MathStudio使用方法入門5生日問題

1、2022-6-111 MathStudio MathStudio for iPad for iPad 使用方法入門 （5） 生日問題生日問題 ListList、LoopendLoopend的運用的運用 2014年3月4日2022-6-112在任意人群里，有人生日相同的概率是多少？ “人以群分，物以類聚”，同學、同事、同鄉(xiāng)、同年網(wǎng)絡里QQ、微信、微博都有群，一群人里同一天出生的人又是個小群，我們的問題是： 在在n n個人里，每人生日各不相同，概率是多少？個人里，每人生日各不相同，概率是多少？ 在在n n個人里，至少有兩人生日相同的概率是多少？個人里，至少有兩人生日相同的概率是多少？ 在在n n個

2、人里，所有人生日都相同的概率是多少？個人里，所有人生日都相同的概率是多少？ 在在n n個人里，有個人里，有m m（mnmn）個人生日相同的概率是多少？）個人生日相同的概率是多少？概率問題，計算公式看起來較簡短，可是在無電腦可用的情況下，靠查對數(shù)表手算或用計算尺算，都絕非易事；比如，大數(shù)的階乘n！怎么算？即使用Stirling公式 n!=sqrt(2n)*(n/e)n，算起來也很費時。 在MathStudio里應用函數(shù)factorial（n）、nPr(n,r)、nCr(n,r),“彈指一揮間”答案瞬息即得。憶往日之艱辛，喜今朝之便捷!2022-6-113 計 算 公 式 先把前面4個問題的計算公

3、式列下，略去公式的推導，有興趣的朋友請參閱相關數(shù)學書籍；推薦一本書趣味隨機問題孫榮桓著1.在n個人里，沒有生日相同的人，概率是多少？P1=nPr(365,n)/365n 2.在n個人里 有兩人或以上生日相同的概率怎么算？P2=1-nPr(365,n)/365n p1+p2=13.在n個人里，所有人生日都相同的概率是多少？P3=1/365(n-1)4.在n個人里，有m（mn）個人生日相同的概率是多少？P4=nCr(n,m)*(365-1)(n-m)/365n 我們以一年為365天計；注意，計算結果是事件概率（可能性）大小，不是人數(shù)的百分比，也未必與你觀察到的眼前實際狀態(tài)完全相符。2022-6-1

4、141.在n個人里，沒有生日相同的人，概率是多少？20個人里，沒有生日相同的概率是0.59 可能性較大；當然，也就是有相同生日 的可能性較小了40個人里，沒有生日相同的概率降為0.11 可能性很小了60個人里，沒有生日相同的概率已迅速降 為0.006，可能性極小了，幾乎不可能了 2022-6-115 看數(shù)值表，情況更清楚y=nPr(365,x)/365x,點擊“plot”,得到曲線圖，雙擊曲線圖，放大，點按“Table ”就得到左圖，x、y值的詳細列表，可更清晰地看出變化趨勢 0、1 概率1，必然無相同（無意義）29 概率0.9 無相同生日的可能性大1022 概率0.5無相同生日的可能性較大2

5、3以上 概率加速下滑在29個人里，沒有相同生日的概率只有0.32了 2022-6-1162.在n個人里，至少有兩人生日相同的概率是多？這是與上題正相反的問題，所以這是與上題正相反的問題，所以p1+p2=1,p1+p2=1,或或 p2=1-p1p2=1-p1可以看出，當人數(shù)大于可以看出，當人數(shù)大于2323時，有相同生日的概率時，有相同生日的概率就超過沒有相同生日的概率了就超過沒有相同生日的概率了人數(shù)超過人數(shù)超過4040時，有相同生日的概率超過時，有相同生日的概率超過0.90.9了了2022-6-117 在在n n個人里，至少有兩人生日相同個人里，至少有兩人生日相同的概率曲線圖，的概率曲線圖，Tr

6、aceTrace，得到坐標值，得到坐標值 在概率問題里，人數(shù)只能是正整數(shù)在概率問題里，人數(shù)只能是正整數(shù)不可能出現(xiàn)小數(shù)，曲線也應該是不連不可能出現(xiàn)小數(shù)，曲線也應該是不連續(xù)的；作為計算值它仍然存在。續(xù)的；作為計算值它仍然存在。2022-6-118曲線圖，Table，數(shù)值表左圖 step=1 x=129 右圖 step=2 x=258用這個數(shù)值表，可以省卻許多繁瑣的計算工作量用這個數(shù)值表，可以省卻許多繁瑣的計算工作量2022-6-1193.在n個人里，所有人生日都相同的概率是多少？n=2時，p3=p2n2時，p3急速減小這說明在一群人里，所有人的生日都相同的可能性極小2022-6-1110第3問題的

7、曲線圖、數(shù)值表X2X2時，概率迅速趨近於零，時，概率迅速趨近於零，“所有的人生日都相同所有的人生日都相同”是極為罕見的事是極為罕見的事2022-6-11114.在n個人里，有m（mn）個人生日相同的概率是多少？此式的計算結果頗費解，請大家琢磨吧2022-6-1112談談運用MathStudio的技巧如果我們想計算n=5、10、15、20里，有兩人或以上生日相同的概率，不重復輸入，一次算出，能行嗎？能！MathStudio里的loopend，有些像其他編程語言里的forend另外，List可用以定義一個數(shù)組。List、Loop的具體用法，可查菜單欄-Catalog里的List、Loop項的說明、

8、演算示例。要注意：Loop的步長只能為1，不能自定義。左圖是： n=5、10、15、20時計算p2的結果，數(shù)組長度10計算結果行寬不能同時顯示全部10個數(shù)據(jù)，向左拖曳就看到了 。2022-6-1113在n=113個人里，有兩人以上生肖相同的概率是多少？左圖給出了n=112全部答案5人里有相同生肖的概率已經(jīng)大于0.56口之家有相同生肖的概率相當大了8人以上有相同生肖的概率很大12人里有相同生肖的概率高達0.99995，但仍非必然13人里，不算也知道，必然有相同生肖了順便說一下，我家三輩11人，屬龍的有4個，“必然性寓于偶然性之中”2022-6-1114談談運用MathStudio的技巧再舉個應用loop的例子前面提到過用Stirling公式計算階乘，我們就計算5、10、15、20、25、30的階乘，對比兩種方法的計算結果,顯然，n越大，誤差越小。N=5 誤差-1.65%N=10 誤差-8.3誤差不大，尤其是n很大時負誤差， Stirling公式計算值偏小 2022-6-1115把List、Loop的功能再提升一步繼續(xù)前面計算階乘的例子，讓MathStudio把兩種方法的計算結果和對應的誤差，一次同時算出并輸出：定義定義3個數(shù)組，第三個是計算誤差的個數(shù)組，第三個是計算誤差的Loop end里，列進里，列進 3個表達式個表達式分別輸出計算結果分別輸出計算結果當n=30時，誤差已經(jīng)