(shí)間（t/min）1250.4102300.6203350.630這是一個(gè)三因素三水平的試驗(yàn)問(wèn)題，對(duì)這樣的試驗(yàn)工作可做如下的安排AiBiCiA2BiCiA3BiCiAiBiC2A2BQ2A3BQ2AiBiC3A2BQ3A3BQ3AiB2CiA2B2CiA3B2CiAiB2c2A2B2C2A3B2C2AiB2c3A2B2c3A3B

5、2c3AiB3CiA2B3CiA3B3CiAiB3c2A2B3C2A3B3C2AiB3c3A2B3C3A3B3C3即三因素水平的試驗(yàn)共27種組合（33=27）,按上組合方式做完27次試驗(yàn)后自然可得出在所確定的因素和水平下的最佳顯色條件。這種全面試驗(yàn)的方法，對(duì)事物的內(nèi)部規(guī)律剖析得十分清楚，但卻費(fèi)時(shí)費(fèi)事。假如我們還需要對(duì)實(shí)驗(yàn)精密度，對(duì)試驗(yàn)誤差的大小做出估計(jì)，則每一試驗(yàn)至少應(yīng)重復(fù)一次。即應(yīng)做54次實(shí)驗(yàn)。如果在討論六因素而每種因素均取5個(gè)水平時(shí)，則全面試驗(yàn)的數(shù)目是56=15625次，這里還未包括為了給出誤差估計(jì)所需的重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)，顯然這是難以付諸實(shí)施的。當(dāng)考察的因素，水平數(shù)越多，在試驗(yàn)中所有可能的搭配

6、也更多，要逐個(gè)地進(jìn)行試驗(yàn)，顯然是不可能的。這就提出了合理地設(shè)計(jì)和安排試驗(yàn)的問(wèn)題。提出了通過(guò)較少量的試驗(yàn)次數(shù)以獲得理想的實(shí)驗(yàn)條件取得最佳的試驗(yàn)效果，并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果做出科學(xué)評(píng)估的問(wèn)題。對(duì)于上述試驗(yàn)，一種習(xí)慣的試驗(yàn)方法是簡(jiǎn)單比較法。2.2 簡(jiǎn)單比較法這種方法首先固定因素A、B為某一水平（如Ai、Bi）,改變C以獲得在AiBi時(shí)C的最佳水平（設(shè)為C2,在其下以:'-"）。CiA1B14電然后固定A為Ai,C為C2,改變B以獲得在Ai.C2時(shí)B的最佳水平（設(shè)為B3）BiAiC2JB23再固定B為B3,C為C2,改變A以獲得在B3、C2時(shí)的最佳水平（設(shè)為A2）oB3C2tA.2A3這樣可以

7、認(rèn)為A2B3c2為較佳的顯色條件，即簡(jiǎn)單比較法經(jīng)過(guò)9次試驗(yàn)也能獲得較佳的試驗(yàn)條件，但卻存在以下缺點(diǎn)：2.2.1 當(dāng)各因素之間交互影響較大時(shí),A2B3c2不認(rèn)為是最佳試驗(yàn)條件。2.2.2 它未能保證三因素中任何兩因素的不同水平之間相碰一次因而上不均衡的，它提供的信息也是不豐富的。2.2.3 在不做重復(fù)試驗(yàn)的情況下，不能給出誤差的估計(jì)。如何保持這種方法試驗(yàn)次數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)而又能避免上述缺點(diǎn)呢，可采用正交設(shè)計(jì)的方法來(lái)解決。在這9次試驗(yàn)中實(shí)際上有兩次試驗(yàn)是在相同條件下的重復(fù)試驗(yàn)（AiB3c2和AiB3c2）,所以只有7次屬不同條件下的實(shí)驗(yàn)，另一方面還可看出各因素、各水平出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是不均衡的，其中Ai、C2

8、各出現(xiàn)了7次;B3、Ci各出現(xiàn)了4次；而A2、A3、Ci、C3、B2卻只出現(xiàn)了一次，顯然，它們的出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是很不均衡的。簡(jiǎn)單比較法認(rèn)為最佳的分析條件是A2B3c2,但在試驗(yàn)過(guò)程中C2是在AiBi條件下與Ci和C3相比，是最佳的一個(gè)條件水平，至于因素A、B取其他水平時(shí)是否也得出同樣的結(jié)論，卻未做過(guò)實(shí)驗(yàn)，也不能得出同樣的結(jié)論，故上述的條件不能視為最佳的顯色條件，而只能是最佳條件的一種估計(jì)。導(dǎo)致上述幾種問(wèn)題的原因是簡(jiǎn)單比較法中各因素各水平的搭配不是均衡分散的，只能在同一批試驗(yàn)中做單因素比較，而在不同批數(shù)的試驗(yàn)之間卻無(wú)法進(jìn)行比較。2. 3正交設(shè)計(jì)法試驗(yàn)設(shè)計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要內(nèi)容，正交設(shè)計(jì)是利用預(yù)先

9、編制好的正交表來(lái)合理的安排多因素試驗(yàn)，以便通過(guò)少量的試驗(yàn)次數(shù)來(lái)獲得滿意的結(jié)果，同時(shí)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析?，F(xiàn)在對(duì)三因素三水平的試驗(yàn)做如下的安排，首先只考慮A、B兩因素，起全面實(shí)驗(yàn)應(yīng)作9次，如下表所不。A7BiB2B3AiA1B1A1B2A1B3A2A2B1A2B2A2B3A3A3B1A3B2A3B3這時(shí)兩因素的三水平相互各碰一次，它反映的情況全面，現(xiàn)在將因素C考慮進(jìn)去，也同樣希望在任何兩個(gè)因素的不同水平之間各相碰一次而有不增加試驗(yàn)的次數(shù)，可做如下按排c、bA一B1B2B3、A1A1B1C1A1B2C2A1B3C3A2A2B1C2A2B2C3A2B3C1A3A3B1C3A3B2C1A3B3C2按

10、上表安排的9次試驗(yàn)與簡(jiǎn)單比較法相比，試驗(yàn)次數(shù)相同但卻克服了簡(jiǎn)單比較法的不均衡性，A的每個(gè)水平和B、C的三個(gè)水平分別各碰一次，B的每個(gè)水平和A、C的三個(gè)水平分別各碰一次，對(duì)C也是類似的情況。即三因素中任何兩因素的不同水平均相碰一次因而試驗(yàn)是均衡的，上述9次試驗(yàn)可視為三因素三水平的全面試驗(yàn)的代表。為了書(shū)寫(xiě)方便，上述試驗(yàn)設(shè)計(jì)可簡(jiǎn)化為下表：C、BA123112322313312表中右下角部分的每一行和每一列中，1,2,3正好各出現(xiàn)一次，我們把具有這樣的性質(zhì)方塊叫拉丁方，在排這種方塊時(shí)常用拉丁字母，故有拉丁方之稱。3正交設(shè)計(jì)法的基本特征3. 1均衡分散性在正交設(shè)計(jì)的試驗(yàn)安排中，各因素之間的搭配是均勻的，

11、這種因素間搭配的均勻性一一試驗(yàn)點(diǎn)分布的均衡性成為正交設(shè)計(jì)的均衡分散性。或者說(shuō)，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)把各試驗(yàn)條件均衡地分散在排列完全的水平組合之中，是之更具有代表性，更易于通過(guò)最少的試驗(yàn)次數(shù)來(lái)尋求最佳的試驗(yàn)條件，正交設(shè)計(jì)的這種性質(zhì)，可以從試驗(yàn)結(jié)果的平均值中消除由于非均衡所引起的誤差，有利于提高測(cè)定結(jié)果的可靠信。3.2整齊可比性正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，各因素各水平之間不僅搭配均勻，而且變化很有規(guī)律。在考慮某因素的每一水平的試驗(yàn)中，其他各因素各水平出現(xiàn)的次數(shù)都相同，所作的貢獻(xiàn)也認(rèn)為是一致的。這樣在比較各因素的每一水平對(duì)指標(biāo)生產(chǎn)的影響時(shí)，就能最大限度地排除其他因素的干擾，突出本因素的作用，也就將各因素的效應(yīng)清楚地加以

12、區(qū)別并估計(jì)其大小，這就是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的整齊可比性。在數(shù)學(xué)上把均衡分散性和整齊可比性稱為正交性，凡具有這特性的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法都稱為正交設(shè)計(jì)法。正是由于正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)最大限度地排除了其他因素的干擾并消除了非均勻分散性可能造成的誤差，因而只要比較因素各水平的試驗(yàn)指標(biāo)的平均植，就能估計(jì)各因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響大小，這在后面將作具體的介紹。3.3兩拉丁方的疊合在上述三因素三水平的基礎(chǔ)上，如果還需同時(shí)考慮第四個(gè)因素D,且因素D也取三個(gè)水平（D1,D2,D3）,那么能否在不增加試驗(yàn)次數(shù)而又能保持前述的要求呢？這首先應(yīng)將D的三個(gè)水平拼成拉丁方，其次D的拉丁方和C的拉丁方不一樣。對(duì)于前著，是使D也能與A、B均衡搭配；

13、對(duì)于后者，是使D與C之間也能均衡，既無(wú)重復(fù)，又無(wú)遺漏。若用（1）,（2）,（3）表示D的三個(gè)水平，而D的拉丁方與C的拉丁方相同時(shí)，其9次試驗(yàn)安排為：C(D)*12311(1)2(2)3(3)22(2)3(3)1(1)33(3)1(1)2(2)這時(shí)A、B和D間是均衡的搭配，但C和D的搭配卻不均衡，C的（1）水平和D的（1）水平相碰三次而不與D的（2）、（3）水平相碰，C的其他水平也有類似的情況。所以上述的試驗(yàn)安排是不妥的，當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果表明C的（1）水平最好，而在C?。?）水平時(shí)總是伴隨著D的（1）水平的出現(xiàn)，自然也可以認(rèn)為是D的（1）水平也最好，導(dǎo)致C和D的作用混雜。改進(jìn)上述試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，只需使D

14、的拉丁方和C的拉丁方不同，兩拉丁方具有均勻的搭配。按此原則可作如下的設(shè)計(jì)：C、DB1231231(1)2(3)2(2)3(1)1(3)3(3)1(2)2(1)3(2)這時(shí)D的三個(gè)水平組成的是拉丁方，它和A、B及C之間的搭配都是均衡的，D的每一水平和C的1、2、3水平各碰一次，C的每一水平也和D的（1）、（2）、（3）水平各碰一次，既無(wú)重復(fù)，也無(wú)遺漏。現(xiàn)將C、D兩個(gè)拉丁方疊合在一起，就獲得上述的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，習(xí)慣上把具有這種性質(zhì)的兩個(gè)拉丁方叫正交拉丁方。1(1)2(2)3(3)2(3)3(1)1(2)3(2)1(3)2(1)一(2)(3)(3)(2)(2)(3)(1)1正交拉方設(shè)計(jì)因其搭配均衡，在分

15、析試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)可以把每個(gè)因素的作用剖析得十分清楚而不致混雜，同時(shí)還可簡(jiǎn)便地尋求到最優(yōu)的測(cè)量條件，達(dá)到預(yù)期的效果。第一部分正交試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析1 .正交表及其使用1.1 正交表它是一種預(yù)先編制好的表格，根據(jù)這種表可合理安排試驗(yàn)并對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)作出判斷。對(duì)于前述的三因素三水平試的設(shè)計(jì)安排，可采用L9(34)正交表來(lái)完成。L9(34)表見(jiàn)表1.表1L9(34)正交表水平試獎(jiǎng)事,一陳|(列號(hào))工1234111112122231333421235223162312731328321393321表L9(34)讀作L934,符號(hào)L表示正交表，L右下角的數(shù)字“9表示此表有9行，即需安排9個(gè)實(shí)驗(yàn)，括號(hào)內(nèi)數(shù)字的指數(shù)“

16、4表示有4歹U,即最多能安排四個(gè)因素；括號(hào)內(nèi)數(shù)字的底數(shù)“3裳示每個(gè)因素取三個(gè)水平。表頭的列號(hào)是置放試驗(yàn)中的因素(因素常記為A、B、C、D)，表中列號(hào)1、2、3、4是在不考慮交互作用時(shí)最多可置放四個(gè)因素(因素少于四時(shí)，可只用其中幾列)，表的左側(cè)為試驗(yàn)號(hào)，表內(nèi)的1、2、3是因素在試驗(yàn)中應(yīng)分別取的水平，故稱作水平號(hào)。L9(34)正交表可解決四因素(或少于四因素)的三水平試驗(yàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，是一種較為簡(jiǎn)單的正交表。當(dāng)試驗(yàn)因素及所取水平數(shù)更多時(shí)，則應(yīng)選擇其它種類的正交表，如L16(45)、L27(313)、L25(56)、L16(42X29)等，其中L(42X29)表示作16個(gè)試驗(yàn)，可安兩個(gè)四水平的因素和9個(gè)

17、二水平的因素。1.2 .正交表的選擇選擇正交表時(shí)可考慮以下幾點(diǎn)：(1.2.(1) 根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康拇_定要考查的因素，如對(duì)試驗(yàn)的變化規(guī)律有大致的了解，有把握判斷出影響試驗(yàn)效果的主要因素，可少取些因素，也可多取些因素，總之不能將主要影響因素漏掉。(1.2.(2) 確定各因素的變化范圍和水平數(shù)，每個(gè)因素的水平數(shù)可以相等，也可以不等，一般地說(shuō)，重要因素或者特別希望詳細(xì)考查的因素，其變化范圍可寬些水平數(shù)可多些，其余的因素所取水平數(shù)則可少些。(1.2.(3) 根據(jù)試驗(yàn)者進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)一次能平行完成的試驗(yàn)次數(shù)而選擇正交表。(1.2.4)選用正交表除考慮因素水平及試驗(yàn)條件外，還應(yīng)考慮對(duì)試驗(yàn)結(jié)果精度的要求。當(dāng)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果

18、的精度要求高時(shí)，宜取試驗(yàn)次數(shù)多的正交表，試驗(yàn)費(fèi)用貴或試驗(yàn)周期長(zhǎng)的，可取試驗(yàn)次數(shù)少的正交表。當(dāng)存在交互作用時(shí)，應(yīng)選用具交互作用的正交表。|一般情況下，若因素全為二水平時(shí)，可選用L4(23)、L8(27)、L16(215)等正交表；因素全是三水平時(shí)，可選用L9(34)、L18(2>7)、L27(318)等正交表；若因素全為四水平的，可選用L16(45)正交表；因素全為五水平的則選用L16(45)正交表。當(dāng)因素取不同水平時(shí)，一方面可采用下面即將介紹的擬水平法，一方面可直接套用L8(4X*28)、L12(3X28)、L16(4X212)、L18(42凌9)等混合水平正交表。在三水平實(shí)驗(yàn)種選L18

19、(2>7),其中2水平所在的列，不做安排。三水平因素可在其它7列選用。1.3 正交試驗(yàn)的工作程序及幾點(diǎn)說(shuō)明在選擇所需要的正交表后，將已確定的因素放置在表的任意列上，并把每一列的1、2、3填入具體水平，即得出試驗(yàn)方案。今仍以前述三因素三水平的顯色反應(yīng)為例，其試驗(yàn)方案如下表所示。表:三因素三水平正交試驗(yàn)表水平那素A1A(t/°C)2B(m°l/L)3C(t/min)11(25)1(0.4)1(10)21(25)2(0.5)2(20)31(25)3(0.6)3(30)42(30)1(0.4)2(20)52(30)2(0.5)3(30)62(30)3(0.6)1(10)73(

20、35)1(0.4)3(30)83(35)2(0.5)1(10)93(35)3(0.6)2(20)試驗(yàn)號(hào)試驗(yàn)結(jié)果表中每一橫行表示一次試驗(yàn)及進(jìn)行該試驗(yàn)時(shí)所取的條件，按上安排作完實(shí)驗(yàn)后并將所測(cè)結(jié)果填入最后一列內(nèi)，至于試驗(yàn)結(jié)果的分析，將在以后再作討論。上面的試驗(yàn)設(shè)計(jì)表未考慮因素之間的交互作用，故選用L9(34)正交表，三因素在表上所處的列可任意A、C、BL9(34)表所安排的9選擇而且可將因素的次序進(jìn)行交換。如在1、2、3列可依次排列A、B、C三因素，也可安排為三因素，在把因素及水平排入正交表后而獲得一張?jiān)囼?yàn)設(shè)計(jì)表，這過(guò)程叫表頭設(shè)計(jì)。次試驗(yàn)，不一定按表上的試驗(yàn)號(hào)碼排列，也可按抽簽的方法來(lái)決定，這樣處理

21、是為了減少試驗(yàn)中由于先后掌握不勻所帶來(lái)的影響，但對(duì)有些試驗(yàn)，其次序卻不宜隨意變更。對(duì)于每個(gè)因素的水平并不一定總是由小到大(或由大到小)按順序排列，一般采用隨機(jī)化方法來(lái)處理，即對(duì)部分因素的水平作隨機(jī)的排列。1.4 常用的正交表1.4.1 三因素二水平正交表正交表為L(zhǎng)4(23),表頭設(shè)計(jì)為:試驗(yàn)號(hào)列號(hào)12311112122321242211.4.2七因素二水平正交表正交表為L(zhǎng)8(27),表頭設(shè)計(jì)為:一列號(hào)試驗(yàn)號(hào)123456711111111211122223122112241222211521212126212212172211221822121121.4.3更多因素二水平的正交法正交表為L(zhǎng)12(

22、211)、L16(215),前者的表頭設(shè)計(jì)為:列號(hào)試驗(yàn)號(hào)123456789101111111111111121111122222231122211122241212212211251221221212161222122121172122112212182121222111292112221221110222111122121122121211122221121212211.4.4四因素三水平正交表正交表為L(zhǎng)g(34),表頭設(shè)計(jì)在前已述及，當(dāng)為三因素時(shí)，此三因素可在表頭上占取任意三列，如三因素三水平在選用Lg(34)時(shí)，表頭設(shè)計(jì)可為：試驗(yàn)號(hào)列號(hào)12311112122313342135221623

23、27312832393311.4.5七因素三水平正交表正交表為L(zhǎng)18(37),表頭設(shè)計(jì)為:試驗(yàn)號(hào)12345671111111111212222221313333331421122331522233111623311221731213231832321311933132122101133221211121133221213221132132123132214223121321523123212163132312217321312321833212312*:若把二水平的列1排進(jìn)L18(37)表中，便得到混合型L18(21鄧7)表。更多因素的三水平正交表可選用L27(313)、L36(313)正交表

24、。1.4.6五因素四水平正交表正交表為L(zhǎng)16(45),表頭設(shè)計(jì)為:試驗(yàn)號(hào)列號(hào)123451111112122223133334144445212346221437234128243219313421032431113312412342131341423144231415432411644132更多因素的四水平，可選用L32(49)正交表。1.4.7六因素五水平正交表正交表為L(zhǎng)25(56),表頭設(shè)計(jì)為:123456實(shí)驗(yàn)”111111121222223133333414444451555556212345722345182345129245123102512341131352412324135133

25、352411434135215352413164142531742531418431425194425312045314221515432225215432353215424543215255543212 .二列間交互作用正交表二列間指兩因素之間（因?yàn)橐蛩卣即鮑）2.1 交互作用正交表除能對(duì)因素的主效應(yīng)進(jìn)行考查外，有時(shí)還能簡(jiǎn)便地考查各因素之間的交互作用并給出交互效應(yīng)的大小。所謂交互作用，是指在某些試驗(yàn)中，不僅因素自身對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響，而且因素之間產(chǎn)生協(xié)同的影響這種協(xié)同作用叫交互作用。如考查氮肥（N）和磷肥（P）對(duì)豆類增產(chǎn)效果，可在四塊土質(zhì)情況基本相同的土地上做四個(gè)試驗(yàn)，試驗(yàn)中施肥情況及產(chǎn)量如

26、表所示.表：氮肥.磷肥對(duì)豆類產(chǎn)量的影響試驗(yàn)號(hào)N量（m/kg）P量（m/kg）產(chǎn)量（m/kg）100200230215302225432275由表知，單施氮肥3kg增產(chǎn)豆類15kg；單施磷肥2kg增產(chǎn)豆類25kg；同時(shí)施加了3kg氮肥和2kg磷，豆類增產(chǎn)量不是把兩種肥料單獨(dú)使用時(shí)增產(chǎn)豆類量的加和，而是增產(chǎn)了75kg,說(shuō)明兩種肥料對(duì)豆類增產(chǎn)起了協(xié)同的效果，這種作用叫氮肥和磷肥的交互作用，以NXP表示。對(duì)于其它的因素，則記作因素1X因素2,或AXB、AXC等。2.2 二列間交互作用正交表試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，要考慮各因素間有無(wú)交互作用，這既可從專業(yè)本身加以判斷，也可對(duì)一定的試驗(yàn)方案下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析來(lái)加以

27、確定。在常用正交表中，有的只能考查因素本身的效應(yīng)，不能用以考查因素間的交互作用；有的則可以分析因素間的交互作用，很多正交表都附有相應(yīng)的二列間的交互作用表。在作表頭設(shè)計(jì)時(shí)，若不考慮因素間的交互作用，則因素置那一列上可任意選取，若因素間存在交互作用，則因素的置放要根據(jù)一定的規(guī)則，應(yīng)利用有交互作用的表來(lái)設(shè)計(jì)表頭。今以L8(27)正交表來(lái)安排具有二列間交互作用的試驗(yàn)工作時(shí)，可由表2對(duì)因素及交互列在表頭中所處的列號(hào)作出安排。表2:L8(27)二列間交互作用表號(hào)列1(A)2(B)3(A*B)4(C)5(A*C)6(B*C)71(A)(1)3254762(B)(2)167453(A*B)(3)76544(C

28、)(4)1235(A*C)(5)326(B*C)(6)17表2中最上一行和最左側(cè)一列數(shù)字以及括號(hào)(呈對(duì)角線)內(nèi)的數(shù)字是列號(hào)，其余數(shù)字均為交互作用的列號(hào)。對(duì)于三因素A.B.C而言，先將因素A.B置放在表的第1、2歹U,則A和B相交的位置上的數(shù)字為3。即A*B應(yīng)置放在第3列上，再將因素c置放于第4歹U,則A和C相交位置上的數(shù)字是5,B和C相交位置上的數(shù)字是6,這樣A和C及B和C的交互作用列應(yīng)分別為第5列和第6歹U。如果考查時(shí)還有第四個(gè)因素D,并將它置放于第6歹U,根據(jù)上表可得如下的表頭設(shè)計(jì)。列號(hào)1234567因素ABC*DA*BCB*DA*CDB*CA*D這樣的設(shè)計(jì)中，雖有B和CXD、C與BXD、

29、D與BXC的混雜，但如果已知B、C、D之間的交互作用很小。故不致影響試驗(yàn)結(jié)果的分析，仍可進(jìn)引因素A、B、C及交互作用AXB、AXC及AXD的考查。如果要對(duì)四個(gè)因素及其兩兩之間的交互作用都作全面的考查，不允許上述存在的幾種混雜，故此時(shí)不能選用L8(27)表，而選用L16(215)二列向的交互作用表，見(jiàn)表3。表3:Li6(215)二列向的交互作用表號(hào)列123456789101112131415123456789101112131415(1)3(2)21(3)567(4)4761(5)74523(6)654321(7)9101112131415(8)81110131215141(9)11891415

30、121323(10)109815141312321(11)1314158910114567(12)12151498111054761(13)151213101189674523(14)1413121110987654321(15)這樣，對(duì)于四因素的表頭設(shè)計(jì)為:列號(hào)123456789101112131415因素ABAXBCAXCBXCDA>DBXDCXD表3中，D未置入第7歹限原因是D置于7列后，AXD應(yīng)置第6列，導(dǎo)致與BXC的混雜。對(duì)于五因素。二水平的試驗(yàn)，在同時(shí)考慮各因素之間的交互作用時(shí)，因五因素自身及它們之間的兩兩交互作用共有15項(xiàng)，仍可用L16(215)二列間交互作用表，其表頭設(shè)計(jì)

31、為:列號(hào)12345678因素ABA*BCA*CB*CD*ED列號(hào)9101112131415因素A*DB*DC*EC*DB*EA*EE如果考查一個(gè)四因素三水平的問(wèn)題，在只考慮因素主效應(yīng)時(shí)，選用L8(27)正交表，讓因素順序上列，水平對(duì)號(hào)入座，填寫(xiě)好試驗(yàn)方案并按此安排進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。若同時(shí)考慮交互作用的影響，仍以選用L8(27)二列向交互作用表為宜，在填寫(xiě)試驗(yàn)方案時(shí)，只需列出交互作用列僅不填水平取值，仍按L8(27)表的安排作完八個(gè)實(shí)驗(yàn)，并將測(cè)得值填入表中，既可考察四因素各自的主效應(yīng)，同時(shí)也能考察它們兩兩的交互作用效應(yīng)。示例如下：今考查影響某化合物產(chǎn)量的四個(gè)主要因素，每個(gè)因素取兩個(gè)水平，其值為:水平因素

32、At/cBt/hC反料配比D攪拌速度1A180B12C11/1Di慢2A2100B23C21.5/1D2快在不考慮因素間的交互作用時(shí)，試驗(yàn)按下表安排進(jìn)行:試驗(yàn)號(hào)因素ABCD1111121122312124122152112621217221182222當(dāng)同時(shí)考慮交互作用的影響，但又根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)這些交互作用并不明顯時(shí)，仍選用L8(27)二列間的交互作用表，其表頭設(shè)計(jì)為：列號(hào)1234567AXBAXCBXC因素ABCDCXDBXDAXD在此情況下，每個(gè)因素的作用可以分析清楚，而交互作用都混雜在一起，只是由于交互作用很小，不必單獨(dú)頒出來(lái)，這樣的處理對(duì)結(jié)果不致產(chǎn)生明顯的影響。如AXB、AXC、A

33、XD如果不需對(duì)各因素的交互作用作全面的考查而只討論其中影響較大的幾個(gè)交互作用,則表頭設(shè)計(jì)為:列號(hào)1234567因素BCDACXDAXBBXDAXCBXCAXD設(shè)計(jì)中雖有一些混雜，但因CXD、BXD、BXC卻很小，不致影響結(jié)果分析。若需全面考查四因素及其兩兩的交互作用。則選用L16（215）二列交互作用表，其表頭設(shè)計(jì)為:11列號(hào)1234567891012141513AABAXBIXCX因素ABCDXB>CCDDD根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，因素A、B、C之間交互作用，而攪拌速度D與這些因素間的交互作用可予忽略，這樣就成為研究四個(gè)因素和三個(gè)交互作用中，何者對(duì)產(chǎn)量影響較大、何者影響較小并進(jìn)而尋求有利于提高

34、化合物產(chǎn)量的條件選擇問(wèn)題。這時(shí)應(yīng)選擇至少有七列的二水平正交表L8（27）,其表頭設(shè)計(jì)為：列號(hào)1234567因素ABAXBCAXCBXCD表頭設(shè)計(jì)好后，再按正交試驗(yàn)的基本方法，列出如下試驗(yàn)方案。列號(hào)因素At/cBt/cAXBC配比AXCBXCD試驗(yàn)號(hào)123456711(80)1(2)11(1/1)111(4S)21(80)1(2)12(1.5/1)222（快）31(80)2(3)21(1/1)122（快）41(80)2(3)22(1.5/1)211(4S)52(100)1(2)21(1/1)212（快）62(100)1(2)22(1.5/1)121(4S)72(100)2(3)11(1/1)22

35、1(4S)82(100)2(3)12(1.5/1)112（快）綜上所述，可知正交表是安排多因素試驗(yàn)的一種有用的工具，在應(yīng)用時(shí)不得將主要影響因素遺漏，必要時(shí)傾向于多考查一些因素，因?yàn)橛袝r(shí)增加12個(gè)考查的因素不一定會(huì)增加試驗(yàn)次數(shù)或者說(shuō)增加工作量并不大。在采用三水平以上的正交表作試驗(yàn)后，可根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果作圖，找出不同水平的變化趨勢(shì)，為以后的試驗(yàn)提供有益的信息。所以在不遺漏合理值的前提下，可把各因素的取值范圍稍取寬些，在此范圍內(nèi)取的水平數(shù)也不宜多，以免選用試驗(yàn)次數(shù)多的正交表而增加試驗(yàn)工作量。如果先用水平數(shù)少的正交表作實(shí)驗(yàn)，以從多個(gè)因素中挑選出主要因素后，再于下一批試驗(yàn)中對(duì)已挑選出的主要因素進(jìn)行的細(xì)致考查

36、。在一般化學(xué)分析中，三因素之間的交互作用通常可以忽略，不必單獨(dú)再作考查，讓其混雜在試驗(yàn)誤差之中。因交互作用不是具體因素，也就不存在水平問(wèn)題，無(wú)須專門增加試驗(yàn)工作來(lái)判斷它的影響。3 .正交試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析正交試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析由選定的正交表安排試驗(yàn)并按試驗(yàn)方案完成試驗(yàn)記錄各次試驗(yàn)的結(jié)果，再按一定步驟分析試驗(yàn)結(jié)果。試驗(yàn)結(jié)果分析方法有兩種，一種是直觀分析法；一種為方差分析法。直觀分析法是一種常用的結(jié)果分析法，它簡(jiǎn)便直觀，計(jì)算工作量小，但不能給出試驗(yàn)誤差的估計(jì)，也就無(wú)法得知分析結(jié)果的精度。3.1 不考慮交互作用的單指標(biāo)正交實(shí)驗(yàn)的結(jié)果分析對(duì)于只考慮因素的主效應(yīng)而忽略因素間的交互作用時(shí)，正交試驗(yàn)結(jié)果的分

37、析，可從下面幾個(gè)例子說(shuō)明：例1:研究某萃取分離過(guò)程的萃取效率，選擇了如下的因素和水平萃取溫度(A):15(A1)、25(A2)萃取時(shí)間(B):3min(B。.、5min(B2)兩相體積比(C):1/1(C1)、2/1(C2)鹽析劑用量(D):1g/25ml(D1)、2g/25ml(D2)試判斷在不考慮交互作用的情況下各因素的影響并尋求最佳的萃取條件。解：此題屬四因素二水平問(wèn)題，可選用L8(27)正交表，在表頭設(shè)計(jì)中將因素A、B、C、D分置于1、2、4、7歹U,并將因素的各水平代入，按正交表安排做完八次試驗(yàn)，所得結(jié)果記錄于表的末列。ABCD試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)號(hào)yi(%)1247115311862153

38、2/12953155129141552/11945253129162532/11967255118382552/1288如果從八次試驗(yàn)結(jié)果的萃取效率yi來(lái)看，可認(rèn)為A2B1C2D1為最佳條件。實(shí)際上，為獲得正確的結(jié)論，應(yīng)對(duì)所測(cè)數(shù)據(jù)作科學(xué)的分析。首先將測(cè)得數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合比較，找出對(duì)yi有明顯影響的因素，進(jìn)而判斷它取什么水平對(duì)試驗(yàn)產(chǎn)生最佳的效果。為便于綜合比較，可先從每個(gè)因素的不同水平的比較著手，在八次試驗(yàn)中，由于每一次試驗(yàn)都是在不同條件下進(jìn)行的，故無(wú)比較的基礎(chǔ)，只有將所測(cè)八個(gè)數(shù)據(jù)適當(dāng)?shù)丶右越M合，才能找到某種可比性一一正交設(shè)計(jì)的綜合可比性。以因素A為例，A的1水平A1出現(xiàn)在表的試驗(yàn)號(hào)1-4號(hào)，這四次

39、試驗(yàn)的萃取效率的平均值為鼐4yy2y3y4=91.5%A的2水平A2出現(xiàn)在表的試驗(yàn)號(hào)5-8號(hào)，四次試驗(yàn)的萃取效率的平均值為y8=89.5%由于在Ai條件下的四次試驗(yàn)中，因素B、C、D皆取遍了兩種水平，且兩種水平出現(xiàn)的次數(shù)相同，均為二次。同樣在A2條件下的四次試驗(yàn)中,B、C、D也都取遍兩種水平，且均為二次。這樣對(duì)于Ai和A2條件下的四次試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，雖然其它條件B、C、D在變化，但這種變化是平等的或均衡的，即A1與A2之間的差異反映了兩個(gè)水平的不同影響，所以A1與A2就是有可比性了A-A2=91589.5=2)°可以認(rèn)為因素A取A1水平時(shí)優(yōu)于取A2水平，根據(jù)同樣的理由比較因素B、C、D的兩

40、種水平的效果，可得如下各式：1一-Bi=4yiy2y5y6=92.0%iB2=4y3y4y7y8=89.0%-i_一.Ci=4yiy3y5y7=87.75%一iC2=4y2y4y6y8=93.25%一iDi=4yiy4y6y7=89.75%一i一一一一一D2=4y2y3y5y8=9i.25%以上各項(xiàng)計(jì)算的結(jié)果可列在正交表的下方ABCD試驗(yàn)結(jié)果y(%)試驗(yàn)號(hào)、i234567i2345678iiiiii22i2i2i22i2ii22i2i22ii222286959i949i968388Ki36636835i359K2358356373365k產(chǎn)與9i.592.087.7589.75k2=¥

41、;89.589.093.259i.25R=ki-k22.03.0-5.5-i.5表中K1表示正交表中每列的i水平所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)之和，k1、為其平均值；k2表示正交表中每列的2水平對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)之和,k2為其平均值，R叫極差，是每列兩水平平均值之差。Ra=A一A2V91,5-89.5-2.0Rb=B1一B2=92.0-89.0=3.0RC=C-C2=87.75-93.25=-5.5Rd=5-區(qū)=89.75一91.2575由差值的正負(fù)知因素a取a1比a好;因素b取b1比b2好；因素c取C2比C1好；因素dD2比D1好，所以在不考慮交互作用的情況下，選擇A1BCD2進(jìn)行萃取是最為合適的。另一方面A、B、C

42、、D四因素各自對(duì)萃取效率的影響是不同的，這種影響的大小具體表現(xiàn)在該因素的不同水平對(duì)應(yīng)的平均萃取效率之間的差異大小。從表上的極差植R絕對(duì)值知，因素C的兩個(gè)水平所導(dǎo)致的萃取效率的差異最大，即C的影響是最大的，其次是因素B、A,影響最小的是因素D。當(dāng)然，在試驗(yàn)范圍改變后,上述結(jié)論也可能發(fā)生變化。例：為提高某產(chǎn)物的產(chǎn)率，考查可溫度、反應(yīng)時(shí)間、壓力和溶液濃度四個(gè)因素的影響，每個(gè)因素取三個(gè)水平，取值如下（其中因素A的三個(gè)水平作了隨機(jī)處理）：水平因素溫度y時(shí)間h壓力p/Mpa濃度C/%molL)11401.50.200.5021202.00.250.7031302.50.301.00解：試驗(yàn)是四因素三水平問(wèn)

43、題，可選用L934118（2乂37）|_2713博正交表，如果由于試驗(yàn)條件的限制，則選用試驗(yàn)次數(shù)少的L9（34醫(yī)，將因素順序上列，水平對(duì)號(hào)填入或i按正交表的安排作完九次試驗(yàn)，結(jié)果記錄于表的右側(cè)，而對(duì)結(jié)果所作的初步運(yùn)算記錄于表的下面部分。1234產(chǎn)率（%）實(shí)驗(yàn)號(hào)因素ABCD1111128.02122233.03133340.54212336.55223114.56231232.07313233.08321345.59332132.5K1101.597.5105.575.0K283.093.5102.098.0Z=295.5K3111.0105.088.0122.5k1,333.832.535.2

44、25.0k上327.731.034.032.7Z9=32.8k3337.035.029.340.8R=kmaxkmin9.34.05.915.8表中數(shù)據(jù)表明最佳反應(yīng)條件是A3B3C1D3,這時(shí)可得最高的產(chǎn)率。當(dāng)然，這是所說(shuō)的最佳反應(yīng)條件是各因素所取水平值的范圍內(nèi)得出的結(jié)論，當(dāng)水平取值范圍改變后，最佳反應(yīng)條件也可能改變。另一方面，這里所得的最佳水平組合，并不包括在已做的九次試驗(yàn)中，為了證實(shí)上述的結(jié)論，應(yīng)按最佳組合進(jìn)行試驗(yàn)，將所得結(jié)果與試驗(yàn)方案中具有最高產(chǎn)率的試驗(yàn)作一比較。如果將各因素的水平取值對(duì)指標(biāo)作圖，得圖A,B,C,D的各水平為橫坐標(biāo)，以對(duì)應(yīng)的平均試驗(yàn)數(shù)還可以對(duì)因素與指標(biāo)的關(guān)系作圖，即分別以因素?fù)?jù)（數(shù)值）為縱坐標(biāo)作圖。圖1:因素水平取值與產(chǎn)率的關(guān)系由圖1知某因素的點(diǎn)子散布（波動(dòng)）的范圍大，表明該因素對(duì)指標(biāo)的影響也大；點(diǎn)子散布范圍小，對(duì)指標(biāo)的影響也小。例中因素D的不同水平所對(duì)應(yīng)的平均產(chǎn)率之間的差異最大，是影響產(chǎn)率的主要因素，其次是A,而影響最小的是B和C。對(duì)因素D而言，因其最佳水平在試驗(yàn)范圍的邊界上，故有必要適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)大D的取值，以獲得更佳的試驗(yàn)條件。在進(jìn)行正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)如果所考查的因素其水平的取值不是具體的