第一章矢量分析

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析 物理量的空間分布構(gòu)成一個物理的“場”。標(biāo)量場： 矢量場：本章內(nèi)容： 標(biāo)量場的梯度、矢量場的散度和旋度的定義 相關(guān)的運算法則和公式 一般正交曲線坐標(biāo)系中的表達(dá)式 ),(tr),(trA1.1 標(biāo)量場的梯度 1.1.1 方向?qū)?shù)標(biāo)量場的方向?qū)?shù)描寫標(biāo)量函數(shù)在標(biāo)量場中每一點上沿給定方向的變化率。 在點沿方向的方向?qū)?shù)為 ),(trllMMlll000lim)()(lim第二章第二章 電磁場的基本規(guī)律電磁場的基本規(guī)律 麥克斯韋提出了“渦旋電場”和“位移電流”兩個假說，進(jìn)而歸納出一組描述電磁場運動規(guī)律的基本方程，即麥克斯韋方程組，其正確性為日后的實驗所確認(rèn)，因而是分析解決

2、電磁場問題的理論基礎(chǔ)。本章將回顧、總結(jié)電磁現(xiàn)象基本規(guī)律以及介質(zhì)的極化和磁化規(guī)律，給出渦旋電場和位移電流的概念，在此基礎(chǔ)上建立麥克斯韋方程組，并推導(dǎo)電磁場的邊界條件，討論電磁場的能量和能流。 2.1 真空中的靜電場 2.1.1 庫侖定律 電場強度庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗規(guī)律：真空中點電荷 對點電荷 的作用力為 （2-1-1） 31212012214rrrrqqF為真空的介電常數(shù)。 1q2q120108542. 8N/(C/m)2 、 為兩個點電荷的位矢。 1r2r電荷之間的相互作用通過電場傳遞。電場強度定義為： （2-1-2） qFE位于 處的點電荷 在空間任一點 處產(chǎn)生的電場強度為 （2-

3、1-3）rr304)(rrrrqEq電場滿足疊加原理。由分布在體積 中的全體電荷產(chǎn)生的電場強度： （2-1-4）VrrVrrrrE304d)()()(由分布在曲面 上的電荷產(chǎn)生的電場強度： （2-1-5） 由分布在曲線 上的電荷產(chǎn)生的電場強度： （2-1-6） SSrrSrrrrE304d)()()(LlrrlrrrrE304d)()()(VSL為電荷密度； 為面電荷密度； 為線電荷密度。Sl2.1.2 高斯定理 靜電場的散度 高斯定理：真空中，靜電場在任何閉合曲面上的通量僅由曲面內(nèi)的電荷決定，而與曲面外的電荷無關(guān)： （2-1-7）VSVSEd1d0為證明，先介紹立體角：球面上的任一曲面面積

4、與球面半徑 的平方之比與 無關(guān)。此比值定義為該曲面對球心所張的立體角：SRR2RS球面對球心的面積為 ，故知球面對球心的立體角為 。24 RS 4R任意曲面 對 的立體角等于在以 為心、任意半徑的球面上的投影面積 對點 的立體角。SOOSO32|)(d|ddrrrrSrrS有向曲面對其正側(cè)（即法矢量所指的一側(cè)）的點立體角為負(fù)，而對其負(fù)側(cè)的點則為正。rSd rO空間任一位矢 端點處的有向面元 對某位矢 端點 的立體角為任一規(guī)定了法向的有限曲面 對點 的立體角為 SOSSrrrrS3|)(dd)S(0)S(4|)(d3外在內(nèi)在OOrrrrSSS若 為閉曲面，則有 推導(dǎo)高斯定理： 由 處的點電荷 產(chǎn)

5、生的電場 在任意閉合曲面 上的通量為 rqES)(0)(4d4d0030外在內(nèi)在SqSqqqSrrrrqSESS按場的疊加原理，由 個點電荷產(chǎn)生的總電場在閉曲面 上的通量為 VSiniiniSiSVqqSESEd1141dd00101內(nèi)nS證完。利用散度定理 ，可以寫出高斯定理的微分形式： VASAVSdd0 E可見，電場強度在任一點的散度只取決于該點的電荷密度。 2.1.3 靜電場的環(huán)路定理和旋度 在電磁學(xué)中已經(jīng)由庫侖定律證明了靜電場的環(huán)路定理： ClE0d由斯托克斯定理 ，可得與上式相應(yīng)的微分式：0ESCSAlAdd以上表明，靜電場是無旋場。根據(jù)矢量場的唯一性定理，靜電場的性質(zhì)由其散度和旋度決