數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ) 第二章邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)

1、第二章第二章 邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)化簡(jiǎn) 基本邏輯運(yùn)算和復(fù)合邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算和復(fù)合邏輯運(yùn)算 邏輯代數(shù)的基本定律及規(guī)則邏輯代數(shù)的基本定律及規(guī)則 邏輯函數(shù)的表示方法及其轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)的表示方法及其轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法 與邏輯與邏輯2.1 2.1 基本邏輯運(yùn)算和復(fù)合邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算和復(fù)合邏輯運(yùn)算或邏輯或邏輯非邏輯非邏輯ABBAY BAY A Y 數(shù)碼數(shù)碼0, 1相反的邏輯狀態(tài)相反的邏輯狀態(tài)1. 與邏輯：與邏輯：當(dāng)決定一事件的所有條件都具備時(shí)，這當(dāng)決定一事件的所有條件都具備時(shí)，這個(gè)事件才發(fā)生個(gè)事件才發(fā)生, ,這樣的邏輯關(guān)系稱為這樣的邏輯關(guān)系稱為與與邏輯邏輯。

2、功能表功能表2.1.1 2.1.1 基本邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算滅滅滅滅滅滅亮亮斷斷 斷斷斷斷 合合合合 斷斷合合合合與邏輯關(guān)系與邏輯關(guān)系開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)B燈燈Y電源電源ABY真值表真值表與邏輯的表示方法：與邏輯的表示方法：000100011011功能表功能表滅滅滅滅滅滅亮亮斷斷 斷斷斷斷 合合合合 斷斷合合 合合ABYABY開(kāi)關(guān)斷用開(kāi)關(guān)斷用0表示表示, 開(kāi)關(guān)閉合用開(kāi)關(guān)閉合用1表示表示燈亮用燈亮用1表示表示, 滅用滅用0表示表示（Truth table）真值表真值表邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式邏邏輯輯符符號(hào)號(hào)ABY&000100011011ABBAY ABY 見(jiàn)見(jiàn)0為為0 全全1為為1 與門與門

3、（AND gate)2. 或邏輯：或邏輯： 決定某一事件的條件只要有一個(gè)或一個(gè)以上具備決定某一事件的條件只要有一個(gè)或一個(gè)以上具備時(shí)，這個(gè)事件就會(huì)發(fā)生時(shí)，這個(gè)事件就會(huì)發(fā)生, ,這樣的邏輯關(guān)系稱為這樣的邏輯關(guān)系稱為或邏輯或邏輯。或邏輯關(guān)系或邏輯關(guān)系開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)B燈燈Y電源電源真值表真值表011100011011ABY開(kāi)關(guān)斷用開(kāi)關(guān)斷用0表示表示, 開(kāi)關(guān)閉合用開(kāi)關(guān)閉合用1表示表示燈亮用燈亮用1表示表示, 滅用滅用0表示表示BAY 真值表真值表邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式邏邏輯輯符符號(hào)號(hào)011100011011ABYABY1 見(jiàn)見(jiàn)1為為1 全全0為為0或門或門（OR gate) )ABY1見(jiàn)見(jiàn)“0”為為“

4、0”，全全“1”為為“1”見(jiàn)見(jiàn) “1”為為“1”，全全“0”為為“0”&ABY1 1ABY2Y23. 非邏輯：非邏輯： 只要條件具備，事件便不會(huì)發(fā)生；條件不具備，只要條件具備，事件便不會(huì)發(fā)生；條件不具備，事件一定發(fā)生的邏輯關(guān)系。事件一定發(fā)生的邏輯關(guān)系。真值表真值表邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式A Y 邏邏輯輯符符號(hào)號(hào)非邏輯關(guān)系非邏輯關(guān)系1001AY1開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)A燈燈Y電源電源RAY非門非門（NOT gate)(1) 與非邏輯與非邏輯 ABY 1AB&1Y2. 1. 2 復(fù)合邏輯運(yùn)算復(fù)合邏輯運(yùn)算真值表真值表 0 0 0 100 0 11011ABY Y1 1 1 1 0 見(jiàn)見(jiàn)0為為1 全全1

5、為為0邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式邏邏輯輯符符號(hào)號(hào)(2) 或或非邏輯非邏輯 2. 1. 2 復(fù)合邏輯運(yùn)算復(fù)合邏輯運(yùn)算真值表真值表 0 1 1 10 0 0 11 01 1ABY Y2 1 0 0 0 見(jiàn)見(jiàn)1為為0 全全0為為1邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式邏邏輯輯符符號(hào)號(hào)BAY 2AB2Y1(3) 與或與或(非非)邏輯邏輯 (真值表略真值表略)CDABY 3AB&CD3Y1CDABY3與或非邏輯與或非邏輯與或邏輯與或邏輯(4) 異或邏輯異或邏輯(5) 同或邏輯同或邏輯( (異或非異或非) )AB=14YBABABAY 401100 00 11 01 1 AB=15YBAY 5= ABABY4ABBA 1

6、0010 00 11 01 1ABY5曾用符號(hào)曾用符號(hào)美國(guó)符號(hào)美國(guó)符號(hào)ABYABYABYAYAY國(guó)標(biāo)符號(hào)國(guó)標(biāo)符號(hào)AB&BAY A1AY ABYABBAY 12. 1. 3 邏輯符號(hào)對(duì)照邏輯符號(hào)對(duì)照國(guó)標(biāo)符號(hào)國(guó)標(biāo)符號(hào)曾用符號(hào)曾用符號(hào)美國(guó)符號(hào)美國(guó)符號(hào)AB&BAY ABYABYABYAB=1BAY ABY ABYABYABBAY 1或：或：0 + 0 = 01 + 0 = 11 + 1 = 1 與：與：0 0 = 00 1 = 01 1 = 1 非：非： 1 0 0 1 二、變量和常量的關(guān)系二、變量和常量的關(guān)系( (變量：變量：A、B、C) )或：或：A + 0 = AA + 1 =

7、1與與: :A 0 = 0A 1 = A 非：非： 0 AA AA1 2. 2. 1 邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)的基本定律一、一、 常量之間的關(guān)系常量之間的關(guān)系( (常量：常量：0 和和 1 ) ) 2.2 邏輯代數(shù)的基本定律及規(guī)則邏輯代數(shù)的基本定律及規(guī)則三、與普通代數(shù)相似的定理三、與普通代數(shù)相似的定理交換律交換律ABBA ABBA 結(jié)合律結(jié)合律)()(CBACBA )()(CBACBA 分配律分配律ACABCBA )()( )(CABABCA 證明公式證明公式)(CABABCA 方法一：公式法方法一：公式法CBBACAAACABA )(右右式式BCABACA BCBCA )1(左式左式 BC

8、A 證明公式證明公式)(CABABCA 方法二：真值表法方法二：真值表法 ( (將變量的各種取值代入等式將變量的各種取值代入等式兩邊，進(jìn)行計(jì)算并填入表中兩邊，進(jìn)行計(jì)算并填入表中) ) A B CCB BCA BA CA )(CABA 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 1 相等相等四、邏輯代數(shù)的一些特殊定理四、邏輯代數(shù)的一些特殊定理BABA BABA 同一律同一律A + A = AA A = A還原律還原律AA 證明：證明： 德德 摩

9、根定摩根定理理 A B 0 0 0 1 1 0 1 1BA BA 00 0 1 1110ABBA 11 0 0 10101110BA BA BA 011110001000相等相等相等相等德德 摩根定摩根定理理五、五、若干常用公式若干常用公式BAAB (1)ABA (2)BAA (3)CAABBCCAAB (4)AAA ) ()(BBA )1(BA )(BAAA A A BA 推廣推廣 BCAACAAB)( 左左BCAABCCAAB CAAB CAABBCDCAAB 推論推論AABA )( )(CABABCA 分配律分配律ABB ABABA BABA 左左)()(BA BA BBABB AAA

10、ABB A (5)即即BA = AB同理可證同理可證BA ABBABA BABA 六、關(guān)于異或運(yùn)算的一些公式六、關(guān)于異或運(yùn)算的一些公式異或異或同或同或BABABA B AAB AB(1) 交換律交換律ABBA (2) 結(jié)合律結(jié)合律)()(C BACBA (3) 分配律分配律 )(ACAB C BA BA = ABBA AB(4) 常量和變量的異或運(yùn)算常量和變量的異或運(yùn)算AA 1AA 00 AA1 AA(5) 因果互換律因果互換律如果如果CBA BCA 則有則有ACB BCABCBBA0CABCABAA0證明證明2.2.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則1. 代入規(guī)則：代入規(guī)則：等式中某一

11、變量都代之以一個(gè)邏等式中某一變量都代之以一個(gè)邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。輯函數(shù)，則等式仍然成立。BABA BCABCABCA )()()(CBBABCABBCAB)(CBACBACBABABA AA1 ABAB1 CABCAB1BABAACABCABABBABAAAA1CABCAB1)(例如：例如：已知已知 )( 1CDCBAY ) ( ) (1DCCBAY CDCBAY 2 CDCBAY )(22.反演規(guī)則：反演規(guī)則：求邏輯函數(shù)的反函數(shù)求邏輯函數(shù)的反函數(shù)則則 將將 Y 式中式中“.”換成換成“+”,“+”換成換成“.” “0”換成換成“1”,“1”換成換成“0” 原原變量換成變量換成反反變量，

12、變量，反反變量換成變量換成原原變量變量已知已知?jiǎng)t則運(yùn)算順序：運(yùn)算順序：括號(hào)括號(hào) 與與 或或不屬于單個(gè)變量上不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變的反號(hào)應(yīng)保留不變Y3. 對(duì)偶規(guī)則：對(duì)偶規(guī)則：如果兩個(gè)表達(dá)式相等，則它們的對(duì)如果兩個(gè)表達(dá)式相等，則它們的對(duì)偶式也一定相等。偶式也一定相等。將將 Y 中中“. ”換成換成“+”,“+”換成換成“.”“0” 換成換成“1”,“1”換成換成“0” )()(1DC BCAY )( 1CDCBAY CDCBA Y 2 CD CBAY )(2例如例如對(duì)偶規(guī)則的應(yīng)用對(duì)偶規(guī)則的應(yīng)用：證明等式成立：證明等式成立0 0 = 01 + 1 = 1 0 AA AA1 ) ( 對(duì)對(duì)偶偶

13、式式Y(jié) 運(yùn)算順序：運(yùn)算順序：括號(hào)括號(hào) 與與 或或 2.3.1 2.3.1 邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式 2.3 邏輯函數(shù)的表示方法及其轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)的表示方法及其轉(zhuǎn)換2.3.2 2.3.2 真值表真值表2.3.3 2.3.3 卡諾圖卡諾圖2.3.4 2.3.4 邏輯圖邏輯圖2.3.6 2.3.6 邏輯函數(shù)表示方法間的相互轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)表示方法間的相互轉(zhuǎn)換2.3.5 2.3.5 波形圖波形圖邏輯函數(shù)的基本概念邏輯函數(shù)的基本概念邏輯函數(shù)：邏輯函數(shù)： CBAFY, 如果輸入邏輯變量如果輸入邏輯變量 A、B、C 的的取值確定之后，輸出邏輯變量取值確定之后，輸出邏輯變量 Y 的的值也被唯一確定，則稱值也被唯一確定，

14、則稱 Y 是是 A、B、C 的邏輯函數(shù)。并記作的邏輯函數(shù)。并記作 邏輯函數(shù)具有以下特點(diǎn)：邏輯函數(shù)具有以下特點(diǎn)：1. 1. 輸入變量與輸出變量之間的輸入變量與輸出變量之間的邏輯邏輯關(guān)系；關(guān)系；2. 2. 函數(shù)由三種函數(shù)由三種基本邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算組成；組成；3. 3. 輸入和輸出邏輯變量的取值只能是輸入和輸出邏輯變量的取值只能是0 0或或1 1。邏輯函數(shù)的相等邏輯函數(shù)的相等),.,(),.,(21222111nnaaafFaaafF 若兩邏輯函數(shù)具有相同的真值表，則這兩若兩邏輯函數(shù)具有相同的真值表，則這兩個(gè)邏輯函數(shù)相等。個(gè)邏輯函數(shù)相等。 從邏輯問(wèn)題建立邏輯函數(shù)的過(guò)程從邏輯問(wèn)題建立邏輯函數(shù)的過(guò)程

15、 在現(xiàn)實(shí)生活中，為了解決實(shí)際邏輯問(wèn)在現(xiàn)實(shí)生活中，為了解決實(shí)際邏輯問(wèn)題題，應(yīng)根據(jù)提出的問(wèn)題，確定哪些是邏輯自變量，應(yīng)根據(jù)提出的問(wèn)題，確定哪些是邏輯自變量，哪些是邏輯因變量，然后研究他們之間的因哪些是邏輯因變量，然后研究他們之間的因果關(guān)系，列出真值表，再根據(jù)真值表寫(xiě)出邏果關(guān)系，列出真值表，再根據(jù)真值表寫(xiě)出邏輯表達(dá)式。輯表達(dá)式。通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子加以通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子加以介紹。介紹。 右圖是一個(gè)控制樓梯右圖是一個(gè)控制樓梯照明燈的電路。為了省電，照明燈的電路。為了省電，人在樓下開(kāi)燈，上樓后可關(guān)人在樓下開(kāi)燈，上樓后可關(guān)燈；反之亦然。燈；反之亦然。A A、B B是兩個(gè)是兩個(gè)單刀雙擲開(kāi)關(guān)，單刀雙擲開(kāi)關(guān)，A

16、A裝在上，裝在上，B B d c b a B A 220 裝在樓下。只有當(dāng)兩個(gè)開(kāi)關(guān)同時(shí)向上或向裝在樓下。只有當(dāng)兩個(gè)開(kāi)關(guān)同時(shí)向上或向下時(shí)，燈才被點(diǎn)亮。試用一個(gè)邏輯函數(shù)來(lái)下時(shí)，燈才被點(diǎn)亮。試用一個(gè)邏輯函數(shù)來(lái)描述開(kāi)關(guān)描述開(kāi)關(guān)A A、B B與照明燈之間的關(guān)系。與照明燈之間的關(guān)系。 解：解：(1) 設(shè)開(kāi)關(guān)設(shè)開(kāi)關(guān)A、B為輸入變量為輸入變量:開(kāi)關(guān)接開(kāi)關(guān)接 上面為上面為 “1”，開(kāi)關(guān)接下面為，開(kāi)關(guān)接下面為“0”設(shè)電燈設(shè)電燈L為輸出變量，為輸出變量，燈亮燈亮L=1，燈滅燈滅L=0。(3) (3) 根據(jù)真值表，寫(xiě)出邏輯根據(jù)真值表，寫(xiě)出邏輯表達(dá)式表達(dá)式：(2) 列出列出A、B所有狀態(tài)及對(duì)應(yīng)輸出所有狀態(tài)及對(duì)應(yīng)輸出L的

17、的狀態(tài)，即狀態(tài)，即真值表真值表。 把對(duì)應(yīng)函數(shù)值為把對(duì)應(yīng)函數(shù)值為“1”的變量組合挑出的變量組合挑出（即第（即第1、4）組合，寫(xiě)成一個(gè)）組合，寫(xiě)成一個(gè)乘積項(xiàng)乘積項(xiàng)；凡取值為凡取值為“1”的寫(xiě)成的寫(xiě)成原變量原變量 A，取值為，取值為“0”的寫(xiě)成的寫(xiě)成反變量反變量 A ；最后，將上述乘積項(xiàng)最后，將上述乘積項(xiàng)相或相或，即為所求函數(shù)：，即為所求函數(shù)：ABBAL d c b a B A 220 ABL00 0 1 1 0 1 11001CABCABY 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)潔方便，易用公式和定理進(jìn)行運(yùn)書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)潔方便，易用公式和定理進(jìn)行運(yùn)算、變換。算、變換。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：邏輯函數(shù)較復(fù)雜時(shí)，難以直接從變量取邏輯函數(shù)較

18、復(fù)雜時(shí)，難以直接從變量取值看出函數(shù)的值。值看出函數(shù)的值。2. 3. 1 邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)三種最基本的邏輯運(yùn)算：邏我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)三種最基本的邏輯運(yùn)算：邏輯與；邏輯或；邏輯非，用他們，可以解決所輯與；邏輯或；邏輯非，用他們，可以解決所有的邏輯運(yùn)算問(wèn)題，因此可以稱之為一個(gè)有的邏輯運(yùn)算問(wèn)題，因此可以稱之為一個(gè)“完完備邏輯集備邏輯集”?；蚺c式或與式與或非式與或非式1. 邏輯表達(dá)式的類型邏輯表達(dá)式的類型BCCAABY 與或式與或式CAAB 與非與非-與非式與非式或與非式或與非式CBCABA )()(CA BA CA BA 或非或非-或非式或非式CAAB CA BA 或非或非-或式或式)

19、(CABA 核心核心標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式) ( A ,B ,CFY CBABCACABABC CAAB 1 ） 最小項(xiàng)最小項(xiàng))()(BBCACCAB 標(biāo)準(zhǔn)與標(biāo)準(zhǔn)與或式或式標(biāo)準(zhǔn)與或式就是最小項(xiàng)之和的形式標(biāo)準(zhǔn)與或式就是最小項(xiàng)之和的形式最小項(xiàng)最小項(xiàng)（1） 最小項(xiàng)的概念：最小項(xiàng)的概念： 包括所有變量的乘積項(xiàng)，每個(gè)變量均以原變量或包括所有變量的乘積項(xiàng)，每個(gè)變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。反變量的形式出現(xiàn)一次。) ( A ,B FY ( ( 2 變量共有變量共有 4 個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)) )BABABAAB) (A ,B ,C ,DFY ( ( 4 變量共有變量共有 16 個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng))

20、)( ( n 變量共有變量共有 2n 個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)) )DCBADCBADABCABCDDCBA) ( A ,B ,CFY ( ( 3 變量共有變量共有 8 個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)) )CBACBACBABCACBACBACABABC1 CBA1 CBA對(duì)應(yīng)規(guī)律：對(duì)應(yīng)規(guī)律：1 原變量原變量 0 反變量反變量（2） 最小項(xiàng)的性質(zhì)：最小項(xiàng)的性質(zhì)：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B CCBACBACBABCACBACBACA

21、BABCa 任任一最小項(xiàng)，只有一組對(duì)應(yīng)變量取值使其值為一最小項(xiàng)，只有一組對(duì)應(yīng)變量取值使其值為 1 ；A B C 0 0 1A B C 1 0 1b 任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為 0 ；c 全體最小項(xiàng)之和為全體最小項(xiàng)之和為 1 ；d 任何兩個(gè)相鄰任何兩個(gè)相鄰項(xiàng)項(xiàng)均可合并成一項(xiàng)并消去一個(gè)互補(bǔ)因子。均可合并成一項(xiàng)并消去一個(gè)互補(bǔ)因子。（3） 最小項(xiàng)的編號(hào)：最小項(xiàng)的編號(hào)： 把與最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與之把與最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與之相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號(hào)，用相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號(hào)，用 mi 表示。表示。對(duì)應(yīng)規(guī)律：對(duì)應(yīng)規(guī)律：原變量原變量 1

22、反變量反變量 0CBACBACBABCACBACBACABABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m72） 最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式CAABA ,B ,CFY ) ( BCA CBAABCCAB 3176mmmm m7 , 6 , 3 , 1 任何邏輯函數(shù)都是由其變量的若干個(gè)最小項(xiàng)構(gòu)成，任何邏輯函數(shù)都是由其變量的若干個(gè)最小項(xiàng)構(gòu)成，都可以表示成為最小項(xiàng)之和的形式。都可以表示成為最小項(xiàng)之和的形式。)()(BBCACCABY 例例 寫(xiě)出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：寫(xiě)出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式： 解解 或或m6

23、m7m1m3 例例 寫(xiě)出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：寫(xiě)出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：CBADABY )( )( )(CBDABA )( )(CBD BA DCBCABA )()()(AADCBBBCACCBA DCBADCBACBACBABCA DCBADCBADCBADCBA DCBADCBADBCABCDA m7m6m5m4m1m0m88014567mmmmmmm ) 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 1 , 0 (mm0與前面與前面m0相重相重ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：直觀明了，便于將實(shí)際邏直觀明了，便于

24、將實(shí)際邏輯問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)式。輯問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)式。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：難以用公式和定理進(jìn)行運(yùn)難以用公式和定理進(jìn)行運(yùn)算和變換；變量較多時(shí)，算和變換；變量較多時(shí)，列函數(shù)真值表較繁瑣。列函數(shù)真值表較繁瑣。CABCABY 2. 3. 2 邏輯真值表邏輯真值表2. 3. 3 卡諾圖卡諾圖優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 便于求出邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)便于求出邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。與或表達(dá)式。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 只適于表示和化簡(jiǎn)變量個(gè)數(shù)只適于表示和化簡(jiǎn)變量個(gè)數(shù)比較少的邏輯函數(shù)，也不便比較少的邏輯函數(shù)，也不便于進(jìn)行運(yùn)算和變換。于進(jìn)行運(yùn)算和變換。ABC010001 11 10111100001. 變量卡諾圖的畫(huà)法變量卡諾圖的畫(huà)法卡諾圖：卡諾

25、圖：最小項(xiàng)方格圖最小項(xiàng)方格圖( (按循環(huán)碼排列按循環(huán)碼排列) )（1）變量卡諾圖一般都化成正方形或矩形）變量卡諾圖一般都化成正方形或矩形（2）按循環(huán)碼）按循環(huán)碼 ( (格雷碼格雷碼) )排列排列變量取值順序。變量取值順序。卡諾圖：卡諾圖：( (按循環(huán)碼排列按循環(huán)碼排列) )iiiBBG1G2 G1 G0B2 B1 B0 0 0 0 0 0 0100G 0 0 1001G002G 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 02. 變量變量 的卡諾圖的卡諾圖 ( (四個(gè)最小項(xiàng)四個(gè)最小項(xiàng))

26、)ABAABBBABABAAB0mAB01011m2m3mAB0101三變量三變量 的卡諾圖：的卡諾圖：八個(gè)最小項(xiàng)八個(gè)最小項(xiàng)ABC010001 10 1111 10卡諾圖的實(shí)質(zhì)：卡諾圖的實(shí)質(zhì)：邏輯相鄰邏輯相鄰幾何相鄰幾何相鄰邏輯不相鄰邏輯不相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰緊挨著緊挨著行或列的兩頭行或列的兩頭對(duì)折起來(lái)位置重合對(duì)折起來(lái)位置重合邏輯相鄰：邏輯相鄰：兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同 邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)可邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。如：如：ABCABCACm0m1m2m3m4m5m6m7五變量五變量 的卡諾圖

27、：的卡諾圖：四變量四變量 的卡諾圖：的卡諾圖：十六個(gè)最小項(xiàng)十六個(gè)最小項(xiàng)ABCD0001111000 01 11 10 當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過(guò)當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過(guò)六個(gè)以上時(shí)，無(wú)法使六個(gè)以上時(shí)，無(wú)法使用圖形法進(jìn)行化簡(jiǎn)。用圖形法進(jìn)行化簡(jiǎn)。ABCDE00011110000 001 011 010 110 111 101 100以此軸為對(duì)稱軸（對(duì)折后位置重合）以此軸為對(duì)稱軸（對(duì)折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22

28、m23m20m21幾幾何何相相鄰鄰幾何相鄰幾何相鄰幾何相鄰幾何相鄰三十二個(gè)最小項(xiàng)三十二個(gè)最小項(xiàng)3. 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1）. 根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫(huà)出相應(yīng)的卡諾圖；根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫(huà)出相應(yīng)的卡諾圖；2）. 將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式；將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式； 3）. 在卡諾圖上與這些在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置上填入對(duì)應(yīng)的位置上填入 1 ， 其余其余位置填位置填 0 或或不填不填。 例例 ) (C B , A ,FY ACBCAB CBABCACABABC ABC010001 11 1011110000CABCABY ABYC&優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：最接近實(shí)際電路。最

29、接近實(shí)際電路。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：不能進(jìn)行運(yùn)算不能進(jìn)行運(yùn)算和變換，所表示的和變換，所表示的邏輯關(guān)系不直觀。邏輯關(guān)系不直觀。&ABBCAC12. 3. 4 邏輯圖邏輯圖波形圖波形圖輸入變量和對(duì)應(yīng)的輸出變量隨輸入變量和對(duì)應(yīng)的輸出變量隨時(shí)間變化的波形時(shí)間變化的波形ABY ABY優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：形象直觀地表示了變量取值與函數(shù)值在時(shí)間上形象直觀地表示了變量取值與函數(shù)值在時(shí)間上的對(duì)應(yīng)關(guān)系。的對(duì)應(yīng)關(guān)系。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 難以用公式和定理進(jìn)行運(yùn)算和變換，當(dāng)變量個(gè)難以用公式和定理進(jìn)行運(yùn)算和變換，當(dāng)變量個(gè)數(shù)增多時(shí)，畫(huà)圖較麻煩。數(shù)增多時(shí)，畫(huà)圖較麻煩。2. 3. 5 波形圖波形圖2. 3. 6 邏輯函數(shù)各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)

30、換邏輯函數(shù)各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換1.1.真值表真值表函數(shù)式函數(shù)式邏輯圖邏輯圖 例例 設(shè)計(jì)一個(gè)舉重裁判電路。在一名主裁判設(shè)計(jì)一個(gè)舉重裁判電路。在一名主裁判(A) 和兩名和兩名副裁判副裁判 (B、C) 中，必須有兩人以上中，必須有兩人以上( (必有主裁判必有主裁判) )認(rèn)定運(yùn)動(dòng)認(rèn)定運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)作合格，試舉才算成功。員的動(dòng)作合格，試舉才算成功。(1) 真值表真值表函數(shù)式函數(shù)式ABCCABCBAY 將真值表中使邏輯函數(shù)將真值表中使邏輯函數(shù) Y = 1 的的輸入變量取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)相輸入變量取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)相加，即得加，即得 Y 的邏輯函數(shù)式。的邏輯函數(shù)式。ABCY0 0 00 0 10 1

31、 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111函數(shù)式函數(shù)式ABCCABCBAY 卡諾圖化簡(jiǎn)卡諾圖化簡(jiǎn)ABC010001 11 1011010000ACABY (2) 函數(shù)式函數(shù)式邏輯圖邏輯圖ABY&C&1真值表真值表函數(shù)式函數(shù)式2.2.邏輯圖邏輯圖ABBABAY ABBABA )()(BABBAA BABA BA 0110ABY00011011ABABA ABB BAY&2.4 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.4.1 關(guān)于邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的幾個(gè)問(wèn)題關(guān)于邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的幾個(gè)問(wèn)題1. 化簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)化簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)（1）與項(xiàng)個(gè)數(shù)最少）與項(xiàng)個(gè)數(shù)最少 （2）每個(gè)

32、與項(xiàng)中變量個(gè)數(shù)最少）每個(gè)與項(xiàng)中變量個(gè)數(shù)最少卡諾圖法卡諾圖法代數(shù)法代數(shù)法2. 化簡(jiǎn)的方法化簡(jiǎn)的方法2. 4. 2 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法1. 并項(xiàng)法并項(xiàng)法: :ABAAB BACABABCY BAAB B CBACABCBAABCY )()(CBCBA C BBCA A )(CBACBA 例例 例例 （與或式（與或式最簡(jiǎn)與或式）最簡(jiǎn)與或式）公式公式定理定理2. 吸收法：吸收法：AABA EBDAABY EBDABA BA BCDC BA BCAAY )( )()()(DC BA BCABCA BCA 例例 例例 CDBCDAABY CDBAAB )( CDABAB AB BA

33、例例3. 消去法：消去法：BABAA CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB ABCCBABABAY )()(BCBA CBB A )()(CBA CB A ACCABABA CBABA 例例 例例 4.配項(xiàng)消項(xiàng)法：配項(xiàng)消項(xiàng)法：CAABBCCAAB AB ABCACB 或或BCCACACB BCCABA BCCABACBACBAY CBACBA BCCABA BA BCCACACBY 或或BCCABACBACBA 例例 例例 冗余項(xiàng)冗余項(xiàng)冗余項(xiàng)冗余項(xiàng)綜合練習(xí)：綜合練習(xí)：EACDECBEDCBBEAACEY DCBACDCBBAACE ) (DCBEADEBECE DCBEADCBE

34、 )(DCBEADCBE DCBEAE DCBE DCBADBCE ) (2.4.3 利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)幾何相鄰：幾何相鄰：相接相接 緊挨著緊挨著相對(duì)相對(duì) 行或列的兩頭行或列的兩頭相重相重 對(duì)折起來(lái)位置重合對(duì)折起來(lái)位置重合邏輯相鄰：邏輯相鄰：CABCBA CBCBAA )(例如例如兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同化簡(jiǎn)方法：化簡(jiǎn)方法：卡諾圖的缺點(diǎn)：卡諾圖的缺點(diǎn)：函數(shù)的變量個(gè)數(shù)不宜超過(guò)函數(shù)的變量個(gè)數(shù)不宜超過(guò) 6 個(gè)。個(gè)。邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并成一邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。1. 卡諾圖中最小項(xiàng)合并規(guī)律：

35、卡諾圖中最小項(xiàng)合并規(guī)律：(1) 兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去一個(gè)因子兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去一個(gè)因子ABC010001 11 100432CBCBACBA BACBACBA ABCD0001111000 01 11 101946DCBDCBADCBA DBADCBADCBA (2) 四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去兩個(gè)因子四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去兩個(gè)因子ABCD0001111000 01 11 1004128DC 321011CB ABCD0001111000 01 11 105713 15BD02810DB 81240mmmm DCBADCABDCBADCBA DC 111023mmmm DCB

36、ADCBADCBADCBA CB 151375mmmm DCBADCBADCBADCBA BD 10820mmmm DCBADCBADCBADCBA DB (3) 八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去三個(gè)因子八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去三個(gè)因子ABCD0001111000 01 11 1004128C 321011B ABCD0001111000 01 11 105713 15B02810D151394612142n 個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去 n 個(gè)因子個(gè)因子總結(jié)：總結(jié)：2、 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)步驟化簡(jiǎn)步驟: :(1) 畫(huà)函數(shù)的卡諾圖畫(huà)函數(shù)的卡諾圖(2)

37、合并最小項(xiàng)：合并最小項(xiàng)： 畫(huà)包圍圈畫(huà)包圍圈(3) 寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式 例例 CBADCACBCDBY ABCD0001111000 01 11 1011111111CB DBACBACBADB ACBY 解解 CBADCACBCDBY ABCD0001111000 01 11 1011111111畫(huà)包圍圈的原則：畫(huà)包圍圈的原則： (1) 先圈孤立項(xiàng)，再圈僅有一先圈孤立項(xiàng)，再圈僅有一種合并方式的最小項(xiàng)。種合并方式的最小項(xiàng)。 (2) 圈越大越好，但圈的個(gè)數(shù)圈越大越好，但圈的個(gè)數(shù)越少越好。越少越好。 (3) 最小項(xiàng)可重復(fù)被圈，但每最小項(xiàng)可重復(fù)被圈，但每個(gè)圈中至少有一個(gè)新的最小項(xiàng)。個(gè)

38、圈中至少有一個(gè)新的最小項(xiàng)。 (4) 必需把組成函數(shù)的全部最小項(xiàng)圈完，并做認(rèn)真必需把組成函數(shù)的全部最小項(xiàng)圈完，并做認(rèn)真比較、檢查才能寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或式。比較、檢查才能寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或式。不正確不正確的畫(huà)圈的畫(huà)圈 例例 mD,C,B,AF) 15 , 13 , 21 , 8 , 6 , 5 , 4 , 1 () ( 解解 (1) 畫(huà)函數(shù)的卡諾圖畫(huà)函數(shù)的卡諾圖ABCD0001111000 01 11 1011111111(2) 合并最小項(xiàng)：合并最小項(xiàng)： 畫(huà)包圍圈畫(huà)包圍圈(3) 寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式多余多余的圈的圈DBAABDDCADCAY 注意：注意：先圈孤立項(xiàng)先圈孤立項(xiàng)利用圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)利

39、用圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)利用圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)利用圖形法化簡(jiǎn)函數(shù) 例例 mF) 15 , 14 , 11 , 10 , 8 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ( 解解 (1) 畫(huà)函數(shù)的卡諾圖畫(huà)函數(shù)的卡諾圖ABCD0001111000 01 11 101111111111(2) 合并最小項(xiàng)：合并最小項(xiàng)： 畫(huà)包圍圈畫(huà)包圍圈(3) 寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或?qū)懗鲎詈?jiǎn)與或 表達(dá)式表達(dá)式D BD C AACB AY 例例 用圖形法求反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式用圖形法求反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式ACBCABY 解解 (1) 畫(huà)函數(shù)的卡諾圖畫(huà)函數(shù)的卡諾圖ABC010001 11 1011110000(2) 合并函數(shù)值為合并函數(shù)值為 0

40、 的最小項(xiàng)的最小項(xiàng)(3) 寫(xiě)出寫(xiě)出 Y 的反函數(shù)的的反函數(shù)的 最簡(jiǎn)與或表達(dá)式最簡(jiǎn)與或表達(dá)式CACBBAY 2. 4. 4 具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)1. 無(wú)關(guān)項(xiàng)（約束）的概念和約束條件無(wú)關(guān)項(xiàng)（約束）的概念和約束條件(1) 約束：約束： 輸入變量取值所受的限制輸入變量取值所受的限制例如，例如，邏輯變量邏輯變量 A、B、C，分別表示電梯的分別表示電梯的 升、降、停升、降、停 命令命令。A = 1 表示升表示升，B = 1 表示降表示降，C = 1 表示停表示停。ABC 的可能取值的可能取值(2) 約束項(xiàng)：約束項(xiàng)：不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)。不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對(duì)應(yīng)的

41、最小項(xiàng)。不可能取值不可能取值001010100000011101110111(3) 約束條件：約束條件：ABCCABCBABCACBA 0 ABCCABCBABCAC B A(2) 在邏輯表達(dá)式中，用等于在邏輯表達(dá)式中，用等于 0 的條件等式表示。的條件等式表示。000011101110111由約束項(xiàng)相加所構(gòu)成的值為由約束項(xiàng)相加所構(gòu)成的值為 0 的的邏輯表達(dá)式。邏輯表達(dá)式。約束項(xiàng)：約束項(xiàng)：約束條件：約束條件：或或0) 7 , 6 , 5 , 3 , 0 ( d2. 約束條件的表示方法約束條件的表示方法(1) 在真值表和卡諾圖上用叉號(hào)在真值表和卡諾圖上用叉號(hào)( () )表示。表示。例如，上例中例

42、如，上例中 ABC 的不可能取值為的不可能取值為3. 具有約束的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)具有約束的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 例例 化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) dmDC ,B ,A ,F ) 15 , 14 , 12 , 10 , 9 , 5 , 3 () 8 , 7 , 1 () ( 化簡(jiǎn)步驟化簡(jiǎn)步驟: :(1) 畫(huà)函數(shù)的卡諾圖，順序畫(huà)函數(shù)的卡諾圖，順序 為：為：ABCD0001111000 01 11 10先填先填 1 0111000000(2) 合并最小項(xiàng)，畫(huà)圈時(shí)合并最小項(xiàng)，畫(huà)圈時(shí) 既可以當(dāng)既可以當(dāng) 1 ，又可以當(dāng)又可以當(dāng) 0(3) 寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式DA DAY 解解 0) 15 , 14

43、, 12 , 10 , 9 , 5 , 3 ( d 例例 化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)DCBADCBADCAY 約束條件約束條件0 ACAB 解解 (1) 畫(huà)函數(shù)的卡諾圖畫(huà)函數(shù)的卡諾圖ABCD0001111000 01 11 101111(2) 合并最小項(xiàng)合并最小項(xiàng)(3) 寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式DAD BDCY 合并時(shí)，究竟把合并時(shí)，究竟把 作為作為 1 還是作為還是作為 0 應(yīng)以得到應(yīng)以得到的的包圍圈最大且個(gè)數(shù)最少為原則。包圍圈內(nèi)都包圍圈最大且個(gè)數(shù)最少為原則。包圍圈內(nèi)都是約束項(xiàng)無(wú)意義是約束項(xiàng)無(wú)意義( (如圖所示如圖所示) )。注意：注意：0 ACAB1. 三種基本邏輯運(yùn)算：三種基本邏輯運(yùn)算：與與 、或、非、或、非2. 四種復(fù)合邏輯運(yùn)算：四種復(fù)合邏輯運(yùn)算： 與非與非 、或非、與或非、異或、或非、與或非、異或 是推演、變換和化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的依據(jù)，有些與普通代數(shù)相同，是推演、變換和化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的依據(jù)，有些與普通代數(shù)相同，有些則完全不同，要認(rèn)真加以區(qū)別。這些定理中，有些則完全不同，要認(rèn)真加以區(qū)別。這些定理中，摩根定理摩根定理最為最為常用。常用。真值表真值表 函數(shù)式函數(shù)式 邏輯符號(hào)邏輯符號(hào)練習(xí)練習(xí) 求下列函數(shù)的反函數(shù)（用摩根定理），并化簡(jiǎn)