第9章數(shù)學問題的非傳統(tǒng)解法選講

1、數(shù)學問題的非傳統(tǒng)解法選講 遺傳算法及其在最優(yōu)化問題中的應用 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其在數(shù)據(jù)擬合中的應用9.1遺傳算法 9.1.1遺傳算法及其在最優(yōu)化問題中的應用 遺傳算法是基于進化論，在計算機上模擬生命進化機制而發(fā)展起來的一門新學科，它根據(jù)適者生存、優(yōu)勝劣汰等自然進化規(guī)則搜索和計算問題的解。 美國 Michigen 大學的 John Holland 于 1975 年提出的。 遺傳算法最優(yōu)化工具箱 MATLAB 7.0的遺傳算法與直接搜索工具箱遺傳算法的基本思想 從一個代表最優(yōu)化問題解的一組初值開始進行搜索，這組解稱為一個種群，這里種群由一定數(shù)量的、通過基因編碼的個體組成，其中每一個個體稱為染色體，不同個體

2、通過染色體的復制、交叉或變異又生成新的個體，依照適者生存的規(guī)則，個體也在一代一代進化，通過若干代的進化最終得出條件最優(yōu)的個體。簡單遺傳算法的一般步驟 選擇 n 個個體構(gòu)成初始種群 ，并求出種群內(nèi)各個個體的函數(shù)值。 設(shè)置代數(shù)為 i=1，即設(shè)置其為第一代。 計算選擇函數(shù)的值，所謂選擇即通過概率的形式從種群中選擇若干個個體的方式。 通過染色體個體基因的復制、交叉、變異等創(chuàng)造新的個體，構(gòu)成新的種群 。 i=i+1，若終止條件不滿足，則繼續(xù)進化。遺傳算法和傳統(tǒng)優(yōu)化算法比較 不同于從一個點開始搜索最優(yōu)解的傳統(tǒng)的最優(yōu)化算法，遺傳算法從一個種群開始對問題的最優(yōu)解進行并行搜索，所以更利于全局最優(yōu)化解的搜索。 遺

3、傳算法并不依賴于導數(shù)信息或其他輔助信息來進行最優(yōu)解搜索。 遺傳算法采用的是概率型規(guī)則而不是確定性規(guī)則，所以每次得出的結(jié)果不一定完全相同，有時甚至會有較大的差異。9.1.2 遺傳算法在求解最優(yōu)化問題中的應用舉例 GAOT 工具箱（目標求最大） bound=xm,xM為求解上下界構(gòu)成的矩陣。a由最優(yōu)解與目標構(gòu)成，b為搜索的最終種群，c中間過程參數(shù)表。 MATLAB 7.0 GA工具箱界面， gatool() 例：繪制目標函數(shù)曲線： ezplot(x*sin(10*pi*x)+2,-1,2)測試不同的初值： f=inline(-x.*sin(10*pi*x)-2,x); v=; for x0=-1:

4、0.8:1.5,1.5:0.1:2 x1=fmincon(f,x0,-1,2); v=v; x0,x1,f(x1);end vv = -1.0000 -1.0000 -2.0000 -0.2000 -0.6516 -2.6508 0.6000 0.6516 -2.6508 1.4000 1.4507 -3.4503 1.5000 0.2540 -2.2520 1.6000 1.6506 -3.6503 1.7000 1.2508 -3.2504 1.8000 1.8505 -3.8503 1.9000 0.4522 -2.4511 2.0000 2.0000 -2.0000編寫函數(shù)：funct

5、ion sol,y=c10mga1(sol,options) x=sol(1); y=x.*sin(10*pi*x)+2;調(diào)用gaopt( )函數(shù) a,b,c,d=gaopt(-1,2,c10mga1); a,ca = 1.85054746606888 3.85027376676810c = 1.0e+002 * 0.01000000000000 0.01644961385548 0.03624395818177 0.02000000000000 0.01652497353988 0.03647414028140 0.16000000000000 0.01850468596975 0.0385

6、0268083951 0.23000000000000 0.01850553961009 0.03850273728228 1.00000000000000 0.01850547466069 0.03850273766768比較： ff=optimset; ff.Display=iter; x0=1.8; x1=fmincon(f,x0,-1,2,ff); f(x1)ans = -3.85027376676808 f(a(1) % 遺傳算法結(jié)果ans = -3.85027376676810 ezplot(x*sin(10*pi*x)+2,-1,20) 改變求解區(qū)間 a,b,c,d=gaopt(

7、-1,20,c10mga1); a,ca = 19.45005206632863 21.45002604650601c = 1.0e+002 * 0.01000000000000 0.17243264358456 0.18858649532480 0.02000000000000 0.19253552639304 0.21133759487918 0.25000000000000 0.19450021530572 0.21450017081177 0.27000000000000 0.19450024961756 0.21450018981219 0.29000000000000 0.1945

8、0055493368 0.21450025935531 1.00000000000000 0.19450052066329 0.21450026046506 ezplot(x*sin(10*pi*x)+2,12,20) 放大區(qū)間 a,b,c,d=gaopt(12,20,c10mga1); a,ca = 19.85005104334383 21.85002552164857c = 1.0e+002 * 0.01000000000000 0.17647930304626 0.19610637643594 0.03000000000000 0.17648091337382 0.19616374074

9、697 0.05000000000000 0.18841858256128 0.202288599115410.21000000000000 0.19850064250944 0.21850023812862 0.23000000000000 0.19850055906254 0.21850025289993 1.00000000000000 0.19850051043344 0.21850025521649 例：求最小值編寫函數(shù)：function sol,f=c10mga3(sol,options) x=sol(1:4); f=-(x(1)+x(2)2-5*(x(3)-x(4)2-(x(2)

10、-2*x(3)4-10*(x(1)-x(4)4; a,b,c,d=gaopt(-1,1; -1 1; -1 1; -1 1,c10mga3); a,ca = -0.0666 0.0681 -0.0148 -0.0154 -0.0002c =1.0000 -0.3061 0.2075 -0.2235 -0.1206 -0.25805.0000 -0.2294 0.2076 0.0352 -0.1217 -0.125393.0000 -0.0666 0.0682 -0.0148 -0.0154 -0.0002100.0000 -0.0666 0.0681 -0.0148 -0.0154 -0.00

11、02 求解區(qū)域太小，有誤差GAOT 的最優(yōu)化函數(shù) 其中：p可給目標函數(shù)增加附加參數(shù), v為精度及顯示控制向量, P0為初始種群, fun1為終止函數(shù)的名稱,默認值maxGenTerm, n為最大的允許代數(shù)。 例：求最小值 tic, xmM=-ones(4,1),ones(4,1)*1000; a,b,c,d=gaopt(xmM,c10mga3,maxGenTerm,2000); a(1:4), dd=c(1:100:end,:); c(end,:), tocans = -0.0049 0.0049 -0.0081 -0.0081dd = 1.0e+009 * 0.0000 0.0000 -0.

12、0000 -0.0000 0.0000 -5.9663 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000elapsed_time = 76.5200描述函數(shù)：matlab7.0function f=c10mga3a(x) f=(x(1)+x(2)2+5*(x(3)-x(4)2+(x(2)-2*x(3)4+10*(x(1)-x(4)4;x=ga(c10mga3a,4) %四個自變量ff=gaoptimset; ff.Generations=2000; ff.PopulationSize=80;ff.CrossoverFcn=crossoverheuris

13、tic; x=ga(c10mga3a,4,ff) f=inline. % 目標函數(shù)描述(x(1)+x(2)2+5*(x(3)-x(4)2+(x(2)-2*x(3)4+10*(x(1)-x(4)4,x) ff=optimset; ff.MaxIter=10000; ff.TolX=1e-7; tic, x=fminsearch(f,10*ones(4,1),ff); toc; x 時間少，精度高elapsed_time = 0.94200000000000ans = 1.0e-006 * 0.03039572499758 -0.03039585246164 -0.75343487601326 -

14、0.75343518285272例：求下面的最優(yōu)化問題 x,y=meshgrid(-1:0.1:3,-3:0.1:3); z=sin(3*x.*y+2)+x.*y+x+y; surf(x,y,z); shading interp % 用光滑曲面表示目標函數(shù)函數(shù)描述：傳統(tǒng)方法 function y=c10mga5(x) y=sin(3*x(1)*x(2)+2)+x(1)*x(2)+x(1)+x(2); x0=1,3; x=fmincon(c10mga5,x0,-1;-3,3;3)x = -1.00000000000000 1.19031291227215函數(shù)描述：function sol,y=c

15、10mga6(sol,options) x=sol(1:2); y=-sin(3*x(1)*x(2)+2)-x(1)*x(2)-x(1)-x(2); xmM=-1 3; -3 3; a,b,c,d=gaopt(xmM,c10mga6,maxGenTerm,500); aa = 2.51604948433614 -3.00000000000000 9.00709500762913遺傳算法優(yōu)化中間結(jié)果（40代即可，無需500代，可用默認100）9.1.3 遺傳算法在有約束最優(yōu)化問題中的應用 不能直接用于有約束最優(yōu)化問題求解 需通過變換處理劃為無約束最優(yōu)化問題 對等式約束可通過等式求解將若干個自變量

16、用其它自變量表示。 不等式約束可用懲罰函數(shù)方法轉(zhuǎn)移到目標函數(shù)中。 仍采用 gaopt() 或 ga() 函數(shù)求解 例：描述函數(shù)：function sol,y=c10mga4(sol,options) x=sol(1:2); x=x(:); x(3)=(6+4*x(1)-2*x(2)/3; y1=-2 1 1*x; y2=-1 1 0*x; if (y19 | y2-4 | x(3) a,b,c=gaopt(-1000 0; -1000 0,c10mga4,maxGenTerm,1000); c=c(1:15:end,:); c(end,:); a,ca = -6.99981015633155

17、-10.99962347934527 28.99905078165773c = 1.0e+003 * 0.00100000000000 -0.32769544124065 -0.20423049398177 -0.10000000000000 0.05900000000000 -0.00146223175991 0 0.00131115879955 0.10200000000000 -0.00416116639726 -0.00666729713459 0.01480583198631 0.84900000000000 -0.00689401645967 -0.01080365682806 0

18、.02847008229837 0.89200000000000 -0.00694511749224 -0.01089232545085 0.02872558746118 0.93200000000000 -0.00698531391213 -0.01097813084259 0.02892656956064 0.96800000000000 -0.00699692906988 -0.01099399300138 0.02898464534940 1.00000000000000 -0.00699981015633 -0.01099962347935 0.02899905078166可用線性規(guī)

19、劃得出更精確的結(jié)果 f=1 2 3; A=-2 1 1; 1 -1 0; B=9; 4; Aeq=4 -2 -3; Beq=-6; x=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,-inf;-inf;0,0;0;inf); xOptimization terminated successfully.ans = -6.99999999999967 -10.99999999999935 0.00000000000000 f*xans = -28.99999999999836 建議求解方法：用 GA 找出全局最優(yōu)解的大致位置,以其為初值調(diào)用最優(yōu)化函數(shù)求精確解。9.2神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其在數(shù)據(jù)擬合中的應用9.

20、2.1神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)知識單個人工神經(jīng)元的數(shù)學表示形式例:常用傳輸函數(shù)曲線 x=-2:0.01:2; y=tansig(x); plot(x,y) x=-2:0.01:2; y=logsig(x); plot(x,y)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖 其中:xm,xM分別為列向量,為各樣本數(shù)據(jù)的最大最小值。 hi為一行向量，各隱層節(jié)點數(shù)。fi每層傳輸函數(shù)，同一層應使用相同的傳輸函數(shù)。例： 考慮一個前饋網(wǎng)絡(luò)，2個隱層，第一個有8各節(jié)點，采用Sigmoid傳輸函數(shù)，第二層節(jié)點個數(shù)應該等于輸出信號的路數(shù)，故節(jié)點數(shù)為1，傳輸函數(shù)為對數(shù)Sigmoid函數(shù)。 net=newff(0,1; -1,5,8,1,tansi

21、g,logsig);3個隱層，1層4個點，線性函數(shù)；2層6個點， Sigmoid函數(shù)；3層1個點， logsig函數(shù)。 net=newff(0,1; -1,5,4 6 1,purelin,tansig,logsig);可用下面的語句格式設(shè)定其它參數(shù)。 net.trainParam.epochs=300; net.trainFcn=trainlm;9.2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓練與泛化 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練函數(shù) X為n*M，n為輸入變量的路數(shù)，M為樣本的組數(shù)，Y為m*M，m為輸出變量的路數(shù)。tr為結(jié)構(gòu)體數(shù)據(jù)，返回訓練的相關(guān)跟蹤信息。Y1和E為輸出和誤差矩陣。 可多次訓練，原加權(quán)矩陣為初值。 目標值曲線函數(shù) 神

22、經(jīng)網(wǎng)絡(luò)泛化例:由前面最小擬合的例子中的數(shù)據(jù)進行曲線擬合，2個隱層，隱層節(jié)點選擇為5。 x=0:.5:10; y=0.12*exp(-0.213*x)+0.54*exp(-0.17*x).*sin(1.23*x); x0=0:0.1:10; y0=0.12*exp(-0.213*x0)+0.54*exp(-0.17*x0).*sin(1.23*x0); net=newff(0,10,5,1,tansig,tansig); net.trainParam.epochs=1000; % 設(shè)置最大步數(shù) net=train(net,x,y); % 訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) net.IW1 net.LW2,1 % 隱層

23、權(quán)值和輸出層權(quán)值ans = 0.4765 -1.9076 0.5784 0.9450 -0.2888 -2.7916 0.3052 -2.9388 0.9780 1.1814可改變求解算法 net=newff(0,10,5,1,tansig,tansig); net.trainParam.epochs=100; net.trainFcn=trainlm; net,b1=train(net,x,y); net=newff(0,10,5,1,tansig,tansig); net.trainParam.epochs=100; net.trainFcn=traincgf; net,b2=train(

24、net,x,y); net=newff(0,10,5,1,tansig,tansig); net.trainParam.epochs=100; net.trainFcn=traingdx; net,b3=train(net,x,y);可改變各層傳輸函數(shù) net=newff(0,10,5,1,tansig,logsig); net.trainParam.epochs=100; net.trainFcn=trainlm; net,b2=train(net,x,y); net=newff(0,10,5,1,logsig,tansig); net,b3=train(net,x,y); net=newf

25、f(0,10,5,1,logsig,logsig); net,b4=train(net,x,y);可改變結(jié)構(gòu)，選擇隱層15個節(jié)點 net=newff(0,10,15,1,tansig,tansig); net.trainParam.epochs=100; net.trainFcn=trainlm; net,b2=train(net,x,y); figure; y1=sim(net,x0); plot(x0,y0,x0,y1,x,y,o)例：二元函數(shù)的擬合 x,y=meshgrid(-3:.6:3, -2:.4:2); x=x(:); y=y(:); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); % 這三個變量均應為行向量 net=newff(-3 3; -2 2,10,10,1,tansig,tansig,tansig); net.trainParam.epochs=1000; net.trainFcn=trainlm; net,b=train(net,x; y,z); % 訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) x2,y2=