數(shù)列求和常見(jiàn)的7種方法

1、-數(shù)列求和的根本方法和技巧一、總論：數(shù)列求和7種方法： 利用等差、等比數(shù)列求和公式錯(cuò)位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項(xiàng)消去法求和分段求和法合并法求和利用數(shù)列通項(xiàng)法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯(cuò)位相減法，三、逆序相加法、錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的二個(gè)根本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的根底. 在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位. 數(shù)列求和是數(shù)列的重要容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大局部數(shù)列的求和都需要一定的技巧. 下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的根本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和

2、公式求和是數(shù)列求和的最根本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、例1，求的前n項(xiàng)和.解：由 由等比數(shù)列求和公式得 利用常用公式 1例2 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差數(shù)列求和公式得 ， 利用常用公式 當(dāng) ，即n8時(shí)，二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè).設(shè)制錯(cuò)位得 錯(cuò)位相減再利用等比數(shù)列的求和公式得：例4 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：

3、由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè)設(shè)制錯(cuò)位得錯(cuò)位相減三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列反序，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).例5 求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得反序 又由可得.+得 反序相加例6 求的值解：設(shè).將式右邊反序得.反序 又因?yàn)?+得 反序相加89 S44.5題1 函數(shù)1證明：；2求的值.解：1先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊2利用第1小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得： 所以.練習(xí)、求值：四、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，假設(shè)將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)

4、等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得分組當(dāng)a1時(shí)， 分組求和當(dāng)時(shí)，例8 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得Sn分組 分組求和 五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)通項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終到達(dá)求和的目的. 通項(xiàng)分解裂項(xiàng)如：1 23 45(6) 78例9 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè)裂項(xiàng)則 裂項(xiàng)求和 例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解： 裂項(xiàng) 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和裂項(xiàng)求和 例11 求證：解：設(shè)裂項(xiàng)裂項(xiàng)

5、求和 原等式成立答案：六、分段求和法合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將*些項(xiàng)合并在一起就具有*種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例12 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° 找特殊性質(zhì)項(xiàng)Sn cos1°+ cos179°+ cos2

6、°+ cos178°+cos3°+ cos177°+···+cos89°+ cos91°+ cos90° 合并求和 0例13 數(shù)列an：，求S2002.解：設(shè)S2002由可得找特殊性質(zhì)項(xiàng)S2002合并求和 5例14 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，假設(shè)的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) 找特殊性質(zhì)項(xiàng)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得合并求和 10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造及特征進(jìn)展分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)提醒的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例15 求之和.解：由于找通項(xiàng)及特征 分組求和例16 數(shù)列an：的值.解：找通項(xiàng)及特征 設(shè)制分組 裂項(xiàng)分組、裂項(xiàng)求和 提高練習(xí)：1數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且