導(dǎo)數(shù)最值的分類討論第三節(jié)

1、函數(shù)的最值二函數(shù)的最值的分類討論 求函數(shù)在 1，的最大值。 2xax求函數(shù)f 在 1，2 的最小值。一.函數(shù)的最值的分類討論 14403xxa求函數(shù)f在0，a的最大值和最小值。 2xax求函數(shù)f 在 0，2 的最大值。 axf xx eaf xf x22004湖南理 已知函數(shù),其中0.1.討論函數(shù)的單調(diào)性；2.求函數(shù)在 0，1 的最大值。323( )20, 1,12f xaxxa求，在上的最大值和最小值 23( )1,0,1( )1,2( )- -1f xaxag xxbxf xg xcf x g x2012北京高考已知函數(shù)若曲線y=與曲線y=在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，求a,b的值;當(dāng)時(shí)求函

2、數(shù)+的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間，的最大值?？偨Y(jié)：用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)的函數(shù)的最值的步驟和方法?？偨Y(jié)：用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)的函數(shù)的最值的步驟和方法。v（1）求導(dǎo)數(shù)；）求導(dǎo)數(shù)；v（2）令導(dǎo)數(shù)等于零解方程，（討論方程的形式，方程是否有根，）令導(dǎo)數(shù)等于零解方程，（討論方程的形式，方程是否有根，根是否在給定區(qū)間內(nèi)）；根是否在給定區(qū)間內(nèi)）；v（3）當(dāng)方程無(wú)根或者根不在區(qū)間內(nèi)時(shí)，導(dǎo)數(shù)在區(qū)間恒大（?。┊?dāng)方程無(wú)根或者根不在區(qū)間內(nèi)時(shí)，導(dǎo)數(shù)在區(qū)間恒大（?。┯诹阌诹?，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性求最值。，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性求最值。(4)當(dāng)根在區(qū)間內(nèi)時(shí)，列表判斷確定極值。當(dāng)根在區(qū)間內(nèi)時(shí)，列表判斷確定極值。

3、如果在根的如果在根的左正右負(fù)左正右負(fù), 那么那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值在這個(gè)根處取得極大值;如果根的如果根的左負(fù)右正左負(fù)右正,那么那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值在這個(gè)根處取得極小值.或者用穿針或者用穿針引線法引線法畫出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)草圖畫出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)草圖，根據(jù)圖象判斷極值，根據(jù)圖象判斷極值 ，增，增區(qū)間的零點(diǎn)是極小值減區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)是極大值。區(qū)間的零點(diǎn)是極小值減區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)是極大值。（5）求出極值和端點(diǎn)函數(shù)值比較大小（不能確定時(shí)要討論），）求出極值和端點(diǎn)函數(shù)值比較大?。ú荒艽_定時(shí)要討論），確定最值。確定最值。典型例題典型例題 5 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=ax3+cx+d (a 0) 是是

4、 R 上的奇函數(shù)上的奇函數(shù), 當(dāng)當(dāng) x=1 時(shí)時(shí), f(x) 取得極值取得極值 - -2. (1)求求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間和極大值的單調(diào)區(qū)間和極大值; (2)證明證明: 對(duì)任意對(duì)任意x1, x2 (- -1, 1), 不等式不等式 |f(x1)- -f(x2)|4 恒成立恒成立.(1)解解:函數(shù)函數(shù) f(x) 是是 R 上的奇函數(shù)上的奇函數(shù), f(- -x)=- -f(x), 即即 - -ax3- -cx+d=- -ax3- -cx- -d 對(duì)對(duì) x R 恒成立恒成立. d=0. f(x)=ax3+cx, f (x)=3ax2+c.當(dāng)當(dāng) x=1 時(shí)時(shí), f(x) 取得極值取得極值 - -2,

5、 f(1)=- -2 且且 f (1)=0. a+c=- -2 且且 3a+c=0. a=1, c=- -3. f (x)=3x2- -3. 由由 f (x)0 得得 - -1x0 得得 x1. f(x) 在在 (-, - -1) 上是增函數(shù)上是增函數(shù), 在在 (- -1, 1) 上是減函數(shù)上是減函數(shù), 在在 (1, +) 上是增函數(shù)上是增函數(shù). 當(dāng)當(dāng) x=- -1 時(shí)時(shí), f(x) 取得極取得極大大值值 f(- -1)=2.故故函數(shù)函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 (- -1, 1), 單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間是(-, - -1) 和和(1, +); f(x) 的極大值為的

6、極大值為 2. 典型例題典型例題 5 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=ax3+cx+d (a 0) 是是 R 上的奇函數(shù)上的奇函數(shù), 當(dāng)當(dāng) x=1 時(shí)時(shí), f(x) 取得極值取得極值 - -2. (1)求求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間和極大值的單調(diào)區(qū)間和極大值; (2)證明證明: 對(duì)任意對(duì)任意x1, x2 (- -1, 1), 不等式不等式 |f(x1)- -f(x2)|4 恒成立恒成立.(2)證證: 由由 (1) 知知 f(x)=x3- -3x 在在 - -1, 1 上是減函數(shù)上是減函數(shù), 且且 f(x) 在在 - -1, 1 上的最大值上的最大值 M=f(- -1)=2, f(x) 在在 - -1,

7、 1 上的最小值上的最小值 m=f(1)=- -2, 對(duì)任意對(duì)任意x1, x2 (- -1, 1), 不等式不等式 |f(x1)- -f(x2)|4 恒成立恒成立.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 5 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=x3- -ax2- -3x. (1)若若 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 1, +) 上是增函上是增函數(shù)數(shù), 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍; (2)若若 x=- - 是是 f(x) 的極值點(diǎn)的極值點(diǎn), 求求 f(x) 在在 1, a 上的最大值上的最大值; (3)在在(2)的條件下的條件下, 是否存在實(shí)數(shù)是否存在實(shí)數(shù) b, 使得使得函數(shù)函數(shù) g(x)=bx 的圖象與函數(shù)

8、的圖象與函數(shù) f(x) 的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn), 若存在若存在, 求出實(shí)數(shù)求出實(shí)數(shù) b 的取值范圍的取值范圍; 若不存在若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由.13解解: (1)由已知由已知 f (x)=3x2- -2ax- -3. f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 1, +) 上是增函數(shù)上是增函數(shù), 在在 1, +) 上恒有上恒有 f (x)0, 即即 3x2- -2ax- -30 在在 1, +) 上恒成立上恒成立. 則必有則必有 1 且且 f (1)=- -2a0. a3解得解得 a0. 故實(shí)數(shù)故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是 (-, 0. 由于由于 f (0)=- -30 且且 3+

9、b 0. 解得解得 b- -7 且且 b - -3. 故實(shí)數(shù)故實(shí)數(shù) b 的取值范圍是的取值范圍是 (- -7, - -3)(- -3, +). 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=x2eax, 其中其中 a0, e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (1)討論討論函數(shù)函數(shù) f(x) 的單調(diào)性的單調(diào)性; (2)求函數(shù)求函數(shù) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, 1 上的最大值上的最大值.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 6 解解: (1)f(x)=x2eax, f (x)=2xeax+x2eax a=(ax2+2x)eax.a0, 對(duì)對(duì)函數(shù)函數(shù) f(x) 的單調(diào)性可討論如下的單調(diào)性可討論如下:當(dāng)當(dāng) a=0 時(shí)時(shí),

10、 由由 f (x)0 得得 x0 得得 x0. f(x) 在在 (-, 0) 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, 在在 (0, +) 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增; 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)時(shí), 由由 f (x)0 得得 x- - ; 2a由由 f (x)0 得得 0 x- - . 2a在在 (- - , +) 上也單調(diào)遞減上也單調(diào)遞減. 2af(x) 在在 (0, - - ) 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, 在在 (-, 0) 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, 2a 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=x2eax, 其中其中 a0, e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (1)討論討論函數(shù)函數(shù) f(x) 的單調(diào)性的單調(diào)性; (2)求函數(shù)求函數(shù) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, 1 上的最大值上的最大值.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 6 解解: (2)由由(1)知當(dāng)知當(dāng) a=0 時(shí)時(shí), f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, 1 上為增函數(shù)上為增函數(shù);當(dāng)當(dāng) a=0 時(shí)時(shí), f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, 1 上的最大值為上的最大值為 f(1)=1;當(dāng)當(dāng) - -2a0 時(shí)時(shí), f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, 1 上為增函數(shù)上為增函數(shù);當(dāng)當(dāng) a- -2 時(shí)時(shí), f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, 1 上的最大值為上的最大值為: 當(dāng)當(dāng) a- -2 時(shí)時(shí), f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, 1 上先增后減上先增后減,當(dāng)當(dāng) - -2a0 時(shí)時(shí), f