數(shù)學建模：第一章 數(shù)學建?；靖拍?/h1>

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1、1 歡迎歡迎 學習學習數(shù)學建模數(shù)學建模課程！課程！ 實際問題中的數(shù)學奧妙不是明擺實際問題中的數(shù)學奧妙不是明擺在那里等著你去解決，而是暗藏在深在那里等著你去解決，而是暗藏在深處等著你去發(fā)現(xiàn)，終身的受益和無窮處等著你去發(fā)現(xiàn)，終身的受益和無窮的樂趣是屬于你的！的樂趣是屬于你的！2 第一章第一章 數(shù)學模型基本概念數(shù)學模型基本概念1 1 引言引言一、一、數(shù)學建模數(shù)學建模課程的重要性課程的重要性 1 1、科學技術(shù)飛速發(fā)展，數(shù)學模型越來越起到重要作用；、科學技術(shù)飛速發(fā)展，數(shù)學模型越來越起到重要作用； 2 2、數(shù)學建模數(shù)學建模課程建設(shè)在全國各大專院校蓬勃開展；課程建設(shè)在全國各大專院校蓬勃開展； 3 3、數(shù)學建

2、模教育有利于學生解決實際問題綜合能力的提高；、數(shù)學建模教育有利于學生解決實際問題綜合能力的提高； 4 4、我們身邊許多實際問題看起來與數(shù)學無關(guān)，但通過分析都、我們身邊許多實際問題看起來與數(shù)學無關(guān)，但通過分析都可用簡捷數(shù)學方法完美的解決?？捎煤喗輸?shù)學方法完美的解決。3幾個簡單的實際問題幾個簡單的實際問題。 問題問題 已知甲桶中放有已知甲桶中放有1000010000個藍色的玻璃個藍色的玻璃球，乙桶中放有球，乙桶中放有1000010000個紅色的玻璃球。任取甲桶個紅色的玻璃球。任取甲桶中中100100個球放入乙桶中，混合后再任取乙桶中個球放入乙桶中，混合后再任取乙桶中100100個球放入甲桶中，如此

3、重復個球放入甲桶中，如此重復3 3次，問甲桶中的紅球次，問甲桶中的紅球多還是乙桶中的藍球多多還是乙桶中的藍球多? ? 怎樣用數(shù)學方法解決問題怎樣用數(shù)學方法解決問題1？4解解：設(shè)甲桶中有：設(shè)甲桶中有x x個紅球個紅球; ; 乙桶中有乙桶中有y y個藍球個藍球 因為對藍球來說，甲桶中的藍球數(shù)加上乙因為對藍球來說，甲桶中的藍球數(shù)加上乙桶中的藍球數(shù)等于桶中的藍球數(shù)等于10000,10000,所以所以 10000-x+y=1000010000-x+y=10000 x=y x=y 故甲桶中紅球與乙桶中藍球一樣多。故甲桶中紅球與乙桶中藍球一樣多。56解法一：解法一： 將兩天看作一天，一人兩天的運動看作一天將

4、兩天看作一天，一人兩天的運動看作一天兩人同時分別從山下和山頂沿同一路徑相反運動，兩人同時分別從山下和山頂沿同一路徑相反運動，因為兩人同時出發(fā)，同時到達目的地，又沿同一因為兩人同時出發(fā)，同時到達目的地，又沿同一路徑反向運動，所以必在中間某一時刻路徑反向運動，所以必在中間某一時刻t t兩人相兩人相遇，這說明某人在兩天中的同一時刻經(jīng)過路途中遇，這說明某人在兩天中的同一時刻經(jīng)過路途中的同一地點。的同一地點。怎樣用數(shù)學方法解決？怎樣用數(shù)學方法解決？7解法二：解法二： 以時間以時間t t為橫坐標，以沿上山路線從山下旅為橫坐標，以沿上山路線從山下旅店到山頂?shù)穆烦痰甑缴巾數(shù)穆烦蘹 x為縱坐標，從山下到山頂?shù)目?/p>

5、為縱坐標，從山下到山頂?shù)目偮烦虨槁烦虨閐 d ； 8 第一天的行程可設(shè)為第一天的行程可設(shè)為 x=F(t)x=F(t)，則，則F(t)F(t)是單調(diào)是單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，且增加的連續(xù)函數(shù)，且F(8)=0, F(17)=d F(8)=0, F(17)=d ； 第二天的行程可設(shè)為第二天的行程可設(shè)為 x=G(t)x=G(t)，則，則G(t)G(t)是單調(diào)是單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，且減少的連續(xù)函數(shù)，且G(8)=d, G(17)=0.G(8)=d, G(17)=0.在在t t時刻時刻: :9 在坐標系中分別作曲線在坐標系中分別作曲線x=F(t)x=F(t)及及x=G(t)x=G(t)，如，如下圖：下圖： 則兩

6、曲線必相交于點，即這個人兩天在同一則兩曲線必相交于點，即這個人兩天在同一時刻經(jīng)過同一地點。時刻經(jīng)過同一地點。 10 嚴格的數(shù)學論正：嚴格的數(shù)學論正： 令令 H(t)=F(t)-G(t)H(t)=F(t)-G(t) 由由F(t)F(t)、G(t)G(t)在區(qū)間在區(qū)間8,178,17上連續(xù)，所以上連續(xù)，所以H(t)H(t)在區(qū)間在區(qū)間8,178,17上連續(xù)，上連續(xù)， 又又 H(8)=F(8)-G(8)=0-d=-d0H(8)=F(8)-G(8)=0-d=-d0 H(17)=F(17)-G(17)=d-0=d0 11 由介值定理知在區(qū)間由介值定理知在區(qū)間8,178,17內(nèi)至少存內(nèi)至少存在一點使在一點

7、使即這人兩天在同一時刻經(jīng)過路途中的同一即這人兩天在同一時刻經(jīng)過路途中的同一地點。地點。 , 0)(0tH).()(00tGtF即)(0是唯一的嗎？為什么？t)()(000tGtFx這說明在早這說明在早8點至晚點至晚5點之間存在某一時刻點之間存在某一時刻 0tt 使得路程相等，使得路程相等， 12 問題問題 在一摩天大樓里有三根電線從底層在一摩天大樓里有三根電線從底層控制室通向頂樓，但由于三根電線各處的轉(zhuǎn)彎不同控制室通向頂樓，但由于三根電線各處的轉(zhuǎn)彎不同而有長短，因此三根電線的長度均未知?，F(xiàn)工人師而有長短，因此三根電線的長度均未知?，F(xiàn)工人師傅為了在頂樓安裝電氣設(shè)備，需要知道這三根電線傅為了在頂樓

8、安裝電氣設(shè)備，需要知道這三根電線的電阻。如何測量出這三根電線的電阻？的電阻。如何測量出這三根電線的電阻？電阻是怎樣測量的？13 方法方法不妨用不妨用a a、b b、c c及及a a* *、b b* *、c c* *分別表示三分別表示三根電線的底端和頂端，并用根電線的底端和頂端，并用aaaa* *、bbbb* *、cccc* *分別表分別表示三根電線示三根電線, , 假設(shè)假設(shè)x,y,zx,y,z分別是分別是aaaa* *,bb,bb* *,cc,cc* *的電阻，的電阻，這是三個未知數(shù)。電表不能直接測量出這三個未知這是三個未知數(shù)。電表不能直接測量出這三個未知數(shù)。然而我們可以把數(shù)。然而我們可以把a

9、 a* *和和b b* *連接起來，在連接起來，在a a和和b b處測處測量得電阻量得電阻x+yx+y為為l l；然后將；然后將b b* *和和c c* *聯(lián)接起來，在聯(lián)接起來，在b b和和c c處測量得處測量得y+zy+z為為m m，聯(lián)接，聯(lián)接c c* *和和a a* *可測得可測得x+zx+z為為n n。14這樣得三元一次方程組這樣得三元一次方程組 由三元一次線性方程組解出由三元一次線性方程組解出x,y,zx,y,z即得三根電線的電阻。即得三根電線的電阻。nzxmzylyx15162 2 數(shù)學模型基本概念數(shù)學模型基本概念一、一、模型模型什么叫模型？什么叫模型？ 模型就是對現(xiàn)實原型的一種抽象

10、或模仿。模型就是對現(xiàn)實原型的一種抽象或模仿。 模型既反映原型，又不等于原型，或者是原型模型既反映原型，又不等于原型，或者是原型的一種近似。的一種近似。 如地球儀這個模型，就是對地球這一原型的本如地球儀這個模型，就是對地球這一原型的本質(zhì)和特征的一種近似和集中反映；質(zhì)和特征的一種近似和集中反映； 一個人的塑像就是這個人的一個模型。一個人的塑像就是這個人的一個模型。17 模型的含義非常廣泛，如自然科學和工程技術(shù)模型的含義非常廣泛，如自然科學和工程技術(shù)中的一切概念、公式、定律、理論，社會科學中的中的一切概念、公式、定律、理論，社會科學中的學說、原理、政策，甚至小說、美術(shù)、表格、語言學說、原理、政策，甚

11、至小說、美術(shù)、表格、語言等都是某種現(xiàn)實原型的一種模型。等都是某種現(xiàn)實原型的一種模型。 如：牛頓第二定律如：牛頓第二定律 就是就是“物體在力作用下，物體在力作用下，其運動規(guī)律其運動規(guī)律”這個原型的一種模型（數(shù)學模型）。這個原型的一種模型（數(shù)學模型）。 “ “吃飯吃飯”這句話就是人往嘴里送東西到達充饑這句話就是人往嘴里送東西到達充饑的動作的抽象，如此等等都可看作是模型。的動作的抽象，如此等等都可看作是模型。18二、二、數(shù)學模型的幾個簡單例子數(shù)學模型的幾個簡單例子、萬有引力定律：萬有引力定律：221rmmKF 19、冷卻問題冷卻問題 將溫度為將溫度為T T。=150=150的物體放在溫度的物體放在溫

12、度為為2424的空氣中冷卻，經(jīng)的空氣中冷卻，經(jīng)1010分鐘后，物分鐘后，物體溫度降為體溫度降為T=100T=100，問，問t=20t=20分鐘時，物分鐘時，物體的溫度是多少？體的溫度是多少？20解：設(shè)物體的溫度解：設(shè)物體的溫度T T隨時間隨時間t t的變化規(guī)的變化規(guī)律為律為T=T(t)T=T(t)則由冷卻定律及條件可得：則由冷卻定律及條件可得：其中其中K 0K 0為比例常數(shù)，負號表示溫度是下降為比例常數(shù)，負號表示溫度是下降的，這就是所要建立的數(shù)學模型。的，這就是所要建立的數(shù)學模型。cTTkdtdT0150)0()24(21 由于這個模型是一階線性微分方程，很容易求出其特解為24126kteT由

13、T(10)=100 ,可定出K0.052412605. 0teT所以所以當t=20時CeT02005.04624126)20(22、七橋問題、七橋問題1).1).能否不重復的一次走完七座橋？能否不重復的一次走完七座橋？2).2).能否不重復的一次走完七座橋又回能否不重復的一次走完七座橋又回到原地？到原地？23歐拉方法歐拉方法島島A A、B B和陸地和陸地C C、D D無非無非都是橋的聯(lián)結(jié)點，因此不妨把都是橋的聯(lián)結(jié)點，因此不妨把A A、B B、C C、D D看成看成4 4個點，把七橋看成聯(lián)結(jié)這些點個點，把七橋看成聯(lián)結(jié)這些點的七條線，如圖。的七條線，如圖。 24 這樣當然不改變問題的實質(zhì)，于是一人

14、能這樣當然不改變問題的實質(zhì)，于是一人能否不重復一次通過七座橋的問題等價于其網(wǎng)絡否不重復一次通過七座橋的問題等價于其網(wǎng)絡圖能否一筆畫成的問題（這是思維的飛躍），圖能否一筆畫成的問題（這是思維的飛躍），此網(wǎng)絡圖就是七橋問題的數(shù)學模型。此網(wǎng)絡圖就是七橋問題的數(shù)學模型。 歐拉證明了七橋問題是無解的，并給出了歐拉證明了七橋問題是無解的，并給出了一般結(jié)論：一般結(jié)論： 1)1)聯(lián)接奇數(shù)個橋的陸地僅有一個或超過兩個聯(lián)接奇數(shù)個橋的陸地僅有一個或超過兩個以上，不能實現(xiàn)一筆畫。以上，不能實現(xiàn)一筆畫。 2)2)聯(lián)接奇數(shù)個橋的陸地僅有兩個時，則從兩聯(lián)接奇數(shù)個橋的陸地僅有兩個時，則從兩者任一陸地出發(fā)，可以實現(xiàn)一筆畫而停在

15、另者任一陸地出發(fā)，可以實現(xiàn)一筆畫而停在另一個陸地。一個陸地。25 3)3)每個陸地都聯(lián)接有偶數(shù)個橋是，則從任每個陸地都聯(lián)接有偶數(shù)個橋是，則從任一陸地出發(fā)都能實現(xiàn)一筆畫，而回到出發(fā)點。一陸地出發(fā)都能實現(xiàn)一筆畫，而回到出發(fā)點。 說明：說明： (1)(1)數(shù)學模型不一定都是數(shù)學表達式，數(shù)學模型不一定都是數(shù)學表達式，如七橋問題的數(shù)學模型是一個網(wǎng)絡圖。如七橋問題的數(shù)學模型是一個網(wǎng)絡圖。26 (2)(2)歐拉解決七橋問題時，超出了過去解決歐拉解決七橋問題時，超出了過去解決問題所用數(shù)學方法的范疇，充分發(fā)揮自己的想問題所用數(shù)學方法的范疇，充分發(fā)揮自己的想象力，用了完全嶄新的思想方法（可稱為幾何象力，用了完全嶄

16、新的思想方法（可稱為幾何模擬方法），從而使問題解決得十分完美，結(jié)模擬方法），從而使問題解決得十分完美，結(jié)論明確而簡捷。由于他的開創(chuàng)性的工作，產(chǎn)生論明確而簡捷。由于他的開創(chuàng)性的工作，產(chǎn)生了了“圖論圖論”這門學科，歐拉是人們公認的圖論這門學科，歐拉是人們公認的圖論的創(chuàng)始人的創(chuàng)始人。 (3)(3)圖論是一門非常有用的學科，很多實際圖論是一門非常有用的學科，很多實際問題都可化為圖論問題決。問題都可化為圖論問題決。27問題：問題： 721,VVV ),(21VV),(32VV),(41VV),(52VV),(72VV),(43VV),(63VV),(54VV),(74VV),(65VV),(75VV某倉

17、庫要存放某倉庫要存放7種化學藥品，用種化學藥品，用 分別表示分別表示7種藥品種藥品; 已知不能存放在一起的藥品為已知不能存放在一起的藥品為: 問至少應把倉庫分成多少隔離區(qū)才問至少應把倉庫分成多少隔離區(qū)才能確保安全？能確保安全？ 28解：先把各種藥品作為節(jié)點，節(jié)點集為解：先把各種藥品作為節(jié)點，節(jié)點集為 然后把不能存放在一起的藥品用邊相連，然后把不能存放在一起的藥品用邊相連，這樣就構(gòu)成一個圖，如下圖：這樣就構(gòu)成一個圖，如下圖：,7654321vvvvvvvV 29 為了決定分區(qū)，要對藥品進行分區(qū)編為了決定分區(qū)，要對藥品進行分區(qū)編號，規(guī)則如下：號，規(guī)則如下：1v3v5v2v4v6v7v1、各邊的兩個

18、節(jié)點不能編在同一區(qū)號；、各邊的兩個節(jié)點不能編在同一區(qū)號； 2、為節(jié)省分區(qū)，以、為節(jié)省分區(qū)，以A區(qū)、區(qū)、B區(qū)、區(qū)、C區(qū)區(qū)順序編號，且盡量使用小的區(qū)號。順序編號，且盡量使用小的區(qū)號。 A區(qū)：區(qū)： B區(qū)：區(qū)： C區(qū)：區(qū)： 對于對于n種藥品，同樣可根據(jù)上述規(guī)則，種藥品，同樣可根據(jù)上述規(guī)則，通過計算機依次編區(qū)。通過計算機依次編區(qū)。 30、最佳場址的選擇問題、最佳場址的選擇問題 設(shè)有設(shè)有n n個車間位于不同的地點，現(xiàn)擬個車間位于不同的地點，現(xiàn)擬建一倉庫建一倉庫P P，長期向各車間運送原材料和，長期向各車間運送原材料和產(chǎn)品，問產(chǎn)品，問P P應建在何處，才能使總運費在應建在何處，才能使總運費在一定時期內(nèi)達到最

19、?。恳欢〞r期內(nèi)達到最?。?1),(iiiiyxppp的坐標分別為及設(shè)各點,iiwp重量為需運進和運出的貨物總各車間為：在一定時期內(nèi)的總運費niiiiyyxxwyxC122)()(),( 問題變?yōu)閷で髥栴}變?yōu)閷で驪(x,y)P(x,y)，使，使C(x,y)C(x,y)達到最達到最小，這便是此問題的數(shù)學模型。小，這便是此問題的數(shù)學模型。 是否還有其它方法？是否還有其它方法？ 32 5、走路問題、走路問題 問題：人在恒速行走時，步長多大才最省勁？問題：人在恒速行走時，步長多大才最省勁？ 假設(shè)人的體重為假設(shè)人的體重為M，腿重為，腿重為m，腿長為，腿長為 ，速度，速度為為v，單位時間步數(shù)為，單位時間步數(shù)

20、為n，步長為，步長為x，其中，其中 vnx 。 人行走時所作的功可以認為由兩部分組成：即人行走時所作的功可以認為由兩部分組成：即抬高人體重心所需的勢能與兩腿運動所需動能之和。抬高人體重心所需的勢能與兩腿運動所需動能之和。下面分別計算兩部分的做功：下面分別計算兩部分的做功： l33(1) 重心升高所需的勢能重心升高所需的勢能將人的行走簡化成如圖所示將人的行走簡化成如圖所示:若記重心升高為若記重心升高為，則，則 cosll 212)(sin1 ll2122)41 (lxll34兩項，得兩項，得的二項展開式的前的二項展開式的前較小，取較小，取假定假定2122)41 (lxlx lxlxll8)81

21、(222單位時間重心升高所需勢能單位時間重心升高所需勢能W為為 WnMg xlMgv8(其中其中v=nx) (2) 腿運動所需的動能腿運動所需的動能 將人行走視為均勻直桿（腿）繞腰部轉(zhuǎn)動，將人行走視為均勻直桿（腿）繞腰部轉(zhuǎn)動， 則在單位時間內(nèi)所需動能則在單位時間內(nèi)所需動能E為：為： 35nIE221其中轉(zhuǎn)動慣量其中轉(zhuǎn)動慣量 drrlmIl20231ml角速度角速度 lv所以所以 xmvmvnlvmlnE66)(323222于是，單位時間所作的功于是，單位時間所作的功P為為 (*)683xmvxlMgvEWP36 因為作功少就省勁，所以問題就變成尋求因為作功少就省勁，所以問題就變成尋求步長步長x

22、使單位時間內(nèi)作的功使單位時間內(nèi)作的功P最小最小 ，令0dxdP所以Mgmlvx342mlMgn43若以若以 M:m4:1 L米代入上式米代入上式可得可得 n5即每秒即每秒5步，這顯然太快了。步，這顯然太快了。 37對模型（）作如下修改：對模型（）作如下修改： 假設(shè)腿重集中在腳上，這樣腿的運動所需動能假設(shè)腿重集中在腳上，這樣腿的運動所需動能即為腳作直線運動所需動能，即為腳作直線運動所需動能， 于是于是xmvmvnE22132從而從而 xmvxlMgvP283求極值可得求極值可得34mlMgn這是比較符合實際情況的。這是比較符合實際情況的。 38 三、數(shù)學模型基本概念三、數(shù)學模型基本概念1、數(shù)學模型的定義數(shù)學模型的定義 數(shù)學模型就是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對數(shù)學模型就是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，為了某個特定的目的，做出一些必要的簡化象，為了某個特定的目的，做出一些必要的簡化和假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具得到的一個數(shù)學結(jié)和假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)；它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài)，或者能構(gòu)；它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài)，或者能預測對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最預測對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制等。優(yōu)決策