自動化車床的管理問題數(shù)學建模

1、2017年數(shù)學建模論文第 5 套 論 文 題 目：自動化車床管理 專業(yè)班級姓名： 專業(yè)班級姓名： 專業(yè)班級姓名 提交日期： 2017.7.19 自動化車床管理摘 要本文研究了自動化車床的管理問題，將檢查間隔和刀具更換策略的確定歸結為單個零件期望損失最小的一個優(yōu)化問題，我們利用原始數(shù)據在matlab中進行處理，建立了以期望損失費用為目標函數(shù)的數(shù)學模型。首先對于題目中給出的100次刀具故障記錄的數(shù)據在matlab中畫出頻率直方圖，我們可以看出，數(shù)據基本是符合正態(tài)分布的，我們借用jbtext函數(shù)對這些數(shù)據進行處理和正態(tài)性校驗，可以得出樣本符合正態(tài)分布的假設，然后我們用求得概率密度函數(shù)的期望和標準差，

2、然后得出刀具壽命的正態(tài)分布函數(shù)。對于問題(1)，我們首先建立以單個零件分攤的費用的損失函數(shù)為目標函數(shù)，然后我們用概率論及數(shù)理統(tǒng)計來建立出非線性優(yōu)化模型，每個零件分攤的費用記為L，L包括預防保全費用L1,檢查費用L2,和故障造成的不合格品損失和修復費用L3.在matlab中進行求解得出最優(yōu)檢查間隔為23個，最優(yōu)刀具更新間隔為352個，合格零件的平均損失期望為7.61元對于問題(2)，根據題目信息,不管工序是否正常都有可能出現(xiàn)正品和次品，我們在問題一上，加入檢查間隔中的不合格品帶來的損失，同時還有誤檢帶來的損失，然后建立出每個零件的期望損失費用作為目標函數(shù)的優(yōu)化模型，在matlab中用窮舉法進行求

3、解得出最優(yōu)檢查間隔為30個，最優(yōu)刀具更新間隔為308個，合格零件的平均損失期望為10.07元。對于問題(3)，我們將第二題的模型，改變?yōu)槿绻麢z查為合格品時多檢查一次，如果第二次仍然為合格品，我們則判定為工序正常，否則認為故障，改變第二問中的L2和L3，優(yōu)化模型進行求解得出最優(yōu)檢查間隔為20個，最優(yōu)刀具更新間隔為375個，合格零件的平均損失期望為9.50元。對于第三問我們一直是固定檢查間隔，我們也可以利用刀具發(fā)生故障的函數(shù)模型，對檢查的間隔也進行調整，檢查間隔隨函數(shù)變換，這一問還沒有具體討論。關鍵詞：正態(tài)分布 非線性優(yōu)化模型 窮舉法 損失函數(shù) 自動化車床管理一、問題重述一道工序用自動化車床連續(xù)加

4、工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會出現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占95%，其他故障僅占5%。工序出現(xiàn)故障是完全隨機的，假定在生產任一零件時出現(xiàn)故障的機會均相同。工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障?，F(xiàn)積累有100次刀具故障記錄，故障出現(xiàn)時該刀具完成的零件數(shù)如附件表。現(xiàn)計劃在刀具加工一定件數(shù)后定期更換新刀具。 已知生產工序的費用參數(shù)如下： 故障時產出的零件損失費用f=200元/件； 進行檢查的費用t=20元/次； 發(fā)現(xiàn)故障進行調節(jié)使恢復正常的平均費用d=4000元/次（包括刀具費）； 未發(fā)現(xiàn)故障時更換一把新刀具的費用k=1500元/次。 1）假定工序故障是產出的零件均為不合格品，正常時產出

5、的零件均為合格品，試對該工序設計效益最好的檢查間隔（生產多少零件檢查一次）和刀具更換策略。 2）如果該工序正常時產出的零件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序故障時產出的零件有40%為合格品，60%為不合格品。工序正常而誤認有故障停機產生的損失費用為2000元/次。對該工序設計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。 3）在2）的情況，可否改進檢查方式獲得更高的效益。附：100次刀具故障記錄（完成的零件數(shù)）459 362 624 542 509 584 433 748 815 505612 452 434 982 640 742 565 706 593 680926 653 164 487 734

6、 608 428 1153 593 844527 552 513 781 474 388 824 538 862 659775 859 755 649 697 515 628 954 771 609402 960 885 610 292 837 473 677 358 638699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120447 654 564 339 280 246 687 539 790 581621 724 531 512 577 496 468 499 544 645764 558 378 765 666 763 217 715 310 851二、問題分析

7、對于自動化車床的生產過程中，在工序出現(xiàn)故障的時候，生產的零件在第一問中均為不合格品，第二問中大部分為不合格品，在發(fā)現(xiàn)故障后再換刀也會耗費更多的費用，但是如果檢查太過頻繁或者刀具更換太過頻繁也會造成資源的浪費以及費用的增加，所以我們要將問題轉換為概率模型來求解。問題一中我們以生產每個零件的平均費用L作為損失函數(shù)，每個零件的平均費用預防保全費用+檢查費用+故障造成的不合格品損失和修復費用,以此作為目標函數(shù).，然后我們確立題目中的約束條件，其中，刀具損壞占95%，其他故障占5%，故工序平均故障間隔由刀具故障的平均間隔與非刀具故障的平均間隔得出.將信息進行整理得到問題一的優(yōu)化模型.接著運用Matlab

8、軟件求出此問題的最優(yōu)解。問題二中，我們在正常工序時可能產生1%的不合格品，而工序故障時也會有40%的合格品，因此會造成誤檢與漏檢，誤檢會在正常工序檢測到不合格品而停機產生費用，而漏檢是在機器故障時因為有合格品而不換刀，導致不合格品增加，我們將這兩種費用考慮，得到問題二的優(yōu)化模型，利用matlab軟件得出此問題的最優(yōu)解。對于問題三，我們可以在問題二的模型上進行改進，因為機器故障時的合格品率為40%，所以我們不能憑借一次的判斷就斷定機器的故障，因為檢查費用一次僅20元，所以我們可以在二的模型中，如果遇到合格品我們就在此進行檢驗，如果認為合格品則認為工序正常，否則認為故障，這樣我們利用第二題的模型，

9、調整下兩種誤判的式子，就可以得到模型三，然后我們利用matlab來得到優(yōu)化模型的解。三、問題假設假設1：所給的100次抽樣具有代表性，這些分布就是刀具故障記錄的分布；假設2：假設在生產任一零件時出現(xiàn)故障的機會均相等；假設3：假設生產剛啟動時使用的刀具都是新的；假設4：對于問題(1)，故障時產出的產品都為不合格品；假設5：假設提供的刀具故障記錄數(shù)據是獨立同分布的；假設5：假設無論刀具損壞故障還是其它故障, 發(fā)生故障并使恢復正常的平均費用均為4000元每次； 假設7：對于問題(2)，工序故障時可能產出合格品；假設8：假設檢查時不停止生產,在檢查出不合格零件時才停止再進行維修； 假設9：工序故障中有

10、0.95是刀具故障；四、符號說明符號符號說明首次產生刀具故障時已加工的零件數(shù)即刀具故障間隔刀具故障的概率密度函數(shù)累計刀具故障的概率密度函數(shù)刀具平均壽命樣本方差較大的常數(shù)故障時產生的零件損失費用200元/次進行一次檢查的費用20元/次發(fā)現(xiàn)故障進行調節(jié)使恢復正常的平均費用4000元/次未發(fā)現(xiàn)故障時更換一把刀具的費用1500元/次每個零件的預防保全費用每個零件的檢查費用故障造成的不合格品損失和修復費用生產每個零件的平均費用更換刀具的零件數(shù)間隔進行檢查的零件數(shù)間隔工序的平均故障間隔平均故障率相鄰兩次檢查的后一次檢查發(fā)現(xiàn)故障時, 件零件中不合格品的平均數(shù)檢查發(fā)現(xiàn)故障至停止生產的過程中產生的零件數(shù)刀具故障

11、的平均間隔非刀具故障的平均間隔工序正常時的不合格品率2%工序正常而誤認為有故障停機的損失費2000元/次工序故障時的合格品率40%五、數(shù)據處理與分析 5.1 刀具正常工作的時間長的概率密度函數(shù)頻率分布題目中給出了100次刀具故障的記錄，我們利用matlab函數(shù)畫出這些數(shù)據的頻率直方圖(見附錄1)。5.2正態(tài)分布擬合度檢驗從頻率直方圖我們可以看出，這100此數(shù)據基本符合正態(tài)分布，于是利用matlab中的jbtext函數(shù)對數(shù)據進行正態(tài)檢驗(見附錄2)。normplot(X) %用概率紙檢驗數(shù)據是否服從正態(tài)分布H = jbtest(X) h為測試結果，如果h=0，則認為x是服從正態(tài)分布的；如果h=1

12、，則可以否定x服從正態(tài)分布；H = jbtest(X,alpha)h,p,JBSTAT,CV=jbtest(x,alpha) p為接受假設的概率，p越接近于0，則可以是拒絕正態(tài)分布的原假設。JBSTAT為測試統(tǒng)計量的值；CV為是否拒絕原假設的臨界值，主要是用JBSTAT與CV比較，超過臨界值就認為不服從正態(tài)分布。我們運行后可以得到返回值：H =0P =0.5000JBSTAT =0.5427CV =5.4314h=0表示接受正態(tài)分布的假設；p=0.5000表示服從正態(tài)分布的概率很大，通過以上4個指標，可以得出結論：樣本中所給的數(shù)據與正態(tài)分布函數(shù)擬合得很好，我們接受這一假設。我們通過檢測可得出，

13、數(shù)據屬于正態(tài)分布。然后我們用matlab可計算出這100此數(shù)據的期望為600，標準差為196.6292(見附錄3)六、問題一模型建立與求解6.1模型一的建立6.1.1模型的準備損失函數(shù)可考慮為生產每個零件的平均費用L.L包括預防保全費用L1,檢查費用L2,和故障造成的不合格品損失和修復費用L3. 由題中信息我們可以得出: 一 刀具的平均故障率為: ;二 每個零件的預防保全費用為: 三 每個零件的檢查費用為: 四 相鄰兩次檢查的后一次發(fā)現(xiàn)故障的總不合格品數(shù)為m ,則故障造成的每個不合格品的損失和修復費用為: 五 m的計算,在相鄰兩次檢查的后一次發(fā)現(xiàn)故障的條件下,出現(xiàn)i件不合格品的概率為,件零件中

14、不合格品的平均數(shù)為;將上式進行Taylor展開得到下式;又由于上面的式子中的和很小可以省略,故得到關于的最終式子,即:六 首先根據給出的100個數(shù)據算出無預防性更換時,刀具故障平均間隔為a=600件由題設刀具故障占95% ,非刀具故障占5% ,故非刀具平均故障間隔為b=a·95/5=11400件. 其次由100個數(shù)據確定刀具壽命的經驗分布或擬合分布F(x).七 當進行預防保全定期更換刀具時, 刀具故障的平均間隔: 八 工序的平均故障間隔由和決定,即: 則得到是的函數(shù): 6.1.2確定目標函數(shù)以生產的每一個合格零件的平均費用L作為損失函數(shù)，那么每個零件的平均費用就等于預防保全的費用加檢

15、查的費用和故障造成的不合格零件費用以及修復費用，然后我們就把損失函數(shù)L作為問題一的目標函數(shù)：6.1.3問題一的模型6.2.1模型一的求解根據建立的模型用Matlab軟件將約束式子代入目標函數(shù),利用窮舉法得到目標函數(shù)的最小值點,然后我們可以得到結果Tc=23 T=352 m=7.6057，因此我們可以得到每隔23個零件就該檢查一次，每隔352個零件換一次刀具，每一個合格零件的損失期望是7.61。6.2.2 結果分析表1: 模型一結果的局部檢驗350351352353354355356207.62247.62157.62087.62017.61967.61927.6189217.61297.612

16、27.61167.61127.61097.61067.6105227.60777.60727.60687.60667.60647.60647.6065237.60637.60597.60577.60587.60597.60617.6062247.60827.60807.60807.60817.60847.60877.6092257.61297.61307.61327.61357.61397.61447.6151267.62037.62057.62097.62147.62207.62277.6236我們在最小值的周邊取了臨近的7*7大小的表格，可以由表1看出更換間隔T和檢查間隔Tc的取值都會影響

17、每個零件的平均費用L,當T和Tc的取值分別為352和23時,我們可以看到目標函數(shù)的值最小.而當T和Tc的取值越接近這個值時,目標函數(shù)的值越接近這個最小值,所以我們認為L=7.6057為模型一的最優(yōu)解.我們通過前面數(shù)據的處理可以知道刀具的平均壽命為600.即每平均生產600個零件刀具就不能再使用。352<600這是合理的，要想減小生產成本,刀具更換必須在大部分刀具壽命結束前更換,這樣才能不影響生產;但是更換太勤必定帶來成本的增加,因此更換間隔又不能太小。而檢查費用較少，檢查因而要密集些。七、問題二的解答7.1模型二的建立7.1.1模型二建立的準備第二問的效益函數(shù)要考慮兩種誤判.一是工序正常

18、時檢查到不合格品誤判停機,將使檢查的費用增加;二是工序故障時檢查到合格品,將繼續(xù)生產直到下一次檢查,使不合格品損失增加。第一種因正常工序中存在2%的不合格品，所以可能造成誤檢，因此誤判停機產生檢查費用: 于是我們可以改進第一問中的L2為：兩次故障間由此產生的不合格品平均數(shù)為:式中W=40%為工序故障時的合格品率,p為工序在生產一零件時的平均故障率,T=s*Tc.故在第二問的條件下,效益函數(shù)應為7.1.2 確定目標函數(shù)在問題分析中已經知道模型二的目標函數(shù)與模型一相同,即7.1.3綜上所述,得到問題二的優(yōu)化模型 7.2.1模型二的求解根據建立的模型用Matlab軟件代入數(shù)據求解(源程序見附錄三),

19、同樣，用窮舉法求得最小值點,得到定期的刀具檢查和更換的具體結果如下: m =10.0722 T =308 Tc =30，也就是說，每隔30個零件就該檢查一次，每隔308個零件換一次刀具，每一個合格零件的損失期望是10.07.7.2.2模型二結果分析表2: 模型二結果的局部檢驗3043053063073083093102710.106810.105110.103510.102110.100810.099810.09892810.090710.089310.088010.086910.086010.085310.08472910.080110.079010.078010.077310.076710

20、.076310.07603010.074410.073610.073010.072510.072210.072210.07233110.073210.072710.072410.072210.072310.072510.07293210.076010.075810.075810.076010.076310.076910.07763310.082510.082610.082910.083410.084110.084910.0860從上表,我們可以得到L=10.0722為模型二的最優(yōu)解. 結果分析與問題一相同。由上面的分析結果可以知道: 如果該工序正常時產出的零件有1%為不合格品;而工序故障時產出

21、的零件有60%為不合格品,且工序正常而誤認有故障停機產生的損失費用為2000元/次.那么,在假定檢查間隔和更換刀具間隔都固定的情況下,要使總生產效益最好,必須每生產30件進行一次檢查,每生產308件進行一次刀具更換,才能使分到每個零件上的平均費用L最小,即為10.07元.八、問題三的解答8.1模型三的建立在問題分析中我們知道: 模型三是在模型二的基礎上,目標函數(shù)不變,只是改變了誤判產生的費用，即:第一種因正常工序中存在2%的不合格品，造成誤判停機損失的檢查費用為:第二種因工序故障時產出的零件存在40%的合格品，而誤判增加的不合格品數(shù)為: : 8.1.1綜上所述,得到問題三的優(yōu)化模型8.2模型三

22、的求解與問題二的模型二的求解類似,根據建立的模型用Matlab軟件代入數(shù)據求解(附錄六)得到定期的刀具檢查和更換的具體結果如下: 第三問： m =9.4652T = 316 Tc = 47，每隔47個零件就該檢查一次，每隔375個零件換一次刀具，每一個合格零件的損失期望是9.4996.8.3 模型三結果分析表3: 模型三結果的局部檢驗312313314315316317318449.47609.47469.47349.47249.47159.47089.4703459.47159.47039.46939.46849.46789.46729.4669469.46889.46789.46699.4