第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其基本性質(zhì)(代初稿)

1、1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1第九章第九章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù) 第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其基本性質(zhì) 第二節(jié)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性判別第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第六節(jié)第六節(jié) 冪級(jí)數(shù)在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用冪級(jí)數(shù)在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2 無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中不可缺少的組成部分之一無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中不可缺少的組成部分之一, 它是表它是表 無(wú)窮級(jí)數(shù)包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)兩大類(lèi)無(wú)窮級(jí)數(shù)包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)兩大類(lèi), 常

2、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)示函數(shù)、研究函數(shù)的性態(tài)、進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種有效工具示函數(shù)、研究函數(shù)的性態(tài)、進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種有效工具, 它無(wú)論對(duì)數(shù)學(xué)理論本身它無(wú)論對(duì)數(shù)學(xué)理論本身, 還是對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用都具有重要的作用還是對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用都具有重要的作用.是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基礎(chǔ), 因此因此, 本章先介紹常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本章先介紹常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 然后介紹然后介紹函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最重要的一類(lèi)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最重要的一類(lèi)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)3機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 及其基本性質(zhì)及其基本性質(zhì) 一一. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二. . 無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)無(wú)窮級(jí)

3、數(shù)的基本性質(zhì)4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1. 了解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念了解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念, 掌握級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義掌握級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義, 并能利用定義判別一些級(jí)數(shù)的斂散性并能利用定義判別一些級(jí)數(shù)的斂散性.2. 理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)5機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5一一. .常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念012nAaaaa1. 引例引例6機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 612nuuu 稱(chēng)為稱(chēng)為(常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù), 簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)(常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). 記為記為1,nnu 即即121nnnuuuu 來(lái)的表達(dá)式來(lái)的表達(dá)

4、式定義定義1 將數(shù)列將數(shù)列12,nuuu的各項(xiàng)依次用加號(hào)連接起的各項(xiàng)依次用加號(hào)連接起2. 級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)的定義其中第其中第 n 項(xiàng)項(xiàng)nu叫做級(jí)數(shù)的叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng)一般項(xiàng)或通項(xiàng).7機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7例如例如, 11111123nnn是一個(gè)級(jí)數(shù)是一個(gè)級(jí)數(shù), 稱(chēng)為稱(chēng)為調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù), 其通項(xiàng)為其通項(xiàng)為1.n中前中前 n 項(xiàng)的和項(xiàng)的和, 稱(chēng)為級(jí)數(shù)稱(chēng)為級(jí)數(shù)121nnnuuuu 取級(jí)數(shù)取級(jí)數(shù)1nnu 的的前前 n 項(xiàng)項(xiàng) 部分和部分和, 記為記為,nS121nniniSuuuu 即即8機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 8 11,Su 212,Suu 3123,Suuu 12,n

5、nSuuu部分和數(shù)列部分和數(shù)列nS1nnu 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)n的增大的增大,中相加的項(xiàng)也逐漸增多中相加的項(xiàng)也逐漸增多. 所以當(dāng)所以當(dāng)趨于趨于隨著隨著nSnn的極限就反映了無(wú)窮多項(xiàng)的和于是考察級(jí)數(shù)的極限就反映了無(wú)窮多項(xiàng)的和于是考察級(jí)數(shù)nS無(wú)窮大時(shí)無(wú)窮大時(shí), 是否有極限來(lái)研究無(wú)窮級(jí)數(shù)是否收斂是否有極限來(lái)研究無(wú)窮級(jí)數(shù)是否收斂的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列nS9機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 9121nnnuuuuS 1nnu 則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂收斂, 1nnu 的的和和, 記為記為并把并把 S 稱(chēng)為級(jí)數(shù)稱(chēng)為級(jí)數(shù) 定義定義2 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu nSlimnnS的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列的極限的極限存在存在,

6、即即 limnnSS1nnu nS如果部分和數(shù)列如果部分和數(shù)列沒(méi)有極限沒(méi)有極限, 則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散.即即1nnu 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)沒(méi)有和沒(méi)有和.10機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1012nnnnRSSuu 即即,nR 注注1 當(dāng)級(jí)數(shù)當(dāng)級(jí)數(shù)1nnu nSS收斂時(shí)收斂時(shí), 稱(chēng)為該級(jí)數(shù)的稱(chēng)為該級(jí)數(shù)的余項(xiàng)余項(xiàng), 記為記為級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)1nnu 收斂的充要條件是收斂的充要條件是 lim0.nnR11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11解解例例1 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 11(21)(21)nnn的斂散性的斂散性. 于是于是 11(1).221n 1112311351157 112121nn111.+1 3

7、3 52n-1)(2n+1)nS（ 1(21)(21)nunn 111(),2 2121nn由于由于12機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 12從而從而limnnS故故 111,(21)(21)2nnn 11lim1221nn 1,2即該級(jí)數(shù)收斂即該級(jí)數(shù)收斂, 其和為其和為 .1213機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 13例例2 討論討論幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)(或等比級(jí)數(shù)或等比級(jí)數(shù))1211nnnaqaaqaqaq 的斂散性的斂散性. 若收斂若收斂, 則求出其和則求出其和.(其中其中a0, q 稱(chēng)為級(jí)數(shù)的公比稱(chēng)為級(jí)數(shù)的公比, 1nnuaq 為它的一般項(xiàng)為它的一般項(xiàng))21(1)1nnnaqSaaqa

8、qaqq 解解 當(dāng)當(dāng)1q 時(shí)時(shí), 部分和部分和(1)limlim11nnnnaqaSqq (1) 當(dāng)當(dāng)1q 時(shí)時(shí),14機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 14(1)limlim1nnnnaqSq limnnS從而從而不存在不存在.0nS 當(dāng)當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),0nS 0nS 當(dāng)當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí), ,nSa 1q (2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),1q (3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),limlimnnnSna 1q (i) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 則則1q ,aaaaaa ,aaaaaa (ii) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 則級(jí)數(shù)變?yōu)閯t級(jí)數(shù)變?yōu)?5機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 15故原級(jí)數(shù)發(fā)散故原級(jí)數(shù)發(fā)散. 幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù) 12

9、11nnnaqaaqaqaq 綜上所述有如下結(jié)論綜上所述有如下結(jié)論:1aq 當(dāng)當(dāng)1q 1aq 當(dāng)當(dāng)1q 時(shí)時(shí), 收斂于收斂于當(dāng)當(dāng)1q 時(shí)時(shí), 發(fā)散發(fā)散.16機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 162lim()0nnnSSSS 證證 反證法反證法 . 例例3 證明調(diào)和級(jí)數(shù)證明調(diào)和級(jí)數(shù)11111123nnn 發(fā)散發(fā)散.2111lim()lim()122nnnnSSnnn 而而11nn 收斂收斂, 設(shè)級(jí)數(shù)的和為設(shè)級(jí)數(shù)的和為S, 則有則有若若1lim22nnn1lim0.nn 與前者矛盾與前者矛盾. 故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散. 但但111lim()222nnnn17機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

10、束 17二二. 無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)且且111().nnnnnnnuvuv1212()()nnuuuvvv 證證lim,limnnnnSaTb 且且令令1122()()()nnnWuvuvuv 則則11nnnnuv 和和1()nnnuv 性質(zhì)性質(zhì)1 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 收斂收斂, 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂也收斂, 111,() nnnnnnnuvuv分別為分別為,nnnS T W部分和部分和,設(shè)設(shè)18機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 18nnST注注2 兩個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)必須收斂才能相加兩個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)必須收斂才能相加, 而不象有限項(xiàng)情形而不象有限項(xiàng)情形, 11( 1)n 注注3 此定理反之不一定

11、成立此定理反之不一定成立. 例如級(jí)數(shù)例如級(jí)數(shù)收斂收斂,逐項(xiàng)相加總是可行的逐項(xiàng)相加總是可行的.發(fā)散發(fā)散.111( 1)與與nn 但級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)limlim()nnnnnWSTab 所以所以111 ()nnnnnnnuvuv 故故19機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 191nncu 也收斂于也收斂于ca.1nnu 性質(zhì)性質(zhì)2 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)收斂于收斂于 a, c 是一個(gè)常數(shù)是一個(gè)常數(shù), 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)證證11nnnnucu 與與的的部部分分和和,nnST分別為分別為設(shè)設(shè)limlimnnnnTcSca 1 nncuca 即即則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)1nncu 收斂于收斂于ca.12nnnTcucucucS 20機(jī)動(dòng)

12、 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 20一個(gè)不為零的數(shù)一個(gè)不為零的數(shù), 所得級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)具有相同的斂散性所得級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)具有相同的斂散性.注注 1,nnnnTcSu由由知知 若若發(fā)散發(fā)散, 則則limnnS 不存在不存在, 從而當(dāng)從而當(dāng)11122與與nnnna 例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)都是收斂的都是收斂的.注注4不存在不存在. 這表明這表明: 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以limnnT c0時(shí)時(shí), 必有必有21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 21 證證 因在級(jí)數(shù)中增加或去掉有限項(xiàng)因在級(jí)數(shù)中增加或去掉有限項(xiàng), 總可通過(guò)在該級(jí)數(shù)前總可通過(guò)在該級(jí)數(shù)前設(shè)在級(jí)數(shù)設(shè)在級(jí)數(shù)121 mmm nuuuuu 中

13、去掉前中去掉前m項(xiàng)項(xiàng), 則得級(jí)數(shù)則得級(jí)數(shù)12 mmm nuuu,mnST令兩級(jí)數(shù)的部分和分別為令兩級(jí)數(shù)的部分和分別為的斂散性的斂散性. 性質(zhì)性質(zhì)3 設(shè)設(shè) k 為任意正整數(shù)為任意正整數(shù), 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)1nnu 1nn ku 與與有相同有相同增加或去掉有限項(xiàng)來(lái)實(shí)現(xiàn)增加或去掉有限項(xiàng)來(lái)實(shí)現(xiàn), 故只須證在級(jí)數(shù)前增加或去掉有故只須證在級(jí)數(shù)前增加或去掉有限項(xiàng)而其斂散性不變限項(xiàng)而其斂散性不變.22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 22注注5 級(jí)數(shù)中前面增加或去掉有限項(xiàng)級(jí)數(shù)中前面增加或去掉有限項(xiàng), 級(jí)數(shù)的斂散性不變級(jí)數(shù)的斂散性不變.2124100.nn 例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)11241002nn 和級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)前

14、者是收斂的前者是收斂的, 后者是發(fā)散的后者是發(fā)散的.nm nmTSS 于是于是limlim()nm nmmnnTSSSS 若若 收斂于收斂于S, 則則mS故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) 收斂收斂.1nn ku limnnT若若 發(fā)散發(fā)散, 則則不存在不存在, 故故 也發(fā)散也發(fā)散.1nnu 1nn ku 23機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 23性質(zhì)性質(zhì)4 收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原來(lái)的和收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原來(lái)的和. 1112nvuuu 112212nnnvuuu 1112kkkknnnvuuu 證證 設(shè)設(shè)121 nnnnuSuuu 的的部部分分和和是是且且收斂于收斂于S則設(shè)級(jí)數(shù)按某一

15、規(guī)律加括號(hào)所得的新級(jí)數(shù)為則設(shè)級(jí)數(shù)按某一規(guī)律加括號(hào)所得的新級(jí)數(shù)為1kkv 且且*121kkkknnvSvvvS 的的部部分分和和是是則則24機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 24*limlimkkknknSSS 故故 ,knk 而而由由知知limkknnSS 即即,kkn 若若必必有有仍為收斂級(jí)數(shù)仍為收斂級(jí)數(shù).注注6 此定理表明收斂級(jí)數(shù)適合結(jié)合律此定理表明收斂級(jí)數(shù)適合結(jié)合律. 即收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)即收斂級(jí)數(shù)加括號(hào) 注注7 其逆否命題為其逆否命題為 “若加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散若加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原則原級(jí)數(shù)也發(fā)散級(jí)數(shù)也發(fā)散.”注注8 發(fā)散級(jí)數(shù)加括號(hào)后級(jí)數(shù)有可能收斂發(fā)散級(jí)數(shù)加括號(hào)后級(jí)數(shù)有可能收

16、斂, 即即“加括號(hào)后所加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂成的級(jí)數(shù)收斂, 原級(jí)數(shù)不一定收斂原級(jí)數(shù)不一定收斂.”25機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 25是收斂的是收斂的.()()()0aaaaaa 注注9 收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后不一定收斂.1( 1)naaaaa 例級(jí)數(shù)例級(jí)數(shù)是發(fā)散級(jí)數(shù)是發(fā)散級(jí)數(shù). 但將相鄰的兩項(xiàng)加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)但將相鄰的兩項(xiàng)加括號(hào)后所得級(jí)數(shù) 注注10 各項(xiàng)均非負(fù)的級(jí)數(shù)各項(xiàng)均非負(fù)的級(jí)數(shù), 無(wú)論加括號(hào)還是去括號(hào)無(wú)論加括號(hào)還是去括號(hào), 都不都不影響其斂散性影響其斂散性.26機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 261limlimnnnnSSSS 且且1nnnuSS 由由1li

17、mlim()0nnnnnuSS 有有 lim0(),nnu若若包包括括不不存存在在情情形形lim0nnu 性質(zhì)性質(zhì)5 (收斂的必要條件收斂的必要條件) 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu 收斂收斂, 則則證證 設(shè)設(shè)121 nnnnuSuuu 的的部部分分和和是是且且收斂于收斂于S則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)1nnu 發(fā)散發(fā)散.注注11 其逆否命題為其逆否命題為:則則27機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 27注注12lim0nnu 僅是收斂的必要條件而非充分條件僅是收斂的必要條件而非充分條件. 即即“收斂級(jí)數(shù)通項(xiàng)必有收斂級(jí)數(shù)通項(xiàng)必有l(wèi)im0,nnu 但通項(xiàng)極限為零的級(jí)數(shù)卻不但通項(xiàng)極限為零的級(jí)數(shù)卻不一定收斂一定收斂”.例例4

18、 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 11112nnn的斂散性的斂散性.所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) 11112nnn發(fā)散發(fā)散.解解 111limlim 102nnnnune 因?yàn)橐驗(yàn)?8機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 28例例5 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù)111(1) ; (2) 1nnnnnn 的斂散性的斂散性.所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù)11nnn 發(fā)散發(fā)散.解解lim1,1nnn (1) 因?yàn)橐驗(yàn)樗约?jí)數(shù)所以級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散.11nnn 1lim1,nnn (2) 因?yàn)橐驗(yàn)?9機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2929機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 作業(yè)：作業(yè)：P100 1 , 2, 330機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 30內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的概念, 級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義