保險(xiǎn)精算學(xué)-躉繳純保費(fèi)(2)

1、第四章第四章人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定 第三節(jié)第三節(jié)死亡即刻賠付死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定死亡即刻賠付死亡即刻賠付n死亡即刻賠付的含義死亡即刻賠付的含義n死亡即刻賠付就是指如果被保險(xiǎn)人在保障期死亡即刻賠付就是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險(xiǎn)公司將，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。它是在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，保險(xiǎn)公司通常采用的它是在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，保險(xiǎn)公司通常采用的理賠方式。理賠方式。n由于死亡可能發(fā)生在被保險(xiǎn)人投保之后的任由于死亡可能發(fā)生在被保險(xiǎn)人投保之后的任意

2、時(shí)刻，所以死亡即刻賠付時(shí)刻是一個(gè)連續(xù)意時(shí)刻，所以死亡即刻賠付時(shí)刻是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的剩余壽命。于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的剩余壽命。利息強(qiáng)度利息強(qiáng)度回顧回顧: 利息力與利率的關(guān)系利息力與利率的關(guān)系回顧回顧: 死亡效力死亡效力n定義：定義： 的瞬時(shí)死亡率，簡(jiǎn)記的瞬時(shí)死亡率，簡(jiǎn)記n死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系( )xx( )( )ln ( )( )( )xs xf xs xs xs x 0( )expexpxsx ttxsxs xdspds回顧回顧: 死亡效力與剩余壽命死亡效力與剩余壽命n死亡效力與密度函

3、數(shù)的關(guān)系死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系n死亡效力表示死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù)剩余壽命的密度函數(shù)0( )( )expxxxsf xs xds( )()( )1( )()( )()( )( )( )( )txx ttxx ts xs xtG tps xs xtdds xs xtg tG tpdtdts xs x ( )g t即剩余壽即剩余壽命的分布命的分布函數(shù)函數(shù)tqx基本符號(hào)基本符號(hào)n 投保年齡投保年齡 的人。的人。n 人的極限年齡人的極限年齡n 保險(xiǎn)金給付函數(shù)。保險(xiǎn)金給付函數(shù)。n 貼現(xiàn)函數(shù)。貼現(xiàn)函數(shù)。n 保險(xiǎn)給付金在保單生效時(shí)的現(xiàn)保險(xiǎn)給付金在保單生效時(shí)的現(xiàn)時(shí)值時(shí)值)(xxtbtvtztttvb

4、z1、n年定期壽險(xiǎn)年定期壽險(xiǎn)n定義定義n保險(xiǎn)人只對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后的保險(xiǎn)人只對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為n年年死亡保險(xiǎn)。死亡保險(xiǎn)。n假定：假定： 歲的人，保額歲的人，保額1元元n年定期壽險(xiǎn)年定期壽險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtnzbvtnbtntn躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：符號(hào)：n厘定：厘定：1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtnttxxtntTnttnx0001:)()(現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差現(xiàn)值隨機(jī)變

5、量的方差n方差公式方差公式n記記（相當(dāng)于利息力翻倍以后求（相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)）年期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)）n所以方差等價(jià)為所以方差等價(jià)為 20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar例4.3.1n設(shè)n計(jì)算( )1 , 01001000.1xS xxi 130:101 (2)( )tAVar z（）例4.3.1答案055. 0092. 021. 1ln21. 1701 092. 07011 . 1 )()(2092. 01 . 1ln1 . 1701 7011 . 1)(1

6、001)()()() 1 (2010210022110:30110:30201010010030110:30ttttttTdtAAzVardtdttfvAxxStxStf）（2、終身壽險(xiǎn)、終身壽險(xiǎn)n定義定義n保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。n假定：假定： 歲的人，保額歲的人，保額1元終身壽險(xiǎn)元終身壽險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 01 , 0 tttttttvvtzbvvtbt躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：符號(hào)：n厘定：厘定：xA000( )(

7、)xttTtttxx ttxx tAE zz ft dtvpdtepdt現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 n方差公式方差公式n記記n所以方差等價(jià)為所以方差等價(jià)為 22220( )()( )( )( )ttttTtVar zE zE zeft dtE z220( )txTAeft dt22)()(xxtAAzVar例例4.3.2n設(shè)設(shè)(x)投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元元n保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付n簽單時(shí)，簽單時(shí)，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為的剩余壽命的密度函數(shù)為n計(jì)算計(jì)算1 , 060(t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)( )(3)Pr(

8、)0.9.xtAVar zz（）的例例4.3.2答案答案0606002260220120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAeft dteedtVar zAAedtAee（ ）例例4.3.2答案答案0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvft dtvve3、延期終身壽險(xiǎn)、延期終身壽險(xiǎn)n定義定義n保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保m年后發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)年后發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金

9、的險(xiǎn)種。任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。n假定：假定： 歲的人，保額歲的人，保額1元，延期元，延期m年的終身壽險(xiǎn)年的終身壽險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzb vtmbtmtm死亡即付定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定死亡即付定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：符號(hào)：n厘定：厘定：xmA001:( )( )( )( )mxttTmmtTtTxx mAE zz ft dtz ft dtz ft dtAA現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 n方差公式方差公式n記記n所以方差等價(jià)于所以方差等價(jià)于2222( )()( )( )( )ttttTtm

10、Var zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22( )()txxmmVar zAA例例4.3.3n假設(shè)（假設(shè)（x）投保延期投保延期10年的終身壽險(xiǎn)，年的終身壽險(xiǎn)，保額保額1元。元。n保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付。保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付。n已知已知n求：求：0.040.06( ),0 xS xex，t10(1) (2)Var(z )xA例例4.3.3答案答案0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)( )0.04( )0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16( )()0.0288tTtttxmtttxm

11、txxmmS xtfteS xAeedtedteAeedtVar zAA 4、n 年定期生存保險(xiǎn)年定期生存保險(xiǎn)n定義定義n被保險(xiǎn)人投保后生存至被保險(xiǎn)人投保后生存至n年期滿時(shí)，保險(xiǎn)人年期滿時(shí)，保險(xiǎn)人在第在第n年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。n假定：假定： 歲的人，保額歲的人，保額1元，元，n年定期生存保險(xiǎn)年定期生存保險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , ntnttttvvtvtnzbvtnbtntn躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：符號(hào)：n躉繳純保費(fèi)厘定躉繳純保費(fèi)厘定n現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差：現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差：1: x nA1:( )nnx nt

12、nxnxAE zvpep222112:( )()()nntnxnxx nx nVar zvpvpAA5、n年定期兩全保險(xiǎn)年定期兩全保險(xiǎn)n定義定義n被保險(xiǎn)人投保后如果在被保險(xiǎn)人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，年期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)人即刻給付保險(xiǎn)金；如果被保險(xiǎn)人生存至保險(xiǎn)人即刻給付保險(xiǎn)金；如果被保險(xiǎn)人生存至n年期滿，保年期滿，保險(xiǎn)人在第險(xiǎn)人在第n年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。它等價(jià)于年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。它等價(jià)于n年生存保險(xiǎn)年生存保險(xiǎn)加上加上n年定期壽險(xiǎn)的組合。年定期壽險(xiǎn)的組合。n假定：假定： 歲的人，保額歲的人，保額1元，元，n年定期兩全保險(xiǎn)年定期兩全保險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系基本函

13、數(shù)關(guān)系)(x , , , , 1 , 0tttntttntvtnvvtnzb vvtnvtnbt躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：符號(hào)：n厘定厘定記：記：n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 n年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知已知?jiǎng)t則: x nA1z2z3z312zzz11:312( )( )( )x nx nx nE zE zE zAAA現(xiàn)值隨機(jī)變量方差現(xiàn)值隨機(jī)變量方差因?yàn)橐驗(yàn)樗运?1212121212()( )()( ,)( )()()( )()Var zVar zVar zCov z

14、 zVar zVar zE zzE zE z120zz11:312:()( )()x nx nVar zVar zVar zAA2222例例4.3.4（例（例4.3.1續(xù)）續(xù)）n設(shè)設(shè)n計(jì)算計(jì)算( )1 , 01001000.1xS xxi 30:101 (2)( )tAVar z（）例例4.3.4答案答案1130:101101030:1010301130:1030:1030:10212030:10210301130:1031230:100.092( )0.05560(1)1.10.33700.422(2)( )0.0185( )( )( )0.0431tttttAVar zAvpAAAVar

15、zvpAVar zVar zVar zAA由例3.1已知：26、延期延期m年年n年定期兩全保險(xiǎn)年定期兩全保險(xiǎn)n定義定義n被保險(xiǎn)人在投保后的前被保險(xiǎn)人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期年開始為期n年的定期兩全保險(xiǎn)年的定期兩全保險(xiǎn)n假定：假定： 歲的人，保額歲的人，保額1元，延期元，延期m年的年的n年定期兩全保險(xiǎn)年定期兩全保險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttmnttttmntvtmntmvvtmnzb vvtmntmvtmnbtm躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：符號(hào)：n厘定厘定:mx nA1:11:m

16、x nx mxm nmx nmx nAAAAA現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差n記：記： m年延期年延期n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期年延期n年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期年延期n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知已知?jiǎng)t則1z2z3z312zzz11:312:()( )()mx nmx nVar zVar zVar zAA27、遞增終身壽險(xiǎn)、遞增終身壽險(xiǎn)n定義：遞增終身壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的一種特定義：遞增終身壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增殊情況。假定受益金額為剩余壽命的

17、線性遞增函數(shù)函數(shù)n特別：特別：n一年遞增一次一年遞增一次n一年遞增一年遞增m次次n一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）n保險(xiǎn)利益：保險(xiǎn)利益：n如被保險(xiǎn)人在第一保單年度內(nèi)死亡，如被保險(xiǎn)人在第一保單年度內(nèi)死亡，則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金1元，元， n如被保險(xiǎn)人在第二保單年度內(nèi)死亡，如被保險(xiǎn)人在第二保單年度內(nèi)死亡，則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金2元，元，n。 一年遞增一次一年遞增一次一年遞增一次一年遞增一次n現(xiàn)值隨機(jī)變量現(xiàn)值隨機(jī)變量n躉繳保費(fèi)厘定躉繳保費(fèi)厘定1ttztv011()( )1txttxx tkttxx tkkIAE ztvpdtkv

18、pdt n將每一個(gè)保單年度分為均等的將每一個(gè)保單年度分為均等的m個(gè)時(shí)間段，個(gè)時(shí)間段，n如被保險(xiǎn)人在第一保單年度的第一個(gè)如被保險(xiǎn)人在第一保單年度的第一個(gè)1/m年內(nèi)死年內(nèi)死亡，則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金亡，則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金1/m元，元， n如被保險(xiǎn)人在第一保單年度的第二個(gè)如被保險(xiǎn)人在第一保單年度的第二個(gè)1/m年內(nèi)死年內(nèi)死亡，則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金亡，則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金2/m元，元， n。 n如被保險(xiǎn)人在第二保單年度的第一個(gè)如被保險(xiǎn)人在第二保單年度的第一個(gè)1/m年內(nèi)死年內(nèi)死亡，則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金亡，則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金1+1/m元，元，n如被保險(xiǎn)人在第二保單年度的第二個(gè)如被保

19、險(xiǎn)人在第二保單年度的第二個(gè)1/m年內(nèi)死年內(nèi)死亡，則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金亡，則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金1+2/m元，元，n。 一年遞增一年遞增m次次一年遞增一年遞增m次次n現(xiàn)值隨機(jī)變量現(xiàn)值隨機(jī)變量n躉繳保費(fèi)厘定躉繳保費(fèi)厘定()01111()( )mtxttxx tmk smmttxx tksmk smmtIAE zvpdtmmksvpdtm 1ttmtzvm一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）n現(xiàn)值隨機(jī)變量現(xiàn)值隨機(jī)變量n躉繳保費(fèi)厘定躉繳保費(fèi)厘定ttztv0()( )txttxx tIAE ztvpdtn如被保險(xiǎn)人在時(shí)刻如被保險(xiǎn)人在時(shí)刻T時(shí)死亡，則在死亡時(shí)立時(shí)死亡，則在死亡時(shí)立即給

20、付保險(xiǎn)金即給付保險(xiǎn)金T元元8、遞減定期壽險(xiǎn)、遞減定期壽險(xiǎn)n定義：遞減定期壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的另一種定義：遞減定期壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù)減函數(shù)n特別：特別：n一年遞減一次一年遞減一次n一年遞減一年遞減m次次n一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）一年遞減一次一年遞減一次n現(xiàn)值隨機(jī)變量現(xiàn)值隨機(jī)變量n躉繳保費(fèi)厘定躉繳保費(fèi)厘定 ,0,ttntvtnztn 1:011()( )(1)tttxx tx nknttxx tkkDAE zntvpdtnkvpdt一年遞減一年遞減m次次n現(xiàn)值隨機(jī)變量現(xiàn)值隨機(jī)變

21、量n躉繳保費(fèi)厘定躉繳保費(fèi)厘定,0,tttmnvtnzmtn()1:0111()( )1nmtttxx tx nmk smnmttxx tksmk smmtDAE znvpdtmsnvpdtm 一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）n現(xiàn)值隨機(jī)變量現(xiàn)值隨機(jī)變量n躉繳保費(fèi)厘定躉繳保費(fèi)厘定(),0,ttnt vtnztn1:0()( )()ntttxx tx nDAE znt vpdt死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關(guān)系死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關(guān)系（剩余壽命在分?jǐn)?shù)時(shí)期均勻分布假定）（剩余壽命在分?jǐn)?shù)時(shí)期均勻分布假定） n以終身壽險(xiǎn)為例，有剩余壽命等于整值以終身壽險(xiǎn)為例，有剩余壽命等于整值剩

22、余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命：剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命：n則有則有 ( )( ) 1( ) 1( )( )( )T xK xS xT xK xS xvvv11110()()()TKSsxxxE vE vE viAAvdsA死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系之間的關(guān)系(UDD)n在滿足如下兩個(gè)條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳在滿足如下兩個(gè)條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳純保費(fèi)是死亡年末賠付凈躉繳純保費(fèi)的純保費(fèi)是死亡年末賠付凈躉繳純保費(fèi)的 倍。倍。條件條件1：條件條件2： 只依賴于剩余壽命的整數(shù)部分，即只依賴于剩余壽命的整數(shù)部分，即 i,lnt

23、tvvv tb*1tKbb例例4.3.6n（x）歲的人投保歲的人投保5年期的兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為年期的兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1萬元，保險(xiǎn)金死亡即刻給付，按附錄萬元，保險(xiǎn)金死亡即刻給付，按附錄2示例生命示例生命表計(jì)算表計(jì)算n（1）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。n（2）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。n（3）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。n（4）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。例4.3.6答案940

24、4.591000048881.3410000399.431910000258.8841)(10000100008790.049617815.956501000054.5110000005154. 0)1ln(005091. 0) 1 (%65 :60%5 . 25 :60%65 :201%5 . 25201%5 . 25 :20%5 . 2520520551%5 . 25201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :20AAAAAAvpvAAAiiAiAA）（）（）（再求已知：例4.3.7n對(duì)（對(duì)（50）歲的男性第一年死

25、亡即刻給付）歲的男性第一年死亡即刻給付5000元，第二年死亡即刻給付元，第二年死亡即刻給付4000元，元，以此按年遞減以此按年遞減5年期人壽保險(xiǎn)，根據(jù)附錄年期人壽保險(xiǎn)，根據(jù)附錄2生命表，以及死亡均勻分布假定，按年生命表，以及死亡均勻分布假定，按年實(shí)質(zhì)利率實(shí)質(zhì)利率6%計(jì)算躉繳純保費(fèi)。計(jì)算躉繳純保費(fèi)。例4.3.7答案307.88(100008837. 0)5(0297087. 1(06. 1ln06. 0(106. 05504050501106. 0550106. 0550106. 0550：）ADldvkDADAiADkkk第四節(jié)第四節(jié)遞歸方程式遞歸方程式離散型終身壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)的遞推公式離散型

26、終身壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)的遞推公式11110111011101|011xxxxxxxkxxkkkxxkxxkkxkxkxxkkkxkxxkkkxkkkxAvpvqASoAvpvqqpvvpvqqppvvvqqpvvqqpvqvA躉繳純保費(fèi)遞推公式躉繳純保費(fèi)遞推公式n公式一：公式一：n( (x)x)以躉繳純保費(fèi)以躉繳純保費(fèi)A Ax x元購買離散型單位金額終身壽元購買離散型單位金額終身壽險(xiǎn)險(xiǎn), ,所得到保險(xiǎn)利益是所得到保險(xiǎn)利益是, ,如被保險(xiǎn)人在第一個(gè)保單年如被保險(xiǎn)人在第一個(gè)保單年度內(nèi)死亡度內(nèi)死亡, ,則在該保單年度末時(shí)給付保險(xiǎn)金則在該保單年度末時(shí)給付保險(xiǎn)金1 1元元. .n如在第一年末仍生存如在第一年

27、末仍生存, ,則保險(xiǎn)人在此時(shí)以金額則保險(xiǎn)人在此時(shí)以金額A Ax+1x+1元元為被保險(xiǎn)人購買一張為被保險(xiǎn)人購買一張1元的終身壽險(xiǎn)保單元的終身壽險(xiǎn)保單, ,作為對(duì)該作為對(duì)該保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)人在x+1x+1歲時(shí)的歲時(shí)的”生存給付生存給付”. . 1xxxxAvpvqA躉繳純保費(fèi)遞推公式躉繳純保費(fèi)遞推公式n公式一：公式一：n理解理解:(x)(x)的單位金額終身壽險(xiǎn)在第一年末的價(jià)的單位金額終身壽險(xiǎn)在第一年末的價(jià)值等于值等于( (x)x)在第一年死亡的情況下在第一年死亡的情況下1單位的賠付單位的賠付額額, ,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費(fèi)或生存滿一年的情況下凈躉繳保費(fèi) 。 1xxxxAvpvqA1xAn若在公

28、式一中用若在公式一中用(1-qx)代替代替px, 并兩邊乘并兩邊乘以以(1+i)lx, 則可得如下公式二則可得如下公式二.躉繳純保費(fèi)遞推公式躉繳純保費(fèi)遞推公式n公式二：公式二：n解釋：解釋：n 個(gè)個(gè)x x歲的被保險(xiǎn)人所繳的躉繳保費(fèi)之和經(jīng)過一年歲的被保險(xiǎn)人所繳的躉繳保費(fèi)之和經(jīng)過一年的積累，當(dāng)年年末可為所有的被保險(xiǎn)人提供次年的的積累，當(dāng)年年末可為所有的被保險(xiǎn)人提供次年的凈躉繳保費(fèi)凈躉繳保費(fèi) ，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保險(xiǎn)人提供額外的險(xiǎn)人提供額外的 。 )1 ()1 (11xxxxxxAdAlAilxl1xA11xAn若公式二兩邊除以若公式二兩邊除以lx, 則可得如下公式三則可得如下公式三:躉繳純保費(fèi)遞推公式躉繳純保費(fèi)遞推公式n公式三：公式三