第四章 二項(xiàng)分布及其他離散型隨機(jī)變量的分布

1、第四章 二項(xiàng)分布及其他離散型隨機(jī)變量的分布泊松分布泊松分布離散型隨機(jī)變離散型隨機(jī)變量的概率分布量的概率分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布一、兩點(diǎn)分布（一、兩點(diǎn)分布（0-10-1分布）的概念分布）的概念0 1P(=xi)q p兩點(diǎn)分布就是變量的取值只有兩類的分布，其所對應(yīng)的是社會調(diào)查中的二分變量。兩點(diǎn)分布的表示： =0； =1（0-1分布，代碼） 1、請問您的性別： 0男 1女 2、請問您是否結(jié)過婚： 0是 1否兩點(diǎn)分布的分布律：P(=0)=q； P(=1)=p；p+q=1兩點(diǎn)分布（兩點(diǎn)分布（0-10-1分布）的性質(zhì)分布）的性質(zhì)p0；q0；p+q=1E()=0q+1p=p; D()=(0-p)

2、2q+(1-p)2p=pq(p+q)=pq0、1可以是虛擬變量，也可以是實(shí)質(zhì)變量01qqP(=xi)二、排列與組合二、排列與組合（一）排列（一）排列（PermutationPermutation）1.重復(fù)排列：從n個各不相同的東西中任取一個，然后放回去，再任取一個，然后又放回去，這樣下去共進(jìn)行m次，所得到不同序列的種數(shù)為： 例：某單位醫(yī)療證號碼為四位數(shù)，問該單位人數(shù)最多是多少？ 種mmnnnnnR.次m44101010101010R次4 2.非重復(fù)排列：從n個各不相同的東西中任取m個排成一列 （沒有東西重復(fù)）。那么，排列的種數(shù)為： 例：一條航線上共有10個航空站，問這條行線上共有多少種不同的飛

3、機(jī)票？ 起點(diǎn) 終點(diǎn) 種90) 110(10210p)1 (nm 種)!(!)1(.) 1(mnnmnnnpmn個共m 3.全排列：從n個各不相同的東西中，任取n個的排列，又稱全配列數(shù)。例：有四幢大樓將分配給四個單位使用，分配原則是每個單位只允許分配一幢，共有多少種分配方案。單位：甲乙丙丁 大樓：ABCD 種）（）（243424) 14(444p!12.2)1(nnnnnpn （二）組合（二）組合如果在排列的序列中，不僅沒有東西重復(fù)，而且與次序也無關(guān)，這種不計(jì)次序的排列，稱作組合問題。例如：一條航線上共有10個航空站，如果兩站間的票價都不同，問有多少種票價？（甲站到乙站和乙站到甲站的票價是一樣的

4、）。 始點(diǎn) 終點(diǎn)從n個各不相同的東西里，任取m個出來（不管順序），問共有多少種取法？每一種取法稱為一個組合。不同的組合總數(shù)為： 種452/ ) 110(10/22210ppnmmnmnmmnnnPPCmmmnmn1!11例：家庭成員共8人，問有多少對人際關(guān)系？例：把6個養(yǎng)雞場承包給甲乙丙三個專業(yè)戶，其中甲承包1個養(yǎng)雞場，乙承包2個養(yǎng)雞場，丙承包3個養(yǎng)雞場，問有多少種承包方法？281278)!28( ! 2! 8/222828ppC601325! 5 ! 1! 6332516！CCC三、二項(xiàng)分布三、二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是從著名的二項(xiàng)分布是從著名的貝努里試驗(yàn)貝努里試驗(yàn)中推導(dǎo)而來。所謂貝努里試中推導(dǎo)而來

5、。所謂貝努里試驗(yàn)，是指只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)。在實(shí)際問題中，有許多驗(yàn)，是指只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)。在實(shí)際問題中，有許多隨機(jī)現(xiàn)象只包含兩個結(jié)果，如男與女，是與非，生與死，同意與隨機(jī)現(xiàn)象只包含兩個結(jié)果，如男與女，是與非，生與死，同意與不同意，贊成與反對等等。通常，我們把其中比較關(guān)注那個結(jié)果不同意，贊成與反對等等。通常，我們把其中比較關(guān)注那個結(jié)果稱為稱為“成功成功”，另一個結(jié)果則稱為，另一個結(jié)果則稱為“失敗失敗”。每當(dāng)情況如同貝努。每當(dāng)情況如同貝努里試驗(yàn)，是在相同的條件下重復(fù)里試驗(yàn)，是在相同的條件下重復(fù)n n次，考慮的是次，考慮的是“成功成功”的概率的概率，且各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，就可利用與二項(xiàng)

6、分布有關(guān)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。，且各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，就可利用與二項(xiàng)分布有關(guān)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。雖然許多分布較之二項(xiàng)分布更實(shí)用，但二項(xiàng)分布簡單明了，況且雖然許多分布較之二項(xiàng)分布更實(shí)用，但二項(xiàng)分布簡單明了，況且其他概率分布的使用和計(jì)算邏輯與之相同。所以要理解統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)其他概率分布的使用和計(jì)算邏輯與之相同。所以要理解統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)以及它所涉及的許多新概念，人們幾乎都樂意從二項(xiàng)分布以及它所涉及的許多新概念，人們幾乎都樂意從二項(xiàng)分布的討論入手。的討論入手。 二項(xiàng)試驗(yàn)：二項(xiàng)試驗(yàn)：貝努里試驗(yàn)貝努里試驗(yàn)貝努里試驗(yàn)具有如下屬性試驗(yàn)包含了n 個相同的試驗(yàn)每次試驗(yàn)只有兩個可能的結(jié)果，即“成功”和“失敗”出現(xiàn)“成功”的概率 p 對每次試驗(yàn)結(jié)果

7、是相同的；“失敗”的概率 q 也相同，且 p + q = 1試驗(yàn)是相互獨(dú)立的試驗(yàn)“成功”或“失敗”可以計(jì)數(shù)二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布二點(diǎn)分布：二點(diǎn)分布：進(jìn)行一次試驗(yàn)，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩類。 例：扔擲一枚硬幣的結(jié)果：0正面 1反面 如果扔擲兩枚硬幣，或者說，一枚硬幣扔擲兩次，討論出現(xiàn)正面的次數(shù)： 1.出現(xiàn)0次的概率 2.出現(xiàn)1次的概率 3.出現(xiàn)2次的概率1) 1()0(qpppqp2002)0(qpCqqp0222)2(qpCppp1112) 1(qpCqppqp如果扔擲四枚硬幣，或者說，一枚硬幣扔擲四次，討論出現(xiàn)正面的次數(shù)： 1.出現(xiàn)0次的概率 2.出現(xiàn)1次的概率 3.出現(xiàn)2次的概率 4.出現(xiàn)3次的概率

8、5.出現(xiàn)4次的概率4004)0(qpCqqqqp40444)4(pqpCp2222246)2(qpqpCp3131144) 1(qpqpCqqqpqqpqqpqqpqqqp1313344)3(qpqpCp1. 二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)形式從擲硬幣的試驗(yàn)入手。假定二項(xiàng)試驗(yàn)由重復(fù)拋擲從擲硬幣的試驗(yàn)入手。假定二項(xiàng)試驗(yàn)由重復(fù)拋擲n n次硬幣次硬幣組成，已知硬幣面朝上組成，已知硬幣面朝上( (成功成功) )的概率是的概率是p p，面朝下，面朝下( (失失敗敗) )的概率是的概率是q q ( (顯然有顯然有 q q11p p) )。這樣，對試驗(yàn)結(jié)果而。這樣，對試驗(yàn)結(jié)果而言，成功的次數(shù)（即硬幣面朝上的次數(shù)）言，成功的

9、次數(shù)（即硬幣面朝上的次數(shù)）X X是一個離散型是一個離散型隨機(jī)變量，它的可能取值是隨機(jī)變量，它的可能取值是0 0，1 1，2 2，3 3，n n。而對。而對X X的的一個具體取值一個具體取值x x而言，根據(jù)乘法規(guī)則，我們立刻可以就試而言，根據(jù)乘法規(guī)則，我們立刻可以就試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算出驗(yàn)結(jié)果計(jì)算出一種一種特定排列方式特定排列方式( (先先x x次面朝上，而后次面朝上，而后n nx x次面朝下次面朝下) )實(shí)現(xiàn)的概率，即實(shí)現(xiàn)的概率，即 pppppppqqqpqqqq qp px xq qn-xn-x由于正確解決概率問題，光考慮乘法規(guī)則是由于正確解決概率問題，光考慮乘法規(guī)則是不夠的，還要考慮加法規(guī)則，于是

10、就不夠的，還要考慮加法規(guī)則，于是就x x次成功和次成功和（n nx x）次失敗這個宏觀結(jié)果而言所包含的所有）次失敗這個宏觀結(jié)果而言所包含的所有組合的方式數(shù)，用符號表示組合的方式數(shù)，用符號表示 這樣，我們就得到了二項(xiàng)試驗(yàn)中隨機(jī)變量這樣，我們就得到了二項(xiàng)試驗(yàn)中隨機(jī)變量X X的的概率分布，即概率分布，即 )!( !xnxnCxnxnxxnqpCxXP )(二項(xiàng)分布的分布律二項(xiàng)分布的分布律進(jìn)行 n 次重復(fù)試驗(yàn)，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布，記作B(n, p)設(shè)為 n 次重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)， 取 x 的概率為!()!(0,1,2, )xxn xnnxCnx n xPxC p qxn式

11、中：二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（圖示）（圖示）=0P(=0)=Cn0p0qn-0=1P(=1)=Cn1p1qn-1=2P(=2)=Cn2p2qn-2=3P(=3)=Cn3p3qn-3=n-1P(=0)=Cnn-1pn-1q1=nP(=n)=Cnnpnq0 譬如，二項(xiàng)試驗(yàn)是將一枚硬幣重復(fù)做8次拋擲，假設(shè)這枚硬幣是無偏的，即 pq0.5，那么恰好得到5次面朝上的概率是 硬幣面朝上數(shù)x 概率P(X=x) 012345678 1/256= .004 8/256= .031 28/256= .109 56/256= .219 70/256= .274 56/256= .219 28/256= .109 8/256

12、= .031 1/256= .004合 計(jì) 1.000 219. 02121! 3 ! 5! 8553558)5(qpCP 同理，我們也可以求出這個二項(xiàng)試驗(yàn)中硬幣剛好為0，1，2，8次面朝上的各種宏觀結(jié)果的概率，全部寫出來就是右表。 2.二項(xiàng)分布討論X 0 1 2 n合計(jì)合計(jì)P(X) 111nnqpCnnqpC000qpCnnn222nnqpC1P 二項(xiàng)分布為離散型隨機(jī)變量的分布。每當(dāng)試驗(yàn)做的是在相同的條件下n次重復(fù)的伯努利試驗(yàn)時，隨機(jī)變量X共有n+1個取值。二項(xiàng)分布可以用分布律(見上表)和折線圖(見右圖)來表示。 當(dāng)P=0.5時二項(xiàng)分布的圖形是對稱的。 E(X)= E(X)= =npnp，

13、D(X)= D(X)= 2 2= = npqnpq 二項(xiàng)分布受二項(xiàng)分布受 p p 和和 n n 變化的影響，只要確變化的影響，只要確定了定了 p p和和 n n，成功次數(shù)，成功次數(shù) X X 的分布也隨之確定。因此的分布也隨之確定。因此，二項(xiàng)分布還可簡寫作，二項(xiàng)分布還可簡寫作 B(B(x; n,px; n,p) )。 二項(xiàng)分布的概率值除了根據(jù)公式直接進(jìn)行二項(xiàng)分布的概率值除了根據(jù)公式直接進(jìn)行計(jì)算外，還可查表求得。二項(xiàng)分布表的編制方法有兩計(jì)算外，還可查表求得。二項(xiàng)分布表的編制方法有兩種：一種依據(jù)概率分布律種：一種依據(jù)概率分布律 P P( (x x) ) 編制編制( (見附表見附表2)2)。nxpnX

14、BxXPxF),;()()(二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布1顯然， 對于P=x 0， x =1,2,n，有2同樣有3當(dāng) n = 1 時，二項(xiàng)分布化簡為0()1nxxn xnnxC p qpq10,1xxPxp qx0ba0abmxxnxnxnxxnxnx mxxnxnxPmC p qP mnC p qPC p q二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（實(shí)例）（實(shí)例）已知100件產(chǎn)品中有5件次品，現(xiàn)從中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件產(chǎn)品中恰好有2件次品的概率設(shè) X 為所抽取的3件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則XB ( 3 , 0.05)，根據(jù)二項(xiàng)分布公式有007125. 0)95. 0()05. 0(223223CXP 例例2

15、2 某特定社區(qū)人口的某特定社區(qū)人口的10%10%是少數(shù)民族，現(xiàn)隨機(jī)是少數(shù)民族，現(xiàn)隨機(jī)抽取抽取6 6人，問其中恰好人，問其中恰好2 2人是少數(shù)民族的概率是多少？人是少數(shù)民族的概率是多少？ 解解 解法一：根據(jù)解法一：根據(jù)(7.3)(7.3)式直接計(jì)算式直接計(jì)算 解法二：根據(jù)附表解法二：根據(jù)附表2 2中縱列中縱列n n6 6和橫行和橫行p p0.10.1所所對應(yīng)對應(yīng)x x值，可直接查得值，可直接查得B B( (x x；6 6，0.1)0.1)的概率值的概率值 B B (2 (2；6 6，0.1)0.1)0 00984 0984 0984. 0109101! 4 ! 2! 6)2(424226qpCX

16、P二項(xiàng)分布的理論與統(tǒng)計(jì)分布二項(xiàng)分布的理論與統(tǒng)計(jì)分布理論分布理論分布B(5,0.5)B(5,0.5)N=100N=100N=1000N=1000N=2000N=2000P(P(=x)=x)頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率0 00.0310.0313 30.0300.03035350.0350.03571710.0360.0361 10.1560.15619190.1900.1901681680.1680.1683323320.1660.1662 20.3120.31231310.3100.3103423420.3420.3426416410.3210.3213 30.3120.3

17、1233330.3300.3302872870.2870.2876006000.3000.3004 40.1560.15610100.1000.1001351350.1350.1352932930.1470.1475 50.0310.0314 40.0400.04033330.0330.03363630.0320.0322022-5-3124超幾何分布超幾何分布 適用：小群體的兩分變量。假定總體分適用：小群體的兩分變量。假定總體分為為A A類和非類和非A A類，類，A A類共有類共有M M個，設(shè)從中任抽個，設(shè)從中任抽n n個個, ,則則n n中含有中含有A A類個數(shù)類個數(shù)“”“”的概率分布的概

18、率分布:(x=0,1,2,.,l) l=min(M,n):(x=0,1,2,.,l) l=min(M,n)()xn xMN MnNC CPxC2022-5-3125四、超幾何分布的數(shù)學(xué)期望值和方差四、超幾何分布的數(shù)學(xué)期望值和方差如果用如果用 ，則有則有npXE)()nME XN22()()()(1)n Nn NM MD XNN1)(2NnNnpqXDpqNKp1,2022-5-3126 例例 以隨機(jī)方式自以隨機(jī)方式自5 5男男3 3女的小群體中選出女的小群體中選出5 5人組成一個委員會，人組成一個委員會，求該委員會中女性委員人數(shù)的概率分布、期望值與變異數(shù)。求該委員會中女性委員人數(shù)的概率分布、期

19、望值與變異數(shù)。 解解 由題意可知：由題意可知：N N8 8M M3 3，NMNM5 5n n5 5，代入公，代入公式，故概率分布如下：式，故概率分布如下： v 由由 ， （1 1）（2 2）X0 1 2 3 合計(jì)P=(X=x) 1/56 15/56 30/56 10/5656/56875. 1835 np5022. 0185883512Nnnnpq851qq83NKp五、泊松分布的概念五、泊松分布的概念v用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布v泊松分布的例子一個城市在一個月內(nèi)發(fā)生的交通事故次數(shù)消費(fèi)者協(xié)會一個星期內(nèi)收到的消費(fèi)者投訴次數(shù)人壽保險公司每天收到的

20、死亡聲明的人數(shù)2022-5-3128泊松分布泊松分布適用：適用：稀有事件稀有事件的研究。一個事件的平均發(fā)生次數(shù)是大量實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，的研究。一個事件的平均發(fā)生次數(shù)是大量實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，在這些試驗(yàn)中，此事件可能發(fā)生，但是發(fā)生的概率非常小。在這些試驗(yàn)中，此事件可能發(fā)生，但是發(fā)生的概率非常小。泊松分布亦為離散型隨機(jī)變量的概率分布泊松分布亦為離散型隨機(jī)變量的概率分布，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量X X為樣本內(nèi)成功事為樣本內(nèi)成功事件的次數(shù)。若件的次數(shù)。若為成功次數(shù)的期望值，假定它為已知。而且在某一時空中為成功次數(shù)的期望值，假定它為已知。而且在某一時空中成功的次數(shù)很少，超過成功的次數(shù)很少，超過5 5次的成功概率可忽不計(jì)，那么次的成功概率可忽不計(jì)，那么X X的某一具體取值的某一具體取值x x（即稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)）的概率分布為（即稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)）的概率分布為 給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e = 2.71828 x 給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù)()( ; )!xPxP xex2022-5-3129 泊松分布的性質(zhì)：泊松分布的性質(zhì)：x x的取值為零和一切正整數(shù)；只有一的取值為零和一切正整數(shù)；只有一個參數(shù)個參數(shù)，當(dāng)，當(dāng)確定的時候，泊松分布就確定了，因