第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法

1、第第3章章 靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題解法靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題解法The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary Value Problems 主要內(nèi)容主要內(nèi)容靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題、惟一性定理靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題、惟一性定理鏡像法鏡像法分離變量法分離變量法靜電場(chǎng)基本方程與電位方程靜電場(chǎng)基本方程與電位方程靜電場(chǎng)中的介質(zhì)、導(dǎo)體與電容靜電場(chǎng)中的介質(zhì)、導(dǎo)體與電容23.1 3.1 靜電場(chǎng)基本方程與電位方程靜電場(chǎng)基本方程與電位方程Fundamental Equations of Electrostatic-Field and electric poten

2、tial equations 3.1.1 3.1.1 靜電場(chǎng)的基本方程靜電場(chǎng)的基本方程 靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋、有源場(chǎng)，靜止電荷就是靜電場(chǎng)的源。靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋、有源場(chǎng)，靜止電荷就是靜電場(chǎng)的源。這兩個(gè)重要特性用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)形式為：這兩個(gè)重要特性用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)形式為：0E（1） vD（2） vE （2.a） 0dlElQdsDs（3） （4） （4.a） QdsEs33.1 3.1 靜電場(chǎng)基本方程與電位方程靜電場(chǎng)基本方程與電位方程3.1.2 3.1.2 電位定義電位定義 E 在靜電場(chǎng)中可通過(guò)求解電位函數(shù)在靜電場(chǎng)中可通過(guò)求解電位函數(shù)( (Potential) )， 再利用上式可方便地再利用上式可方便地求得電

3、場(chǎng)強(qiáng)度求得電場(chǎng)強(qiáng)度E 。式中負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。式中負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。1) 1) 電位的引出電位的引出, 0E 根據(jù)矢量恒等式根據(jù)矢量恒等式0) ) 與與 的微分關(guān)系的微分關(guān)系E 在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向總是沿著電位減少的最快的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。方向，其大小等于電位的最大變化率。EE43.1 3.1 靜電場(chǎng)基本方程與電位方程靜電場(chǎng)基本方程與電位方程llddE00l)()(0ppppdEppdddzzdyydxx設(shè)設(shè)P0為參考點(diǎn)為參考點(diǎn)參考點(diǎn)pdEpl)() ) 與與

4、 的積分關(guān)系的積分關(guān)系E53.1 3.1 靜電場(chǎng)基本方程與電位方程靜電場(chǎng)基本方程與電位方程) ) 電位參考點(diǎn)的選擇原則電位參考點(diǎn)的選擇原則 場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。 同一個(gè)物理問(wèn)題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。同一個(gè)物理問(wèn)題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。 選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義。選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義。例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)：例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)：CRq0400RC0RRq040C 表達(dá)式無(wú)意義表達(dá)式無(wú)意義01RR10044RqRqR4qC0 電荷分布在無(wú)窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。電荷分布在無(wú)窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇

5、有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。 電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；rrR63.1 3.1 靜電場(chǎng)基本方程與電位方程靜電場(chǎng)基本方程與電位方程3.1.2 3.1.2 電位方程電位方程1) 1) 泊松方程泊松方程2) 2) 拉普拉斯方程拉普拉斯方程v202vdRrvv41rrR解為解為: :73.2 3.2 靜電場(chǎng)中的介質(zhì)靜電場(chǎng)中的介質(zhì)3.2.1 3.2.1 介質(zhì)的極化介質(zhì)的極化 電介質(zhì)在外電場(chǎng)電介質(zhì)在外電場(chǎng)E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩；作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩； 電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷；電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷； 極化電

6、荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場(chǎng)的源。極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場(chǎng)的源。無(wú)極性分子無(wú)極性分子有極性分子有極性分子電介質(zhì)的極化過(guò)程電介質(zhì)的極化過(guò)程83.2 3.2 靜電場(chǎng)中的介質(zhì)靜電場(chǎng)中的介質(zhì)式中式中 為體積元為體積元 內(nèi)電偶極矩的矢量和，內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負(fù)極化電荷指向的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。正極化電荷。pV用極化強(qiáng)度用極化強(qiáng)度P P表示電介質(zhì)的極化程度，即表示電介質(zhì)的極化程度，即V0VpPlimC/mC/m2 2電偶極矩體密度電偶極矩體密度 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中EP0e 電介質(zhì)的極化率電介質(zhì)的極化率, ,無(wú)量綱量

7、。無(wú)量綱量。均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化。而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場(chǎng)的方向而改變各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場(chǎng)的方向而改變, ,反之稱為各向異性；反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場(chǎng)的值而變化；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場(chǎng)的值而變化；e93.2 3.2 靜電場(chǎng)中的介質(zhì)靜電場(chǎng)中的介質(zhì)3.2.2 3.2.2 介質(zhì)中的高斯定理介質(zhì)中的高斯定理, ,相對(duì)介電常數(shù)相對(duì)介電常數(shù)0vE 0vvE（真空中）（真空中）（電介質(zhì)中）（電介質(zhì)中）定義電位移矢量（定義電位移矢量（ DisplacementDisplacement）P0ED則有則有 D電介質(zhì)中高斯定

8、律的微分形式電介質(zhì)中高斯定律的微分形式代入代入 ,得得Pv)P(10vEvE)P(0其中其中相對(duì)介電常數(shù)；相對(duì)介電常數(shù)；介電常數(shù)，單位（介電常數(shù)，單位（F/mF/m）er1EEEEEEDree00000)1 (P 在各向同性介質(zhì)中在各向同性介質(zhì)中 D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。a a）高斯定律的微分形式）高斯定律的微分形式103.2 3.2 靜電場(chǎng)中的介質(zhì)靜電場(chǎng)中的介質(zhì)圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D D 線、線、E E 線和線和P P 線的分布。線的分布。 D 線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自

9、由電荷；線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷； P P 線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。 E 線的起點(diǎn)與終點(diǎn)既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；線的起點(diǎn)與終點(diǎn)既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；ED線E線P線D、E與與 P 三者之間的關(guān)系三者之間的關(guān)系113.3 3.3 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體具有以下特征：靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體具有以下特征：導(dǎo)體內(nèi)部各處電場(chǎng)強(qiáng)度為零導(dǎo)體內(nèi)部各處電場(chǎng)強(qiáng)度為零導(dǎo)體內(nèi)部不存在任何凈電荷導(dǎo)體內(nèi)部不存在任何凈電荷, ,電荷都一面電荷的形式分布于電荷都一面電荷的形式分布于導(dǎo)體表面導(dǎo)體表面; ;導(dǎo)體

10、為一等位體導(dǎo)體為一等位體, ,其表面為等位面其表面為等位面; ;導(dǎo)體表面切向電場(chǎng)為零導(dǎo)體表面切向電場(chǎng)為零, ,而只有法向電場(chǎng)分量而只有法向電場(chǎng)分量, ,簡(jiǎn)單媒質(zhì)中導(dǎo)簡(jiǎn)單媒質(zhì)中導(dǎo)體表面處的電場(chǎng)強(qiáng)度為體表面處的電場(chǎng)強(qiáng)度為: :snEnE 3.3.1 3.3.1 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體123.3 3.3 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體3.3.2 3.3.2 電容電容定義電容定義電容:UQC 一、孤立導(dǎo)體的電容一、孤立導(dǎo)體的電容RQU04 孤立導(dǎo)體球的電勢(shì)孤立導(dǎo)體球的電勢(shì):當(dāng)當(dāng)R確定時(shí)確定時(shí), const.40 RUQ 例例: 用孤立導(dǎo)體球要得到用孤立導(dǎo)體球要得到1F 的電容，球半徑為大？的電容，

11、球半徑為大？eRR39010)m(1099. 841 單位單位: 1F（法拉）（法拉）=1C/V=pFFmF1263101010 RQ133.3 3.3 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體二、兩個(gè)導(dǎo)體的電容二、兩個(gè)導(dǎo)體的電容lBAl dEl dEUsdEdsEndsQsssslsl dEsdEUQC求電容的兩條途徑求電容的兩條途徑1)先假定兩導(dǎo)體帶等量異號(hào)的電量先假定兩導(dǎo)體帶等量異號(hào)的電量Q,通過(guò)計(jì)算電場(chǎng)得出兩導(dǎo)體通過(guò)計(jì)算電場(chǎng)得出兩導(dǎo)體間的電壓間的電壓U,然后計(jì)算出電容然后計(jì)算出電容2)先假定兩導(dǎo)體間的電壓先假定兩導(dǎo)體間的電壓U,通過(guò)計(jì)算電場(chǎng)得出電量通過(guò)計(jì)算電場(chǎng)得出電量Q,然后計(jì)算然后計(jì)算出電容出電

12、容電容與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小無(wú)關(guān),但與電場(chǎng)強(qiáng)度的分布有關(guān).電容值取決與導(dǎo)體的形狀,尺寸以及介電常數(shù)143.3 3.3 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體三、幾種典型的電容器及電容三、幾種典型的電容器及電容dS1) 平行板電容器平行板電容器板間場(chǎng)強(qiáng)：板間場(chǎng)強(qiáng)：SQE0SQdEdUU021 電勢(shì)差：電勢(shì)差：dSUUQC0210 電容：電容：rE02 2) 圓柱形電容器圓柱形電容器2R1R153.3 3.3 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體1200ln22d21RRrrURR 120210ln2RRlUUQC 204rQE 21020114d421RRQrrQURR 122102104RRRRUUQC 3) 球形電

13、容器球形電容器1R2R163.4 3.4 靜電場(chǎng)中的邊界條件靜電場(chǎng)中的邊界條件3.4.1 3.4.1 和和 的邊界條件的邊界條件ED021EEnsDDn211 1、兩種介質(zhì)之間的邊界條件、兩種介質(zhì)之間的邊界條件在交界面上不存在在交界面上不存在 時(shí)，時(shí)，E E、D D滿滿足折射定律。足折射定律。s222111n2n1cosEcosEDD2211t2t 1sinEsinEEE2121tantan折射定律173.4 3.4 靜電場(chǎng)中的邊界條件靜電場(chǎng)中的邊界條件2 2、介質(zhì)與導(dǎo)體之間的邊界條件、介質(zhì)與導(dǎo)體之間的邊界條件 表明：（表明：（1 1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場(chǎng)僅）導(dǎo)體表面

14、是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場(chǎng)僅有法向分量；（有法向分量；（2 2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的 D 就等于該點(diǎn)的自由電荷密就等于該點(diǎn)的自由電荷密度度 。s 當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時(shí)，分界面上的銜接條件為：當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時(shí)，分界面上的銜接條件為： 022tsnEDttsnnEEDD2112183.4 3.4 靜電場(chǎng)中的邊界條件靜電場(chǎng)中的邊界條件3.4.2 3.4.2 電位的邊界條件電位的邊界條件1 1、兩種介質(zhì)之間的電位邊界條件、兩種介質(zhì)之間的電位邊界條件0)2dE2dE(limdlimn2n10d212121lE21因此因此 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)1 1與點(diǎn)與點(diǎn)2

15、 2分別位于分界面的兩側(cè)，分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為其間距為d d， , ,則則0d 表明表明: : 在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。nEDnEDnnnn2222211111,snn1122在介質(zhì)分界面上，在介質(zhì)分界面上，0snn2211所以所以193.4 3.4 靜電場(chǎng)中的邊界條件靜電場(chǎng)中的邊界條件3.4.2 3.4.2 電位的邊界條件電位的邊界條件2 2、介質(zhì)與導(dǎo)體之間的電位邊界條件、介質(zhì)與導(dǎo)體之間的電位邊界條件constsn11兩種介質(zhì)之間兩種介質(zhì)之間 介質(zhì)與導(dǎo)體之間介質(zhì)與導(dǎo)體之間 ttEE2101tEnnEE2211snE11constsn1121nn2

16、211203.4 3.4 靜電場(chǎng)中的邊界條件靜電場(chǎng)中的邊界條件例題例題:3.4-1:3.4-1 例題例題:3.4-2:3.4-2 21一、靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題一、靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題已知場(chǎng)域邊界上已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位值各點(diǎn)電位值 sfs1分布型問(wèn)題分布型問(wèn)題給定場(chǎng)源分布，求任給定場(chǎng)源分布，求任意點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)或位函數(shù)意點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)或位函數(shù)邊值型問(wèn)題邊值型問(wèn)題給定邊界條件，求任給定邊界條件，求任意點(diǎn)位函數(shù)或場(chǎng)強(qiáng)意點(diǎn)位函數(shù)或場(chǎng)強(qiáng)靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題第一類(lèi)第一類(lèi)邊界條件邊界條件第二類(lèi)第二類(lèi)邊界條件邊界條件第三類(lèi)第三類(lèi)邊界條件邊界條件一、二類(lèi)邊界條件一、二類(lèi)邊界條件的線性組合，即的線性組合，即 sfnsfSs4321,已知場(chǎng)

17、域邊界上各已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù)點(diǎn)電位的法向?qū)?shù) sfns23.5 3.5 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，唯一性定理靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，唯一性定理Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Uniqueness TheoremUniqueness Theorem直接求解直接求解高斯方法求解高斯方法求解間接求解間接求解22分布型分布型問(wèn)題解問(wèn)題解法法3.5 3.5 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，唯一性定理靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，唯一性定理直接求解直接求解(2.1-8)(2.1-8)高斯方法求

18、解高斯方法求解(2.1-16)(2.1-16)間接求解間接求解(3.1-9)-(3.1-12)(3.1-9)-(3.1-12)23計(jì)算法計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法圖解法圖解法邊值型邊值型問(wèn)題解問(wèn)題解法法解析法解析法數(shù)值法數(shù)值法有限差分法有限差分法有限元法有限元法邊界元法邊界元法矩量法矩量法鏡像法鏡像法分離變量法分離變量法復(fù)變函數(shù)法復(fù)變函數(shù)法格林函數(shù)法格林函數(shù)法3.5 3.5 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，唯一性定理靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，唯一性定理24 惟一性定理為靜電場(chǎng)問(wèn)題的多種解法惟一性定理為靜電場(chǎng)問(wèn)題的多種解法( (試探解、解試探解、解析解、數(shù)值解等）提供了思路及理論根據(jù)。析解、數(shù)值解等）提供了思路及理論根據(jù)。二、惟

19、一性定理二、惟一性定理Uniqueness Theorem 對(duì)于任一靜電場(chǎng)，若整個(gè)邊界上的邊界條件給定對(duì)于任一靜電場(chǎng)，若整個(gè)邊界上的邊界條件給定( (可能給可能給出一部分邊界上的位函數(shù)，另一部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)С鲆徊糠诌吔缟系奈缓瘮?shù)，另一部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)數(shù)) )，則空間中的場(chǎng)就惟一地確定了。，則空間中的場(chǎng)就惟一地確定了。證明見(jiàn)證明見(jiàn)P.86P.86 P.87( (反證法反證法) ) 也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的程的解是惟一的，這就是靜電場(chǎng)惟一性定理。，這就是靜電場(chǎng)惟一性定理。3.5 3.5 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，

20、唯一性定理靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，唯一性定理25用虛設(shè)的鏡像電荷來(lái)替代實(shí)際邊界用虛設(shè)的鏡像電荷來(lái)替代實(shí)際邊界,將原來(lái)具有邊界的空間變成同一媒質(zhì)空間同一媒質(zhì)空間，使計(jì)算簡(jiǎn)化。 3.6 3.6 鏡像法鏡像法Image Method 確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、位置與大小確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、位置與大小，使鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的場(chǎng)保持原有邊界條件不變保持原有邊界條件不變，根據(jù)唯一性定理，所得的解是唯一的。鏡像法鏡像法: :要點(diǎn)：要點(diǎn)：26一、導(dǎo)體平面附近的點(diǎn)電荷一、導(dǎo)體平面附近的點(diǎn)電荷zxqh),(zyxpzzxqhqh0),(zyxp圖圖3.6-1 3.6-1 導(dǎo)體平面附近的點(diǎn)電荷與其鏡象法等效處理導(dǎo)體平面附近

21、的點(diǎn)電荷與其鏡象法等效處理設(shè)一無(wú)限大接地導(dǎo)體平面附近有一點(diǎn)電荷設(shè)一無(wú)限大接地導(dǎo)體平面附近有一點(diǎn)電荷q q，它與導(dǎo)體板的，它與導(dǎo)體板的垂直距離是垂直距離是h，如圖，如圖3.6-1(a)3.6-1(a)所示。所示?，F(xiàn)求（1）導(dǎo)體上方（即導(dǎo)體上方（即z0z0的空間）的電位分布的空間）的電位分布； （2）導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷。 3.6 3.6 鏡像法鏡像法27(1)(1)設(shè)想將導(dǎo)體板抽去，使整個(gè)空間充滿同一種媒質(zhì)，在與設(shè)想將導(dǎo)體板抽去，使整個(gè)空間充滿同一種媒質(zhì)，在與原來(lái)點(diǎn)電荷對(duì)稱的位置上放置一原來(lái)點(diǎn)電荷對(duì)稱的位置上放置一 的鏡像點(diǎn)電荷來(lái)代替原的鏡像點(diǎn)電荷來(lái)代替原導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷.

22、 .qzxqh),(zyxpzzxqhqh0),(zyxp 3.6 3.6 鏡像法鏡像法q* 這時(shí)，在這時(shí)，在z0的空間里任一點(diǎn)的空間里任一點(diǎn)p(x,y,z)的電位就等于原點(diǎn)電荷的電位就等于原點(diǎn)電荷q和鏡像和鏡像 所產(chǎn)生電位的總和。所產(chǎn)生電位的總和。28* * 此時(shí)要保證此時(shí)要保證z=0z=0平面邊界條件不變，即應(yīng)為零電位。平面邊界條件不變，即應(yīng)為零電位。RqRq44* * 選無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)，則在選無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)，則在z0z0的空間任一點(diǎn)的空間任一點(diǎn)p p的總電位是：的總電位是： zxqh),(zyxp 3.6 3.6 鏡像法鏡像法29222222)(1)(14114hzyxhzyxqRR

23、q于是，注意：僅對(duì)上半空間等效注意：僅對(duì)上半空間等效。可見(jiàn)，引入鏡像電荷可見(jiàn)，引入鏡像電荷 后保證了邊界條件不變；鏡后保證了邊界條件不變；鏡像點(diǎn)電荷位于像點(diǎn)電荷位于z0的空間，電位仍然滿足原有的方程。由惟一性定理的空間，電位仍然滿足原有的方程。由惟一性定理知結(jié)果正確。知結(jié)果正確。 qq:0RRR040Rqq故對(duì)故對(duì)z=0z=0平面上任意點(diǎn)有平面上任意點(diǎn)有qq得得 3.6 3.6 鏡像法鏡像法30導(dǎo)體表面的總感應(yīng)電荷導(dǎo)體表面的總感應(yīng)電荷 qhqhhdqhddsQSsi0222322020)(223222002hyxqhznzzs可見(jiàn)，可見(jiàn)，鏡像電荷鏡像電荷 代替了導(dǎo)體表面所有感應(yīng)電代替了導(dǎo)體表面

24、所有感應(yīng)電荷對(duì)上半空間的作用。荷對(duì)上半空間的作用。qq（2 2）根據(jù)靜電場(chǎng)的邊界條件，求導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度：）根據(jù)靜電場(chǎng)的邊界條件，求導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度： 3.6 3.6 鏡像法鏡像法31二、導(dǎo)體劈間的點(diǎn)電荷二、導(dǎo)體劈間的點(diǎn)電荷),(yxPyxqqqqB2R1R3R4Rao1234C2b，n設(shè)有兩塊接地半無(wú)限大導(dǎo)體平板相交成角設(shè)有兩塊接地半無(wú)限大導(dǎo)體平板相交成角 ，且，且 n n為正整數(shù)，為正整數(shù)，交角內(nèi)置一點(diǎn)電荷（或一線電荷）。現(xiàn)采用鏡像法求角內(nèi)的電場(chǎng)分布。交角內(nèi)置一點(diǎn)電荷（或一線電荷）。現(xiàn)采用鏡像法求角內(nèi)的電場(chǎng)分布。為了不改變?cè)羞吔鐥l件（即導(dǎo)體板處電位為零）和交角為了不改變?cè)羞?/p>

25、界條件（即導(dǎo)體板處電位為零）和交角 內(nèi)的源分內(nèi)的源分布，試求鏡像的位置，以及鏡像的個(gè)數(shù)。布，試求鏡像的位置，以及鏡像的個(gè)數(shù)。輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像，直到最后的鏡像電荷與原電荷重合為止。輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像，直到最后的鏡像電荷與原電荷重合為止。 3.6 3.6 鏡像法鏡像法3xBCq213456qqqqq32 3.6 3.6 鏡像法鏡像法。，鏡像電荷的總數(shù)是對(duì)12 nNn注意：注意：只有只有n為整數(shù)時(shí)，最后鏡像才能和原電荷重合；為整數(shù)時(shí)，最后鏡像才能和原電荷重合；導(dǎo)體交角內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)就等于導(dǎo)體交角內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)就等于N N個(gè)鏡像電荷與原電荷在個(gè)鏡像電荷與原電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)

26、的總和。該點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)的總和。可見(jiàn)，可見(jiàn)，; 32N，; 1N，; 53N，33 鏡像法小結(jié)鏡像法小結(jié)* * 鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)惟一性定理；鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)惟一性定理；* * 鏡像法的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷替代邊界上感應(yīng)鏡像法的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷替代邊界上感應(yīng)電荷的分布電荷的分布, ,使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大均勻介質(zhì)；使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大均勻介質(zhì)；* * 鏡像法的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、位置及大?。荤R像法的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、位置及大小； * * 應(yīng)用鏡像法解題時(shí)，注意：鏡像電荷只能放在待求應(yīng)用鏡像法解題時(shí)，注意：鏡像電荷只能放在待求 場(chǎng)域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場(chǎng)的適用區(qū)域，

27、它只場(chǎng)域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場(chǎng)的適用區(qū)域，它只對(duì)該區(qū)域等效。對(duì)該區(qū)域等效。 3.6 3.6 鏡像法鏡像法34 * * 只有當(dāng)場(chǎng)域邊界與正交坐標(biāo)面重合只有當(dāng)場(chǎng)域邊界與正交坐標(biāo)面重合( (或平行或平行) )時(shí)，才可時(shí)，才可確定積分常數(shù)，從而得到邊值問(wèn)題的特解確定積分常數(shù)，從而得到邊值問(wèn)題的特解。一、解題的一般步驟：一、解題的一般步驟：(a)(a)根據(jù)邊界形狀選定坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的邊值問(wèn)題（微分方根據(jù)邊界形狀選定坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的邊值問(wèn)題（微分方程和邊界條件）；程和邊界條件）；(b)(b)分離變量，將一個(gè)偏微分方程分離成幾個(gè)常微分方程分離變量，將一個(gè)偏微分方程分離成幾個(gè)常微分方程, ,并并得出

28、通解表達(dá)式；得出通解表達(dá)式；(c)(c)利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的特解。的特解。3.7 分離變量法分離變量法The Method of Separation of Variables * * 分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程解法。分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程解法。* * 采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動(dòng)方程的通解或波動(dòng)方程的通解; ;35二、直角坐標(biāo)中的分離變量法二、直角坐標(biāo)中的分離變量法拉普拉斯方程拉普拉斯方程 0222222zyx)()(),(yYxXzyx設(shè)設(shè)因此因此02222dyYdXZdxXdYZ02222yx二維問(wèn)題二維問(wèn)題：0z3.7 3.7 分離變量法分離變量法0112222dyYdYdxXdX即即36可得可得0122dxXdXx于是有于是有2221xkdxXdX2221ykdyYdY022yxkk式中式中寫(xiě)為如下形式寫(xiě)為如下形式0222XkdxXdx0222YkdyYdy以方程以方程0222XkdxXdx為例為例通解的形式是通解的形式是 )(s