初中數(shù)學專題規(guī)律探索型問題課件

1、黃店鎮(zhèn)中學九年級數(shù)學組黃店鎮(zhèn)中學九年級數(shù)學組 王志海王志海 規(guī)律探索型問題規(guī)律探索型問題:就是對材料信息的加工就是對材料信息的加工提煉和運用，從而得出數(shù)學概念和規(guī)律，或者將提煉和運用，從而得出數(shù)學概念和規(guī)律，或者將實際問題抽象為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型的一類實際問題抽象為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型的一類問題。問題。 對規(guī)律歸納和發(fā)現(xiàn)能反映出一個人的應用數(shù)對規(guī)律歸納和發(fā)現(xiàn)能反映出一個人的應用數(shù)學、發(fā)展數(shù)學和進行數(shù)學創(chuàng)新的意識和能力。求學、發(fā)展數(shù)學和進行數(shù)學創(chuàng)新的意識和能力。求解規(guī)律探索型問題要求學生有敏銳的觀察力，能解規(guī)律探索型問題要求學生有敏銳的觀察力，能從特殊的情況出發(fā)，經(jīng)過周密的思考，全面的分從

2、特殊的情況出發(fā)，經(jīng)過周密的思考，全面的分析，去推得一般的結論。這類試題意在檢測解題析，去推得一般的結論。這類試題意在檢測解題者駕馭數(shù)學的創(chuàng)新意識和才能，因此，成為了這者駕馭數(shù)學的創(chuàng)新意識和才能，因此，成為了這幾年的熱點內(nèi)容。幾年的熱點內(nèi)容。 一、新課程標準的要求一、新課程標準的要求 新課程標準指出：課程內(nèi)容的學習，強調(diào)學新課程標準指出：課程內(nèi)容的學習，強調(diào)學生的數(shù)學活動，發(fā)展學生的數(shù)感、符號感、空間生的數(shù)學活動，發(fā)展學生的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念，以及應用意識與推理能力。觀念、統(tǒng)計觀念，以及應用意識與推理能力。推理能力推理能力主要表現(xiàn)在：能通過背景材料，進行主要表現(xiàn)在：能通過背景材料，

3、進行觀察、比較、實驗、歸納、類比、抽象和推理等觀察、比較、實驗、歸納、類比、抽象和推理等獲得數(shù)學猜想，探索數(shù)、形及實際問題中蘊含的獲得數(shù)學猜想，探索數(shù)、形及實際問題中蘊含的關系和規(guī)律，增強應用數(shù)學的意識，提高運用代關系和規(guī)律，增強應用數(shù)學的意識，提高運用代數(shù)知識與方法解決問題的能力。數(shù)知識與方法解決問題的能力。在新課程標準在新課程標準“教學建議教學建議”中還指出：對規(guī)律探索型中還指出：對規(guī)律探索型問題的教學應該采用問題的教學應該采用“問題情境問題情境建立模型建立模型解解釋應用和拓展釋應用和拓展”的模式展開。以問題引導思維，內(nèi)容的模式展開。以問題引導思維，內(nèi)容的呈現(xiàn)突出以下幾個特點：的呈現(xiàn)突出以

4、下幾個特點： 1. 通過具有吸引力的探索活動和現(xiàn)實生活中的問題，通過具有吸引力的探索活動和現(xiàn)實生活中的問題，使學生初步體會數(shù)學建模的思想，激發(fā)好奇心和主動使學生初步體會數(shù)學建模的思想，激發(fā)好奇心和主動學習的欲望。學習的欲望。2. 把知識的學習置于具體的情境中，通過豐富的例子把知識的學習置于具體的情境中，通過豐富的例子使學生經(jīng)歷從自然語言到符號語言和圖表語言的雙向使學生經(jīng)歷從自然語言到符號語言和圖表語言的雙向交流。關注學生能否用不同的語言表達、交流自己的交流。關注學生能否用不同的語言表達、交流自己的想法。想法。3. 根據(jù)根據(jù)“回想回想聯(lián)想聯(lián)想猜想猜想”的思維過程，對難的思維過程，對難點進行層層鋪

5、墊，使學生經(jīng)歷探索過程與思維升華的點進行層層鋪墊，使學生經(jīng)歷探索過程與思維升華的過程，感受自我奮斗后成功的喜悅。過程，感受自我奮斗后成功的喜悅。例：完成下列計算：例：完成下列計算：1+3=？1+3+5=？1+3+5+7=？1+3+5+7+9=？根據(jù)計算結果，探索規(guī)律。根據(jù)計算結果，探索規(guī)律。教學中，首先應讓學生思考：從上面這些算式教學中，首先應讓學生思考：從上面這些算式中你能發(fā)現(xiàn)什么？讓學生經(jīng)歷中你能發(fā)現(xiàn)什么？讓學生經(jīng)歷觀察觀察（每個算式（每個算式和結果的特點）、和結果的特點）、比較比較（不同算式之間的異同）（不同算式之間的異同）歸納歸納（可能具有的規(guī)律）、（可能具有的規(guī)律）、提出猜想提出猜想

6、的過程。的過程。教學中，不僅注重學生是否找到了規(guī)律，更應教學中，不僅注重學生是否找到了規(guī)律，更應關注學生是否進行了思考。關注學生是否進行了思考。 如果學生一時未能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，教師可以鼓勵學生如果學生一時未能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，教師可以鼓勵學生相互合作交流，進一步探索，教師也可以提供一些幫助。相互合作交流，進一步探索，教師也可以提供一些幫助。如列出如下點陣，以使學生從數(shù)與形的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：如列出如下點陣，以使學生從數(shù)與形的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律： 1+3=4=2 1+3+5=9=3 1+3+5+7=16=4 1+3+5+7+9=25=5進而鼓勵學生推測出進而鼓勵學生推測出1+3+5+7+9+19=10

7、 此后教師此后教師還可以根據(jù)學生的實際情況，把這個問題進一步推廣到還可以根據(jù)學生的實際情況，把這個問題進一步推廣到一半的情形，推出一半的情形，推出1+3+5+7+9+（2n+1）=(n+1) ，這個一般性的結論。在這樣的學習活動中，學生不僅能這個一般性的結論。在這樣的學習活動中，學生不僅能主動地獲取知識，而且能不斷豐富數(shù)學活動的經(jīng)驗，學主動地獲取知識，而且能不斷豐富數(shù)學活動的經(jīng)驗，學會探索，學會學習。會探索，學會學習。 222222例題例題 字母表示數(shù)字母表示數(shù)”中有這樣幾個例題：中有這樣幾個例題：一首永遠唱不完的兒歌，你能用字母表示這首兒歌嗎？一首永遠唱不完的兒歌，你能用字母表示這首兒歌嗎？

8、 1 只青蛙只青蛙1張嘴，張嘴，2 只眼睛，只眼睛，4 條腿，條腿，1 聲撲通跳下水；聲撲通跳下水；2只青蛙只青蛙2 張嘴，張嘴，4 只眼睛，只眼睛，8 條腿，條腿，2 聲撲通跳下水；聲撲通跳下水； 3只青蛙只青蛙3 張嘴，張嘴，6 只眼睛，只眼睛，12 條腿，條腿，3 聲撲通跳下聲撲通跳下水；水；_ 只青蛙只青蛙_ 張嘴，張嘴，_只眼睛，只眼睛，_ 條腿，條腿，_ 聲撲通跳下水聲撲通跳下水說明：以一首富有童趣的兒歌，使學生體會到現(xiàn)實生活說明：以一首富有童趣的兒歌，使學生體會到現(xiàn)實生活的規(guī)律性，以及用數(shù)學式子表示現(xiàn)實規(guī)律的可行性與應的規(guī)律性，以及用數(shù)學式子表示現(xiàn)實規(guī)律的可行性與應用性。充分滲透

9、用性。充分滲透“利用環(huán)境學習利用環(huán)境學習”的設計思想。的設計思想。1. 如圖，用火柴棒擺如圖，用火柴棒擺X個正方形需個正方形需 根根火柴棒?；鸩癜簟?說明：由學生比較熟悉的正方形開始，鼓說明：由學生比較熟悉的正方形開始，鼓勵學生自主探索，合作交流，經(jīng)歷觀察、勵學生自主探索，合作交流，經(jīng)歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程。比較、歸納、提出猜想的過程。幾種解法，如下：幾種解法，如下：3、按照下圖的擺法擺放餐桌和椅子、按照下圖的擺法擺放餐桌和椅子完成表格完成表格：桌子張數(shù)桌子張數(shù)123N可坐人數(shù)可坐人數(shù) 按照下圖的擺法擺放餐桌和椅子按照下圖的擺法擺放餐桌和椅子 完成表格：完成表格：桌子張數(shù)桌子張數(shù)1

10、23N可坐人數(shù)可坐人數(shù) 說明：新穎的問題可以立刻吸引學生的注意力，我們說明：新穎的問題可以立刻吸引學生的注意力，我們需要的是等待學生討論后的完美答案。因此要一步步需要的是等待學生討論后的完美答案。因此要一步步加大題目的開放性，不僅在探索過程中培養(yǎng)了學生的加大題目的開放性，不僅在探索過程中培養(yǎng)了學生的創(chuàng)造能力，也使之對數(shù)學的生活化和生活的數(shù)學化都創(chuàng)造能力，也使之對數(shù)學的生活化和生活的數(shù)學化都有較好的體驗。有較好的體驗。探索問題。探索問題。 若你是一家餐廳的大堂經(jīng)理，由你負責在一個寬若你是一家餐廳的大堂經(jīng)理，由你負責在一個寬敞明亮的大廳里組織一次規(guī)模盛大的西式冷餐會，你敞明亮的大廳里組織一次規(guī)模盛

11、大的西式冷餐會，你會選擇哪種餐桌的擺法？會選擇哪種餐桌的擺法？訓練：訓練：1、在這個日歷表中，套色方框中的在這個日歷表中，套色方框中的9個數(shù)，問個數(shù)，問 （1）日歷表中，套色方框中的）日歷表中，套色方框中的9個數(shù)之和與該方個數(shù)之和與該方 框中間的數(shù)額有什么關系？框中間的數(shù)額有什么關系？（2）這個關系對其他這樣的方框成立嗎？你能用）這個關系對其他這樣的方框成立嗎？你能用代數(shù)式表示這個關系嗎？代數(shù)式表示這個關系嗎？（3）（）（4）略）略2、用火柴棒搭三角形、用火柴棒搭三角形 完成下表：完成下表：三角形的個數(shù)三角形的個數(shù)123N火柴棒的個數(shù)火柴棒的個數(shù) 3、用火柴棒搭下面的圖形、用火柴棒搭下面的圖形

12、完成下表：完成下表： 四邊形的個數(shù)四邊形的個數(shù)123N火柴棒的個數(shù)火柴棒的個數(shù) 4、用棋子擺出下列一組圖形、用棋子擺出下列一組圖形完成下表：完成下表：5、下面是用棋子擺成的小屋子、下面是用棋子擺成的小屋子圖形編號圖形編號123N棋子個數(shù)棋子個數(shù) 完成下表：完成下表：圖形編號圖形編號123N棋子個數(shù)棋子個數(shù) ()()()()01222332221233ababababaabbabaa babb+=+=+=+=+()4432234464abaa ba babb+=+56()()abab+=+=6、楊輝三角、楊輝三角7、觀察下列圖形回答問題：、觀察下列圖形回答問題： （1）如上圖，第）如上圖，第n個

13、圖形中有多少個小正方形？個圖形中有多少個小正方形？你是如何計算的？你是如何計算的？（2）求）求1+3，1+3+5，1+3+5+7，1+3+5+7+9，1+3+5+7+9+（2n+1）. 8、如下圖、如下圖（1）完成下表：）完成下表：邊上圓圈數(shù)邊上圓圈數(shù)12345小圓圈總數(shù)小圓圈總數(shù) （ 2）如果用）如果用n表示等邊三角形邊上的小圓圈數(shù)，表示等邊三角形邊上的小圓圈數(shù)，m表示這個三角形中小圓圈總數(shù)，那么表示這個三角形中小圓圈總數(shù)，那么m和和n的關的關系是什么？系是什么？ m=1+2+3+ +n=n(n+1)/29、如下圖、如下圖（1）完成下表：）完成下表：邊上圓圈數(shù)邊上圓圈數(shù)12345小圓圈總數(shù)小

14、圓圈總數(shù) （ 2）如果用）如果用n表示正六邊形邊上的小圓圈數(shù)，表示正六邊形邊上的小圓圈數(shù)，m表示這個正六邊形中小圓圈總數(shù)，那么表示這個正六邊形中小圓圈總數(shù)，那么m和和n的關的關系是什么？系是什么？m=1+6+12+18+6(n-1)=1+6(1+2+3+(n-1)=1+3n(n-1)說明：說明：由學生比較熟悉的圖形開始，鼓由學生比較熟悉的圖形開始，鼓勵學生自主探索，合作交流，經(jīng)歷觀察、勵學生自主探索，合作交流，經(jīng)歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程。以上的三比較、歸納、提出猜想的過程。以上的三組題目逐層遞進。根據(jù)圖形的變化，幫助組題目逐層遞進。根據(jù)圖形的變化，幫助學生了解探索規(guī)律過程中變量和常量

15、的不學生了解探索規(guī)律過程中變量和常量的不同作用，可以使學生初嘗成功的喜悅。通同作用，可以使學生初嘗成功的喜悅。通過探索變量和常量的關系，初步建立這一過探索變量和常量的關系，初步建立這一類有規(guī)律遞增問題的數(shù)學模型。類有規(guī)律遞增問題的數(shù)學模型。三、中考試題類型三、中考試題類型 （一）數(shù)式規(guī)律探究（一）數(shù)式規(guī)律探究 （二）圖形規(guī)律探索（二）圖形規(guī)律探索（三）猜想數(shù)值結果（三）猜想數(shù)值結果（四）閱讀理解型探究規(guī)律（四）閱讀理解型探究規(guī)律 （一）數(shù)式規(guī)律探究（一）數(shù)式規(guī)律探究 通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后讓你探通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后讓你探索其中蘊含的規(guī)律索其中蘊含的

16、規(guī)律。 例如：例如：1、(2003舟山舟山)古希臘數(shù)學家把數(shù)古希臘數(shù)學家把數(shù)1，3，6，10，15，21，叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性，則第叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性，則第24個三角形數(shù)與第個三角形數(shù)與第22個三角個三角形數(shù)的差為形數(shù)的差為 .2、已知：、已知：這一類題的一般解法是先寫出數(shù)式的基本結構，然后通這一類題的一般解法是先寫出數(shù)式的基本結構，然后通過橫比過橫比（或縱比或縱比（找出各部分的找出各部分的特征，改寫成要求的格式。特征，改寫成要求的格式。（a，b為正整數(shù)為正整數(shù)），則），則a+b=_. （二）圖形規(guī)律探索（二）圖形規(guī)律探索根據(jù)一組相關圖形的變化情況，從中總結出圖形的變化根

17、據(jù)一組相關圖形的變化情況，從中總結出圖形的變化所反映的規(guī)律。其中以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見。所反映的規(guī)律。其中以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見。例如：例如：1.(2005濱州濱州)下圖是某同學在沙灘上用石子擺成的小房子下圖是某同學在沙灘上用石子擺成的小房子 觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個小房子用了個小房子用了 塊石子塊石子 2.(2004河北河北)如圖：是用火柴棍擺出的一系列三角形圖案，按這如圖：是用火柴棍擺出的一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當每邊上擺種方式擺下去，當每邊上擺20（即（即20）根時，需要的火柴棍總）根時，需要的火柴棍總數(shù)為數(shù)為 根。根。解決這種

18、圖形規(guī)律探索的問題，需要把圖形中的有關解決這種圖形規(guī)律探索的問題，需要把圖形中的有關數(shù)量關系表達出來，在對所列關系進行對照，仿照數(shù)數(shù)量關系表達出來，在對所列關系進行對照，仿照數(shù)式規(guī)律探索的方法得到最終的結論。式規(guī)律探索的方法得到最終的結論。（三）猜想數(shù)值結果（三）猜想數(shù)值結果當一些條件改變的前提下，結果的數(shù)值不變，或者其變當一些條件改變的前提下，結果的數(shù)值不變，或者其變化規(guī)律呈現(xiàn)出某種特征時，可以猜想在新的條件下，數(shù)化規(guī)律呈現(xiàn)出某種特征時，可以猜想在新的條件下，數(shù)值仍然不變，或者仍然按照原來的特征變化，依此猜想值仍然不變，或者仍然按照原來的特征變化，依此猜想到結果的數(shù)值。到結果的數(shù)值。例如：例

19、如：1、如圖，在梯形、如圖，在梯形ABCD中中ABCD,AB=b,CD=a,E為為AD邊上的邊上的一點，一點，EFAB，且，且EF交交BC于點于點F，某同學在研究這一問題時，某同學在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實：發(fā)現(xiàn)如下事實：(1)當當DE/AE=1時，有時，有EF=(a+b)/2；(2)當當DE/AE=2時，有時，有EF=(a+2b)/3；(3)當當DE/AE=3時，有時，有EF=(a+3b)/4；當當DE/AE=k時，參照上述結論，請你猜想用時，參照上述結論，請你猜想用k表示表示EF的一般結論，并的一般結論，并證明之證明之 （四）閱讀理解型探究規(guī)律（四）閱讀理解型探究規(guī)律 閱讀理解類型的問

20、題和一般試題相比較，不僅考察學生對閱讀理解類型的問題和一般試題相比較，不僅考察學生對數(shù)學知識的理解水平，而且考察學生的閱讀能力，因而試數(shù)學知識的理解水平，而且考察學生的閱讀能力，因而試題的篇幅較長，信息量較大。題的篇幅較長，信息量較大。例如：例如：1、 閱讀下列材料，然后回答下面的問題；閱讀下列材料，然后回答下面的問題；33222332222222(22)22(21)2222,223333212133333(33)33(31)3333,33888831318-+-+=+=+-+-+=+=+-驗證驗證（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想

21、 的變形的變形結果并進行驗證；結果并進行驗證； 4415（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為任意的自然數(shù)，且為任意的自然數(shù)，且n2）表示等式，并給出證明表示等式，并給出證明。 2、(2003青島青島)在抗擊在抗擊“非典非典”的斗爭中，某市根據(jù)疫情的發(fā)展狀況，決定全市的斗爭中，某市根據(jù)疫情的發(fā)展狀況，決定全市中、小學放假兩周，以切實保障廣大中、小學生的安全騰飛中學初三（中、小學放假兩周，以切實保障廣大中、小學生的安全騰飛中學初三（1）班的全體同學在自主完成學習任務的同時，不忘關心同學們的安危，兩周內(nèi)全班的全體同學在自主完成學習任務的同時，不忘關心同學們的安

22、危，兩周內(nèi)全班每兩個同學都通過一次電話，互相勉勵，共同提高如果該班有班每兩個同學都通過一次電話，互相勉勵，共同提高如果該班有56名同學，名同學，那么同學們之間共通了多少次電話？為解決該問題，我們可把該班人數(shù)那么同學們之間共通了多少次電話？為解決該問題，我們可把該班人數(shù)n與通與通電話次數(shù)電話次數(shù)s間的關系用下列模型來表示：間的關系用下列模型來表示： (1)若把若把n作為點的橫坐標，作為點的橫坐標，s作為縱坐標，根據(jù)上作為縱坐標，根據(jù)上述模型中的數(shù)據(jù)，在給出的平面直角坐標系中，描述模型中的數(shù)據(jù)，在給出的平面直角坐標系中，描出相應各點，并用平滑的曲線連接起來；出相應各點，并用平滑的曲線連接起來；(2)根據(jù)根據(jù)坐標系中各點的排列規(guī)律，猜一猜上述各點