對弧長的曲線積分

1、12 第第1111章章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分curvillnear integral and surface integral3問題的提出問題的提出對弧長的曲線積分的概念對弧長的曲線積分的概念幾何意義與物理意義幾何意義與物理意義對弧長的曲線積分的計算對弧長的曲線積分的計算小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)第一節(jié)第一節(jié) 第一類曲線積分第一類曲線積分第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分4一、問題的提出實例實例sM 勻質(zhì)勻質(zhì)之質(zhì)量之質(zhì)量分割分割121, nMMM,),(iiis 取取iiiisM ),(求和求和 niiiisM1 ),(取極限取極限M取近似取近似曲線形構(gòu)件

2、的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量近似值近似值精確值精確值對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 niiiis1 ),( 0lim Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM5二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念1.1.定義定義設(shè)設(shè)L為為 xOy面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧,is 為為又又),(ii ,),(iiisf ,),(1 niiiisf 在在L上有界上有界.),(yxf函數(shù)函數(shù)作乘積作乘積并作和并作和如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值,0時時 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分在在L上任意插入一點列上任意插入一點列把把L分成分成n個小段個小段

3、.設(shè)第設(shè)第i個小段的個小段的第第i個小段上任意取定的個小段上任意取定的長度為長度為一點一點,Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM121,nM MM6曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 LsyxMd),( ,d),( Lsyxf即即 Lsyxfd),(這和的極限存在這和的極限存在, 則稱此極限為則稱此極限為),(yxf函數(shù)函數(shù)在曲線弧在曲線弧 L 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分或或第一類曲線積分第一類曲線積分. . 積分和式積分和式被積函數(shù)被積函數(shù) 弧元素弧元素積分弧段積分弧段記作記作 niiiisf1),( niiiisf1),( 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分0lim

4、 注意: 被積表達(dá)式都定義在曲線上,即滿足曲線的方程.72. 存在條件存在條件上上在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng)Lyxf),(3. 推廣推廣上上在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf szyxfd),(.d),(存在存在 Lsyxf對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分連續(xù)連續(xù), ,對弧長的曲線積分為對弧長的曲線積分為iniiiisf 10),(lim對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分8注意注意,)()1(是是分分段段光光滑滑的的或或若若 L 21d),(LLsyxf在在函函數(shù)數(shù)),()2(yxf Lsyxfd),()(21LLL 1d),(Lsyxf 2d),(Lsyxf閉曲線閉曲線L L上

5、上對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分記作記作(對路徑具有可加性對路徑具有可加性)對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分94. 性質(zhì)性質(zhì) Lsyxgyxfd),(),( LLsyxfsyxkfd),(d),(1) LLsyxgsyxfd),(d),(2)( 為常數(shù)為常數(shù)kk(3) 與積分路徑的方向無關(guān)與積分路徑的方向無關(guān),即即 Lsyxfd),( Lsyxfd),()(AB)(BA對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分10 在一條光滑在一條光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上上關(guān)于關(guān)于x 的奇函數(shù)的奇函數(shù) Lsyxfd),(是是L上關(guān)于上關(guān)于x 的偶函數(shù)的偶函數(shù) ,d),(21 LsyxfL1是曲線是曲線

6、L落在落在y 軸一側(cè)的部分軸一側(cè)的部分.在分析問題和算題時常用的在分析問題和算題時常用的L關(guān)于關(guān)于x=0 對稱對稱,補(bǔ)充補(bǔ)充對稱性質(zhì)對稱性質(zhì)曲線曲線L上連續(xù)上連續(xù), ),(yxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)則則, 0當(dāng)當(dāng)),(yxf(或或y)(或或y)當(dāng)當(dāng)),(yxf(或或y=0)(或或x) 運用對稱性簡化對弧長的曲線積分運用對稱性簡化對弧長的曲線積分計算時計算時, 應(yīng)同時考慮被積函數(shù)應(yīng)同時考慮被積函數(shù) 與積與積分曲線分曲線L的對稱性的對稱性.),(yxf對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 11例例 Lsyx.d)(3其中其中L是圓周是圓周.222Ryx 解解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,d Lsx對

7、對因因積分曲線積分曲線L關(guān)于關(guān)于被積函數(shù)被積函數(shù)x是是L上上0d Lsx Lsy,d3對對被積函數(shù)被積函數(shù)0d3 Lsy因因積分曲線積分曲線L關(guān)于關(guān)于3y222Ryx 對稱性對稱性, ,計算計算得得0 是是L上上 x=0對稱對稱,關(guān)于關(guān)于x的奇函數(shù)的奇函數(shù) y=0對稱對稱,關(guān)于關(guān)于y的奇函數(shù)的奇函數(shù)對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分xyO12三、對弧長曲線積分的計算定理定理),()()( ttytxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上上在在曲曲線線弧弧設(shè)設(shè)Lyxf),(上上在在,)(),( tt其中其中且且 f),(t )(t )( 有定義且連續(xù)有定義且連續(xù),具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), Lsyx

8、fd),( 解法解法 化為參變量的化為參變量的定積分定積分計算計算對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分注意注意對弧長的曲線積分要求對弧長的曲線積分要求0d s(1)化為定積分的下限化為定積分的下限一定要小于上限一定要小于上限 22( )( )dttt(2) 積分值與曲線方向無關(guān)積分值與曲線方向無關(guān).13特殊情形特殊情形bxaxyL ),(: Lsyxfd),()(ba xxsd)(1d2 baxf,(1)xx d)(12 )(x 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分),()()( ttytxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為dycyxL ),(: Lsyxfd),()(dc (2) dcyyf),( yysd

9、)(1d2 yy d)(12 f),(t )(t )( Lsyxfd),( 22( )( )dttt14 Lsyxfd),( d)()(sin)(,cos)( 22f),(: L (3)對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分),()()( ttytxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為特殊情形特殊情形)()(),(),(: ttztytx推廣推廣 szyxfd),(tttttttfd)()()()(),(),(222 )( f),(t )(t )( Lsyxfd),( 22( )( )dttt15 ),(),(yxgzyxfz 0),(0),(21zyxzyx 或或此時需把它化為此時需把它化為參數(shù)方程參數(shù)方程

10、中中某某一一個個選選擇擇zyx,(再按上述方法計算再按上述方法計算.對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分為參數(shù)為參數(shù)),L如果積分路徑 是兩個曲面的交線16例例1解解例例2)20(.,sin,cos:,d 的一段的一段其中其中求求kzayaxsxyzI解解 kaI 202sincos22221kaka .)2 , 2(2,d2的的一一段段上上自自原原點點到到為為其其中中求求xyLsyIL 20yI)155(31 xy22 )20( y22yx d22ka yy d12 對對x積分積分?)2 , 2( 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分xy22 xyO17例例3).0(222 xRyxABCL解解xy

11、sd1d2 xyyxd222 xyRd| Lsy d|xyRyRd|0 xyRyRd|0 22R 的的如如圖圖半半圓圓周周由由曲曲線線)(ABCL ABsy d| BCsy d|對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分得得xyO|d ,LysL計算其中 是右半圓周 即222,xyR方程18即即是右半圓周是右半圓周其中其中計算計算,d|LsyL ).0(222 xRyx解此題時也可用解此題時也可用,軸軸對對稱稱關(guān)關(guān)于于xL故故 Lsy d|2xyRd22R sydAB,|的偶函數(shù)的偶函數(shù)為為yy Ry02對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對稱性質(zhì)對稱性質(zhì)ABCLxyO19例例4 . 0,d22222zyx

12、azyxsxI為圓周為圓周其中其中求求 解解 由于由于 szsysxddd222 I sad32323a ),d2(球面大圓周長球面大圓周長 sa有有 szyxd)(22231對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 的方程中的的方程中的x, y, z的地位完全的地位完全對稱對稱, 20例例5 曲線曲線是中心在是中心在( ,0),R半徑為R的上半圓周的上半圓周.求求22()xyds對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分提示提示:用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)21,1),(時時當(dāng)當(dāng) yxf( , )f x yL當(dāng)表示位于 上的 SsL),(yxfz 幾何意義幾何意義 Lsd(1)(2),),(處的高時處的高時柱面在點柱面在

13、點yx對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分四、幾何四、幾何意義與物理意義與物理意義意義 Lsyxfd),(柱面面積柱面面積弧長弧長 L22則則為為下下半半圓圓周周設(shè)設(shè)平平面面曲曲線線,12xyL ).(d)(22 syxL曲線積分曲線積分 解解 設(shè)下半圓周的參數(shù)方程設(shè)下半圓周的參數(shù)方程 sin,cos yx則則syxLd)(22 )sin(cos22 d)(cos)sin(22 2對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分通過幾何直觀通過幾何直觀,還有更簡單的方法嗎還有更簡單的方法嗎?23例例6 求橢圓柱面求橢圓柱面22221, (0,0)xyxyab介于介于xoy平面與空間曲面平面與空間曲面xyzc之間部

14、分的面積之間部分的面積.提示提示:2222:1LxyxyAdsLcab24軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量軸軸及及曲曲線線弧弧對對yx)2(,d2 LxsyI 曲曲線線弧弧的的質(zhì)質(zhì)心心坐坐標(biāo)標(biāo))3(,dd LLssxx 的線密度時的線密度時表示表示當(dāng)當(dāng)Lyx),()( 1 LsyxMd),( 物理意義物理意義 LysxId2 LLssyydd 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分25例例6 已知螺旋形彈簧一圈已知螺旋形彈簧一圈的方程的方程:cossin ,02xatyattzbt 彈簧上各點處的線密度等于該點到原點距離的平方彈簧上各點處的線密度等于該點到原點距離的平方,求求(1) 它的質(zhì)量它的質(zhì)量;(2) 它的重心它的重心;(3) 它關(guān)于它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量.對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分26對弧長曲線積分的概念對弧長曲線積分的概念 對弧長曲線積分的計算公式對弧長曲線積分的計算公式對弧長曲線積分的應(yīng)用對弧長曲線積分的應(yīng)用對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分五、小結(jié)五、小結(jié)(四步四步:分割、取近似、求和、取極限）分割、取近似