第一節(jié) 優(yōu)化設計的數學模型

1、1河北工程大學機械工程系機械優(yōu)化設計學習參考書學習參考書 陳繼平陳繼平. 現代設計方法現代設計方法. 華中科技大學出版社華中科技大學出版社(教材教材) 孫靖民孫靖民. 機械優(yōu)化設計機械優(yōu)化設計. 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社 陳立周陳立周. 機械優(yōu)化設計方法機械優(yōu)化設計方法. 冶金工業(yè)出版社冶金工業(yè)出版社 劉惟信劉惟信. 機械最優(yōu)化設計機械最優(yōu)化設計. 清華大學出版社清華大學出版社 陳秀寧陳秀寧.機械優(yōu)化設計機械優(yōu)化設計.杭州：浙江大學出版社杭州：浙江大學出版社目目 錄錄 緒論緒論 第一章第一章 優(yōu)化設計優(yōu)化設計的數學模型的數學模型 第二章第二章 優(yōu)化設計數學基礎優(yōu)化設計數學基礎 第三章第三章

2、 一維搜索法一維搜索法 第四章第四章 無約束優(yōu)化方法無約束優(yōu)化方法 第第六六章章 約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法緒緒 論論一、優(yōu)化相關概念一、優(yōu)化相關概念二、機械的傳統(tǒng)設計到優(yōu)化設計二、機械的傳統(tǒng)設計到優(yōu)化設計三、機械優(yōu)化設計的發(fā)展三、機械優(yōu)化設計的發(fā)展四、機械優(yōu)化設計的應用概況四、機械優(yōu)化設計的應用概況5 優(yōu)化設計是在現代計算機廣泛應用的基礎上發(fā)展起來的一項優(yōu)化設計是在現代計算機廣泛應用的基礎上發(fā)展起來的一項新技術。是根據最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或新技術。是根據最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或“自動探自動探索索”方式，在計算機上進行的半自動或自動設計，以選出在現有方式，在計算機上進行的半

3、自動或自動設計，以選出在現有工程條件下的最佳設計方案的一種現代設計方法。工程條件下的最佳設計方案的一種現代設計方法。 1-1 1-1 緒論緒論1.1.優(yōu)化、優(yōu)化設計和機械優(yōu)化設計的含義優(yōu)化、優(yōu)化設計和機械優(yōu)化設計的含義例如，古代人類在生產和生活活動例如，古代人類在生產和生活活動中經過無數次摸索認識到，在使用中經過無數次摸索認識到，在使用同樣數量和質量材料的條件下，圓同樣數量和質量材料的條件下，圓截面的容器比其他任何截面的容器截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器的強度也最大。的強度也最大?！皟?yōu)化優(yōu)化”yuhuyuhuoptimalize op

4、timalize 采取一定措施使變得優(yōu)秀采取一定措施使變得優(yōu)秀所謂優(yōu)化所謂優(yōu)化, , 是指在一定條件下力求獲得最優(yōu)結果的思想與觀念。是指在一定條件下力求獲得最優(yōu)結果的思想與觀念。 金山詞霸的解釋金山詞霸的解釋CNKICNKI的解釋的解釋來源：優(yōu)化一語來自英文來源：優(yōu)化一語來自英文OptimizationOptimization，其本意是尋優(yōu)，其本意是尋優(yōu)的過程，最優(yōu)化可簡寫為的過程，最優(yōu)化可簡寫為OptOpt；優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數取極大值或極小優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數取極大值或極小值的過程。值的過程。例如例如, , 在右圖中，求得一維函在右圖中，求得一維函數數 f(x)

5、 最小值的條件為：若最小值的條件為：若取取 x*，則，則 f(x) 取得最小值取得最小值 f(x*)。目的目的：是為了在完成某一任務是為了在完成某一任務時所作的努力最少、付出最小，時所作的努力最少、付出最小，而使其收益最大、效果最好。而使其收益最大、效果最好。f fx*x xf(x*)0f(x)f(x)優(yōu)化優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和趨勢是萬物演化的自然選擇和趨勢一、優(yōu)化相關概念一、優(yōu)化相關概念 優(yōu)化設計優(yōu)化設計：優(yōu)化原理與方法，在科學、工程和社會：優(yōu)化原理與方法，在科學、工程和社會的實際問題中的應用，即為優(yōu)化設計。的實際問題中的應用，即為優(yōu)化設計。 機械優(yōu)化設計機械優(yōu)化設計：即把機械設計與優(yōu)化

6、設計理論及方：即把機械設計與優(yōu)化設計理論及方法相結合，借助電子計算機，自動尋找實現預期目法相結合，借助電子計算機，自動尋找實現預期目標的最優(yōu)設計方案和最佳設計參數。標的最優(yōu)設計方案和最佳設計參數。H Hh hb b例如，要求設計一個如右例如，要求設計一個如右下圖所示的防洪堤壩。為下圖所示的防洪堤壩。為了能防洪水，高度必須足了能防洪水，高度必須足以保證洪峰到來時，洪水以保證洪峰到來時，洪水不會漫入堤岸；堤壩的強不會漫入堤岸；堤壩的強度足以保證巨浪不會沖垮度足以保證巨浪不會沖垮堤壩。同時希望得到一個堤壩。同時希望得到一個省時省力省經費的設計方省時省力省經費的設計方案。案。 獲得設計方案的過程是一個

7、決策的過程，也是優(yōu)化的過程。獲得設計方案的過程是一個決策的過程，也是優(yōu)化的過程。 優(yōu)化過程就是求解一個付出最小、獲得效益最大的方案。優(yōu)化過程就是求解一個付出最小、獲得效益最大的方案。機械設計方法機械設計方法 傳統(tǒng)設計方法傳統(tǒng)設計方法 基于手工勞動或簡易計算工具。方法低效，一般只能獲得基于手工勞動或簡易計算工具。方法低效，一般只能獲得一個一個可行可行的設計方案。的設計方案。 傳統(tǒng)機械設計理論與方法包括疲勞壽命理論、強度理論、傳統(tǒng)機械設計理論與方法包括疲勞壽命理論、強度理論、振動理論振動理論 常憑經驗、試算、校核等方法。常憑經驗、試算、校核等方法。 現代優(yōu)化方法現代優(yōu)化方法 基于計算機的應用，設計

8、過程包括：基于計算機的應用，設計過程包括： 從實際問題中抽象出數學模型；從實際問題中抽象出數學模型； 選擇合適的優(yōu)化方法求解數學模型。選擇合適的優(yōu)化方法求解數學模型。 特點：以人機配合或自動搜索方式進行，能從特點：以人機配合或自動搜索方式進行，能從“所有的所有的”的的可行方案中找出可行方案中找出“最優(yōu)的最優(yōu)的”的設計方案。的設計方案。二、機械的傳統(tǒng)二、機械的傳統(tǒng)設計設計到優(yōu)化設計到優(yōu)化設計傳統(tǒng)設計到優(yōu)化設計傳統(tǒng)設計到優(yōu)化設計人工試湊和定性分析的比較過人工試湊和定性分析的比較過程，被動的重復分析產品的性程，被動的重復分析產品的性能能經驗設計、近似計算、經驗設計、近似計算、一般的安全壽命一般的安全

9、壽命可行設計可行設計。設計問題設計問題數學模型數學模型優(yōu)化途徑，優(yōu)選設計參數優(yōu)化途徑，優(yōu)選設計參數設計方案設計方案方案分析方案分析最優(yōu)？最優(yōu)？否否是是最 優(yōu) 的 設最 優(yōu) 的 設計方案計方案圖圖2: 2: 現代優(yōu)化設計過程框圖現代優(yōu)化設計過程框圖利用電子計算機主動的利用電子計算機主動的設計產品參數，獲得最設計產品參數，獲得最優(yōu)方案優(yōu)方案理論設計、理論設計、精確計算、精確計算、優(yōu)化設計優(yōu)化設計優(yōu)化設計的一般過程優(yōu)化設計的一般過程 1 1）建立確切反映問題實質并適合于優(yōu)化計算的優(yōu)）建立確切反映問題實質并適合于優(yōu)化計算的優(yōu)化設計數學模型；化設計數學模型； 2 2）選擇恰當的優(yōu)化方法，編寫計算機語言程

10、序；）選擇恰當的優(yōu)化方法，編寫計算機語言程序； 3 3）求得數學模型的最優(yōu)解。）求得數學模型的最優(yōu)解。 機械優(yōu)化設計機械優(yōu)化設計是使某項機械設計在規(guī)定的各種是使某項機械設計在規(guī)定的各種設計限制條件下，優(yōu)選設計參數，使某項或幾設計限制條件下，優(yōu)選設計參數，使某項或幾項設計指標獲得最優(yōu)值。項設計指標獲得最優(yōu)值。工程設計上的工程設計上的“最優(yōu)值最優(yōu)值”(Optimum)(Optimum)或或“最佳值最佳值”系指在滿足多種設計目標和約束條件下所獲得的系指在滿足多種設計目標和約束條件下所獲得的最令人滿意和最適宜的值。最令人滿意和最適宜的值。工程案例工程案例1、利用一化工優(yōu)化系統(tǒng)，對一化工廠進行設計。根據

11、給、利用一化工優(yōu)化系統(tǒng)，對一化工廠進行設計。根據給定數據，在定數據，在16小時內，進行小時內，進行16000個個可行性設計的選擇，可行性設計的選擇，從中選擇一成本最低、產量最大的方案，并給出必須的從中選擇一成本最低、產量最大的方案，并給出必須的精確數據。精確數據。 傳統(tǒng)設計：一組工程師，一年時間，僅僅傳統(tǒng)設計：一組工程師，一年時間，僅僅3個方案，且個方案，且并非最優(yōu)。并非最優(yōu)。2、美國、美國BELL飛機公司利用優(yōu)化方法解決飛機公司利用優(yōu)化方法解決450個設計變量個設計變量的大型結構優(yōu)化問題。一個機翼質量減輕的大型結構優(yōu)化問題。一個機翼質量減輕35%。3、波音公司，在、波音公司，在747的機身設

12、計中受到了減輕質量、縮的機身設計中受到了減輕質量、縮短生產周期、降低成本的效果。短生產周期、降低成本的效果。4、武漢鋼鐵公司從德國引進的、武漢鋼鐵公司從德國引進的1700薄板軋機，經該公司薄板軋機，經該公司自主優(yōu)化后，就多盈利幾百萬馬克。自主優(yōu)化后，就多盈利幾百萬馬克。優(yōu)化設計的作用（優(yōu)點）：優(yōu)化設計的作用（優(yōu)點）： 使傳統(tǒng)機械設計中，求解可行解上升為求解最使傳統(tǒng)機械設計中，求解可行解上升為求解最優(yōu)解成為可能；優(yōu)解成為可能； 使傳統(tǒng)機械設計中，性能指標的校核可以不再使傳統(tǒng)機械設計中，性能指標的校核可以不再進行；進行； 使機械設計的部分評價，由定性改定量成為可使機械設計的部分評價，由定性改定量成

13、為可能；能； 大大提高了產品的設計質量，從而提高了產品大大提高了產品的設計質量，從而提高了產品的質量；的質量； 提高生產效率，降低產品開發(fā)周期；提高生產效率，降低產品開發(fā)周期； 機械優(yōu)化設計的發(fā)展機械優(yōu)化設計的發(fā)展1 1、古典優(yōu)化思想、古典優(yōu)化思想: : 17 17世紀，利用微分學和變分學的解析世紀，利用微分學和變分學的解析解法。解法。 僅能解決簡單的極值問題僅能解決簡單的極值問題2 2、經典優(yōu)化方法：、經典優(yōu)化方法：2020世紀世紀4040年代，數學規(guī)劃方法年代，數學規(guī)劃方法 可求解包含等式約束和不等式約束的復雜優(yōu)化問題。可求解包含等式約束和不等式約束的復雜優(yōu)化問題。3 3、現代優(yōu)化設計：、

14、現代優(yōu)化設計： 20世紀世紀80年代出現許多現代優(yōu)化算法：模擬退火算法、年代出現許多現代優(yōu)化算法：模擬退火算法、遺傳算法、人工神經網絡算法、蟻群優(yōu)化算法等。遺傳算法、人工神經網絡算法、蟻群優(yōu)化算法等。 并從狹義優(yōu)化設計（零部件參數）轉向廣義優(yōu)化設計并從狹義優(yōu)化設計（零部件參數）轉向廣義優(yōu)化設計（面向產品的全系統(tǒng)、設計全過程、全壽命周期）。例如（面向產品的全系統(tǒng)、設計全過程、全壽命周期）。例如,針對涉及多領域復雜系統(tǒng)的多學科設計優(yōu)化。針對涉及多領域復雜系統(tǒng)的多學科設計優(yōu)化。線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃和混合離線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃和混合離散規(guī)劃等。散規(guī)劃等。優(yōu)化設計

15、從無約束優(yōu)化設計從無約束有約束優(yōu)化問題；連續(xù)有約束優(yōu)化問題；連續(xù)變量變量離散變量；確定型離散變量；確定型隨機型模型；單目標優(yōu)化隨機型模型；單目標優(yōu)化多目標優(yōu)化。多目標優(yōu)化。三、機械優(yōu)化設計的發(fā)展三、機械優(yōu)化設計的發(fā)展 機構運動參數的優(yōu)化設計是機械優(yōu)化設計發(fā)機構運動參數的優(yōu)化設計是機械優(yōu)化設計發(fā)展較早的領域。國內近年來才開始重視，但發(fā)展較早的領域。國內近年來才開始重視，但發(fā)展迅速，在機構綜合、機械的通用零部件的設展迅速，在機構綜合、機械的通用零部件的設計、工藝設計方面都得到應用。計、工藝設計方面都得到應用。 在機械設計方面的應用較晚，從國際范圍來說，在機械設計方面的應用較晚，從國際范圍來說，是在

16、上世紀是在上世紀6060年代后期才得到迅速發(fā)展的。年代后期才得到迅速發(fā)展的。機械優(yōu)化設計的應用概況機械優(yōu)化設計的應用概況 優(yōu)化設計本身存在的問題和某些發(fā)展趨勢主優(yōu)化設計本身存在的問題和某些發(fā)展趨勢主要有以下幾方面：要有以下幾方面：四、機械優(yōu)化設計的應用概況四、機械優(yōu)化設計的應用概況1、目前優(yōu)化設計多數還局限在參數最優(yōu)化這種數值量優(yōu)、目前優(yōu)化設計多數還局限在參數最優(yōu)化這種數值量優(yōu)化問題。結構型式的選擇還需進一步研究解決；化問題。結構型式的選擇還需進一步研究解決；2、優(yōu)化設計這門新技術在傳統(tǒng)產業(yè)中普及率還不高；、優(yōu)化設計這門新技術在傳統(tǒng)產業(yè)中普及率還不高；3、把優(yōu)化設計與、把優(yōu)化設計與CAD、專家

17、系統(tǒng)結合起來是優(yōu)化設計、專家系統(tǒng)結合起來是優(yōu)化設計發(fā)展的趨勢之一。發(fā)展的趨勢之一。 優(yōu)化設計的思想廣泛的應用于工業(yè)、農業(yè)、商優(yōu)化設計的思想廣泛的應用于工業(yè)、農業(yè)、商業(yè)和國防等各部門，解決諸如生產規(guī)劃、經濟管業(yè)和國防等各部門，解決諸如生產規(guī)劃、經濟管理、能源利用、產品設計、工藝過程設計、控制理、能源利用、產品設計、工藝過程設計、控制系統(tǒng)等方面的最優(yōu)化問題，它是促進技術進步和系統(tǒng)等方面的最優(yōu)化問題，它是促進技術進步和國民經濟發(fā)展的一種有效方法。國民經濟發(fā)展的一種有效方法。18機械優(yōu)化設計應用實例機械優(yōu)化設計應用實例 美國波音飛機公司對大型機翼用美國波音飛機公司對大型機翼用138138個設計變量個設

18、計變量進行結構優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦進行結構優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用用1010個變量進行優(yōu)化設計，使成本降低約個變量進行優(yōu)化設計，使成本降低約10%10%。例如，工廠在安排生產計劃時，首先要考慮在現有原材料、設備、人力等資源條件下，如何安排生產，使產品的產值最高，或產生的利潤最大；又如，在多級例如，工廠在安排生產計劃時，首先要考慮在現有原材料、設備、人力等資源條件下，如何安排生產，使產品的產值最高，或產生的利潤最大；又如，在多級火箭發(fā)射過程中，如何控制燃料的燃燒速率，從而用火箭所載的有限燃料使火箭達到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引導車輛的流向

19、，火箭發(fā)射過程中，如何控制燃料的燃燒速率，從而用火箭所載的有限燃料使火箭達到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引導車輛的流向，盡量減少各個交叉路口的阻塞和等待時間、提高各條道路的車輛通行速度，在現有道路條件下取得最大的道路通行能力。盡量減少各個交叉路口的阻塞和等待時間、提高各條道路的車輛通行速度，在現有道路條件下取得最大的道路通行能力。LPD 17LPD 17級兩棲船塢運輸艦首艦級兩棲船塢運輸艦首艦 圣安東尼奧圣安東尼奧 號號 19體積小體積小如何合理分如何合理分配傳動比配傳動比節(jié)能節(jié)能曲柄均方根扭矩曲柄均方根扭矩最小最小本課程的目的和任務本課程的目的和任務 1、了解和基本掌握機

20、械優(yōu)化設計的基本知識；、了解和基本掌握機械優(yōu)化設計的基本知識； 2、初步具有應用機械優(yōu)化設計的基本理論和基本、初步具有應用機械優(yōu)化設計的基本理論和基本方法解決簡單工程實際問題的能力；方法解決簡單工程實際問題的能力；第一章第一章 優(yōu)化設計優(yōu)化設計的數學模型的數學模型一、優(yōu)化設計問題引例一、優(yōu)化設計問題引例二、優(yōu)化設計問題的數學模型二、優(yōu)化設計問題的數學模型三、優(yōu)化設計問題的基本解法三、優(yōu)化設計問題的基本解法 一、引例一、引例 現用薄板制造一體積為現用薄板制造一體積為100m3，長度不小于，長度不小于5m的無上蓋的的無上蓋的立方體貨箱，要求該貨箱的鋼板耗費量最少，試確定貨箱的長、立方體貨箱，要求該

21、貨箱的鋼板耗費量最少，試確定貨箱的長、寬、高尺寸。寬、高尺寸。分析：分析：（1）目標：用料最少，即貨箱的表面積最小。）目標：用料最少，即貨箱的表面積最小。（2）設計參數確定：長）設計參數確定：長x1 、寬、寬x2 、高、高x3；（3）設計約束條件：）設計約束條件： （a）體積要求）體積要求 （b）長度要求）長度要求貨箱的優(yōu)化設計貨箱的優(yōu)化設計數學模型數學模型設計參數：設計參數：設計目標：設計目標：)(2min313221xxxxxxS321,xxx約束條件：約束條件：1000053211332211xxxhxgxgxg最大產值生產資源分配問題最大產值生產資源分配問題已知：某工廠生產已知：某工廠

22、生產A和和B兩種產品，兩種產品，A產品單位價格為產品單位價格為PA萬元，萬元，B產品單位價格為產品單位價格為PB萬元。每生產一個單位萬元。每生產一個單位A產品產品需消耗煤需消耗煤aC噸，電噸，電aE度，度，aL個工時；每生產一個單位個工時；每生產一個單位B產品需消耗煤產品需消耗煤bC噸，電噸，電bE度，度，bL個工時?，F有可利用生個工時?，F有可利用生產資源煤產資源煤C噸，電噸，電E度，度，L個工時，欲找出其最優(yōu)分配方個工時，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產值最大。案，使產值最大。（1）目標：產值的表達式；）目標：產值的表達式；（2）設計參數確定：）設計參數確定：A產品產品xA、B產品產品xB （3）

23、設計約束條件：）設計約束條件： （a）生產資源煤約束；）生產資源煤約束； （b）生產資源電約束；）生產資源電約束； （c）生產資源工時約束；）生產資源工時約束；分析：分析：數學模型數學模型設計參數：設計參數：設計目標：設計目標：BBAAxPxPPmaxBAxx ,約束條件：約束條件：0, 0BABLALBEAEBCACxxLxbxaExbxaCxbxa已知：傳動比已知：傳動比i，轉速，轉速n，傳動功率，傳動功率P，大小齒輪的材，大小齒輪的材料，設計該齒輪副，使其重量最輕。料，設計該齒輪副，使其重量最輕。直齒圓柱齒輪副的優(yōu)化設計直齒圓柱齒輪副的優(yōu)化設計（1）目標：圓柱齒輪的體積）目標：圓柱齒輪的

24、體積V或重量或重量w最??；最小；（2）設計參數確定：模數）設計參數確定：模數m、齒寬、齒寬b、齒數齒數z1（3）設計約束條件：）設計約束條件： （a）大、小齒輪滿足彎曲強度要求；）大、小齒輪滿足彎曲強度要求； （b）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求；）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求； （c）齒寬系數要求；）齒寬系數要求； （d）最小齒數要求）最小齒數要求分析：分析：數學模型數學模型設計參數：設計參數：設計目標：設計目標：)()(4max2121mizmzbWbzm,1約束條件：約束條件：017)(00001112211zmzbddHHFFFF齒寬系數二、優(yōu)化設計問題的數學模型二、優(yōu)化設計問題的數學模型

25、優(yōu)化設計的優(yōu)化設計的數學模型數學模型是描述實際優(yōu)化問題的設計是描述實際優(yōu)化問題的設計內容、變量關系、有關設計條件和意圖的數學表達內容、變量關系、有關設計條件和意圖的數學表達式，它反映了物理現象各主要因素的式，它反映了物理現象各主要因素的內在聯系內在聯系，是，是進行優(yōu)化設計的基礎。進行優(yōu)化設計的基礎。優(yōu)化設計數學模型的三大要素：優(yōu)化設計數學模型的三大要素： 設計變量設計變量 約束條件約束條件 目標函數目標函數 實際問題表達成的函數類型很多：實際問題表達成的函數類型很多： 確定型、不確定型函數；確定型、不確定型函數； 線形、非線形（二次、高次、超越）函數。線形、非線形（二次、高次、超越）函數。 變

26、量類型也很多：變量類型也很多： 連續(xù)、離散、隨機變量等等。連續(xù)、離散、隨機變量等等。 產生很多的優(yōu)化算法：產生很多的優(yōu)化算法： 無約束優(yōu)化、約束優(yōu)化：無約束優(yōu)化、約束優(yōu)化： 單目標函數優(yōu)化、多目標函數優(yōu)化；單目標函數優(yōu)化、多目標函數優(yōu)化； 連續(xù)變量優(yōu)化、離散變量優(yōu)化、隨機變量優(yōu)化。連續(xù)變量優(yōu)化、離散變量優(yōu)化、隨機變量優(yōu)化。1、設計變量、設計變量 一個設計方案可以用一組基本參數的數值來表一個設計方案可以用一組基本參數的數值來表示，這些基本參數可以構件幾何量（如尺寸、位示，這些基本參數可以構件幾何量（如尺寸、位置等），也可以是物理量（如質量、頻率等），置等），也可以是物理量（如質量、頻率等），還可

27、以是應力、變形等表示工作性能的導出量以還可以是應力、變形等表示工作性能的導出量以及非物理量（如壽命、成本等）。及非物理量（如壽命、成本等）。 在設計過程中進行選擇并最終必須確定的在設計過程中進行選擇并最終必須確定的各項各項獨立的基本參數獨立的基本參數，稱作，稱作設計變量設計變量，又叫做優(yōu)化參，又叫做優(yōu)化參數。在優(yōu)化設計過程中設計變量是不斷修改、調數。在優(yōu)化設計過程中設計變量是不斷修改、調整，一直整，一直處于變化狀態(tài)處于變化狀態(tài)。 設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設計變量的數目稱為示。設計變量的數目稱為優(yōu)化設計的維數優(yōu)化設計的維

28、數，如，如n個設計變量，個設計變量，則稱為則稱為n維設計問題。維設計問題。1212,TnnxxXx xxx 由由n n個設計變量個設計變量 為坐標所組成的實空間稱為坐標所組成的實空間稱作作設計空間設計空間。一個。一個“設計設計”，可用設計空間中的一點表示。，可用設計空間中的一點表示。按照產品設計變量的取值特點，設計變量可分為按照產品設計變量的取值特點，設計變量可分為連續(xù)變量連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量離散變量（例如各種標準規(guī)（例如各種標準規(guī)格等）。格等）。nxxx,21 只有兩個設計變量的二維設計問題可用圖只有兩個設計變量的二維設計問題可用圖1中（中（a

29、）所示的平面直角坐標表示；有三個設計變量的三維設計所示的平面直角坐標表示；有三個設計變量的三維設計問題可用圖問題可用圖1中（中（b）所表示的空間直角坐標表示。）所表示的空間直角坐標表示。圖圖1 設計變量所組成的設計變量所組成的設計空間設計空間（a）二維設計問題）二維設計問題 （b）三維設計問題）三維設計問題設計空間設計空間設計點的集合（設計點的集合（ 維實歐氏空間維實歐氏空間 ）。）。nnRX1R2R3R)4( nRn當設計點連續(xù)時當設計點連續(xù)時, , 為直線為直線; ; 為平面為平面; ; 為立體空間為立體空間; ; 為超越空間為超越空間. . 設計空間的維數表征設計的設計空間的維數表征設計

30、的自由度自由度，設計變量愈多，設計變量愈多，則設計的自由度愈大，可供選擇的方案愈多，設計愈靈活，則設計的自由度愈大，可供選擇的方案愈多，設計愈靈活，但難度亦愈大，求解亦愈復雜。但難度亦愈大，求解亦愈復雜。 小型設計問題：一般含有小型設計問題：一般含有210個設計變量；個設計變量； 中性設計問題：中性設計問題：1050個設計變量；個設計變量； 大型設計問題：大型設計問題：50個以上的設計變量。個以上的設計變量。目前已能解決目前已能解決200個設計變量的大型最優(yōu)化設計問題。個設計變量的大型最優(yōu)化設計問題。如何選定設計變量？如何選定設計變量？ 任何一項產品，是眾多設計變量標志結構尺寸任何一項產品，是

31、眾多設計變量標志結構尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產品結的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產品結構，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所構，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以選擇設計變量時應注意一下幾點：以選擇設計變量時應注意一下幾點： 抓主要，舍次要抓主要，舍次要 對產品性能和結構影響大的參數可取為設計變量，影響小的可先對產品性能和結構影響大的參數可取為設計變量，影響小的可先根據經驗取為試探性的常量，有的甚至不考慮；根據經驗取為試探性的常量，有的甚至不考慮； 根據要解決的設計根據要解決的設計問題的特殊性問題的特殊性來選擇設計變量。來選擇設計變量。2、約束條件、約束

32、條件 設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是工程上不能接受的。如一個設計滿足所有對它提出的要是工程上不能接受的。如一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設計。求，就稱為可行設計。 一個可行設計必須滿足某些一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，設計限制條件，這些限制條這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。件稱作約束條件，簡稱約束。 根據約束性質分：根據約束性質分： 性能約束性能約束針對性能要求而提出的限制條件。如選擇某針對性能要求而提出的限制條件。如選擇某些結構必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性要求等；些結構必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)

33、定性要求等； 側面約束（邊界約束）側面約束（邊界約束）針對設計變量的取值針對設計變量的取值范圍加以限制的約束。如允許機床主軸選擇的尺寸范圍，對范圍加以限制的約束。如允許機床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍等。軸段長度的限定范圍等。分類分類 顯式約束顯式約束和和隱式約束隱式約束 約束函數有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量約束函數有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函數關系，有的只能表示成隱式形式，如復之間明顯的函數關系，有的只能表示成隱式形式，如復雜結構中的性能約束函數（變形、應力、頻率等），需雜結構中的性能約束函數（變形、應力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。要

34、通過有限元等方法計算求得。 根據數學表達式的形式分：根據數學表達式的形式分： 等式約束：等式約束：0hX 不等式約束：不等式約束：0g X 可行域：可行域：凡滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間凡滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間的活動范圍。（對應的活動范圍。（對應不可行域不可行域） 如右下圖所示滿足兩項約束如右下圖所示滿足兩項約束條件的二維設計問題的可行域條件的二維設計問題的可行域D D為為ABCABC涵蓋區(qū)域，包括線段涵蓋區(qū)域，包括線段ACAC和和圓弧圓弧ABCABC在內。在內。02)(016)(2222211xxgxxxg約束條件：約束條件：一般情況下，設計可行域可表示為：一般情況

35、下，設計可行域可表示為：mjxhluxgxDju,2, 10)(,2, 10)(不可行域不可行域:可行點和不可行點可行點和不可行點 D內的設計點為可行點內的設計點為可行點,否則為不否則為不可行點（外點）?？尚悬c（外點）。邊界點與內點邊界點與內點約束邊界上的可行點為邊界點約束邊界上的可行點為邊界點,其其余可行點為內點。余可行點為內點。起作用的約束與不起作用的約束起作用的約束與不起作用的約束D0)(*Xgu 滿足滿足 的約束為起作用約束的約束為起作用約束, ,否則為不起否則為不起作用的約束作用的約束.(.(等式等式約束一定是起作用約束約束一定是起作用約束)3、目標函數、目標函數 為了對設計進行定量

36、評價，必須構造包含設計變量為了對設計進行定量評價，必須構造包含設計變量的評價函數，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數。用它的評價函數，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數。用它可以評價設計方案的好壞，所以它又被稱作評價函數?？梢栽u價設計方案的好壞，所以它又被稱作評價函數。記作：記作： 123()( ,.)nf Xf x x xx 在優(yōu)化過程中，通過設計變量的不斷想在優(yōu)化過程中，通過設計變量的不斷想f(x)f(x)值改善的值改善的方向自動調整，最后求得的方向自動調整，最后求得的f(x)f(x)最好或最滿意的最好或最滿意的x x值。在值。在構造目標函數時，應注意構造目標函數時，應注意目標函數必須包含全部設計變目

37、標函數必須包含全部設計變量量。在機械設計中，可作為參考目標函數的有：。在機械設計中，可作為參考目標函數的有：最小體積，最輕重量，最高效率，最大承載能力，最小最小體積，最輕重量，最高效率，最大承載能力，最小振幅或噪聲，最小成本，最高利潤等等振幅或噪聲，最小成本，最高利潤等等。( )minf x 通常通常 在最優(yōu)化設計問題中，可以只有一個目標函數稱為在最優(yōu)化設計問題中，可以只有一個目標函數稱為單單目標函數目標函數。當在同一設計中要提出多個目標函數時，這種。當在同一設計中要提出多個目標函數時，這種問題稱為問題稱為多目標函數多目標函數的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設計

38、中，多目標函數的情況較多。目標函數愈多，設計的設計中，多目標函數的情況較多。目標函數愈多，設計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復雜。綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復雜。 在實際工程設計問題中，常常會遇到在多目標的某些在實際工程設計問題中，常常會遇到在多目標的某些目標之間目標之間存在矛盾的情況存在矛盾的情況，這就要求設計者正確處理各目，這就要求設計者正確處理各目標函數之間的關系。標函數之間的關系。 目前處理多目標設計問題常用的方法目前處理多目標設計問題常用的方法是組合成一個復合的目標函數，如采用是組合成一個復合的目標函數，如采用線性加權線性加權的形式，的形式，即即1122( )( )( ).(

39、)qqf xW fxW fxW fx目標函數的等值線（面）目標函數的等值線（面）cxf)( c c為一系列常數，代表一族為一系列常數，代表一族n n維超曲面。如在二維設計空維超曲面。如在二維設計空間中，間中，f f（x1x1，x2x2）=c=c代表代表x1-x2x1-x2設計平面上的一族曲線。設計平面上的一族曲線。對于具有相等目標函數值的設計點構成的平面曲線或曲面對于具有相等目標函數值的設計點構成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。稱為等值線或等值面。 目標函數是目標函數是n維變量的函數，它的函數圖形只能在維變量的函數，它的函數圖形只能在n+1維維空間中描述出來。為了在空間中描述出來。為了在n

40、維設計空間中反映目標函數的變維設計空間中反映目標函數的變化情況，常采用目標函數等值線（面）的方法?；闆r，常采用目標函數等值線（面）的方法。 目標函數的等值線（面）的數學表達式為：目標函數的等值線（面）的數學表達式為： 如上圖表示目標函數如上圖表示目標函數f(x)f(x)與兩個設計變量與兩個設計變量x x1 1和和x x2 2所構成所構成的關系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數值的關系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數值的設計點構成的的設計點構成的平面曲線平面曲線。當給目標函數以不同值時，可。當給目標函數以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構成目標函數的得到一系列的等值線，它

41、們構成目標函數的等值線族等值線族。在。在極值處目標函數的等值線聚成一點，并位于等值線族的中極值處目標函數的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當目標函數值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明心。當目標函數值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖目標函數值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖形形象地表現出形形象地表現出目標函數的變化規(guī)律目標函數的變化規(guī)律。212221212141060),(xxxxxxxxf函數的等值線圖。從等值線上，可以清楚地看到函數值的函數的等值線圖。從等值線上，可以清楚地看到函數值的變化情況。其中變化情況。其中f=40的等

42、值線就是使各點所組成的連線。的等值線就是使各點所組成的連線。40),(21xxf等值線等值線等值線的等值線的“心心”（以二維為例）（以二維為例）一個一個“心心”：是單峰函數的是單峰函數的極（?。┲迭c極（小）值點，是全局極（?。┲迭c。，是全局極（?。┲迭c。沒有沒有“心心”：例，線性函數的等值線是平行的，無例，線性函數的等值線是平行的，無“心心”，認為，認為極值點在無窮遠處。極值點在無窮遠處。多個多個“心心”：不是單峰函數，每個極（?。┲迭c只是局部極（小）不是單峰函數，每個極（小）值點只是局部極（?。┲迭c，必須通過比較各個極值點和值點，必須通過比較各個極值點和“鞍點鞍點”（須正確判別）的值，才（須

43、正確判別）的值，才能確定極（?。┲迭c。能確定極（?。┲迭c。等值（線）面：等值（線）面：4、優(yōu)化設計問題的一般數學形式、優(yōu)化設計問題的一般數學形式12,TnXx xx()minf X ()0khX (1,2,3, )kl0jgX (1,2,3,)jm求設計變量向量求設計變量向量使目標函數使目標函數 滿足約束條件滿足約束條件 設可以同時滿足上述約束條件的設計點的集合為設可以同時滿足上述約束條件的設計點的集合為R，則可簡化為求則可簡化為求X X使使 ()minx Rf X 最優(yōu)化設計的目標函數通常為求目標函數的最小最優(yōu)化設計的目標函數通常為求目標函數的最小值。若目標函數的最優(yōu)點為可行域中的最大值，則

44、可值。若目標函數的最優(yōu)點為可行域中的最大值，則可以看成是以看成是-f(x)-f(x)的最小值，當然也可看成是求的最小值，當然也可看成是求1/f(x)1/f(x)的極小值。的極小值。 對于復雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、對于復雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數學模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求完善的數學模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復雜。這時要抓住解更為復雜。這時要抓住關鍵因素關鍵因素，適當忽略不重要，適當忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數學模型，這的成分，使問題合理簡化，以易于列出數學模型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結果。樣不僅可節(jié)省時

45、間，有時也會改善優(yōu)化結果。建立優(yōu)化設計問題的數學模型的一般步驟建立優(yōu)化設計問題的數學模型的一般步驟 根據設計要求，應用專業(yè)范圍內的現行理論和經根據設計要求，應用專業(yè)范圍內的現行理論和經驗等，對優(yōu)化對象進行分析；驗等，對優(yōu)化對象進行分析； 對設計問題各參數進行分析，以對設計問題各參數進行分析，以確定設計的原始確定設計的原始參數、設計常數和設計變量參數、設計常數和設計變量； 根據設計要求，確定并構造根據設計要求，確定并構造目標函數目標函數和相應的約和相應的約束條件束條件，有時要構造多目標函數；，有時要構造多目標函數； 必要時對數學模型進行必要時對數學模型進行規(guī)范化規(guī)范化，以消除各組成項，以消除各組

46、成項間由于量綱不同等原因導致的數量懸殊的影響。間由于量綱不同等原因導致的數量懸殊的影響。5、優(yōu)化設計數學模型的分類、優(yōu)化設計數學模型的分類（1 1）按有無約束條件分：）按有無約束條件分： 無約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題 約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題（2 2）按約束條件和目標函數是否同時為線性分：）按約束條件和目標函數是否同時為線性分： 線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題 非線性規(guī)劃問題（居多）非線性規(guī)劃問題（居多）（3 3）按問題規(guī)模的大小分：）按問題規(guī)模的大小分： 大型：設計變量和約束條件的個數在大型：設計變量和約束條件的個數在5050以上以上 中型：設計變量和約束條件的個數在中型：設計變量和約束條件的個數

47、在10501050 小型：設計變量和約束條件的個數在小型：設計變量和約束條件的個數在1010個以下個以下6、優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解、優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解（1）無約束優(yōu)化問題）無約束優(yōu)化問題 設計空間內，目標設計空間內，目標函數是以等值線的形式函數是以等值線的形式反映出來，其極小點是反映出來，其極小點是等值面的中心。等值面的中心。（2 2）約束優(yōu)化問題）約束優(yōu)化問題 極小點在可行域內或極小點在可行域內或在可行域邊界上在可行域邊界上 通過二維優(yōu)化問題求解直通過二維優(yōu)化問題求解直觀描述優(yōu)化設計的基本思想。觀描述優(yōu)化設計的基本思想。例例1：如下二維非線性規(guī)劃問題：如下二維非線性規(guī)劃問題0)(

48、0)(01)(02)(.44)(min2413221221112221xxgxxgxxxgxxxgtsxxxxF目標函數等值線是以點目標函數等值線是以點(2,0)(2,0)為圓心的一組同心圓。如為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：0)()0 ,2(xFx約束方程所圍成的可行域是約束方程所圍成的可行域是D D。0)(0)(01)(02)(. .44)(min2413221221112221xxgxxgxxxgxxxgtsxxxxF圖解法求解圖解法求解05. .) 1() 2()(min212221xxt sxxxFTX) 2 , 3 (例例2

49、：解：先畫出目標函數等值線，再畫出約束曲線，本處約束解：先畫出目標函數等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容許集上使等值線具有最小值的點。許集上使等值線具有最小值的點。 由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾何的方法得到：析幾何的方法得到：該切點為該切點為對應的最優(yōu)值為對應的最優(yōu)值為2)(Xf練習：練習：0,0505.4)1()2()(min212122212221xxxxxxxtsxxxF 由示例可知，對二維最優(yōu)化問題，可采用圖解法求由示例可

50、知，對二維最優(yōu)化問題，可采用圖解法求解，而對三維或高維問題，已不便在平面上作圖，此法解，而對三維或高維問題，已不便在平面上作圖，此法失效。在三維和三維以上空間中，使目標函數取同一常失效。在三維和三維以上空間中，使目標函數取同一常數值稱為目標函數的數值稱為目標函數的等值面等值面。 不同值的等值面之間不相交，因為目標函數是單值不同值的等值面之間不相交，因為目標函數是單值函數；函數； 等值面稠的地方，目標函數值變化的較快，而稀疏等值面稠的地方，目標函數值變化的較快，而稀疏的地方變化的比較慢；的地方變化的比較慢； 一般地，在極值點附近，等值面（線）近似呈現為一般地，在極值點附近，等值面（線）近似呈現為

51、同心橢圓球面族（橢圓族）。同心橢圓球面族（橢圓族）。等值面具有以下性質：等值面具有以下性質：極值點在多角形的某個頂點上極值點在多角形的某個頂點上極值點在等值線中心極值點在等值線中心極值點在約束曲線與等值線的切點上極值點在約束曲線與等值線的切點上極值點在約束曲線與等值線的切點上極值點在約束曲線與等值線的切點上極值點在兩個約束曲線的交點上極值點在兩個約束曲線的交點上三、優(yōu)化設計問題的基本解法三、優(yōu)化設計問題的基本解法1 1、解析解法：解析解法：根據函數極值的必要條件和充分條件求得其根據函數極值的必要條件和充分條件求得其最優(yōu)解析解的求解方法，適用于目標函數比較簡單的情況。最優(yōu)解析解的求解方法，適用于

52、目標函數比較簡單的情況。2 2數值的近似解法：數值的近似解法：又稱為數值迭代方法，它是根據目標又稱為數值迭代方法，它是根據目標函數的變化規(guī)律，以適當的步長沿著能使目標函數值下降函數的變化規(guī)律，以適當的步長沿著能使目標函數值下降的方向，逐步向目標函數值的最優(yōu)點進行探索，逐步逼近的方向，逐步向目標函數值的最優(yōu)點進行探索，逐步逼近到目標函數的最優(yōu)點或直至達到最優(yōu)點。數值解法是優(yōu)化到目標函數的最優(yōu)點或直至達到最優(yōu)點。數值解法是優(yōu)化設計問題的基本解法，設計問題的基本解法，其中也可能用到解析解法其中也可能用到解析解法。數值解法更能適應計算機的工作特點：數值解法更能適應計算機的工作特點：1）數值計算而不是數

53、學分析；）數值計算而不是數學分析；2）具有簡單邏輯結構并能進行反復的同樣的算術計算；）具有簡單邏輯結構并能進行反復的同樣的算術計算；3）最后得到的是逼近精確解的近似解。）最后得到的是逼近精確解的近似解。數值迭代法的基本思路：數值迭代法的基本思路：搜索、迭代、逼近搜索、迭代、逼近即進行反復數值計算，尋求目標函數值不斷下降的可行計即進行反復數值計算，尋求目標函數值不斷下降的可行計算點，知道最后獲得足夠精度的最優(yōu)點。該方法的求優(yōu)過算點，知道最后獲得足夠精度的最優(yōu)點。該方法的求優(yōu)過程可歸納為以下步驟：程可歸納為以下步驟：1 1）首先初選一個盡可能靠近最小點的初始點）首先初選一個盡可能靠近最小點的初始點X X(0)(0)，從初始，從初始點出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向和初始步長，向前點出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向和初始步長，向前跨出一步，達到跨出一步，達到X X(1)(1)；2 2）得到新點）得到新