相似三角形復(fù)習(xí)精品課件概述

1、相似三角形復(fù)習(xí)制作者：馬嘉林制作者：馬嘉林你能說出你能說出判定判定兩個(gè)三角形相似有哪些方法？兩個(gè)三角形相似有哪些方法？1、定義：三邊對(duì)應(yīng)成比例，三角對(duì)應(yīng)相等。、定義：三邊對(duì)應(yīng)成比例，三角對(duì)應(yīng)相等。2、基本定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或基本定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。兩邊延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。3、兩角對(duì)應(yīng)相等、兩角對(duì)應(yīng)相等4、兩邊對(duì)應(yīng)成比例，它們的夾角相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例，它們的夾角相等5、三邊對(duì)應(yīng)成比例、三邊對(duì)應(yīng)成比例6、傳遞性（傳遞性（2種）種）7、直角三角形相似的特殊性、直角三角形相似的特殊性 相

2、似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)1、相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；、相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；2、相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例，且等于相似比；角平分線）成比例，且等于相似比；3、相似三角形的周長比等于相似比；、相似三角形的周長比等于相似比；4、相似三角形的面積比、相似三角形的面積比=（相似比）（相似比）25、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。角三角形和原三角形相似。DBACEHFGFEDCBA例例.如圖：已知如圖：已知BAC=90, BD=DC, DEBC 交交AC于于E,交交BA的延

3、長線于的延長線于F. 求證：求證：AD2=DEDF由由AD2=DEDF，得，得故只要證明故只要證明ADE FDA即可即可分析：分析：ADDEADDF=FEDCBA例例.如圖：已知如圖：已知BAC=90, BD=DC, DEBC 交交AC于于E,交交BA的延長線于的延長線于F. 求證：求證：AD2=DEDF證明：證明： F= C =DAC BAC=90, BD=DC DEBC C+ B= 90 ADE= FDA AD=DC,從而從而DAC= C F+ B= 90 ADE FDA AD2=DEDF點(diǎn)評(píng)：證明乘積式時(shí)，可先點(diǎn)評(píng)：證明乘積式時(shí)，可先將乘積式改為比例式，然后將乘積式改為比例式，然后找相似

4、三角形（或平行線）找相似三角形（或平行線）ADDEADDF=例例2.如圖：如圖：D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點(diǎn)，的延長線上一點(diǎn)， 直線直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求證：求證：BDCE=CDBFFEDCBA由由BDCE=CDBF，得，得分析：分析：但但DBF與與 DCE不相似不相似因此，需作輔助線構(gòu)造相似三角形因此，需作輔助線構(gòu)造相似三角形BDBFCECD=例例2.如圖：如圖：D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點(diǎn)，的延長線上一點(diǎn)， 直線直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求證：求證：BDCE=CDBFFEDCBAG方法一：方法一： 過點(diǎn)過點(diǎn)C

5、作作CGAB,交交DF于于G 則則DCG DBF 故故再證再證CG=CE 即可即可CDCGBFBD=FEDCBAG方法二：方法二： 過點(diǎn)過點(diǎn)C作作CGDF,交交AB于于G 故故再證再證FG=CE 即可即可例例2.如圖：如圖：D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點(diǎn)，的延長線上一點(diǎn)， 直線直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求證：求證：BDCE=CDBFBDBFFGCD=FEDCBAG如圖：如圖：D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點(diǎn)，的延長線上一點(diǎn)， 直線直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求證：求證：BDCE=CDBF方法三：方法三：過點(diǎn)過點(diǎn)B作作BGCE,

6、交交DF的延長線于的延長線于G 故故再證再證BG=BF 即可即可則則DCE DBG DCCEBGDB=例例3.如圖：在如圖：在RtABC中中,有正方形有正方形 DEFG,且且E、F 在斜邊在斜邊BC上，上，D、G分別在分別在AB、AC上上. 求證：求證：EF2=BEFCGFEDCBA分析：分析： 由由EF2=BEFC，得，得EFFCEFBE=但但EF、BE、FC都在同一直線上都在同一直線上無法利用相似三角形無法利用相似三角形.由于由于EF是正方形的邊長，是正方形的邊長，故可用故可用BE、FC相關(guān)的三角形相關(guān)的三角形的邊的邊DE與與FG來代替來代替.EFFCEFBE=FGFCDEBE=只要證只要

7、證GFCBED即可即可. 例例3.如圖：在如圖：在RtABC中中,有正方形有正方形 DEFG,且且E、F 在斜邊在斜邊BC上，上，D、G分別在分別在AB、AC上上. 求證：求證：EF2=BEFCGFEDCBA證明：證明：正方形正方形 DEFG中，中， DEB=GFC=90,EF=DE=FG. 又又 B+C=90，B+BDE=90 BDE=C.RtBED RtGFCBEDEFCGF=BEEFFCEF=EF2=BEF點(diǎn)評(píng)：證明共線的線點(diǎn)評(píng)：證明共線的線段比例式時(shí)，將某些段比例式時(shí)，將某些線段用其他線段代替，線段用其他線段代替，以便構(gòu)成相似三角形以便構(gòu)成相似三角形. .這是證明比例式和乘這是證明比例

8、式和乘積式的常用方法之一積式的常用方法之一. .練習(xí)練習(xí)2 如圖：如圖： 已知已知ABC 中，中，AD平分平分BAC ， EF是是AD的中垂線，的中垂線，EF 交交BC的延長線于的延長線于F . 求證：求證：FD2=FCFBFEDCBA分析：分析：由由FD2=FCFB，得，得FDFBFDFC=但但FD、FC、FB都在都在同一直線上，無法同一直線上，無法利用相似三角形利用相似三角形.由于由于FD=FA，替，替換后可形成相似三角形換后可形成相似三角形.FDFBFDFC=FAFBFAFC=只要證只要證FABFCA即可即可. 1、如圖、如圖 ABCD中，中，G是是BC延長線上的一點(diǎn)，延長線上的一點(diǎn)，A

9、G與與BD交于點(diǎn)交于點(diǎn)E，與，與DC交于交于F點(diǎn)，則圖中相似的點(diǎn)，則圖中相似的三角形共有（三角形共有（ ）對(duì)。）對(duì)。 A D E F B C GA，3 B，4 C，5 D，6 D2、如圖，在、如圖，在ABC中，中，BAC=900，D是是BC中點(diǎn)，中點(diǎn)，AEAD交交CB延長線于點(diǎn)延長線于點(diǎn)E，則結(jié)論正確的是，則結(jié)論正確的是 （ ） A E B D C A、 AED ACB B、 AEB ACD 、 C、 BAE ACE D、 AEC DAC 、C3，將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺放成如圖的，將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺放成如圖的樣子，假設(shè)圖形中的所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，則樣子，假設(shè)圖形中

10、的所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，則圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如果有，就把圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如果有，就把它們一一寫出來。它們一一寫出來。 A B D E C G F有相似三角形，它們是：ADE BAE BAE CDAADE CDA4 4、如圖，在、如圖，在ABC中，中，ACB=90ACB=900 0，CDABCDAB，垂足為，垂足為D D，AD=6AD=6，BD=2BD=2，則，則CDCD的長為的長為 C C A D B A D B( 2 )35 5、如圖，、如圖，D D，E E分別是分別是ABCABC的邊的邊AB,ACAB,AC上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，1=B1=B，AE=EC=4A

11、E=EC=4，BC=10BC=10，AB=12AB=12，則，則ADEADE和和ACBACB的周長之比為（的周長之比為（ ） A A， B B， C C， D D，21314161AD E B CB6 6、廚房角柜的臺(tái)面是三角形，如果把各邊中點(diǎn)連、廚房角柜的臺(tái)面是三角形，如果把各邊中點(diǎn)連線所圍成的三角形鋪成黑色的大理石（圖中陰影部線所圍成的三角形鋪成黑色的大理石（圖中陰影部分），其余部分鋪成白色大理石，那么黑色大理石分），其余部分鋪成白色大理石，那么黑色大理石的面積與白色大理石的面積比是（的面積與白色大理石的面積比是（ ） 31 7、如左圖，已知、如左圖，已知ABBD，CDBD，垂足分別為，垂

12、足分別為B，D，AD和和BC相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)E，EFBD，垂足為，垂足為F，我們可以證明，我們可以證明 成立（此處不要求證明）。成立（此處不要求證明）。若將左圖中的垂直改為斜交，如右圖，若將左圖中的垂直改為斜交，如右圖，AB/CD，AD，BC相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)E，過，過E作作EF/AB，交，交BD于于F，則（，則（1）還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；（由；（2）請(qǐng)找出）請(qǐng)找出SABD，SBED和和SBDC之間的關(guān)系式，并之間的關(guān)系式，并給出證明。給出證明。EFCDAB111EFCDAB111 A A E C E C B

13、F D B F D由由三角形相似三角形相似證線段成比例的一般步驟：證線段成比例的一般步驟：1、先看這些線段確定哪兩個(gè)可能相似的三、先看這些線段確定哪兩個(gè)可能相似的三角形；角形；2、再找這兩個(gè)三角形相似所需要的條件；、再找這兩個(gè)三角形相似所需要的條件；3、如這兩個(gè)三角形不相似，則采用其它辦、如這兩個(gè)三角形不相似，則采用其它辦法（如找法（如找中間比中間比代換等）；代換等）；（注意注意：當(dāng)無法用三角形相似來證明線段成：當(dāng)無法用三角形相似來證明線段成比例時(shí)，可試著用比例時(shí)，可試著用引平行線引平行線的方法。）的方法。）思考題思考題：如圖，已知D，E和F，G分別在ABC的邊AB，AC上，DF/EG/BC，

14、AD=DE=EB，則S梯形DEGF S梯形EBCG =（ ）A、 B、C、 D、AD F E GB C32535494例題講解例題講解 例例1 1、如圖（、如圖（4 4），），已已知知，：，：，且，且，求，求和和分析：由已知分析：由已知得得，聯(lián)想，聯(lián)想到相似三角形的面積比等于相到相似三角形的面積比等于相似比的平方。由：似比的平方。由：，則：，則： ：從而從而=4=4又又同高的兩個(gè)三角形面積比等于底邊之比，同高的兩個(gè)三角形面積比等于底邊之比， ：，：， ，又，又：，：， 。CBDPQNMAF解：正方形的邊長為解：正方形的邊長為xmmxmm，則，則PNBCPNBC APNAPNABCABC AEA

15、E：ADADPNPN：BCBC 80-x 80-x：8080 x x：120120 得得x=48x=48（mmmm）答：正方形的邊長為答：正方形的邊長為48mm48mm。CBDPQNMAFCBDPQNMAFCBDPQNMAF例例1：已知：已知：ABC中，中，D是是BC上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，EGBC,分別交分別交AB,AD,AC與與E,F,G.求求EFDC=FGBDABCEFGD分析：將等積式改寫成比例式：分析：將等積式改寫成比例式：EF/BD=FG/DC,設(shè)法設(shè)法利用相似三角形解得利用相似三角形解得EF/BD=AF/AD,FG/DC=AF/AD.證明證明:在在AEF和和ABD中中, EFBD, AE

16、F ABDEF/BD=AF/AD.同理同理FG/DC=AF/AD. EF/BD=FG/DC EFDC=FCBD.例例2:如圖如圖AB,CD交于交于O點(diǎn)點(diǎn),ACBD,E是是A點(diǎn)點(diǎn),EO的延長線交的延長線交BD于于F點(diǎn)點(diǎn).求證求證F是是BD的中點(diǎn)的中點(diǎn).AOBDFEC分析分析:利用利用AE=CE,設(shè)法找到設(shè)法找到BF,DF與與AE,CE的聯(lián)系的聯(lián)系,即證即證出出AE/BF=CE/DF.證明證明:ACBDAOE BOF AE/BF=CE/DF.同理同理CE/DF=EO/FO, AE/BF=CE/DFAE=CE, BF=DF.即即F是是BD的的中點(diǎn)中點(diǎn).v例3:如圖ABC是等邊三角形,DAE=120交

17、直線BC于D,E求證AB/EC=BD/AC.ADBCE123分析分析:將線段將線段AB,EC,BD,AC劃歸到兩個(gè)三角形中劃歸到兩個(gè)三角形中,再設(shè)法再設(shè)法證明它們相似證明它們相似,從而對(duì)應(yīng)邊成從而對(duì)應(yīng)邊成比例比例.利用利用60 120證明證明ABD ECA.v例4:如圖, ABC中,AB=AC,延長AB到D,使BD=AB,E是AB中點(diǎn).求證2CE=CD.ABCED分析分析:設(shè)法利用三角形相似加以解設(shè)法利用三角形相似加以解決決.EC,DC劃歸到哪兩個(gè)相似三角形去劃歸到哪兩個(gè)相似三角形去?如如何證明何證明?請(qǐng)討論請(qǐng)討論.證明證明:AB=AC=BD,AE=EB, AE/AC=AC/AD=1/2, E

18、AC=DAC,AEC ACD, AE/AC=EC/CD=1/2.即即2EC=CD.v例5,已知, ABCD中,E是CB延長線上的點(diǎn),.DE交AB于F.求證：BCCD=AFCE.AFEBCD分析：分析：ADF CED 得得AD/CE=AF/CD，再由，再由AD=BC，等量代換即可。，等量代換即可。v例例6：如圖，：如圖，ABC中，中，D是是BC上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，E是是AC上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，EFAD交交BC于于F，EG AB交交BC于于G。求證：。求證：CFGB=CGFD。ABCEFDG分析：將分析：將CFGB=CGFD改寫改寫為為CF/FD=CG/GB。利。利用平行線，可推出用平行線，可推出

19、CF/FD=CE/EA，CG/GB=CE/EA，借助，借助于等比代換即可于等比代換即可。課內(nèi)追蹤練習(xí)課內(nèi)追蹤練習(xí)、如圖（）， 中，則:四邊形:四邊形=_答案：鞏固練習(xí)1、兩個(gè)相似三角形的面積比為5，周長比為m，則5/m=_2、如圖（8），AC AB于A，BD AB于B，AD和BC相交于E，EF AB于F，已知AC=20，BD=30，則EF的長為_答案：（1）5答案：（2）123.3.若如圖所示，若如圖所示，ABCABCADBADB，那么下列關(guān)系成立的是，那么下列關(guān)系成立的是 ( ) ( ) A.ADB=ACBA.ADB=ACBB.ADB=ABCB.ADB=ABCC.CDB=CABC.CDB=C

20、ABD.ABD=BDC D.ABD=BDC 4.4.ABCABC中，中，AC=6AC=6，BC=4BC=4，CA=9CA=9，ABCABCABCABC，ABCABC最短為最短為1212，則它的最長邊的長度為，則它的最長邊的長度為( ) ( ) A.16 B.18 C.27 D.24 A.16 B.18 C.27 D.24 B BC C練習(xí)練習(xí)5 . ( 2 0 0 45 . ( 2 0 0 4 年年 上 海 市上 海 市 ) ) 如 圖 所 示 ， 在如 圖 所 示 ， 在 A B CA B C 中 ，中 ，AB=AC,A=36AB=AC,A=36，BDBD平分平分ABCABC，DE/BCDE

21、/BC，那么在下列三角，那么在下列三角形中，與形中，與ABCABC相似的三角形是相似的三角形是 ( )( )A. A. DBE B. DBE B. ADEADEC. C. ABD D. ABD D. AEC AEC B6 6(2004(2004西寧西寧) )如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD邊長是邊長是2 2，BEBECE,MN=1,CE,MN=1,線段線段MNMN的兩端在的兩端在CDCD、ADAD上滑動(dòng)，當(dāng)上滑動(dòng)，當(dāng)DM=DM= 時(shí)，時(shí)， ABEABE與以與以D D、M M、N N為頂點(diǎn)的三角形相似。為頂點(diǎn)的三角形相似。55255或或7.7.如圖，如圖，ABCDABCD是面積為是面積為

22、a a2 2的任意四邊形，順次連接各邊中的任意四邊形，順次連接各邊中點(diǎn)得四邊形點(diǎn)得四邊形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，再順次連接，再順次連接A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1得到四邊形得到四邊形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2，重復(fù)同樣的方法直到得到四邊形，重復(fù)同樣的方法直到得到四邊形A An nB Bn nC Cn nD Dn n，則四，則四邊形邊形A An nB Bn nC Cn nD Dn n的面積為的面積為 。na228.8.如圖，平行四邊形如圖，平行四邊形ABCDABCD中，中，G G是是BCBC延長線上一點(diǎn)，延長線上一點(diǎn)，且且CG=

23、 CG= 31BCBC，則，則 FGAF=( )=( ) A.12/7 B.3/2A.12/7 B.3/2C.10/7 D.2/7C.10/7 D.2/7 A9.9.如圖所示，如圖所示，RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AB=4AB=4，BC=3BC=3，DEBCDEBC，設(shè)設(shè)AE=xAE=x，四邊形，四邊形BDECBDEC的面積為的面積為y y，則，則y y可表示成可表示成x x的函數(shù)，的函數(shù)，其圖像的形狀是其圖像的形狀是 ( )( ) A. A.開口向上的拋物線的一部分開口向上的拋物線的一部分 B.B.開口向下的拋物線的一部分開口向下的拋物線的一部分 C.C.線段線段( (不包括兩個(gè)端點(diǎn)不包括兩個(gè)端點(diǎn)) ) D. D.雙曲線的一部分雙曲線的一部分 B課前基礎(chǔ)練習(xí)課前基礎(chǔ)練習(xí)1、如圖（、如圖（1），），ABC的中線的中線AD、CE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)F，則，則AF：AD的比為的比為_2、在、在ABC中，中，DEBC，E