全國(guó)中考數(shù)學(xué)題分類匯編點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系無憂資源

1、點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系一選擇題1（2013 白銀，10，3 分）如圖，O 的圓心在定角（0°180°）的角平分線上運(yùn)動(dòng)，且O 與 的兩邊相切，圖中陰影部分的面積 S 關(guān)于O 的半徑 r（r0）變化的函數(shù)圖）考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象；多邊形內(nèi)角與外角；切線的性質(zhì)；切線長(zhǎng)定理；扇形面積的計(jì)算；銳角三角函數(shù)的定義專題：計(jì)算題分析：連接 OB、OC、OA，求出BOC 的度數(shù)，求出 AB、AC 的長(zhǎng)，求出四邊形 OBAC解答：解：連接 OB、OC、OA，圓 O 切 AM 于 B，切 AN 于 C，OBA=OCA=90°，OB=OC=r，AB=ACBOC=360°90

2、°90°=（180）°，AO 平分MAN，BAO=CAO=，AB=AC=，陰影部分的面積是：S 四邊形BACOS 扇形OBC=2×××r=（）r2，r0，S 與 r 之間是二次函數(shù)關(guān)系故選 CABCD2（2013畢節(jié)，15，3 分）在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC=4，點(diǎn) O 為 BC 的中點(diǎn)，以 O 為圓心作O 交 BC 于點(diǎn) M、N，O 與 AB、AC 相切，切點(diǎn)分別為 D、E，則O 的（）3（2013·泰安，13，3 分）如圖，已知 AB 是O 的直徑，AD 切O 于點(diǎn) A，點(diǎn) C 是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不成立的

3、是（）考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；等腰直角三角形分析：首先連接 AO，由切線的性質(zhì)，易得 ODAB，即OD 是ABC 的中位線，繼而解答：解：連接 OA，AB 與O 相切，ODAB，在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC=4，O 為 BC 的中點(diǎn)，AOBC，ODAC，O 為 BC 的中點(diǎn)，OD=AC=2；DOB=45°，MND=DOB=22.5°，故選 A點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、切線長(zhǎng)定理以及等腰直角三角形性質(zhì)此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用A2，22.5°B3，30°C3，22.5°D2，30°點(diǎn)評(píng)：本

4、題主要考查對(duì)切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，三角形和扇形的面積，銳角三角函數(shù)的定義，四邊形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵AOCAEBECBCCDAEABEDACOE考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理專題：計(jì)算題分析：由 C 為弧 EB 的中點(diǎn)，利用垂徑定理的逆定理得出 OC 垂直于 BE，由 AB 為圓的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到 AE 垂直于 BE，即可確定出 OC 與 AE 平行，選項(xiàng) A 正確；由 C 為弧 BE 中點(diǎn)，即弧 BC弧 CE，利用等弧對(duì)等弦，得到 BCEC，選項(xiàng) B 正確；由 AD 為圓的切線，得到 AD 垂直于 O

5、A，進(jìn)而確定出一對(duì)角互余，再由直角三角形 ABE 中兩銳角互余，利用同角的余角相等得到DAEABE，選項(xiàng) C 正確；AC 不一定垂直于 OE，選項(xiàng) D 錯(cuò)誤解答：解：A點(diǎn) C 是的中點(diǎn)，OCBE，AB 為圓 O 的直徑，AEBE，OCAE，本選項(xiàng)正確；，BCCE，本選項(xiàng)正確；BCAD 為圓 O 的切線，ADOA，DAEEAB90°，4（2013·濟(jì)寧，10，3 分）如圖，以等邊三角形 ABC 的 BC 邊為直徑畫半圓，分別交 AB、AC 于點(diǎn) E、D，DF 是圓的切線，過點(diǎn) F 作 BC 的垂線交 BC 于點(diǎn) G若 AF 的長(zhǎng)為 2，則FG 的長(zhǎng)為（）A4BC6D考點(diǎn)：切線

6、的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含 30 度角的直角三角形；勾股定理；圓周角定理專題：計(jì)算題分析：連接 OD，由 DF 為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到 OD 垂直于 DF，根據(jù)三角形 ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到三條邊相等，三內(nèi)角相等，都為 60°，由 OD=OC，得到三角形 OCD 為等邊三角形，進(jìn)而得到 OD 平行與 AB，由 O 為 BC 的中點(diǎn)，得到 D 為AC 的中點(diǎn)，在直角三角形 ADF 中，利用 30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出 AD 的長(zhǎng)，進(jìn)而求出 AC 的長(zhǎng)，即為 AB 的長(zhǎng)，由 ABAF 求出 FB 的長(zhǎng)，在直角三角形 FBG 中，利用30

7、°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出 BG 的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出 FG 的長(zhǎng)解答：解：連接 OD，DF 為圓 O 的切線，ODDF，ABC 為等邊三角形，AB=BC=AC，A=B=C=60°，OD=OC，OCD 為等邊三角形，ODAB，又 O 為 BC 的中點(diǎn)，D 為 AC 的中點(diǎn)，即 OD 為ABC 的中位線，ODAB，DFAB，在 RtAFD 中，ADF=30°，AF=2，AD=4，即 AC=8，F(xiàn)B=ABAF=82=6，在 RtBFG 中，BFG=30°，則根據(jù)勾股定理得：FG=3故選 B點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含 30&

8、#176;直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵5. （2013 杭州 3 分）在一個(gè)圓中，給出下列命題，其中正確的是（）A若圓心到兩條直線的距離都等于圓的半徑，則這兩條直線不可能垂直B若圓心到兩條直線的距離都小于圓的半徑，則這兩條直線與圓一定有 4 個(gè)公共點(diǎn)C若兩條弦所在直線不平行，則這兩條弦可能在圓內(nèi)有公共點(diǎn)D若兩條弦平行，則這兩條弦之間的距離一定小于圓的半徑【】C【】解：A圓心到兩條直線的距離都等于圓的半徑時(shí)，兩條直線可能垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B當(dāng)兩圓經(jīng)過兩條直線的交點(diǎn)時(shí)，圓與兩條直線有三個(gè)交點(diǎn)；C兩條平行弦所在直線沒有交點(diǎn)，故本選項(xiàng)正確；D兩條平行弦之間的距離一定小

9、于直徑，但不一定小于半徑，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤【方法指導(dǎo)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、命題與定理，解題的關(guān)鍵是熟悉直線與圓的位置關(guān)系6（2013省黔東南州，7，4 分）RtABC 中，C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以 C 為圓心，r 為半徑作圓，若圓 C 與直線 AB 相切，則 r 的值為（）7（2013省黔西南州，6，4 分），線段 AB 是O 上一點(diǎn)，CDB=20°，過點(diǎn) C 作O 的切線交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，則E 等于（）考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；圓周角定理分析：連接 OC，由 CE 為圓 O 的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到 OC 垂直于 CE，即三角形 OCEA50&

10、#176;B40°C60°D70°考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系分析：R 的長(zhǎng)即為斜邊 AB 上的高，由勾股定理易求得 AB 的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法，即可求出 r 的值解答：解：RtABC 中，C=90°，AC=3cm，BC=4cm；由勾股定理，得：AB2=32+42=25，AB=5；又AB 是C 的切線，CDAB，CD=R；SABC=ACBC=ABr；r=2.4cm，故選 B點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：切線的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形面積的求法；斜邊上的高即為圓的半徑是本題的突破點(diǎn)A2cmB2.4cmC3cmD4cm8（2013省 ，7，3 分

11、）如圖，CD 是的直徑，弦于點(diǎn) G，直線與相切與點(diǎn) D，則下列結(jié)論中不一定正確的是（）（A）（B）（C）ADBC（D）【】由垂徑定理可知：（A）一定正確。由題可知：，又因?yàn)?，所以，即（B）一定正確。因?yàn)樗鶎?duì)的弧是劣弧，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可知（D）一定正確?！尽緾9 （2013 重慶市(A)，8，4 分）如圖，P 是O 外一點(diǎn)，PA 是O 的切線，PO26cm，PA24cm，則O 周長(zhǎng)為（）A18cmB16cmC20cmD24cm為直角三角形，再由同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的 2 倍，由圓周角CDB 的度數(shù)，求出圓心角COB 的度數(shù)，在直角三角形 OCE 中，利用直角三角形的兩銳角互余

12、，即可求出E 的度數(shù)解答：解：連接 OC，：圓心角BOC 與圓周角CDB 都對(duì)弧 BC，BOC=2CDB，又CDB=20°，BOC=40°，又CE 為圓O 的切線，OCCE，即OCE=90°，則E=90°40°=50°故選 A點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，以及直角三角形的性質(zhì)，遇到直線與圓相切，連接圓心與切點(diǎn)，利用切線的性質(zhì)得垂直，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)來解決問題熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵】C【】根據(jù)切線的性質(zhì)，連接 OA，得OAP90°，所以 OA10cm，則O 的周長(zhǎng)為 20cm【方法指導(dǎo)】本題考查切線的性

13、質(zhì)、勾股定理、圓的周長(zhǎng)計(jì)算由于圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，所以經(jīng)常用以提供直角三角形，從而引入勾股定理進(jìn)行計(jì)算在上面計(jì)算時(shí)，要學(xué)會(huì)運(yùn)用平方差公式簡(jiǎn)便計(jì)算，即10cm10（2013 重慶，8，4 分）如圖，AB 是O 的切線，B 為切點(diǎn)，AO 與O 交于點(diǎn) C，若BAO=40°，則OCB 的度數(shù)為（）OCAB（第 8 題圖）A40°B50°C65°D75°【】C】AB 是O 的切線， OBA=90° ， O=90° BAO=90° 40°=50°，又OB=OC，OCB=OCB=（180°

14、;50°）=65°，故選 C【方法指導(dǎo)】本題考查了對(duì)切線的性質(zhì)的掌握，考差了直角三角形兩銳角互余和等腰三角形的性質(zhì)圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，可以把直線和圓的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題解決；根據(jù)同圓的半徑相等，可以建立等腰三角形解答問題二填空題，O 的半徑為 1，1（2013省咸寧市，1，3 分）如圖，在 RtAOB 中，OA=OB=3點(diǎn) P 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作O 的一條切線 PQ（點(diǎn) Q 為切點(diǎn)），則切線 PQ 的最小值為22（2013 黑 龍 江 省 哈 爾 濱 市 ，17）如圖，直線 AB 與O 相切于點(diǎn) A，AC、CD 是O 的兩條弦，且 C

15、DAB，若O 的半徑為，CD=4，則弦 AC 的長(zhǎng)為 考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理。切線的性質(zhì)?？键c(diǎn)：切線的性質(zhì)；等腰直角三角形分析：首先連接 OP、OQ，根據(jù)勾股定理知 PQ2=OP2OQ2，當(dāng) OPAB 時(shí)，線段 OP最短，即線段 PQ 最短，然后由勾股定理即可求得解答：解：連接 OP、OQPQ 是O 的切線，OQPQ；根據(jù)勾股定理知 PQ2=OP2OQ2，當(dāng) POAB 時(shí)，線段 PQ 最短，在 RtAOB 中，OA=OB=3，AB=OA=6，OP=3，PQ=2故為：2點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當(dāng) POAB 時(shí)，線段

16、 PQ 最短是關(guān)鍵分析：本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用切線的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵。解答：連接 OA,作 OECD 于 E,易得 OAAB,CE=DE=2，由于 CDAB 得 EOA 三點(diǎn)共線，連 OC,在直角三角形 OEC 中,由勾股定理得 OE=,從而 AE=4，再直角三角形 AEC中由勾股定理得 AC=3（2013 江蘇蘇州，16，3 分）如圖，AB 切O 于點(diǎn) B，OA2，OAB30°，弦 BCOA，劣弧的弧長(zhǎng)為（結(jié)果保留 ）【】【】分析：如圖，連接 OB，OC，由 AB 為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到AOB 為直角三角形，根據(jù) 30

17、°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由 OA 求出 OB 的長(zhǎng)，且AOB 為 60°，再由 BC 與 OA 平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到OBC 為 60°，又 OB=OC，得到 BOC 為等邊三角形，確定出BOC 為 60°，利用弧長(zhǎng)公式即可求出劣弧 BC 的長(zhǎng)解：如圖，連接 OB，OCAB 為圓 O 的切線，ABO=90°在 RtABO 中，OA=2，OAB=30°，OB=1，AOB=60°BCOA，OBC=AOB=60°又 OB=OC，BOC 為等邊三角形BOC=60°則劣弧的弧長(zhǎng)為 l=所以應(yīng)填或【

18、方法指導(dǎo)】此題考查了切線的性質(zhì)，含 30 度直角三角形的性質(zhì)，以及弧長(zhǎng)公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵【易錯(cuò)警示】弄不清楚弧長(zhǎng)公式，或求不出圓心角4（2013 湖南永州，13，3 分）如圖，已知ABC 內(nèi)接于O，BC 是O 的直徑，MN 與O 相切，切點(diǎn)為 A，若MAB=30°則B=度【】60°.】連接 OA，則 OAMN，由于MAB=30°，所以O(shè)AB=90°-30°=60°，而 OA=OB，所以B=OAB=60°.【方法指導(dǎo)】有切線連半徑，這是解決有關(guān)切線計(jì)算或證明的常用的輔助線。三解答題1（2013 江西，22，

19、9 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn) O 為圓心，半徑為 2 的圓與 y軸交于點(diǎn) A，點(diǎn) P（4，2）是O 外一點(diǎn)，連接 AP，直線 PB 與O 相切于點(diǎn) B，交 x 軸于點(diǎn) C（1） 證明 PA 是O 的切線；（2） 求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（3）求直線 AB 的式【思路分析】（1） 點(diǎn) A 在圓上，要證 PA 是圓的切線，只要證 PAOA（OAP=90°）即可，由 A、P 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等APx 軸，所以有OAP+AOC=180°得OAP=90°；（2） 要求點(diǎn) B 的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的意義，就是要求出點(diǎn) B 到 x 軸、y 軸的距離，自然想到構(gòu)造 RtOBD，由 P

20、B 又是O 的切線，得 RtOAPOBP，從而得OPC 為等腰三角形，在 RtPCE 中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出關(guān)于 CE 的方程可求出 CE、OC 的長(zhǎng)，OBC 的三邊的長(zhǎng)知道了，就可求出高 BD,再求 OD 即可求得點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn) A、點(diǎn) B 的坐標(biāo)用待定系數(shù)法可求出直線 AB 的解（1）證明：依題意可知，A（0，2）A（0，2），P（4，2），APx 軸，OAP=90°，且點(diǎn) A 在O 上，PA 是O 的切線；式（2）解法一：連接 OP，OB，作 PEx 軸于點(diǎn) E，BDx 軸于點(diǎn) D，PB 切O 于點(diǎn) B，OBP=90°，即OB

21、P=PEC又OB=PE=2，OCB=PECOBCPECOC=PC（或證 RtOAPOBP，再得到 OC=PC 也可）設(shè) OC=PC=x，則有 OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在 RtPCE 中，PC2=CE2+PE2，x2=(4x)2+22，解得 x=，BC=CE=4=，OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，BD=OD=，由點(diǎn) B 在第四象限可知 B（，）；解法二：連接 OP，OB，作 PEx 軸于點(diǎn) E，BDy 軸于點(diǎn) D，PB 切O 于點(diǎn) B，OBP=90°即OBP=PEC又OB=PE=2，OCB=PECOB

22、CPECOC=PC（或證 RtOAPOBP，再得到 OC=PC 也可）設(shè) OC=PC=x，則有 OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在 RtPCE 中，PC2=CE2PE2,x2=(4x)2+22，解得 x=，BC=CE=4=，BDx 軸，COB=OBD，又OBC=BDO=90°，OBCBDO， =即=，BD=，OD=，由點(diǎn) B 在第四象限可知 B（，）；（3）設(shè)直線 AB 的式為 y=kx+b，由 A（0，2），B（，），；直線 AB 的式為 y=2x+2解得【方法指導(dǎo)】從整體把握?qǐng)D形，找全等、相似、等腰三角形；求線段的長(zhǎng)要從局部入手，若是直角三角形則用勾股定理，若是相似則用比例

23、式求，要掌握一些求線段長(zhǎng)的常用思路和方法.2（2013 白銀，27，10 分）如圖，在O 中，半徑 OC 垂直于弦 AB，垂足為點(diǎn) E（1） 若 OC=5，AB=8，求 tanBAC；（2） 若DAC=BAC，且點(diǎn) D 在O 的外部，判斷直線 AD 與O 的位置關(guān)系，并加以證明=，3（2013 蘭州，27，10 分）已知，如圖，直線 MN 交O 于 A，B 兩點(diǎn)，AC 是直徑，AD平分CAM 交O 于 D，過 D 作 DEMN 于 E（1） 求證：DE 是O 的切線；（2） 若 DE=6cm，AE=3cm，求O 的半徑考點(diǎn)：切線的判定；勾股定理；垂徑定理專題：計(jì)算題分析：（1） 根據(jù)垂徑定理由

24、半徑 OC 垂直于弦 AB，AE=AB=4，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出 OE=3，則 EC=2，然后在 RtAEC 中根據(jù)正切的定義到 tanBAC 的值；（2） 根據(jù)垂徑定理得到 AC 弧=BC 弧，再利用圓周角定理到AOC=2BAC，解答：解：（1）半徑 OC 垂直于弦 AB，AE=BE=AB=4，在 RtOAE 中，OA=5，AE=4，OE=3，EC=OCOE=53=2，在 RtAEC 中，AE=4，EC=2，tanBAC=；（2）AD 與O 相切理由如下：半徑 OC 垂直于弦 AB，AC 弧=BC 弧，AOC=2BAC，DAC=BAC，AOC=BAD，AOC+OAE=90°，BAD

25、+OAE=90°，OAAD，點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點(diǎn)且與半徑垂直的直線為圓的切線也考查了勾股定理以及垂徑定理、圓周角定理考點(diǎn)：切線的判定；平行線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)專題：幾何綜合題分析：（1）連接 OD，根據(jù)平行線的判斷方法與性質(zhì)ODE=DEM=90°，且 D 在O 上，故 DE 是O 的切線（2）由直角三角形的特殊性質(zhì)，AD 的長(zhǎng)，又有ACDADE根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求得圓的半徑解答：（1）證明：連接 ODOA=OD，OAD=ODA（1 分）OAD=DAE，ODA=DAE（2 分）DOMN（3 分）

26、DEMN，ODE=DEM=90°即 ODDE（4 分）D 在O 上，DE 是O 的切線（5 分）（2）解：AED=90°，DE=6，AE=3，（6 分）連接 CDAC 是O 的直徑，ADC=AED=90°（CAD=DAE，7 分）ACDADE（8 分）則 AC=15（cm）（9 分）O 的半徑是 7.5cm（10 分）點(diǎn)評(píng)：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，線段等量關(guān)系的證明及線段長(zhǎng)度的求法，要求學(xué)生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題，17，7 分）如圖，O 經(jīng)過菱形 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn) A、C、D，且與4（2013AB 相切于點(diǎn) A（1）

27、求證：BC 為O 的切線；（2）求B 的度數(shù)考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)分析：（1） 連結(jié) OA、OB、OC、BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得 OAAB，即OAB=90°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得 BA=BC，然后根據(jù)“SSS”可判斷ABCCBO，則BOC=OAC=90°，于是可根（2） 由ABCCBAOB=COB，則AOB=COB，由于菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，據(jù)切線的判定方法即到結(jié)論；所由以于點(diǎn)CBO=C在DB，D則上，OB利C用=三O角DC形，外所角以性質(zhì)BO有C=B2OOC=BCO，D根C+據(jù)OBCODC，+則OBBCO=C9=0°2可O計(jì)D算C出，解答：（1）證明：連

28、結(jié) OA、OB、OC、BD，如圖，AB 與切于 A 點(diǎn)，OAAB，即OAB=90°，四邊形 ABCD 為菱形，BA=BC，在ABC 和CBO 中5（2013 廣西欽州，25，10 分）如圖，在 RtABC 中，A=90°，O 是 BC 邊上一點(diǎn)，以O(shè) 為圓心的半圓與 AB 邊相切于點(diǎn) D，與 AC、BC 邊分別交于點(diǎn) E、F、G，連接 OD，已知B（D1=）2，求AEO=3的，半ta徑nOBOD；D=（2）求證：AE 是O 的切線；（3）求圖中兩部分陰影面積的和考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算，ABCCBO，BOC=OAC=90°，OCBC，BC 為O 的切

29、線；（2）解：ABCCBO，AOB=COB，四邊形 ABCD 為菱形，BD 平分ABC，CB=CD，點(diǎn) O 在 BD 上，BOC=ODC+OCD，而 OD=OC，ODC=OCD，BOC=2ODC，而 CB=CD，OBC=ODC，BOC=2OBC，BOC+OBC=90°，OBC=30°，ABC=2OBC=60°點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑也考查了全等三角形相似的判定與性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)6（2013安順，25，10 分）如圖，AB 是O 直徑，D 為O 上一點(diǎn)，AT 平分BAD交（1）O求于證點(diǎn)

30、：TC，T過為T 作O 的AD切的線垂；線交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) C專題：計(jì)算題分析：（1） 由 AB 為圓 O 的切線，利用切線的性質(zhì)得到 OD 垂直于 AB，在直角三角形 BDO中，利用銳角三角函數(shù)定義，根據(jù) tanBOD 及BD 的值，求出 OD 的值即可；（2） 連接 OE，由 AE=OD=3，且 OD 與 AE 平行，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行得到 OE 與 AD 平行，再由 DA 與 AE垂直得到 OE 與 AC 垂直，即證；（3） 陰影部分的面積由三角形 BOD 的面積+三角形 ECO 的面積扇形 DOF 的面積扇形 EOG 的面積，求出

31、即可解答：解：（1）AB 與圓 O 相切，ODAB，在 RtBDO 中，BD=2，tanBOD=，OD=3；（2） 連接 OE，AE=OD=3，AEOD，四邊形 AEOD 為平行四邊形，ADEO，DAAE，OEAC，又OE 為圓的半徑，AC 為圓 O 的切線；（3） ODAC，=，即=，AC=7.5，EC=ACAE=7.53=4.5，S 陰影=SBDO+SOECS 扇形BODS 扇形EOG=×2×3+×3×4.5=3+=點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，扇形的面積，銳角三角函數(shù)定義，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本

32、題的關(guān)鍵（2）若O 半徑為 2，CT=，求 AD 的長(zhǎng)考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理分析：（1）連接 OT，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，以及直角三角形的兩個(gè)銳角互余，證得 CTOT，（2）證明四邊形 OTCE 為矩形，求得 OE 的長(zhǎng)，在直角OAE 中，利用勾股定理即可求解CT 為O 的切線；解答：（1）證明：連接 OT，OA=OT，OAT=OTA， 又AT 平分BAD，DAT=OAT，DAT=OTA，OTAC，（3 分）又CTAC，CTOT，CT 為O 的切線；（5 分）（2）解：過O 作 OEAD 于 E，則E 為 AD 中點(diǎn)，又CTAC，OECT，四邊形 OTCE 為矩形，（7 分

33、）CT=OE=，又OA=2，在 RtOAE 中，AD=2AE=2（10 分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定以及性質(zhì)，證明切線時(shí)可以利用切線的判定定理把問題轉(zhuǎn)化為證明垂直的問題1.點(diǎn) P 是 CD 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且 AP=AC（1）求證：PA 是O 的切線；（2）若 PD=，求O 的直徑7（2013宜昌，21，10 分）半徑為 2cm 的與O 邊長(zhǎng)為 2cm 的正方形 ABCD 在水平直線 l 的同側(cè)，O 與 l 相切于點(diǎn) F，DC 在 l 上（1）過點(diǎn) B 作的一條切線 BE，E 為切點(diǎn)填空：如圖 1，當(dāng)點(diǎn)A 在O 上時(shí)，EBA 的度數(shù)是 30°；考點(diǎn)：切線的判定分析：（1） 連接

34、 OA，根據(jù)圓周角定理求出AOC，再由 OA=OC 得出ACO=OAC=30°，再由 AP=AC 得出P=30°，繼而由OAP=AOCP，出 OAPA，從而得 出結(jié)論；（2） 利用含 30°的直角三角形的性質(zhì)求出 OP=2OA，出 OPPD=OD，再由 PD=，出O 的直徑解答：（1）證明：連接 OA，B=60°，AOC=2B=120°，又OA=OC，OAC=OCA=30°，又AP=AC，P=ACP=30°，OAP=AOCP=90°，OAPA，PA 是O 的切線（2）在 RtOAP 中，P=30°，PO=

35、2OA=OD+PD，又OA=OD，PD=OA，O 的直徑為點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定及圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定定理、圓周角定理及含 30°直角三角形的性質(zhì)，如圖 2，當(dāng) E，A，D 三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求線段 OA 的長(zhǎng)；（2）以正方形 ABCD 的邊 AD 與 OF 重合的位置為初始位置，向左移動(dòng)正方形（圖 3），至邊 BC 與 OF 重合時(shí)結(jié)束移動(dòng)，M，N 分別是邊 BC，AD 與O 的公共點(diǎn)，求扇形 MON 的面積的范圍考點(diǎn)：圓的綜合題分析：（1） 根據(jù)切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出EBA 的度數(shù)即可；利用切線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)得

36、出=，進(jìn)而求出 OA 即可；（2） 設(shè)MON=n°，得出 S 扇形MON=×22=n 進(jìn)而利用函數(shù)增減性分析當(dāng) N，M，A 分別與 D，B，O 重合時(shí)，MN 最大，當(dāng) MN=DC=2 時(shí)，MN 最小，分別求出即可解答：解：（1）半徑為 2cm 的與O 邊長(zhǎng)為 2cm 的正方形 ABCD 在水平直線 l 的同側(cè)當(dāng)點(diǎn) A 在O 上時(shí)，過點(diǎn) B 作的一條切線 BE，E 為切點(diǎn)，OB=4，EO=2，OEB=90°，EBA 的度數(shù)是：30°；如圖 2，直線 l 與O 相切于點(diǎn) F，OFD=90°，正方形 ADCB 中，ADC=90°，OFAD，

37、OF=AD=2，四邊形 OFDA 為平行四邊形，OFD=90°，平行四邊形 OFDA 為矩形，DAAO，正方形 ABCD 中，DAAB，O，A，B 三點(diǎn)在同一條直線上；EAOB，OEB=AOE，EOABOE，=，OE2=OAOB，OA（2+OA）=4，解得：OA=1±，OA0，OA=1；方法二：在 RtOAE 中，cosEOA= =， 在 RtEOB 中，cosEOB=，=，解得：OA=1±，OA0，OA=1；方法三：OEEB，EAOB，由射影定理，得 OE2=OAOB，OA（2+OA）=4，解得：OA=1±，OA0，OA=1；（2）如圖 3，設(shè)MON=

38、n°，S 扇形MON=×22=n（cm2），S 隨 n 的增大而增大，MON 取最大值時(shí)，S 扇形MON 最大，當(dāng)MON 取最小值時(shí)，S 扇形MON 最小，過 O 點(diǎn)作 OKMN 于 K，MON=2NOK，MN=2NK，在 RtONK 中，sinNOK=，NOK 隨 NK 的增大而增大，MON 隨 MN 的增大而增大，當(dāng) MN 最大時(shí)MON 最大，當(dāng) MN 最小時(shí)MON 最小，當(dāng) N，M，A 分別與 D，B，O 重合時(shí)，MN 最大，MN=BD，MON=BOD=90°，S 扇形MON 最大=（cm2），當(dāng) MN=DC=2 時(shí)，MN 最小，ON=MN=OM，NOM=6

39、0°，S 扇形MON 最小=（cm2），S 扇形MON故為：30°8. （2013 湖南長(zhǎng)沙，22，8 分）如圖，ABC 中，以 AB 為直徑的O 交 AC 于點(diǎn) D，DBC=BAC.（1）求證：BC 是O 的切線；（2）若O 的半徑為 2，BAC=30°，求圖中陰影部分的面積.9 . （2013 江蘇南京，25，8 分） 如圖，AD 是圓 O 的切線，切點(diǎn)為 A，AB 是圓 O的弦。過點(diǎn) B 作 BC/AD，交圓 O 于點(diǎn) C，連接 AC，過點(diǎn) C 作 CD/AB，交 AD 于點(diǎn) D。連接 AO 并延長(zhǎng)交 BC于點(diǎn) M，交過點(diǎn) C 的直線于點(diǎn) P，且Ð

40、BCP=ÐACD。AODBMPC（第 22 題）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和函數(shù)增減性等知識(shí)，得出扇形 MON 的面積的最大值與最小值是解題關(guān)鍵(1) 判斷直線 PC 與圓 O 的位置關(guān)系，并說明理由：(2) 若 AB=9，BC=6，求 PC 的長(zhǎng)。：解法一：(1) 直線 PC 與圓 O 相切。如圖j，連接 CO 并延長(zhǎng)，交圓 O 于點(diǎn) N，連接 BN。AB/CD，ÐBAC=ÐACD。ÐBAC=ÐBNC，ÐBNC=ÐACD。ÐBCP=ÐACD，ÐBNC=Ð

41、;BCP。CN 是圓 O 的直徑，ÐCBN=90°。NAODBMÐ=90°，Ð=90°。ÐPCO=90°，即 PCOC。又點(diǎn) C 在圓 O 上，直線 PC 與圓 O 相切。CjP(4 分)(2) AD 是圓 O 的切線，ADOA，即ÐOAD=90°。BC/AD，ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即 OMBC。MC=MB。AB=AC。在 RtAMC 中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= 1 BC=3，2由勾股定理，得 AM=

42、AC 2-MC 2 = 92-32 =6 2 。設(shè)圓 O 的半徑為 r。在 RtOMC 中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6 2 -r，MC=3，OC=r，278由勾股定理，得 OM 2+MC 2=OC 2，即(6 2 -r)2+32=r2。解得 r=在OMC 和OCP 中，ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，2 。276 2 -2827OMCM 3 OMCOCP。 OC =，即=PC 。PC2827PC=。(8 分)7解法二：(1)直線 PC 與圓 O 相切。如圖k，連接 OC。AD 是圓 O 的切線，ADOA，即

43、8;OAD=90°。BC/AD，ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即 OMBC。MC=MB。AB=AC。ÐMAB=ÐMAC。ADCkPÐBAC=2ÐMAC。又ÐMOC=2ÐMAC，ÐMOC=ÐBAC。AB/CD，ÐBAC=ÐACD。ÐMOC=ÐACD。又ÐBCP=ÐACD，ÐMOC=ÐBCP。ÐMOC+ÐOCM=90°，ÐBCP+ÐO

44、CM=90°。ÐPCO=90°，即 PCOC。又點(diǎn) C 在圓 O 上，直線 PC 與圓 O 相切。(2) 在 RtAMC 中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= 1 BC=3，2OBM由勾股定理，得 AM= AC 2-MC 2 = 92-32 =6 2 。設(shè)圓 O 的半徑為 r。在 RtOMC 中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6 2 -r，MC=3，OC=r，278由勾股定理，得 OM 2+MC 2=OC 2，即(6 2 -r)2+32=r2。解得 r=在OMC 和OCP 中，ÐOMC=ÐO

45、CP，ÐMOC=ÐCOP，2 。276 2 -2827OMCM 3 OMCOCP， OC =，即PC 。PC2827PC=。(8 分)710（2013·聊城，24，?分）如圖，AB 是O 的直徑，AF 是O 切線，CD 是垂直于 AB的弦，垂足為 E，過點(diǎn) C 作 DA 的平行線與 AF 相交于點(diǎn) F，CD，BE2求證：（1） 四邊形 FADC 是菱形；（2） FC 是O 的切線考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；菱形的判定分析：（1）首先連接 OC，由垂徑定理，可求得 CE 的長(zhǎng)，又由勾股定理，可求得半徑 OC的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得 AD 的長(zhǎng)，即ADCD，易證得四邊形

46、FADC 是平行四邊形，繼而證得四邊形 FADC 是菱形；（2）首先連接 OF，易證得AFOCFO，繼而可證得 FC 是O 的切線解答：證明：（1）連接 OC，AB 是O 的直徑，CDAB，CEDECD×4設(shè) OCx，BE2，OEx2，在 RtOCE 中，OC2OE2CE2，x2（x2）2（2OAOC4，OE2，AE6，2，）2，解得：x4，ADCD，在 RtAED 中，AD4AF 是O 切線，AFAB，CDAB，AFCD，CFAD，四邊形 FADC 是平行四邊形，F(xiàn)ADC 是菱形；（2）連接 OF，四邊形 FADC 是菱形，F(xiàn)AFC，在AFO 和CFO 中，AFOCFO（SSS），

47、FCOFAO90°，即 OCFC，點(diǎn) C 在O 上，F(xiàn)C 是O 的切線點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用11（2013·鞍山，23，6 分）如圖，點(diǎn) A、B 在O 上，直線 AC 是O 的切線，OCOB，連（1接）AABC交與OCCD于相點(diǎn)等嗎D ？問什么？（2）若 AC2，AO，求 OD 的長(zhǎng)度考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；勾股定理專題：計(jì)算題分析：（1）ACCD，理由為：由 AC 為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到OAC 為直角，再由 OC 與 OB 垂直，得到BOC 為

48、直角，由 OAOB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，（2）由 ODCOD+DC，DCAC，表示出 OC，在直角三角形 OAC 中，利用勾股定理即再可利求用出對(duì)OD頂?shù)慕情L(zhǎng)相等及等角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊即證；解答：解：（1）ACCD，理由為：OAOB，OABB，直線 AC 為圓 O 的切線，OACOAB+DAC90°，OBOC，BOC90°，ODB+B90°，ODBCDA，CDA+B90°，DACCDA，則 ACCD；（2）在 RtOAC 中，ACCD2，AO，OCOD+DCOD+2，根據(jù)勾股定理得：OC2AC2+AO2，即（OD+2）2

49、22+（）2，解得：OD1點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵12（2013東營(yíng)，20，8 分）如圖為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，若，過點(diǎn)作直線垂直于射線 AM，垂足為點(diǎn) DM DlCAEBO（第 20 題圖）（1）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若直線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，的半徑為 3，并且求的長(zhǎng)分析：（1）連接 CO，根據(jù)，證明 DCAD，再根據(jù)，得，從而證明 CD 是O 的切線（2）由題意得，則在中，（1）解：直線 CD 與O 相切1 分M DlCAEBO（第 20 題圖）理由如下：連接 OCOA=OC，BAC=OCABAC=CAMOCA=

50、CAMOCAM3 分CDAMOCCD直線與相切5 分（2）解：COE=2CAB=在 RtCOE 中，OC=3，CE=OC·tan=8 分點(diǎn)撥：要證明過圓上已知點(diǎn)的直線是圓的切線時(shí)，只需連結(jié)圓心和這點(diǎn)，再證過已知點(diǎn)的半徑垂直于這條直線即可13. 201312 分）如圖，已知O 的半徑為 4，CD 是O 的直徑，AC 為O 的弦，B為（1C）D求延證長(zhǎng)：線A上B的為一點(diǎn)O，的切A線BC；=30°，且 AB=AC（2） 求弦 AC 的長(zhǎng)；（3） 求圖中陰影部分的面積【思路分析】（1）如圖，連接 OA，欲證明 AAB 為O 的切線，只需證明 ABOA 即可；（2） 如圖，連接 AD，構(gòu)建直角ADC，利用“30 度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”求得 AD=4，然后利用勾股定理來求弦 AC 的長(zhǎng)度；（3） 根據(jù)圖示知，圖中陰影部分的面積=扇形 ADO 的面積+AOC 的面積【】（1）證明：如圖，連接 OAAB=AC，ABC=30°，ABC=ACB=30°AOB=2ACB=60