第十三講三重積分和線面積分

1、第十三講 三重積分、曲線、曲面積分及場(chǎng)論初步（數(shù)一）一、考試要求1、理解三重積分的概念，了解三重積分的基本性質(zhì)。2、會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。 3、理解兩類(lèi)曲線積分的概念，了解兩類(lèi)曲線積分的性質(zhì)及兩類(lèi)曲線積分的關(guān)系。4、掌握計(jì)算兩類(lèi)曲線積分的方法。5、掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑元關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)。6、了解兩類(lèi)曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類(lèi)曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，掌握用高斯公式計(jì)算曲面積分，會(huì)用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分。7、了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算。8、 會(huì)用三重積分、曲線積分及曲面積分，求一些幾何量

2、與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）。 9、理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。二、內(nèi)容提要1、 三重積分的概念 2、兩類(lèi)曲線積分 1）、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分(第一類(lèi)曲線積分) (1) 定義： (2) 性質(zhì)：1) 與積分路徑的方向無(wú)關(guān)，即 2) 可加性 2）、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分(第二類(lèi)曲線積分) (1) 定義： (2) 性質(zhì)：1) 與積分路徑的方向有關(guān)，即 2) 可加性 注：以上兩種曲線積分可分別推廣到空間中去。 3）、 兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系 (1) 是有向曲線弧L的切線向量的方向余弦，這切線向量的指向與L的方向一致。 (2) 3、兩類(lèi)曲面

3、積分 1）、對(duì)面積的曲面積分(第一類(lèi)曲面積分) (1) 定義： (2) 性質(zhì)：1) 與曲面的側(cè)面選擇無(wú)關(guān)，即 ，其中為曲面的另一側(cè) 2)可加性 , 其中 2）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分(第二類(lèi)曲面積分) (1) 定義： (2) 性質(zhì)：1) 與積分曲面的側(cè)有關(guān)，即 2) 可加性 ， 其中 3）、 兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系 =其中為曲面在點(diǎn)(x,y,z)處的法線的方向余弦。 4、場(chǎng)論初步 1）、方向?qū)?shù) 設(shè)三元函數(shù)在P(x,y,z)處可微，過(guò)P(x,y,z)點(diǎn)的有向線段L的方向余弦為，則 2 ）梯度(gradu) 設(shè)數(shù)量場(chǎng)u(x,y,z)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則grad 注：沿梯度方向的方向?qū)?shù)為 3）、 散度(

4、div) 設(shè) , 則 div 4）、 旋度(rot) 設(shè) , 則 rot 5）、 流量設(shè)有向量場(chǎng)，F(xiàn)沿定向曲面S的流通量為 =。5、重積分的應(yīng)用* 1） 曲面的面積 ，S= 2） 質(zhì)量 （其中為密度函數(shù)，下同） 3） 重心 ， 4） 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 5） 引力：空間立體對(duì)位于點(diǎn)處的單位質(zhì)點(diǎn)引力 ，其中三、重要公式與結(jié)論1、三重積分的對(duì)稱(chēng)性質(zhì) 1）對(duì)稱(chēng)性 若關(guān)于xoy(z=0)平面對(duì)稱(chēng)，而是中對(duì)應(yīng)于的部分，則關(guān)于xoz或yoz平面對(duì)稱(chēng)時(shí)，也有類(lèi)似的結(jié)果. 2） 輪換對(duì)稱(chēng)性若為：，（或則 2、格林公式 設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)及其一階偏導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則 其中L是D的邊界曲線且取正向。 注

5、： P,Q及其一階偏導(dǎo)數(shù)要求連續(xù)， L封閉且取正向(沿L前進(jìn)時(shí)域D總在左手邊)。 3、高斯公式 設(shè)P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在閉區(qū)域W上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 其中是閉域W的邊界曲面的外側(cè)。 注： P,Q,R及其一階偏導(dǎo)數(shù)要求連續(xù)， 應(yīng)取外側(cè)。 4、斯托克斯公式 設(shè)P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在曲面所張成的空間域W內(nèi)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，L為曲面的邊界曲線，則 =其中曲線L的方向與曲面所取側(cè)的法線方向滿足右手法則。 5、平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)條件 設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在單連通區(qū)域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 1) 2)

6、 3) L為任一簡(jiǎn)單分段光滑封閉曲線Û 4) 存在函數(shù)u(x,y)，(x,y)ÎD, 使du(x,y)=Pdx+Qdy, 且 6、第一類(lèi)積分的對(duì)稱(chēng)性 （1）第一類(lèi)曲線積分具有對(duì)稱(chēng)性：1） 設(shè)L關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，則 L1是L的右半部分2） 設(shè)L關(guān)于y=0對(duì)稱(chēng)，則 L1是L的上半部分3） 輪換對(duì)稱(chēng)性：若x與y互換，L不變，則 （2）第一類(lèi)曲面積分具有對(duì)稱(chēng)性：設(shè)關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，則 1是的部分類(lèi)似地有關(guān)于y=0,z=0的對(duì)稱(chēng)性情形輪換對(duì)稱(chēng)性：若x，y，z互換，不變，則四、典型題型與例題題型一、三重積分的計(jì)算例1、化為三次積分，其中W為及 所圍成的閉區(qū)域 例2、計(jì)算 ，其中為三個(gè)坐標(biāo)面

7、及平面所圍成的閉區(qū)域. 例3*、計(jì)算, 其中W為平面曲線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面與平面z=8所圍成的區(qū)域。 例4 計(jì)算, 其中W是由圓柱面,旋轉(zhuǎn)拋物面所圍成的區(qū)域。 例5、計(jì)算 ，其中 W 是 與 所圍的立體.例6、計(jì)算 ，其中W 是由 和 所圍空間閉區(qū)域。 例7*、 設(shè)密度為1的立體由不等式表示，試求繞直線x=y=z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.分析 點(diǎn)到直線的距離為 解 質(zhì)點(diǎn)m對(duì)直線L的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，d是質(zhì)點(diǎn)到L的距離. 上任意點(diǎn)(x,y,z)到直線L的距離的平方所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為=例8、 設(shè)f(u)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，f(0)=0,求題型二、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算方法 重要提示：計(jì)算線面積分之前，應(yīng)盡可能把曲線

8、、曲面方程先代入被積函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，但轉(zhuǎn)化為格林公式或高斯公式后，卻不能再代入計(jì)算！ 例9、計(jì)算 例10*、 設(shè)曲線G是球面與平面x+y+z=1的交線，試求積分. 解 例11、 計(jì)算例12、已知連續(xù)函數(shù)，求，其中為與的交線。題型三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法 例13、 計(jì)算 例14、計(jì)算其中L是以(1,0)為中心，半徑為R(>0,R¹1)的正向圓周。 比較*（07-1）：設(shè)曲線過(guò)第二象限點(diǎn)M和第四象限N，是L上從M到N的一段弧，則下列積分小于0的是 B A ， B ， C ， D 例15、（04數(shù)1）計(jì)算其中L為正向圓周在第一象限的部分。 例16、 計(jì)算其中L為自點(diǎn)A(-1,0)

9、沿至B(2,3)的弧段。 例17、 (格林公式)計(jì)算I=其中:1) C為圓周 ,且取正向2) C為橢周 ,且取正向例18、 （逆問(wèn)題) 已知曲線積分，其中是非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)且, L是繞原點(diǎn)(0,0)一周的任意正向閉曲線，試求出及A. 例19*、(逆問(wèn)題)設(shè)x>0時(shí)f(x)連續(xù)可微，且f(1)=2,對(duì)右半平面(x>0)內(nèi)任意閉曲線C有 1）求f(x); 2)計(jì)算 其中L是由A(1,0)到B(2,3)的一段弧 解 1）由題設(shè)，得 由 解得 2）因積分與路徑無(wú)關(guān)， 選取沿路徑 例20*、 已知，試確定使方程 成為全微分方程，并求上述方程滿足初始條件的特解.解 ， ，由 ，即 .令，則 ，即

10、對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解為 設(shè)特解為 ，即有 由 ，得 故 例21*、(空間曲線積分)計(jì)算空間曲線積分 其中L為與平面的交線，從z軸正向往z軸負(fù)向看去，曲線L是逆時(shí)針?lè)较颉?題型四、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算 例22例23 計(jì)算曲面積分，其中為球面：. 例24*、 設(shè)有曲面,它的面密度為,求它的質(zhì)量.解 ,為在第一卦限部分，則 于是=,令 得 =注: 注意的取值! 題型五、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法 例25、計(jì)算，其中為下半球面的上側(cè)，a為大于0的常數(shù)。 例26、計(jì)算，其中是錐面被平面z=1和z=2所截出部分的外側(cè)。 例27 計(jì)算，其中1) 是球面：外側(cè)，2) 是不含原點(diǎn)在其內(nèi)部的光滑閉曲:外側(cè)，3)

11、 是含原點(diǎn)在其內(nèi)部的光滑閉曲面: 外側(cè)例28* 設(shè)對(duì)于半空間x>0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S ,都有 其中函數(shù)f(x)在(0,+¥)內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且求f(x).解 由題設(shè)和高斯公式得 ，其中為S圍成的有界閉區(qū)域，號(hào)對(duì)應(yīng)曲面取外側(cè)或內(nèi)側(cè)。由S的任意性，知 . 即，這是一階線性非齊次微分方程，其通解為由于 故必有，即C+1=0，從而C= -1. 因此有 例29、計(jì)算 , :被三坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界,其正向與三角形上側(cè)符合右手規(guī)則.題型六、場(chǎng)論初步例30 過(guò)曲面上點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量為,求函數(shù)在點(diǎn)P0處沿方向的方向?qū)?shù).解 F(x,y,z)= , 外法線方向余為又 例31* 確定常數(shù)，使在右半平面x>0上的向量為某具有連續(xù)二階偏導(dǎo)二元函數(shù)u(x,y)的梯度，并求u(x,y).【分析】