河北工業(yè)大學(xué)固體物理課件4-2

1、4-2 一維周期場中電子運(yùn)動的近一維周期場中電子運(yùn)動的近 自由電子近似自由電子近似n晶體中電子與自由電子的區(qū)別在于周期勢晶體中電子與自由電子的區(qū)別在于周期勢場。場。n如果假設(shè)晶體中有一個很弱弱的周期勢場，則電子的運(yùn)動情況應(yīng)當(dāng)與自由電子比較接近，但同時也必然能體現(xiàn)出周期勢場中電子狀態(tài)的新特點(diǎn)，這樣的電子就叫近自由近自由電子電子。 一維勢場一維勢場nnxainnnxainnnxaineVeVVeVaxVxV2202)()( anxaindxexVaV02)(1展開式系數(shù)展開式系數(shù)設(shè)為零adxxVaVV00)(1anxaindxexVaV02)(1n周期場是實(shí)的 n )()(*xVxVnnVV*一、

2、定態(tài)非簡并微擾一、定態(tài)非簡并微擾由量子力學(xué)定態(tài)非簡并微擾理論可知，定態(tài)薛定諤方程 方程的解是 ),()(),(xkkExkH)2(2)1()0(22)1()0(),()(kkkkkkxkEEEkE）（近自由電子哈密頓算符可寫成 :n其中 1, 0hHHHH2202mH自由電子的自由電子的哈密頓算符哈密頓算符nnxaineVH2由量子力學(xué)理論可知，一級修正和二級修正分別為 E(1)(k) =0 其中微擾矩陣元mkkE2)(220)0()0(22) ()(kkkkkkkEkEE）（零級近似解，就是自由電子的解：零級近似解，就是自由電子的解： ikxeLxk21)0(),( 其他時, 002,10)

3、2()0(0)*0(nakkVdxeVLdxHnLnxnakkinkLkkk則能量的二級修正為 其他時, 002,10)2()0(0)*0(nakkVdxeVLdxHnLnxnakkinkLkkknnknakkVmE22222)2(2)2(2求和中的撇表示n不為0，但當(dāng)k與k互為相反值時，分母為0，導(dǎo)致能量修正值為無窮大。n波函數(shù)的一級修正n電子的波函數(shù)為), () ()(),()0()0()0()1 (xkkEkExkkkk),()2(21 (1)2(211), () ()(1),(),(),(22222)2(2222)0()0()0()1()0(xkueenakkmVeLenakkmVLe

4、LxkkEkEeLxkxkxkikxnxainnikxxnakinnikxkkkikx調(diào)幅調(diào)幅平面平面波波前進(jìn)前進(jìn)的平的平面波面波受周期受周期勢場散勢場散射的波射的波二、二、 簡并微擾法簡并微擾法當(dāng)滿足 時 ankank 波函數(shù)及能量的修正項(xiàng)，前進(jìn)的平面波遭到了晶格原子的全反射(布拉格)， 反射波相互加強(qiáng)，使入射波受到很強(qiáng)的干涉，此時適用簡并微擾法。 na 2) ()(00kEkE 由量子力學(xué)簡并微擾理論，零級波函數(shù)為二態(tài)（前進(jìn)波、布拉格反射波）的線性疊加)exp(1)exp(1000 xikLbikxLabakk代入薛定諤方程，得到0)(0)(0*0bEEaVbVaEEknnk情況考慮兩簡并

5、狀態(tài)相近的，取1)1 (),1 (ankank 222222222222222200004)1 (242)1 (2421nnnnnnkkkkVTTEanmTVanmanmVEEEEE，則令討論：討論：1. =0時，時，能量差為2|Vn|,則原來能量相等的兩個態(tài)的能量不再相等，簡并消除，出現(xiàn)禁帶。禁帶的出現(xiàn)是周期場禁帶的出現(xiàn)是周期場作用的結(jié)果作用的結(jié)果nnVTE22,nniinnnnnnnETVVaVV eVVV ebV得到令)cos(2)(000 xanLaeeeeeLaebaixk iiikxiikk)sin(20 xanLaieinnVVba同理，由得到0)(代入*0bVaEEnknnVT

6、E0)(代入*0bVaEEnk波函數(shù)的特點(diǎn)波函數(shù)的特點(diǎn) 電子云駐波分布電子云駐波分布 2),(sin42220 xanLa2),(cos42220 xanLa由圖可知，由圖可知， 這就是在這就是在B.Z.邊界上能量產(chǎn)生不連續(xù)跳躍的原邊界上能量產(chǎn)生不連續(xù)跳躍的原因。因。 勢能之差能隙勢能之差能隙2Vn）的勢能高（）比（xnaxna,n從自由電子的Ek關(guān)系（拋物線）可知， 有顯著的差異，在弱周期場的情況下，滿足n這時處于非簡并的狀態(tài)，由非簡并微擾的能量二級修正和波函數(shù)的一級修正可知，其微擾修正項(xiàng)都很小，因此在 波矢遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界時，近自由電子的波矢遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界時，近自由電子的能量和波函數(shù)與自

7、由電子相似。能量和波函數(shù)與自由電子相似。2.0時時,k值值遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界的情況布里淵區(qū)邊界的情況00kkEE 與nkkVEE003.0時時,k值接近布里淵區(qū)邊界的情況值接近布里淵區(qū)邊界的情況以以為變量的開口向上的拋物線為變量的開口向上的拋物線以以為變量的開口向下的拋物線為變量的開口向下的拋物線在布里淵區(qū)邊界附近(0)，能量E+(k)和E_(k)分別以拋物線形式趨向Tn|Vn| 和Tn|Vn|。2)21 (nnnnnVTTVTE2) 12(nnnnnVTTVTEnkkVEE00簡約區(qū)圖式簡約區(qū)圖式簡約波數(shù)簡約波數(shù) 由于k 和k+Km 對應(yīng)的量子態(tài)是等價的。在一維情況下，可以把k 分解成布洛

8、赫函數(shù)為布洛赫函數(shù)為在第一布里淵區(qū)外的k，如果用 來標(biāo)志，可以通過把k 改變一個倒格矢，使它落于第一布里淵區(qū)范圍， 這樣每一個能帶各狀態(tài)對應(yīng)于在第一布里淵區(qū)不同的簡約波矢 ；對于同一個 有能量高低不同的一系列狀態(tài)，分屬于能帶1，2，kkk周期函數(shù)mxaixk iee2(a)重復(fù)區(qū)圖式重復(fù)區(qū)圖式(虛線內(nèi)為簡約虛線內(nèi)為簡約區(qū)圖式區(qū)圖式)(b)擴(kuò)展區(qū)圖式擴(kuò)展區(qū)圖式三、布里淵區(qū)和能帶布里淵區(qū)和能帶1.布里淵區(qū)界面設(shè)發(fā)生簡并微擾的兩個態(tài)是結(jié)論：結(jié)論：倒格矢的中垂面上即布里淵區(qū)邊界發(fā)生能量突變（斷開）02,22）（即滿足關(guān)系hhhhKkKKkkKkkk二維正方晶格的布里淵區(qū)面心立方晶格的第一布里淵區(qū)面心立

9、方晶格的第一布里淵區(qū)主要對稱軸：X軸，四度旋轉(zhuǎn)軸，波矢取值， 01；：L軸，三度旋轉(zhuǎn)軸，波矢取值， 01/2； ：K軸，二度旋轉(zhuǎn)軸，波矢取值， 0 3/4。 ），（002a），（a2），（02a體心立方晶格的第一布里淵區(qū)n體心立方晶格的倒格子是面心立方格子。本圖中用實(shí)心圓點(diǎn)標(biāo)出了倒格點(diǎn)。在倒空間中畫出它的第一布里淵區(qū)。如果正格子體心立方體的邊長是a，則倒格子為邊長等于4/a的面心立方。 主要的對稱點(diǎn)： ；H： ；P： ；N：），（0002a），（0012a），（2121212a），（021212a主要對稱軸：H軸，四度旋轉(zhuǎn)軸，波矢取值， 01；：P軸，三度旋轉(zhuǎn)軸，波矢取值， 01/2； ：N軸，二度旋轉(zhuǎn)軸，波矢取值，