ch44雙線性變換法

1、如何將模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器如何將模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器?W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)頻率頻率變換變換設(shè)計(jì)模擬設(shè)計(jì)模擬濾波器濾波器AF到到DF的轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換00.81-9-6-30Normalized frequencyGain,dbW Wp=0.2p pW Wp=0.6p p1ppe1e1)(zzHWW 例如上節(jié)用脈沖響應(yīng)不變法和一階巴特沃思低通濾波器，例如上節(jié)用脈沖響應(yīng)不變法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)的3dB截頻為截頻為W Wp的數(shù)字濾波器為的數(shù)字濾波器為)()(d)(dtxtayttyttxttyatttykTTkkTTkkTTk

2、d)()d(dd)(d)1()1()1(assH1)( 1kyky12kykyT12kxkxT用梯形面積用梯形面積近似積分近似積分) 12 1)21 ()21 (kxkxTkyaTkyaTazzTzaTaTzTzH11111121)2/1 ()2/1 ()1)(2/()(將將H(z)和和H(s) 比較可得比較可得11112)()(zzTssHzH)()(d)(dtxtayttyassH1)(11112zzTssTsTz222222)/2()/2(wwTTz令令s= +jw w，則有，則有1 1 0,0,|z| 0,0,|z|1S域虛軸映射到域虛軸映射到z域單位圓上域單位圓上S域右半平面映射到域

3、右半平面映射到z域單位圓外域單位圓外11112zzTs2/12/1TsTsz令令s=jw w，z=e jW W ，則有，則有2/j12/j1ejwwTT)2(jarctan)2(jarctaneewwTT)2arctan(2 jewT)2arctan(2Tw)2(tan2TwW W和和w w 的關(guān)系為的關(guān)系為) 2/tan(2WTwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww幅度響應(yīng)不是常數(shù)時會產(chǎn)生幅度失真幅度響應(yīng)不是常數(shù)時會產(chǎn)生幅度失真無混疊無混疊1. 1. 將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo)將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo) W Wk 轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為 模擬濾波器的頻率指標(biāo)模擬濾波器的頻率指標(biāo) w wk 2. .

4、由模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器的由模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器的H(s)。3. 利用雙線性變換法，將利用雙線性變換法，將H(s)轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換H(z)。)2tan(2kkTWw11112)()(zzTssHzHW Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)設(shè)計(jì)模擬設(shè)計(jì)模擬濾波器濾波器雙線性變換雙線性變換：AF分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量Fs：抽樣頻率：抽樣頻率：DF分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量利用利用MATLAB)2tan(2WwT11112)()(zzTssHzH用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)一用雙線性變換法和一階巴特沃思低通

5、濾波器，設(shè)計(jì)一個個3dB截頻為截頻為W Wp的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)的DF比較。比較。設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為T(1) 將將DF的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換為的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換為AF的頻率指標(biāo)的頻率指標(biāo))2tan(2ppWwT(2) 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)3dB截頻為截頻為w wp的一階的一階BW型模擬低通濾波器，即型模擬低通濾波器，即N=1, w wc = w wp1/1)(cwssH1/1pws故故1)2/tan(21pWsT用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)一用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)一個個3dB截頻為截頻為W Wp的數(shù)字

6、濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)的DF比較。比較。設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為T(3) 用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器參數(shù)參數(shù)T的取值和最終的設(shè)計(jì)結(jié)果無關(guān)。的取值和最終的設(shè)計(jì)結(jié)果無關(guān)。 為簡單起見，一般取為簡單起見，一般取T=2 1)2/tan(21)(pWsTsH1pp1p) 1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHWWW11112zzTs用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)一用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)一個個3dB截頻為截頻為W Wp的數(shù)

7、字濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)的DF比較。比較。雙線性變換法設(shè)計(jì)的雙線性變換法設(shè)計(jì)的DF的系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)函數(shù)為1pp1p) 1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHWWW雙脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的DF的系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)函數(shù)為1ppe1e1)(zzHWW脈取取W Wp 0.6p0.6p，令，令z=ejW W ，可分別獲得兩者的幅度響應(yīng)。，可分別獲得兩者的幅度響應(yīng)。用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)一用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)一個個3dB截頻為截頻為W Wp的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法

8、的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)的DF比較。比較。00.6100.71Normalized frequencyAmplitude脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法雙線性變換法W Wp 0.6p0.6p 脈沖響應(yīng)不變法存在頻脈沖響應(yīng)不變法存在頻譜混疊，所設(shè)計(jì)的譜混疊，所設(shè)計(jì)的DF不滿不滿足給定指標(biāo)。而雙線性變足給定指標(biāo)。而雙線性變換法不存在頻譜混疊，所換法不存在頻譜混疊，所設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)的DF滿足給定指標(biāo)。滿足給定指標(biāo)。 利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)一設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As

9、15dB (1) 將數(shù)字低通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)將數(shù)字低通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)，取，取T=2 Ap2db, As15db (2) 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 （BW型）型）)/lg(2)110110(lgps1 . 01 . 0pswwAAN=2)2/(11 . 0sc) 110(sNAww=0.585 1 12)(1)(c2cLwwsssH9324. 0)2tan(2ppWwT4376. 1)2tan(2ssWwT3342. 05827. 03342. 02ss利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)一設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W

10、 Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB (3) 用用雙線性變換法將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器雙線性變換法將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器 11112)()(zzTssHzH21213237. 02606. 018157. 05315. 08157. 0zzzz利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)一設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB %Design DF BW low-pass filter using impulse invariance%DF BW LP specf

11、icationWp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15;T=2;Fs=1/T; %Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determine the order of AF filter and the 3-dB cutoff frequency N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s)%determine the AF-BW filternuma,dena=butter(N,wc,s)利用利用AF-BW filter

12、及及雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)一設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB %determine the DF filternumd,dend=bilinear(numa,dena,Fs)%plot the frequency responsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1 -50 0);grid;xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,dB);%computer

13、Ap As of the designed filterw=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1);fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2);利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)一設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized frequencyG

14、ain,dbAp= 0.3945As= 15.0000利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)一設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized frequencyGain,dB將將雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法所雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法所設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)DF的結(jié)果比較。的結(jié)果比較。雙線性變換雙線性變換Ap= 0.3945As= 15.0000脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換

15、法雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變脈沖響應(yīng)不變Ap= 1.1187As= 12.3628W Wp,W Wsw wp,w wsH(z)w =W/T脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法雙線性變換法H(s)模擬頻模擬頻率變換率變換設(shè)計(jì)原型設(shè)計(jì)原型低通濾波器低通濾波器sp,ww)(LsH復(fù)頻率變換復(fù)頻率變換)2tan(2Tw 脈沖響應(yīng)不脈沖響應(yīng)不變法不能設(shè)計(jì)變法不能設(shè)計(jì)和和數(shù)字濾數(shù)字濾波器波器1e111zpsTpll11112zzTsW Wp,W WsH(z)w =W/T脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法雙線性變換法數(shù)字頻數(shù)字頻率變換率變換設(shè)計(jì)原型設(shè)計(jì)原型低通濾波器低通濾波器sp,ww)(LsH)2

16、tan(2WwT1e111zpsTpll11112zzTssp,WW)(LzHz域域變換變換試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的BW型數(shù)字帶阻濾波器型數(shù)字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。 脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計(jì)數(shù)字帶阻濾波器，脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計(jì)數(shù)字帶阻濾波器，因此采用雙線性變換法設(shè)計(jì)。因此采用雙線性變換法設(shè)計(jì)。 (1) 將數(shù)字帶阻濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬帶阻濾波器指標(biāo)將數(shù)字帶阻濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬帶阻濾波器指標(biāo) )2ta

17、n(2WwT取取T=2，利用，利用得模擬帶阻指標(biāo)為得模擬帶阻指標(biāo)為w wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=1rad1,Ap 1dB, As 10dB 試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的BW型數(shù)字帶阻濾波器型數(shù)字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。(2) 將模擬帶阻濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標(biāo)將模擬帶阻濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標(biāo) 21s2swwB9499. 92s1s0

18、www3714. 0,max202p2p2202p1p1pwwwwwwwBBAp 1dB, As 10dB 1sww wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=1rad1,Ap 1dB, As 10dB 模擬帶阻指標(biāo)模擬帶阻指標(biāo)試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的BW型數(shù)字帶阻濾波器型數(shù)字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。(3) 設(shè)計(jì)原型設(shè)計(jì)原型BW型模擬低通濾波器型模擬低通濾波器 Ap 1dB, As 10dB 1,3714. 0spww原型模擬低通指標(biāo)原型模擬低通指標(biāo)2)/(lg2)110110lg(ps1 . 01 . 0pswwAAN5774. 0) 110()2/(11 . 0scsNAww原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 12)(1)(c2cLwwsssH3333. 08165. 03333. 02ss試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的BW型數(shù)字帶阻濾波器型數(shù)字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9