理論力學(xué)課后答案

1、精品文檔第五章思考題5.1虛功原理中的“虛功”二字作何解釋？用虛功原理理解平衡問題，有何優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？5.2為什么在拉格朗日方程中，不包含約束反作用力？又廣義坐標(biāo)與廣義力的含義如a何？我們根據(jù)什么關(guān)系由一個(gè)量的量綱定出另一個(gè)量的量綱？5.3廣乂動(dòng)量Pa和廣乂速度qa是不是只相差一個(gè)乘數(shù) m ?為什么Pa比qa更富有意義？5.4既然丄 是廣義動(dòng)量，那么根據(jù)動(dòng)量定理，d 丄 是否應(yīng)等于廣義力a ?為什么aqadt q在拉格朗日方程 5314式中多出了 丄項(xiàng)？你能說出它的物理意義和所代表的物理量qa嗎？5.5為什么在拉格朗日方程只適用于完整系？如為不完整系，能否由式5.3.13得出式5.3.14 ？5

2、.6平衡位置附近的小振動(dòng)的性質(zhì)，由什么來決定？為什么2s2個(gè)常數(shù)只有2s個(gè)是獨(dú)立的？5.7什么叫簡(jiǎn)正坐標(biāo)？怎樣去找？它的數(shù)目和力學(xué)體系的自由度之間有何關(guān)系又每一簡(jiǎn)正坐標(biāo)將作怎樣的運(yùn)動(dòng)？5.8多自由度力學(xué)體系如果還有阻尼力，那么它們?cè)谄胶馕恢酶浇倪\(yùn)動(dòng)和無阻尼時(shí)有何不同？能否列出它們的微分方程？5.9 dL和dL有何區(qū)別？和丄有何區(qū)別？qaqa5.10哈密頓正則方程能適用于不完整系嗎？為什么？能適用于非保守系嗎？為什么？5.11哈密頓函數(shù)在什么情況下是整數(shù)？在什么情況下是總能量？試祥加討論，有無是總能量而不為常數(shù)的情況？5.12何謂泊松括號(hào)與泊松定理？泊松定理在實(shí)際上的功用如何？5.13哈密頓原

3、理是用什么方法運(yùn)動(dòng)規(guī)律的？為什么變分符號(hào)可置于積分號(hào)內(nèi)也可移到積分號(hào)外？又全變分符號(hào)能否這樣？5.14正則變換的目的及功用何在？又正則變換的關(guān)鍵何在？5.15哈密頓-雅可比理論的目的何在？試簡(jiǎn)述次理論解題時(shí)所應(yīng)用的步驟5.16正則方程5.5.15與5.10.10及5.10.11之間關(guān)系如何？我們能否用一正則變換由前者得出后者？5.17在研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)的力學(xué)中，劉維定理能否發(fā)揮作用？何故？5.18 分析力學(xué)學(xué)完后，請(qǐng)把本章中的方程和原理與牛頓運(yùn)動(dòng)定律相比較，并加以評(píng)價(jià)第五章思考題解答5.1 答：作 .用于質(zhì)點(diǎn)上的力在任意虛位移中做的功即為虛功，而虛位移是假想的、 符合約束的、無限小的 .即時(shí)位置變

4、更，故虛功也是假想的、符合約束的、無限小的.且與過程無關(guān)的功，它與真實(shí)的功完全是兩回事 .從 WFi ri 可知：虛功與選用的坐標(biāo)系無關(guān)，這i正是虛功與過程無關(guān)的反映； 虛功對(duì)各虛位移中的功是線性迭加， 虛功對(duì)應(yīng)于虛位移的一次 變分 .在虛功的計(jì)算中應(yīng)注意：在任意虛過程中假定隔離保持不變，這是虛位移無限小性的 結(jié)果.虛功原理給出受約束質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件， 比靜力學(xué)給出的剛體平衡條件有更普遍的意義； 再 者，考慮到非慣性系中慣性力的虛功， 利用虛功原理還可解決動(dòng)力學(xué)問題， 這是剛體力學(xué)的 平衡條件無法比擬的； 另外， 利用虛功原理解理想約束下的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題時(shí)，由于約束反力自動(dòng)消去， 可簡(jiǎn)便地球

5、的平衡條件； 最后又有廣義坐標(biāo)和廣義力的引入得到廣義虛位移 原理，使之在非純力學(xué)體系也能應(yīng)用，增加了其普適性及使用過程中的靈活性.由于虛功方程中不含約束反力 .故不能求出約束反力，這是虛功原理的缺點(diǎn).但利用虛功原理并不是不能求出約束反力， 一般如下兩種方法： 當(dāng)剛體受到的主動(dòng)力為已知時(shí)， 解除某約束或某一方向 的約束代之以約束反力； 再者， 利用拉格朗日方程未定乘數(shù)法，景觀比較麻煩，但能同時(shí)求 出平衡條件和約束反力 .5.2 答 因拉格朗日方程是從虛功原理推出的， 而徐公原理只適用于具有理想約束的力學(xué)體 系虛功方程中不含約束反力， 故拉格朗日方程也只適用于具有理想約束下的力學(xué)體系， 不 含約束

6、力； 再者拉格朗日方程是從力學(xué)體系動(dòng)能改變的觀點(diǎn)討論體系的運(yùn)動(dòng)， 而約束反作用 力不能改變體系的動(dòng)能，故 不含約束反作用力，最后，幾何約束下的力學(xué)體系其廣義坐 標(biāo)數(shù)等于體系的自由度數(shù)， 而幾何約束限制力學(xué)體系的自由運(yùn)動(dòng)， 使其自由度減小， 這表明 約束反作用力不對(duì)應(yīng)有獨(dú)立的廣義坐標(biāo)， 故 不含約束反作用力 .這里討論的是完整系的拉 格朗日方程， 對(duì)受有幾何約束的力學(xué)體系既非完整系， 則必須借助拉格朗日未定乘數(shù)法對(duì)拉 格朗日方程進(jìn)行修正 .廣義坐標(biāo)市確定質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系完整的獨(dú)立坐標(biāo)， 它不一定是長(zhǎng)度， 可以是角度或其他物 理量，如面積、體積、電極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度等.顯然廣義坐標(biāo)不一定是長(zhǎng)度的量綱

7、.在完整約束下， 廣義坐標(biāo)數(shù)等于力學(xué)體系的自由度數(shù)； 廣義力明威力實(shí)際上不一定有力的量綱可以是力也可以是力矩或其他物理量，如壓強(qiáng)、場(chǎng)強(qiáng)等等，廣義力還可以理解為；若讓廣義力對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)作單位值的改變，且其余廣義坐標(biāo)不變，則廣義力的數(shù)值等于外力的功由nsFi riq w知， q有功的量綱，據(jù)此關(guān)系已知其中一個(gè)量的量綱i 11則可得到另一個(gè)量的量綱若q是長(zhǎng)度，則一定是力，若是力矩，則q 定是角度，若q是體積，則一定是壓強(qiáng)等.5.3 答p與q不一定只相差一個(gè)常數(shù)m，這要由問題的性質(zhì)、坐標(biāo)系的選取形式及廣義坐標(biāo)的選用而定。直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能T m(x2 y2 z2)，若取y為廣義2坐標(biāo)，則吊t

8、qy y，而 Pymyymqy，相差常數(shù)m，如定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能T丄122，取廣義坐標(biāo)q，而Pt I,p與q相差一常數(shù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量| ，又如極坐標(biāo)系表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能t1 . 2 2 -m(r r22),若取q，有q，而t pmr2 ，二者相差一變數(shù)mr2;若取qr 有 qr r，而 pr mr，二者相差一變數(shù)m 在自然坐標(biāo)系中t - ms2，取qs，有qs s v，而ps ms，二者2相差一變數(shù)m.從以上各例可看出：只有在廣義坐標(biāo)為長(zhǎng)度的情況下，p與q才相差一常數(shù);在廣義坐標(biāo)為角量的情形下，p與q相差為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱.p為何比q更富有物理意義呢？首先，p對(duì)應(yīng)于動(dòng)力學(xué)量，他建立了系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)T

9、、L或H與廣義速度、廣義坐標(biāo)的聯(lián)系，它的變化可直接反應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)的改變，而q是對(duì)應(yīng)于運(yùn)動(dòng)學(xué)量，不可直接反應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征；再者，系統(tǒng)地拉格朗日函數(shù)L中不含某一廣義坐標(biāo)qi時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量 pi常數(shù)，存在一循環(huán)積分，給解決問題帶qi來方便，而此時(shí)循環(huán)坐標(biāo)qi對(duì)應(yīng)的廣義速度 qj并不一定是常數(shù)，如平方反比引力場(chǎng)中，故有pLmr常數(shù)，但q常數(shù)；最后，由哈密頓正則方程知 p ,q是一組正則變量：哈密頓函數(shù)h中不含某個(gè)廣義坐標(biāo) qi時(shí),對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量pi常數(shù)，不含某個(gè)廣義動(dòng)量pj時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)qi常數(shù)5.4答只有對(duì)于完整系，廣義坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)，才能消去所有的約束方程，式(5.3.13)d T

10、dt q各q才能全部相互獨(dú)立，得到式（5.3.14）,故拉格朗日方程只適用于完整系，非完整力學(xué) 體系，描述體系的運(yùn)動(dòng)需要的廣義坐標(biāo)多于自由度數(shù)，各q不全部獨(dú)立，不能得到（5314）式，但（5.3.13）式結(jié)合拉格朗日方程未定乘數(shù)法可用于非完整系。5.6答力學(xué)體系在平衡位置附近的動(dòng)力學(xué)方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（5.4.6）式a 2 C 0，其中，1,2 S，久期方程的各根（本征值） |的性質(zhì)決定體系平衡位置附近的小振動(dòng)性質(zhì)。因從本征方程（5.4.6）式中可求出2S個(gè)的本征值 | （ I 1,2 2S ），每一個(gè)|對(duì)應(yīng) 一個(gè)獨(dú)立的常數(shù)故 2S2個(gè)常數(shù)中只有2S個(gè)是獨(dú)立的。5.7答

11、多自由度體系的小振動(dòng)，每一廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于S個(gè)主頻率的諧振動(dòng)的疊加。若通過坐標(biāo)間線性變換使得每一廣義坐標(biāo)僅對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率的振動(dòng)，則變換后的坐標(biāo)稱之為簡(jiǎn)正坐標(biāo)， 對(duì)應(yīng)的頻率為簡(jiǎn)正頻率， 每一簡(jiǎn)正坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)簡(jiǎn)正頻率，而簡(jiǎn)正頻率數(shù)和力學(xué)體系的自由度數(shù)相等，故簡(jiǎn)正坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)。值得說的是，每一簡(jiǎn)正振動(dòng)為整個(gè)力學(xué)體系所共有，反映的是各質(zhì)點(diǎn)（整體）的振動(dòng)之一，其他坐標(biāo)都作為簡(jiǎn)正坐標(biāo)的線性函數(shù)，由S個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)疊加而成。這種方法在統(tǒng)計(jì)物理，固體物理中都有運(yùn)用。它們?cè)谄胶馕恢酶浇鼘⒆魉p運(yùn)動(dòng)。5.8答對(duì)一完整的穩(wěn)定的力學(xué)體系在有阻尼的情況下, 引入耗散函數(shù)F 丄S2則阻力力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程改為g dt其中T

12、中是的函數(shù)，把在平衡位形區(qū)域展開成泰勒級(jí)數(shù)qrqr0咼級(jí)項(xiàng)q r很小,只保留頭一項(xiàng),b,c均為常數(shù)。T,V, F代入運(yùn)動(dòng)方程得0,1,2把q A et代入上式得本征值方程1,21,20，F(xiàn)24VT的小阻尼情況下，本征值1,22S，且動(dòng)方程為It A1 iiltlt1,2顯然是按指數(shù)率的衰減振動(dòng)。5.9 答:L q ,q ,t ,1,2,.s所以dL解得dlqrdq,p ,t5.10 答:拉格朗日方程只適用于完整系, 能適用于完整的，保守的力學(xué)體系，dqP dq,t,q ,qqrdq1.2. .s1.2. .s,p ,t ,tdL哈密頓正則方程有保守系拉格朗日方程推出,對(duì)非保守體系（5.3.18

13、）改寫為故只dt qQ ,1,2.s其中Q為非有勢(shì)力，或?qū)憺閐dt1,2.s即p Q。經(jīng)勒讓德變換后用課本上同樣的方法可推得非保守系中的哈密頓正則q方程qpHJpHQ ,1,2.sq5.11答：若哈密頓函數(shù)不顯含時(shí)間t，則H H q , p常熟；對(duì)穩(wěn)定約束下的力學(xué)體系，動(dòng)能不是速度的二次齊次函數(shù)，則H T V，是以哈密頓正則變量表示的廣義總能量，因不穩(wěn)定約束的約束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含約束力，故有此差異，此時(shí)H并不是真正的能量；對(duì)穩(wěn)定的，保守的力學(xué)體系，若H含t則H是能量但不為常熟。5.12答：泊松括號(hào)是一種縮寫符號(hào)，它表示已同一組正則變量為自變量的二函數(shù)之間的關(guān)系。若 p ,q

14、,t ,p ,q ,t ,1,2.s，則s' i q p p qH是物理學(xué)中最常用的泊松括號(hào)，用泊松括號(hào)可表示力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)正則方程p p ,H ,q q ,H ,1,2.s用泊松括號(hào)的性質(zhì)復(fù)雜微分運(yùn)算問題化為簡(jiǎn)單的括號(hào)運(yùn)算，這種表示法在量子力學(xué)，量子場(chǎng)論等課程中被廣泛應(yīng)用。每一正則方程必對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，利用泊松括號(hào)從正則方程=積分p ,q ,t C1, p ,q ,tC2可以推出另外一個(gè)積分JC3，這一關(guān)系稱為泊松定理。5.13答：哈密頓原理是用變分的方法確定運(yùn)動(dòng)規(guī)律的，它是力學(xué)變分原理的積分形式?；舅枷胧窃诿枋隽W(xué)體系的S維空間中，用變分求極值的方法，從許多條端點(diǎn)相同的曲線中挑

15、選一條真是軌道確定體系的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律。因?yàn)閷?duì)等時(shí)變分 t 0，故變分符號(hào)可置于積分號(hào)內(nèi)也可置于積分號(hào)外，而不等時(shí)變分t 0，故全變分符號(hào)不能這樣。5.14答：力學(xué)體系的哈密頓函數(shù)H中是否有循環(huán)坐標(biāo)系或循環(huán)坐標(biāo)的數(shù)目與坐標(biāo)系（或參變數(shù)）的選取有關(guān)，故在正則方程形式不變的前提下，通過某種變數(shù)變換找到新的函數(shù)H*，使之多出現(xiàn)一些循環(huán)坐標(biāo)， 此即正則變換的目的及公用。 由于每一循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)積 分，正則變換后可多得到一些運(yùn)動(dòng)積分，給解決問題帶來方便，正則變換的關(guān)鍵是母函數(shù)的選取，其選取的原則是使 H*中多出現(xiàn)循環(huán)坐標(biāo)，但并無一定的規(guī)律可循，要具體問題具體 分析。5.15 答：哈密頓正則方程是 2

16、s 個(gè)一階微分方程的方程組，用泊松定理解之，由而已知運(yùn)動(dòng) 積分求出其余的運(yùn)動(dòng)積分往往是已知解的線性組合或橫等時(shí)， 并不能給出新的解； 而用正則 變換可多得到一些循環(huán)坐標(biāo)是正則方程立即有解， 但母函數(shù)的選取往往很困難， 哈密頓雅 可畢理論的目的既是要彌補(bǔ)上述缺陷，通過一個(gè)特殊的正則變換，使得用新變量 P ,Q ,（ 1,2s） 表 示 的 哈 密 頓 函 數(shù) H * 0 ， 此 時(shí) P ,Q 全 部 為 常 數(shù)i , i ,（i 1,2.s） ，這樣哈密頓得主函數(shù)極為母函數(shù)，從而解決母函數(shù)難以尋找的困難。5.16答：對(duì)（5.9.8）式若為不穩(wěn)定約束，只需以 h代替E即可，故對(duì)（598）式分離變量

17、 后推出的（5.9.12）中也只需以h代E即可用于不穩(wěn)定約束。正則方程利用哈一雅理論后得 到結(jié)果十分普遍，可同時(shí)得出運(yùn)動(dòng)規(guī)律，軌道級(jí)動(dòng)量，故比拉格朗日方程優(yōu)越。5.17 答：經(jīng)典“牛頓力學(xué)”常用于幾何的觀點(diǎn)，運(yùn)用形象化思維的方式，研究力學(xué)體系的受 力情況及運(yùn)動(dòng)情況，然后通過運(yùn)動(dòng)非常及時(shí)物體的受力與運(yùn)動(dòng)變化間的相互聯(lián)系和前因后 果。這種方法形象，直觀，物理意義鮮明，被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際。但由于它著眼于力，速 度，加速度等矢量， 給解決復(fù)雜的力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)問題帶來許多不便； 再者，它僅僅局限于 純力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)分析，其理論與方法難以建立與其它學(xué)科的聯(lián)系。5.18答：十九世紀(jì)發(fā)展起來的“分析力學(xué) 方

18、法彌補(bǔ)了上述缺陷， 它用純數(shù)學(xué)分析的方法用 更具有概括性的抽象思維方式， 從力學(xué)體系的一切可能的運(yùn)動(dòng)中挑選出實(shí)際運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。這種方法盡管物理意義不如牛頓力學(xué)方法鮮明， 但它給人們解決復(fù)雜力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)問題提供 了有一方法；再者，由于廣義坐標(biāo)，廣義力的引入使其理論在其它學(xué)科中也能廣泛的應(yīng)用。 建立了經(jīng)典物理學(xué)向近代物理學(xué)過渡的橋梁。下面通過分析力學(xué)與牛頓力學(xué)理論及方法的比較扼要闡述分析力學(xué)的優(yōu)越性。 牛頓力學(xué)的著眼點(diǎn)是力，實(shí)際力學(xué)體系除受到促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的主動(dòng)力，往往還 存在很多限制其運(yùn)動(dòng)的約束條件體現(xiàn)這些約束的約束反作用力都要作為未知數(shù)出現(xiàn)于運(yùn)動(dòng) 微分方程， 使未知量增加給解算帶來許多麻煩

19、； 分析力學(xué)著眼于功和能在一定條件下， 常常 可以不考慮約束反作用力。 如在理想條件下， 用虛位移原理解決力學(xué)體系的平衡問題可撇開 眾多的未知未知約束力， 直接得出平衡條件， 比用牛頓力學(xué)中剛體受力的平衡方程方便得多； 達(dá)朗伯虛位移原理解決力學(xué)體系的動(dòng)力學(xué)問題，由于虛功的概念、 廣義坐標(biāo)的引入， 也可撇開約束力得解， 比用牛頓方程即由此推出的動(dòng)量定理， 動(dòng)量矩定理方便； 拉格朗日方程、 哈密頓原理即由此得到的分析力學(xué)一系列方程均具這一優(yōu)點(diǎn)。從一分為二的觀點(diǎn)來看， 這也是分析力學(xué)的缺點(diǎn)不能求出約束反作用力。 當(dāng)把待求的約束反力或做功的約束反力作為 主動(dòng)力來看，分析力學(xué)的理論修改后仍能應(yīng)用。牛頓力

20、學(xué)用矢量的方法研究力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)，著眼于力、加速度、速度等矢量，而矢 量具有方向性、 相對(duì)性， 在坐標(biāo)變換中很費(fèi)事， 故牛頓力學(xué)的動(dòng)力學(xué)方程都與參考系極坐標(biāo) 系的選取有關(guān)； 分析力學(xué)用標(biāo)量描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)及變化規(guī)律， 著眼于功和能廣義坐標(biāo)和 廣義速度等一系列標(biāo)量， 標(biāo)量便于變換及疊加， 標(biāo)量形式的運(yùn)動(dòng)方程也是便于寫出的， 且由 于廣義坐標(biāo)和廣義力的引入， 是指超出立憲的范圍也能應(yīng)用， 給參變量的選用也帶來了許多 方便， 提高了靈活性。如用拉格朗日方程，哈密頓原理或哈密頓正則方程推證極坐標(biāo)系，球 坐標(biāo)系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程， 比用牛頓力學(xué)的方法簡(jiǎn)便， 但分析力學(xué)不如牛頓力學(xué)方法直觀物理 意義也不如牛

21、頓力學(xué)方法清晰。牛頓力學(xué)的動(dòng)量守恒定律動(dòng)量矩守恒定律總是以牛頓第三定律為先決條件的；而分析 力學(xué)中循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量守恒原理并不以牛頓第三定律為先決條件， 其先決條件是拉 格朗日函數(shù)或哈密頓函數(shù)中不含某廣義坐標(biāo)。 若拉格朗日函數(shù)中不含某廣義坐標(biāo)， 則對(duì)應(yīng)于 拉格朗日動(dòng)力學(xué)的廣義動(dòng)量守恒； 若哈密頓函數(shù)中不含某廣義坐標(biāo)， 則對(duì)應(yīng)于哈密頓動(dòng)力學(xué) 的廣義動(dòng)量守恒。 牛頓動(dòng)力學(xué)的動(dòng)量守恒定律， 動(dòng)量矩守恒定律都是廣義動(dòng)量守恒原理對(duì)應(yīng) 的某循環(huán)坐標(biāo)下的特例。 恩西力學(xué)的理論更具有概括性， 廣義動(dòng)量守恒原理具有更普遍的意 義。牛頓力學(xué)研究力學(xué)問題也用到共和能的概念，但其功能關(guān)系動(dòng)能定理，功能原理，機(jī)

22、械能守恒定律等， 只不過提供了力學(xué)體系運(yùn)動(dòng)的某一方面特征， 它的注意力集中于實(shí)際實(shí)現(xiàn)， 而在實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)中， 功能關(guān)系只能給出一個(gè)獨(dú)立的方程不能提供完全的解； 分析力學(xué)則 不然，它不只是注意實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)， 而是以力學(xué)體系的一切可能存在的運(yùn)動(dòng)中挑選出真實(shí) 的運(yùn)動(dòng)， 故分析力學(xué)中的功能關(guān)系指的是一切可能出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)中的功能關(guān)系， 比實(shí)際實(shí)現(xiàn)的 運(yùn)動(dòng)中的功能關(guān)系要豐富的多， 它可以給出一組與力學(xué)體系自由度數(shù)相等的運(yùn)動(dòng)方程， 足以 確定體系的運(yùn)動(dòng)。 如用牛頓力學(xué)中的功能關(guān)系機(jī)械能守恒定律研究拋體運(yùn)動(dòng) （不計(jì)空氣 阻力），只能給出一個(gè)獨(dú)立的方程，不能提供完全的解；而用拉格朗日方程則可以給出與自 由度數(shù)

23、相等的兩個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方程，足以解決其運(yùn)動(dòng)。牛頓力學(xué)機(jī)械能守恒定律中的勢(shì)能對(duì)應(yīng)于所有的勢(shì)力，包括主動(dòng)力和約束反力，而分 析力學(xué)中的拉格朗日函數(shù)或哈密頓函數(shù)中的勢(shì)能只對(duì)應(yīng)于廣義力， 廣義力只包含主動(dòng)力， 故 兩種勢(shì)能不同。再者，分析力學(xué)中哈密頓函數(shù) H 的守恒原理，在非穩(wěn)定的約束情況下 H T2 T0 V 并非機(jī)械能， 成為廣義能量， 只有在穩(wěn)定的約束情況下 H T V 才是機(jī) 械能。故牛頓力學(xué)的機(jī)械能守恒定律要求有勢(shì)力， 而哈密頓函數(shù)的守恒原理要求 H 不顯含 t 且為穩(wěn)定約束， 它們是從不同角度討論機(jī)械能守恒的。 分析力學(xué)的廣義能量守恒比牛頓力學(xué) 的機(jī)械能守恒有著更廣泛的意義。牛頓力學(xué)定律不便

24、于與其它形式的運(yùn)動(dòng)建立直接的聯(lián)系，分析力學(xué)著眼于能量，便于 進(jìn)一步考慮能量的量子化問題，為從經(jīng)典力學(xué)向近代物理學(xué)及其它領(lǐng)域過渡提供了方便的 “跳板”。如哈密頓雅可比方程量子化得到的薛定諤方程，哈密頓正則方程量子化得到 量子力學(xué)的海森堡方程， 經(jīng)典泊松括號(hào)考慮量子化效應(yīng)得到量子力學(xué)的泊松括號(hào)； 哈密頓原 理推廣到量子力學(xué)的變分原理等。 再者， 能量便于與其運(yùn)動(dòng)形式轉(zhuǎn)化， 由于廣義坐標(biāo)概念的 引入使得一系列分析力學(xué)的方程都適用于非力學(xué)體系；另外， 分析力學(xué)是在多維的非歐幾得空間中討論問題的，故分析力學(xué)的理論及方法在物理學(xué)的各領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)代的場(chǎng)論都好似拉格朗日形成的，分析力學(xué)在物理學(xué)中有著重

25、要的地位。最后討論一下哈密頓動(dòng)力學(xué)與拉格朗日動(dòng)力學(xué)的關(guān)系。在處理實(shí)際問題中哈密頓動(dòng)力學(xué)不如拉格朗日動(dòng)力學(xué)方便， 拉格朗日動(dòng)力學(xué)中從拉格朗日函數(shù)可直接寫出力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng) 方程一一拉格朗日方程； 哈密頓動(dòng)力學(xué)中則必須從拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)到哈密頓函數(shù)才可寫出力 學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程一一哈密頓正則方程，從哈密頓正則方程消去廣義動(dòng)量的結(jié)果其實(shí)不過是從另一途徑達(dá)到拉格朗日方程，這樣做的結(jié)果是繞了一個(gè)大圈子。第五章習(xí)題5.1 試用虛功原理解3.1題。5.2 試用虛功原理解 3.4題。5.3 長(zhǎng)度同為L(zhǎng)的輕棒四根，光滑地聯(lián)成一菱形 ABCD。AB、AD兩邊支于同一水平線 上相距為2 a的兩根釘上，bd間則用一輕繩聯(lián)結(jié)

26、， c點(diǎn)上系一重物 W。設(shè)A點(diǎn)上的頂角 為2a，試用虛功原理求繩中張力 T。第5.3題圖5.4 質(zhì)點(diǎn)的重量為w，被約束在豎直圓周2 2 2= 0x y r上，并受一水平斥力 k2x的作用，式中r圓的半徑，k為常數(shù)。試用未定乘數(shù)法求質(zhì)點(diǎn)的平 衡位置及約束反作用力的量值。5.5 在離心節(jié)速器中，質(zhì)量為 m2的質(zhì)點(diǎn)C沿著一豎直軸運(yùn)動(dòng)，而整個(gè)系統(tǒng)則以勻角速AB、BC、CD、DA等的質(zhì)量均可繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)。試寫出此力學(xué)體系的拉氏函數(shù)。設(shè)連桿 不計(jì)。第5.5題圖5.6 試用拉格朗日方程解4.10題。5.7 試用拉格朗日方程解本章補(bǔ)充例題5.3。5.8 一光滑細(xì)管可在豎直平面內(nèi)繞通過其一端的水平軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。

27、管中有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。開始時(shí)，細(xì)管取水平方向，質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為 a，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于管的速度為 v0， 試由拉格朗日方程求質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。5.9設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，受重力作用，被約束在半頂角為的圓錐面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。試以 r ,為廣義坐標(biāo)，由拉格朗日方程求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。第5.9題圖5.10試用拉格朗日方程解2.4題中的a及b。5.11試用拉格朗日方程求3.20題中的 ai及去。5.12均質(zhì)棒AB，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為2a,其A端可在光滑水平導(dǎo)槽上運(yùn)動(dòng)。而棒本身又可在豎直面內(nèi)繞A端擺動(dòng)。如除重力作用外，B端還受有一 水平的力F的作用。試用拉割朗日方程求其運(yùn)動(dòng)微分方程。如擺動(dòng)的角度很小，則又如何？

28、答：2 m x a cos asinFm ax cosa k2Fa cosmga sin如很小，貝UFxam42Fxag3m式中x為任一瞬時(shí) a離疋點(diǎn)O的距離，為任一瞬時(shí)棒與豎直線間所成的角度，k為繞質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑5.13行星齒輪機(jī)構(gòu)如右圖所示.曲柄OA帶動(dòng)行星齒輪U在固定齒輪I上滾動(dòng) .已知曲柄的 質(zhì)量為m，且可認(rèn)為是勻質(zhì)桿.齒輪n的質(zhì)量為 m，半徑為r，且可認(rèn)為是勻質(zhì)圓盤.至 于齒輪I的半徑則為 r.今在曲柄上作用一不變的力矩m .如重力的作用可以忽略不計(jì)，試用拉格朗日方程研究此曲柄的運(yùn)動(dòng).5.14質(zhì)量為m的圓柱體 s放在質(zhì)量為的圓柱體p上作相對(duì)滾動(dòng)，而p則放在粗糙平面上.開始時(shí)此系統(tǒng)是靜

29、止的.若以圓柱體S的重心在任一時(shí)刻的坐標(biāo)為已知兩圓柱的軸都是水平的，且重心在同一豎直面內(nèi)p的重心的初始位置為固定坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則圓柱m 3 m siny ccos試用拉格朗日方程證明之式中c為兩圓柱軸線間的距離，為兩圓柱連心線與豎直向上的直線間的夾角5.15質(zhì)量為m、半徑為a的薄球殼，其外表面是完全粗糙的，內(nèi)表面則完全光滑，放在粗糙水平著上.在球殼內(nèi)放一質(zhì)量為 m、長(zhǎng)為2 a sin 的勻質(zhì)棒設(shè)此系統(tǒng)由靜止開始運(yùn) 動(dòng)，且在開始的瞬間棒在通過球心的豎直平面內(nèi)，兩端都與球殼相接觸，并與水平線成角.試用拉格朗日方程證明在以后的運(yùn)動(dòng)中，此棒與水平線的夾角滿足關(guān)系23m 3 cos.2sin9m cos

30、2 cos2第5.15題圖5.16半徑為r的勻質(zhì)小球，可在一具有水平軸、半徑為r的固定圓柱的內(nèi)表面滾動(dòng).試求圓球平衡位置作微振動(dòng)的方程及其周期.5.17質(zhì)點(diǎn)m 1，其質(zhì)量為 葉，用長(zhǎng)為»的繩子系在固定點(diǎn) o上.在質(zhì)點(diǎn)m 1上，用長(zhǎng)為12 的繩系另一質(zhì)點(diǎn) m2 ，其質(zhì)量為m2.以繩與豎直線所成的角度1與2為廣義坐標(biāo)，求此系統(tǒng)在豎直平面內(nèi)作微振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程.如mi = m2 = m， hT2 = |，試再求出此系統(tǒng)的振動(dòng)周期.5.18在上題中，如雙擺的上端不是系在固定點(diǎn)°上，而是系在一個(gè)套在光滑水平桿上、質(zhì)量為2 m的小環(huán)上，小環(huán)可沿水平桿滑動(dòng).如 葉=m? = m ， I1

31、= 12 = l，試求其運(yùn)動(dòng)方程及其周期.5.19質(zhì)量分別為m1、口 的二原子分子、平衡時(shí)原子間的距離為a，它們的相互作用力是準(zhǔn)彈性的，取二原子的連線為x軸，試求此分子的運(yùn)動(dòng)方程。5.20已知一帶電粒子在電磁場(chǎng)中的拉格朗日函數(shù)l （非相對(duì)論的）為1 2 .L T q qA v mv q qA v2式中v為粒子的速度，m為粒子的質(zhì)量，q為粒子所帶的電荷，為標(biāo)量勢(shì)，a為矢量勢(shì)。試由此寫出它的哈密頓函數(shù)。5.21試寫出自由質(zhì)點(diǎn)在作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系中的哈密頓函數(shù)的表示式。5.22試寫出§ 3.9中拉格朗日陀螺的哈密頓函數(shù)h，并由此求出它的三個(gè)第一積分。5.23試用哈密頓正則方程解 4.10題

32、。5.24半徑為c的勻質(zhì)圓球，自半徑為 b的固定圓球的頂端無初速地滾下，試由哈密頓正則方程求動(dòng)球球心下降的切向加速度。5.25試求由質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量矩 j的笛卡兒分量所組成的泊松括號(hào)。5.26試求由質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量 p和動(dòng)量矩j的笛卡兒分量所組成的泊松括號(hào)。5.27如果 是坐標(biāo)和動(dòng)量的任意標(biāo)量函數(shù)，即ar2 br p cp2，其中a,b,c為常數(shù)，試證 J =0。z5.28半徑為a的光滑圓形金屬絲圈，以勻角速繞豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng)，圈上套著一質(zhì)量為m的小環(huán)。起始時(shí)，小環(huán)自圓圈的最高點(diǎn)無初速地沿著圓圈滑下。當(dāng)環(huán)和圈中心的聯(lián)線與 豎直向上的直徑成角 時(shí)，用哈密頓原理求出小環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程。5.29試用哈密頓原理解

33、 4.10題。5.30試用哈密頓原理求復(fù)擺作微振動(dòng)時(shí)的周期。5.31試用哈密頓原理解 5.9題。5.32試證 q in 1 sin p , P qctgp為一正則變換。 q ，5.33證：變換方程q 2Q帚cosP,p2Q加sinP代表一正則變換，并將正則方?程qH ?,p pH變?yōu)镼 qH_?H 式中12. 2 2,P式中 Hpk q , HPQ25.34如果利用下列關(guān)系把系數(shù)p , q 換為 p , Q :kQq 1 P,Q , p 2 P,Q則當(dāng)q，p 1Q,P時(shí)，這種變換是一正則變換，試證明之。5.35試?yán)谜齽t變換，由正則方程求豎直上拋的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。已知本問題的母函數(shù)U mg 1

34、gQ3 qQ，式中q為確定物體位置的廣義坐標(biāo)，q為變換后新的廣義坐標(biāo)，6g為重力加速度。Fzr5.36試求質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)場(chǎng)V -r中運(yùn)動(dòng)的主函數(shù) S，式中 及F為常數(shù)5.37試用哈密頓-雅科畢偏微分方程求拋射體在真空中運(yùn)動(dòng)的軌道方程。5.38如力學(xué)體系的勢(shì)能 V及動(dòng)能t可用下列二函數(shù)表示：VV1V2VsA1AAsT 12AAAs? ? ?2 2 2B1 q1B2 q2Bs qs式中 V , A , B1,2,s都只是-個(gè)參數(shù)q的函數(shù)，則此力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)問題可用積分法求解，試證明之。5.39試用哈-雅方程求行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道方程。5.40試由5.9.29及5.9.30兩式推證 5.9.31及5.9

35、.32兩式。5.41試求質(zhì)點(diǎn)在庫(kù)侖場(chǎng)和均勻場(chǎng)V FzR的合成場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的住函數(shù)s，以拋物線坐標(biāo)，表示，式中及f是常數(shù)，而R . r2 z （參看圖 1.2.4 ）。5.42劉維定理的另一表達(dá)式是相體積不變定理。這里又有兩種不同的說法：（1）考慮相宇中任何一個(gè)區(qū)域。當(dāng)這區(qū)域的邊界依照正則方程運(yùn)動(dòng)時(shí)，區(qū)域的體積在運(yùn)動(dòng) 中不變。（2）相宇的體積元在正則變換下不變。試分別證明之。第五章習(xí)題解答5.1解如題5.1.1圖ro F /C '/xXC/zmg1題5.1.1圖所唯桿受理想約束，在滿足題意的約束條件下桿的位置可由桿與水平方向夾角 一確定。桿的自由度為1,由平衡條件：Fi ri0mg y =

36、0 即變換方程yc=2rcos sin - _Lsin 二 rsin2n 2 2故yc2r cos 2l cos2代回式即2r cosl cos2因 在約束下是任意的，要使上式成立必須有:rcos21 cos2=04r cos 2 cos又由于cos2r代回式得cos2c22r22r2/ 2 24 c 2r5.2解如題5.2.1圖三球受理想約束，球的位置可以由確定，自由度數(shù)為1,故Xi2r sinl r sinX22r sin1r sinX30yil r cosy2l r cosy3l r cosa2r cos得yi1r siny21r siny31r sin2rsi n -由虛功原理nFir

37、i0i 1故R yiP2 y2P3 y30l r sinl r sinl r sin2r sin 0因在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須31 r sin 2r sin 0又由 x12r cos2r si n3 1 r sinl r cos 得：2r cos1 r cos由可得tan3ta n5.3解如題5.3.1圖,Al產(chǎn)B/CtDlC/l題5.31圖在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。去掉繩代之以力 T， 且視為主動(dòng)力后采用虛功原理， 一確定便可確定ABCD勺位置。因此自由度數(shù) 為1。選為廣義坐。由虛功原理:精品文檔01nFriii 10W ycTb XB TdXd0x

38、Bl sin,xDl sin,yc2l cosa cot取變分得Xbl cos;Xdl cosyc2l sinasin2代入式得：W2l sinaTdl cosl cos2 sin化簡(jiǎn)得又aW 21 sin2 sin2Tl cosTbTd T因 在約束條件下任意，欲使上式成立，須有:W 2l sina .2 sin2Tl cos 0由此得T Wtana 3CSC2l5.4解 自由度s，質(zhì)點(diǎn)位置為x，y由kFix1kFiyXiyi精品文檔i1,由已知得故約束方程聯(lián)立可求得又由于R故或f x, yk2x5.5解如題5.5.1圖x22 x2yxx0yr 或yW2rr2.4x2 y22 r精品文檔z題

39、5.5.1圖按題意僅重力作用，為保守系。因?yàn)橐阎?故可認(rèn)為自由度為.選廣義坐在球面坐標(biāo)系中,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能:Ti1mi22ri2riri sin其中i代表指標(biāo)B，C，D由于roa,所以Tb1D 2m12a2 sin2又由于2 a cos1m22d 2a cosTbTdTcm1dta2 2取Ox為零勢(shì),體系勢(shì)能為:2ga故力學(xué)體系的拉氏函數(shù)為:LTV2 2 2 2m1asin2 2 22m2a sina2 sin22m2a2 sin22m2 cos2m2a2 sin2 2 2ga m-i m2 cos精品文檔5.6解如題561圖.2221平面運(yùn)動(dòng)，一個(gè)自由度題5.6.1圖2選廣義坐標(biāo)為q ，廣義速度

40、3因未定體系受力類型，由一般形式的拉格朗日方程Q丄丄Q dt q q在廣義力代入得：在極坐標(biāo)系下:nWFii 1riQ1Qi0.dt2d2a cos12m2dt十1222T m r r222a cos2dt丄m 4a2 2 cos2 4a2 cos2 a22精品文檔sin0將以上各式代入式得22ma 2ma2 2 2sin ma sin 2ma2 sin 05.7解如題5.7.1圖題5.7.1圖又由于所以1 2mv2x2取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢(shì)面拉氏函數(shù)v2x22x2xx 2axx2a2x22x4a22x2mgy2X mg 4a4a22x mg4amx4a2xmg一2a21x22xx精品文檔mx 14

41、a2mx 1x24a22 mxx2a1代入保守系拉格朗日方程2丄丄0得dt x xmx 12x4a22 xmx 24a22xm x mg 2a2xmx 124ag _Ldt x2mx 12x4a22 xmx 22a代入保守系拉格朗日方程dt xmx 12x4a2mx2- m 2x mg£04a22a5.8解：如圖5.8.1圖.(1) 由于細(xì)管以勻角速 轉(zhuǎn)動(dòng)，因此.=可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的自由度為1.取廣義坐標(biāo)x q .(3)根據(jù)極坐標(biāo)系中的動(dòng)能精品文檔24_m(r22r2 2)丄m(x22取初始水平面為零勢(shì)能面，勢(shì)能V mgxsin( t)拉氏函數(shù)LTV _ m(x222 2 x ) mgx

42、sin( t)wLL2 mx， m x mg sin( t) xx代入拉氏方程得：(5)先求齊次方程的解dL、L小()0dtxxmx m2xmg sin( t)x2x0ttxc_ec2e特解為臭sin(2 2t)故式的通解為x c_e 七c2e 七 sin( t)2在t 0時(shí):a Gc2 xv0gc22聯(lián)立得c_Vo精品文檔C2Vo將G ,C2代回式可得方程的解為:Vo1 Voa 2sin( t)5.9解如題5.9.1圖.第5.9題圖（1）按題意為保守力系，質(zhì)點(diǎn)被約束在圓錐面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，故自有度數(shù)為 2.（2）選廣義坐標(biāo)q1 r， q2.（3）在柱坐標(biāo)系中：T -mr2 r2 2 z22z r c

43、ot1 2 2 2 2,2T m r r r cot2以O(shè)xy面為零勢(shì)能面，貝U：V mgr cot拉氏函數(shù)L TV 1m r2 r2 2 r2cot2- mgr cot 2(4) 因?yàn)長(zhǎng)不顯含，所以 為循環(huán)坐標(biāo)，即dt2 mr常數(shù)對(duì)另一廣義坐標(biāo)mr 2 mg cot mr mr cot2代入保守系拉氏方程g丄丄o dt r r有mr mr cot2 mr 2 mg cot 0得mr mr 2 sin2mg sin cos 0 所以此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為rA2 . 2r r sing sincos0(A為常數(shù))y1X1X2tan所以 12212Tm1X1X1X2tanm2x2225.10解如題

44、5.10.1圖.精品文檔0(1)體系自由度數(shù)為2.(2)選廣義坐標(biāo)q1X1,q2(3)質(zhì)點(diǎn)的速度2V12X1劈的速度故體系動(dòng)能以x面為零勢(shì)面，體系勢(shì)能:其中c2為劈勢(shì)能.拉氏函數(shù)LTV1m1 x12X1X2(4)代入拉格郎日方程得:m x1題5.10.1圖X2.2y1,2V22X2TiT21m x122y11 2m2X22mig(xix2) tanC2tan21m2X22mig x1 x2 tanC2X1L m1x1X1m1 g tanm1XiX22 tan2dtX1X12 2tanm/2 tanm1 g tan精品文檔LX2m1 g tanL, 2m1 x1x2 tanm2x2X2代入拉格郎

45、日方程得m1x1 tan2m2x2 tan2m2X2m1g tan0m2 g sin cosxi2-m2m1 sinm1 g sin cosX2rm2m1 sin5.11解如題5.11.1a2(1)本系統(tǒng)內(nèi)雖有摩擦力,但不做功，故仍是保守系中有約束的平面平行運(yùn)動(dòng),自由度s 1(2) 選取廣義坐標(biāo)q(3) 根據(jù)剛體力學(xué)1 21 212TMvcIcmvB2223 2 22 2Mr 2mr4其中繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量訓(xùn) 2,vCr ,Vb 2vc選Ox為零勢(shì)面，體系勢(shì)能:V C 2mgr其中C為常數(shù).拉氏函數(shù)L T V Mr 2 2 2mr 2 2 2mgr CL2mgr,-3 Mr24mr2代入保守系拉氏方程dt得:2 2Mr 4mr 2mgr 04mg3M 8m ra-ir4mg3M 8ma2 2耳晟對(duì)于物體b，有mgT ma23MmgTmg ma23M 8