-非線性方程與混沌

1、 一只蝴蝶在巴西扇動一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能在美國的德克翅膀，有可能在美國的德克薩斯引起一場龍卷風嗎？薩斯引起一場龍卷風嗎？1. 1. 方程求根的方程求根的MatlabMatlab指令指令2. “2. “二分法二分法”3. “3. “牛頓切線法牛頓切線法”4. 4. 一般迭代法一般迭代法5. 5. 分叉與混沌分叉與混沌 試驗試驗5 5 開普勒方程近似解與方程求根開普勒方程近似解與方程求根試驗試驗6 Logistic6 Logistic方程求解與混沌方程求解與混沌方程近似根的求法方程近似根的求法實驗問題實驗問題: :1sin5 . 0 xx分析：分析：該問題可以轉(zhuǎn)化為下列方程求根該問題可以

2、轉(zhuǎn)化為下列方程求根. . 01sin5 . 0 xx開普勒方程開普勒方程 近似解近似解.f=inline(x-0.5*sin(x)-1);c=fzero(f,0,2)方法利用方法利用MATLAB指令指令輸出：輸出：c = 1.4987 顯然該方程為一元非線性方程，沒有現(xiàn)成的求解公式顯然該方程為一元非線性方程，沒有現(xiàn)成的求解公式. .c=fzero(f,a,b) 求求f在區(qū)間在區(qū)間a,b的零點的零點c=fzero(f,x0)求求f在在x0附近的零點附近的零點方法方法 “二分法二分法”f=inline(x-0.5*sin(x)-1);fplot(f,0,2);grid首先畫圖，觀察出解首先畫圖，觀

3、察出解的范圍的范圍然后利用二分法求解然后利用二分法求解xyoab二分法簡介二分法簡介1x2x3x,11bxxba中點中點,22xaxba中點中點,233xxxba中點中點nxba中中點點,分析：分析：條件：條件：.)( , 0)()(連連續(xù)續(xù)且且有有唯唯一一零零點點xfbfaf , 11bxbaxa , 212xxbaxb , 233xxbaxa 得到第得到第n個區(qū)間個區(qū)間xyoab1x2x3xNr 確確定定迭迭代代次次數(shù)數(shù)，要要求求誤誤差差不不超超過過設設精精確確解解為為, 終止條件：終止條件：rabxnn 2|.ln/rablnN12 . 2ln/lnrabn clear;clc;f=in

4、line(x-0.5*sin(x)-1);a=0;b=2;r=1.0e-5;N=log(b-a)/r)/log(2); k=0;while k=fix(N)+1 k=k+1;c=(a+b)/2; if abs(f(c)=0 break; elseif f(c)*f(b)0 x0=a;else x0=b;endm=min(abs(df(a),abs(df(b);k=0;while abs(f(x0)m*dlt k=k+1; x1=x0-f(x0)/df(x0); x0=x1;fprintf(k=%d, x=%.5fn,k,x0);end程序：程序：（）（） 一般迭代法一般迭代法0)( xf)(x

5、gx 0 x取一個初值取一個初值)(01xgx ),(12xgx )(1kkxgx 迭代格式迭代格式 , 2 , 1 , 0 kxk迭代序列迭代序列迭代初值迭代初值)(xg迭代函數(shù)迭代函數(shù)xxfxg )()(如如在方程有實根的情況下，可以通過轉(zhuǎn)換方程的形式，構(gòu)造在方程有實根的情況下，可以通過轉(zhuǎn)換方程的形式，構(gòu)造相應的迭代，產(chǎn)生迭代序列來求方程的近似根。相應的迭代，產(chǎn)生迭代序列來求方程的近似根。)(xg如何構(gòu)造迭代函數(shù)如何構(gòu)造迭代函數(shù)使得產(chǎn)生的迭代序列收斂使得產(chǎn)生的迭代序列收斂?例題例題構(gòu)造迭代格式構(gòu)造迭代格式032 xx213kkxx 取初值取初值00 x ,33, 6, 3 , 0 kx迭代

6、序列迭代序列構(gòu)造迭代格式構(gòu)造迭代格式kkxx 31取初值取初值00 x 1.3027756 kx迭代序列迭代序列-實驗考察實驗考察)(xg如何構(gòu)造迭代函數(shù)如何構(gòu)造迭代函數(shù)定理定理 如果如果 在在 a,b 上連續(xù)且滿足上連續(xù)且滿足則迭代格式則迭代格式)x(gxkk 1對任意初值對任意初值,0bax 迭代序列迭代序列 收斂收斂. , 3 , 2 , 1 , 0, kxk)(xg(1)如果如果(2) 存在正的常數(shù)存在正的常數(shù)h，對，對1 h| )x( g|,| )(| , , baxgbax 有有 , ),( bax 1sin5 . 0 xx用一般迭代法求解開普勒方程用一般迭代法求解開普勒方程1si

7、n5 . 0)( xxg令迭代函數(shù)為令迭代函數(shù)為 15 . 0|cos5 . 0| )(| xxg顯然顯然 ),k.x,xsin.xkk210( 10 15001 所以，迭代格式收斂所以，迭代格式收斂 非線性方程組求解非線性方程組求解考慮非線性方程組考慮非線性方程組 0),(, 0),(, 0),(21212211nnnnxxxfxxxfxxxf向量形式為向量形式為0)( xf個變量的向量值函數(shù)。個變量的向量值函數(shù)。是是其中其中n)(,),()(),(11xfxfxfxxxnn 求解非線性方程組的命令求解非線性方程組的命令 x,fval=fsolve(fun,x0)fun是函數(shù)或是函數(shù)或m-文

8、件，文件，x0為迭代初值，返回的是解向量為迭代初值，返回的是解向量x和解向量對應的和解向量對應的f(x)值。值。 012061541694121212221xxxxxxx例例 求解求解function f=group(x)f=4*x(1)2+9*x(2)2-16*x(1)-54*x(2)+61;x(1)*x(2)-2*x(1)+1;x,fval=fsolve(group,0 0) 若取初值為若取初值為-2,2，會收斂到不同的解。，會收斂到不同的解。Logistic方程與混沌方程與混沌n在生物學中，有一個刻畫生物種群個體總量增長情在生物學中，有一個刻畫生物種群個體總量增長情況的著名的方程況的著名

9、的方程邏輯斯諦（邏輯斯諦（Logistic）方程：）方程：為比例系數(shù)為比例系數(shù)rxrxxnnn)1(1 n其中其中xn為某生物群體的第為某生物群體的第n代的個體總數(shù)與該群代的個體總數(shù)與該群體所能達到的最大保有量時的個體數(shù)之比。體所能達到的最大保有量時的個體數(shù)之比。n選定初值和比例系數(shù)選定初值和比例系數(shù)r的值后，由方程就能生成一的值后，由方程就能生成一個數(shù)列：個數(shù)列：nxxx,21這個數(shù)列的極限是否存在？這個數(shù)列的極限是否存在？設設Mn表示生物種群在第表示生物種群在第n代的個體總量，經(jīng)過繁衍第代的個體總量，經(jīng)過繁衍第n+1代的個體總量為代的個體總量為Mn+1，怎么建立種群增長模型，怎么建立種群增

10、長模型呢？呢？19世紀中葉荷蘭生物學家世紀中葉荷蘭生物學家Verhulst得出結(jié)論：種群的得出結(jié)論：種群的繁殖與種群的規(guī)模成正比，同時，種群生活在一定的繁殖與種群的規(guī)模成正比，同時，種群生活在一定的環(huán)境中，在資源給定的情況下，個體數(shù)目越多，每一環(huán)境中，在資源給定的情況下，個體數(shù)目越多，每一個個體獲得的資源越少，這將抑制其生育率，增大死個個體獲得的資源越少，這將抑制其生育率，增大死亡率。因此，種群的繁殖與可生存的容納量成正比，亡率。因此，種群的繁殖與可生存的容納量成正比，即即)(1nnnMMKMM ，即得模型。，即得模型?；蚧?1(1MMMMKMMMnnn 考察迭代格式考察迭代格式(Logist

11、ic方程方程 )1(1nnnxrxx 初值初值1 . 00 x1. 當參數(shù)當參數(shù)r取值分別為取值分別為1.2，2.5，3.2，3.5，3.8考察其迭代序列的收斂情況考察其迭代序列的收斂情況clc;clf;x=0.1; y= ;r=1.2; % %改變?nèi)≈档玫较鄳膱D形改變?nèi)≈档玫较鄳膱D形hold onaxis(0 100 0 1)for i=1:100 x=r*x*(1-x);y=y,x; plot(i,x,k.,markersize,10) fprintf(x(%d)=%.10fn,i,x);endt=1:100;plot(t,y,k-);grid程序程序結(jié)果顯示：結(jié)果顯示： 當比例系數(shù)當

12、比例系數(shù)r r為為1 1和和3 3之間的任意一個值時，之間的任意一個值時，按照上面的迭代格式產(chǎn)生的迭代序列是收斂的，按照上面的迭代格式產(chǎn)生的迭代序列是收斂的，且收斂結(jié)果與迭代初值無關(guān)。且收斂結(jié)果與迭代初值無關(guān)。00.511.522.533.5400.10.20.30.40.50.60.70.80.91r=0r=0.3r=0.6 r=0.9r=1.2r=1.5r=1.8r=2.1r=2.4r=2.7r=3r=3.3r=3.6r=3.9參 數(shù) r迭 代 序 列 x2. 將參數(shù)將參數(shù)r取取0，0.3，0.6，0.9，1.2，3.9的迭代序列的迭代序列收斂情況放置到同一坐標系中觀察其變化收斂情況放置到

13、同一坐標系中觀察其變化clear;clc;hold onaxis(0,4,0,1);gridfor r=0:0.3:3.9 x=0.1; for i=2:150 x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1); end pause for i=101:150 plot(r,x(i),r., markersize,10); %取這些迭代序列的取這些迭代序列的后后50個迭代值個迭代值 end text(r-0.1,max(x(101:150)+0.05,itr=,num2str(r)end程序程序結(jié)果分析：結(jié)果分析：（1 1） 當當r3.0r3.0時，每個時，每個r r對應的對應的5050個迭代值

14、凝聚在一個迭代值凝聚在一點，這表明對這些點，這表明對這些r r取值所產(chǎn)生的迭代序列是收斂取值所產(chǎn)生的迭代序列是收斂的。的。（2 2）當）當r r為為3 3、3.33.3時，對應的時，對應的5050個迭代值凝聚在兩個個迭代值凝聚在兩個點，表明點，表明r r所對應的迭代序列不收斂，但凝聚在兩所對應的迭代序列不收斂，但凝聚在兩個點附近。個點附近。（3 3）當）當r r由由3.33.3到到3.63.6再到再到3.93.9越來越大時，對應的越來越大時，對應的5050個迭代值凝聚的點也越來越多，表明個迭代值凝聚的點也越來越多，表明r r對應的迭代對應的迭代序列變化情況逐漸復雜，軌道分岔也越來越多，但序列變

15、化情況逐漸復雜，軌道分岔也越來越多，但會不會還是按照一支分叉為兩支的變化規(guī)律來變化會不會還是按照一支分叉為兩支的變化規(guī)律來變化呢？呢？3.現(xiàn)在對取值在現(xiàn)在對取值在2.72.7到到3.93.9之間進行加密迭代并作圖，之間進行加密迭代并作圖， 取步長為取步長為0.0050.005時時 參數(shù)參數(shù)r的微小變化引起結(jié)果巨大的變化的微小變化引起結(jié)果巨大的變化clear;clf;hold onaxis(2.7,4,0,1);gridfor r=2.7:0.005:3.9 x=0.1; for i=2:150 x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1); end pause(0.1) fprintf(r=

16、%.3fn,r) for i=101:150 plot(r,x(i),k.); endend程序程序請同學們再次加密請同學們再次加密r取值進行實驗，回答取值進行實驗，回答下面問題下面問題n（）是否由支分叉為支，并依次類（）是否由支分叉為支，并依次類推呢？推呢？n（）這些分叉點處（）這些分叉點處r的取值，是否有規(guī)律？的取值，是否有規(guī)律？混沌現(xiàn)象混沌現(xiàn)象特別地，軌道由特別地，軌道由1條分差為條分差為2條、由條、由2條分叉條分叉為為4條、再由條、再由4條分叉為條分叉為8條等等，這種現(xiàn)象條等等，這種現(xiàn)象稱為稱為倍周期現(xiàn)象。倍周期現(xiàn)象。4 在在r取為取為3.8時，初值為時，初值為0.1時運行時運行1中的

17、程序，中的程序，迭代序列會出現(xiàn)沒有呈現(xiàn)周期性的取值情形，迭代序列會出現(xiàn)沒有呈現(xiàn)周期性的取值情形，而是一種紊亂狀態(tài)。而是一種紊亂狀態(tài)。 在在r不變，初值有不變，初值有0.005的增加時，迭代序列分的增加時，迭代序列分布和上面分布會發(fā)生很大變化，即初值發(fā)生微布和上面分布會發(fā)生很大變化，即初值發(fā)生微小變化時，結(jié)果發(fā)生很大變化。這就是數(shù)學研小變化時，結(jié)果發(fā)生很大變化。這就是數(shù)學研究中常說的究中常說的 “蝴蝶效應蝴蝶效應”，也被稱為，也被稱為“混混沌沌”。 方程中方程中r是一個與環(huán)境因素有關(guān)的參數(shù)，因此是一個與環(huán)境因素有關(guān)的參數(shù)，因此在某些特定條件下，某些種群的繁殖會出現(xiàn)難在某些特定條件下，某些種群的繁

18、殖會出現(xiàn)難以預料的混沌現(xiàn)象，甚至出現(xiàn)以預料的混沌現(xiàn)象，甚至出現(xiàn)“生物災難生物災難”。n混沌混沌（譯自英文（譯自英文ChaosChaos）的原意是指無序和混亂的）的原意是指無序和混亂的狀態(tài)。這些表面上看起來無規(guī)律、不可預測的現(xiàn)狀態(tài)。這些表面上看起來無規(guī)律、不可預測的現(xiàn)象，實際上有它自己的規(guī)律。象，實際上有它自己的規(guī)律。n 混沌學的任務：就是尋求混沌現(xiàn)象的規(guī)律，加以混沌學的任務：就是尋求混沌現(xiàn)象的規(guī)律，加以處理和應用。處理和應用。n 6060年代混沌學的研究熱悄然興起，滲透到物理學、年代混沌學的研究熱悄然興起，滲透到物理學、化學、生物學、生態(tài)學、力學、氣象學、經(jīng)濟學、化學、生物學、生態(tài)學、力學、氣

19、象學、經(jīng)濟學、社會學等諸多領(lǐng)域，成為一門新興學科。社會學等諸多領(lǐng)域，成為一門新興學科。 什么是混沌呢？什么是混沌呢？ 什么是混沌呢？什么是混沌呢？ n科學家給混沌下的定義是：混沌是指發(fā)生在確定性科學家給混沌下的定義是：混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動，一個確定性理論系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動，一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性一不可重復、描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性一不可重復、不可預測，這就是混沌現(xiàn)象。不可預測，這就是混沌現(xiàn)象。n進一步研究表明，混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特進一步研究表明，混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定

20、性理性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，在現(xiàn)實生活和實是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，在現(xiàn)實生活和實際工程技術(shù)問題中，混沌是無處不在的！際工程技術(shù)問題中，混沌是無處不在的！ 混沌的特征混沌的特征 1.1.差之毫厘，失之千里、牽一發(fā)而動全身。差之毫厘，失之千里、牽一發(fā)而動全身。n一個小小初始條件的差異可以嚴重影響系統(tǒng)一個小小初始條件的差異可以嚴重影響系統(tǒng)長期的大變化。長期的大變化。 n2.2.對初始條件的敏感性。對初始條件的敏感性。n對原本西方的科學基本理念來說，如果你對原

21、本西方的科學基本理念來說，如果你正在計算臺面上的一顆撞球，就不用去理會正在計算臺面上的一顆撞球，就不用去理會室外一片樹葉的掉落。很輕微的影響可以被室外一片樹葉的掉落。很輕微的影響可以被忽略，事物進行總會殊途同歸，任意的小干忽略，事物進行總會殊途同歸，任意的小干擾，并不致于膨脹到任意大的后果。擾，并不致于膨脹到任意大的后果。n 1960 1960年，美國麻省理工學院教授洛倫茲研究年，美國麻省理工學院教授洛倫茲研究“長長期天氣預報期天氣預報”問題時，在計算機上用一組簡化模型模問題時，在計算機上用一組簡化模型模擬天氣的演變。他原本的意圖是利用計算機的高速運擬天氣的演變。他原本的意圖是利用計算機的高速

22、運算來提高長期天氣預報的準確性。但是，事與愿違，算來提高長期天氣預報的準確性。但是，事與愿違，多次計算表明，初始條件的極微小差異，均會導致計多次計算表明，初始條件的極微小差異，均會導致計算結(jié)果的很大不同。算結(jié)果的很大不同。 n 由于氣候變化是十分復雜的，所以在預測天氣時，由于氣候變化是十分復雜的，所以在預測天氣時，輸入的初始條件不可能包含所有的影響因素（通常的輸入的初始條件不可能包含所有的影響因素（通常的簡化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那些簡化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那些被忽略的次要因素卻可能對預報結(jié)果產(chǎn)生重大影響，被忽略的次要因素卻可能對預報結(jié)果產(chǎn)生重大影響，導致錯誤

23、的結(jié)論。由此，洛倫茲認定，盡管擁有高速導致錯誤的結(jié)論。由此，洛倫茲認定，盡管擁有高速計算機和精確的測量數(shù)據(jù)（溫度、風速、氣壓等），計算機和精確的測量數(shù)據(jù)（溫度、風速、氣壓等），也難以獲得準確的長期天氣預報。也難以獲得準確的長期天氣預報。蝴蝶效應蝴蝶效應 n 19791979年年1212月，洛倫茲在華盛頓的美國科學促進月，洛倫茲在華盛頓的美國科學促進會的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，會的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能會在美國的德克薩斯引起一場龍卷風。他有可能會在美國的德克薩斯引起一場龍卷風。他的演講和結(jié)論給人們留下了極其深刻的印象。從的演講和結(jié)論給人們留下了極其深刻的印象。從此以后，所謂此以后，所謂“蝴蝶效應蝴蝶效應”之說就不脛而走，名之說就不脛而走，名聲遠揚了。聲遠揚了。 從科學的角度來看，從科學的角度來看，“蝴蝶效應蝴蝶效應”反映了混沌反映了混沌運動的一個重要特征：系統(tǒng)