生產(chǎn)與存儲問題的數(shù)學(xué)模型

1、 生產(chǎn)與存儲問題的數(shù)學(xué)模型生產(chǎn)與存儲問題的數(shù)學(xué)模型摘 要在一定時(shí)期內(nèi),生產(chǎn)的成本費(fèi)與庫存費(fèi)一直是廠家最關(guān)心的優(yōu)化指標(biāo)。本文根據(jù)題中的條件針對如何滿足市場需要的條件下,使總成本最小，利用了多目標(biāo)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法，建立了生產(chǎn)與存儲的優(yōu)化模型。我們知道增大生產(chǎn)量可以降低成本費(fèi)，但如果超過市場的需求量,就會因積壓增加存貯費(fèi)而造成損失。相反，如果減少生產(chǎn)量，雖然可以降低存貯費(fèi)，但又會增加生產(chǎn)的成本費(fèi)，同樣會造成損失。故可以找到一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃使得生產(chǎn)的生產(chǎn)費(fèi)與存貯費(fèi)之和達(dá)到一個(gè)最小值。根據(jù)該題目我們可以建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)：，其中為第次的庫存費(fèi)用，為第次的生產(chǎn)成本費(fèi)用。在對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行規(guī)劃，建立數(shù)學(xué)模型求解。并對

2、該模型進(jìn)行分析。關(guān)鍵詞： 生產(chǎn)與存儲；建模；動(dòng)態(tài)規(guī)劃；線性規(guī)劃THE MATHEMATICAL MODEL OF PRODUCTION AND STORAGE PROBLEMSABSTRACT In a certain period of time, cost and inventory cost of production has been optimized index manufacturers are most concerned about. According to the questions of the conditions on how to meet the needs o

3、f the market conditions, to minimize the total cost, using the method of multiobjective dynamic programming, establishes the optimization model of production and storage. We know that increase the production capacity can reduce the cost, but if the amount exceeds market demand, there will be a loss

4、is caused due to the backlog of increased storage cost. On the contrary, if the production is reduced, although can reduce the storage cost, but it will increase production costs, will also cause the loss of. So we can find a production plan making production fee and storage cost of production and r

5、each a minimum value. According to the topic we can establish an objective function： ，Where is the first times the inventory cost, is times the production cost.In the planning of the objective function, is established to solve the mathematical model. And the model analysis.Key words: Production and

6、storage；Modeling；dynamic programming；linear programming目 錄1 問題的提出.12 問題的分析.13 問題假設(shè).14 符號說明.25 模型的建立.25.1 模型的準(zhǔn)備工作.25.2 建立模型.26 模型求解.37 模型驗(yàn)證及結(jié)果分析.8參考文獻(xiàn).10 1 問題提出 某工廠要對一種產(chǎn)品制定今后四個(gè)時(shí)期的生產(chǎn)計(jì)劃,據(jù)估計(jì)在今后四個(gè)時(shí)期內(nèi),市場對于該產(chǎn)品的需求量如表所示,假定該廠生產(chǎn)每批產(chǎn)品的固定成本為3(千元),若不生產(chǎn)為0;每單位產(chǎn)品成本為1(千元);每個(gè)時(shí)期生產(chǎn)能力所允許的最大生產(chǎn)批量為不超過6個(gè)單位;每個(gè)時(shí)期末未售出的產(chǎn)品,每單位需存儲費(fèi)

7、0.5(千元).還假定在第一個(gè)時(shí)期的初始儲存量為0,第四個(gè)時(shí)期之末的庫存量也為0.試問如何安排各個(gè)時(shí)期的生產(chǎn)與庫存,才能在滿足市場需要的條件下,使總成本最小.時(shí)期1234需求(單位)23242 問題分析 本題是典型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。要求制定一個(gè)在今后四個(gè)時(shí)期的生產(chǎn)計(jì)劃，在滿足市場需求的條件下，使總成本最少。此外，題目中的初始儲存量和末儲存量都為0。由題目可以建立一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。3 問題假設(shè) （1）每件產(chǎn)品每個(gè)時(shí)期的儲存費(fèi)用為常數(shù)；（2） 每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為常數(shù)；（3） 庫存容量滿足每個(gè)時(shí)期的儲存；4 符號說明：第時(shí)期的生產(chǎn)量：第時(shí)期的需求量：第時(shí)期開始時(shí)的儲存量（即）；初始儲存量：第時(shí)

8、期的生產(chǎn)成本費(fèi)用：第時(shí)期的儲存費(fèi)用：生產(chǎn)每批產(chǎn)品的固定成本：生產(chǎn)每單位產(chǎn)品的成本：每單位需存儲費(fèi)：每個(gè)時(shí)期能生產(chǎn)的上限：總成本5 模型的建立5.1 模型的準(zhǔn)備工作目標(biāo)函數(shù)：5.2 建立模型設(shè)為第時(shí)期的生產(chǎn)量，為第時(shí)期的需求量，為第時(shí)期結(jié)束時(shí)的儲存量，有。為第時(shí)期的生產(chǎn)成本費(fèi)用，有 。設(shè)為第時(shí)期的儲存費(fèi)用，有。則第時(shí)期的總費(fèi)用為，故建立數(shù)學(xué)模型為： 用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來求解，把它看作一個(gè)4階段決策問題。令為狀態(tài)量，它表示第個(gè)時(shí)期開始時(shí)的庫存量；為決策量，它表示第個(gè)時(shí)期的生產(chǎn)量。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：最優(yōu)值函數(shù)表示第個(gè)時(shí)期狀態(tài)為，采用最佳策略生產(chǎn)，從本時(shí)期到計(jì)劃結(jié)束的生產(chǎn)和儲存的最低費(fèi)用。因此可寫出順序遞推

9、關(guān)系式為:其中。因?yàn)槊總€(gè)時(shí)期生產(chǎn)的上限為；且因要滿足市場需求，故第個(gè)時(shí)期末的儲存量必須非負(fù)，即：所以有 從邊界條件出發(fā)，利用上面的遞推關(guān)系式，對每個(gè)，計(jì)算出中的在0到之間的值，最后求得的即為所求的最小總費(fèi)用。6 模型求解 由題目可得每件產(chǎn)品的成本千元，生產(chǎn)每批產(chǎn)品的固定成本千元，每單位需存儲費(fèi)千元，每個(gè)時(shí)期能生產(chǎn)的上限個(gè)單位。帶入模型得到：（1）時(shí)，有440447077413360663222505523114044140000000 即對于狀態(tài)X4的每個(gè)取值，都有唯一確定的決策變量x使得最優(yōu)（2） 時(shí)，有32022571211636.5612.54851359.5413.5611011111

10、471110525.5611.53751248.5412.55100102000777014.5610.52651137.5411.549093-100.566.56.501551026.5410.538084-201566015.549.527075-301.545.55.5016066-4020226（3） 時(shí)，有230336111716547.51017.559716610.56.517712618813.55.5199152171225111614336.51016.54871559.56.516611617712.55.518814216221114111511025.51015.5

11、3771448.56.515510616611.54.5177132153000111110.5014.51014.52671337.56.51449615510.55.5166122144-100.51010.580231571226.56.5133861449.55.5155112135-201788015.56.5122761338.55.5144102126-301.56.58801661227.55.513392117-402688016.55.512282108-502.55.588017299-6032550（4） 時(shí)，有120225162120.5536.51521.54814

12、2259.51120.561110.521.5712.5820.5814822915.5823.510178251118.5523.5根據(jù)上表的計(jì)算，總時(shí)期的總體最優(yōu)成本為(千元)按照上述計(jì)算過程進(jìn)行逆推算，可得最優(yōu)結(jié)果中各階段的狀態(tài)變量和決策變量如下表：時(shí)期產(chǎn)量月初庫存量需求量成本15029.520330360211404407 模型分析 本文生產(chǎn)與存儲的問題合理運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型， 動(dòng)態(tài)規(guī)劃作為本文的模型，是解決多階段決策問題過程的一種數(shù)學(xué)方法。它能夠把復(fù)雜問題簡單化，即把多階段決策問題改變成幾個(gè)單階段決策問題，來尋求最優(yōu)解的方法。在另一方面，該模型能夠在運(yùn)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面，如動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用來

13、解決最優(yōu)路徑問題，倉庫的庫存問題，有限資源的分配問題，生產(chǎn)過程中的最優(yōu)分配問題等等，因此動(dòng)態(tài)規(guī)劃能夠在經(jīng)濟(jì)管理中起到很重要的作用在本文中建立的數(shù)學(xué)模型只是一個(gè)簡單地動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，在本論文中只是為了實(shí)現(xiàn)一個(gè)這樣簡單地動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型的案例，在論文中，提出的假設(shè)問題只是在只有一種簡單數(shù)據(jù)的條件下來實(shí)現(xiàn)的，而在實(shí)際生產(chǎn)與存儲過程中，卻是十分復(fù)雜的，無論是前期的生產(chǎn)準(zhǔn)備過程，還是后期的庫存量、需求量、還有進(jìn)行生產(chǎn)的勞動(dòng)力等都不可能提供一個(gè)精確的數(shù)字，況且，實(shí)際過程中，會有更多的限制條件，在現(xiàn)實(shí)情況下，數(shù)學(xué)模型就會發(fā)生巨大的改變，而且相應(yīng)的研究就就需要更加貼近實(shí)際、更加的深入，這種情況下，就需要在現(xiàn)實(shí)生活中收集更多的數(shù)據(jù)，這是在以后的研究方向要加強(qiáng)的地方參 考 文 獻(xiàn)1 胡運(yùn)權(quán)運(yùn)籌學(xué)教程（第四版）M北京：清華大學(xué)出版