應用問題的題型與方法

1、一、復習策略一、復習策略v應用問題是指有實際背景或問題有實際意義的數(shù)學問題，解答數(shù)學應用題，需在理解題意的基礎(chǔ)上，把問題轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學問題，再根據(jù)要求求解v1、解應用題的一般思路可表示如下：v2、解應用題的一般程序：(1)讀：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ)(2)建：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型熟悉基本數(shù)學模型，正確進行建“?！笔顷P(guān)鍵的一關(guān)(3)解：求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結(jié)論一要充分注意數(shù)學模型中元素的實際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程(4)答：將數(shù)學結(jié)論還原給實際問題的結(jié)果v3、中學數(shù)學中常見應用問題與數(shù)學模型(1)優(yōu)化問題

2、：實際問題中的“優(yōu)選”“控制”等問題，常需建立“不等式模型”和“線性規(guī)劃”問題解決(2)預測問題：經(jīng)濟計劃、市場預測這類問題通常設(shè)計成“數(shù)列模型”來解決(3)最(極)值問題：工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設(shè)及實際生活中的極限問題常設(shè)計成“函數(shù)模型”，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值(4)等量關(guān)系問題：建立“方程模型”解決(5)測量問題：可設(shè)計成“圖形模型”利用幾何知識解決v4、解應用問題的一般步驟為：(1)審題：理解題意，把握問題本質(zhì)；(2)建模：分析題中的數(shù)量關(guān)系，建立相應數(shù)學模型，將應用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；(3)解模：用數(shù)學知識與方法解決轉(zhuǎn)化了的數(shù)學問題；(4)回歸：回到應用問題，檢驗結(jié)果的實際意義，給出答案v復習中應

3、加強概率、函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃以及函數(shù)與不等式、函數(shù)與數(shù)列、數(shù)列與不等式等綜合問題的訓練二、典例剖析二、典例剖析v例1、某服裝個體戶在進一批服裝時，進價已按原價打了七五折，他打算對該批服裝定一新價標在價目卡上，并注明按該價降價20%銷售這樣，仍可獲得25%的純利求這個個體戶給這批服裝定的新標價與原價之間的函數(shù)關(guān)系（一）函數(shù)模型(I)函數(shù)模型為正比例函數(shù)函數(shù)模型為正比例函數(shù)v例2、學校請了30個木工，要制作200把椅子和100張課桌，已知制作一張課桌與制作一把椅子的工時數(shù)之比為107，問30名工人應當如何分配(一組做課桌，另一組做椅子)，能使完成任務(wù)最快(II)函數(shù)模型為反比例函數(shù)函數(shù)模型為反

4、比例函數(shù)v例3、我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價格調(diào)控手段以達到節(jié)約用水的目的某市用水收費方法是：水費=基本費超額費該市規(guī)定：(1)若每戶每月用水量不超過最低限量m立方米時，只付基本費9元和每月的定額損耗費a元；(2)若每戶每月用水量超過m立方米時，除了付基本費和損耗費外，超過部分每立方米付n元的超額費；(3)每戶每月的損耗費不超過5元()求每戶月水費y(元)與月用水量x(立方米)的函數(shù)關(guān)系；()該市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的費用如下表所示，試分析一、二、三各月份的用水量是否超過最低限量，并求m、n、a的值 (III)函數(shù)模型為一次函數(shù)函數(shù)模型為一次函數(shù)月份用水量(立方米

5、)水費(元)一418二526三2.510v例4、某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y與時間t之間近似滿足如圖所示的曲線(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于4微克時治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥時間為早晨7:00，問一天中怎樣安排服藥的時間(共4次)效果最佳？(IV)函數(shù)模型為二次函數(shù)函數(shù)模型為二次函數(shù)v例5、已知某商品的價格上漲x%，銷售的數(shù)量就減少mx%，其中m為正的常數(shù)(1)當時 ，該商品的價格上漲多少，就能使銷售的總金額最大？(2)如果適當?shù)貪q價，能使銷售總金額增加，求m的取值范圍v例

6、6、某租賃公司擁有汽車100輛當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出. 當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛. 租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元()當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？()當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？v例7、距離船只A的正北方向100海里處有一船只B，以每小時20海里的速度沿北偏西60角的方向行駛，A船只以每小時15海里的速度向正北方向行駛，兩船同時出發(fā)，問幾小時后兩船相距最近？(V)函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)v例8、有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為

7、V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示第t天每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在第t天的湖水污染質(zhì)量分數(shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分數(shù)滿足關(guān)系式 (p0)，其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分數(shù)(1)當湖水污染質(zhì)量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質(zhì)量分數(shù)；(2)求證：當 時，湖泊的污染程度將越來越嚴重；(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？tvrerpgrptg)0()(VI)函數(shù)模型為其它函數(shù)函數(shù)模型為其

8、它函數(shù)v例9、一批零兼營的文具商店規(guī)定：凡購買鉛筆51支以上(含51支)，按批發(fā)價結(jié)算，而少于51支則按零售價結(jié)算，批發(fā)價每購60支比零售60支少付一元現(xiàn)有班長來購鉛筆，若給全班每人購一支，需支付m元( )，但若多買10支，則可按批發(fā)價結(jié)算，恰好也支付m元，問該班有多少學生？v例10、某工廠生產(chǎn)一種機器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)1臺需要增加投入25元，銷售后，為了對今后的銷售提供參考的數(shù)據(jù)，對銷售市場進行調(diào)查后得知，市場對此產(chǎn)品的需求量為每年500臺，已知銷售收入函數(shù)為： 其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且 .(I)若x為年產(chǎn)量，y為利潤，求y=f(x)的解析式；(II)當年產(chǎn)量為何值時，工廠的

9、年利潤最大，其最大值是多少？（二）數(shù)列模型v例11、一艘太空飛船飛往地球第一次觀測時發(fā)現(xiàn)一個正三角形的島嶼(我們記其邊長為1)；第二次觀測時，發(fā)現(xiàn)它并非正三角形，而是每邊中央 處向外有一正三角形海峽，形成正六邊形；第三次觀測時，發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央 處都有一向外突出的海峽(正三角形、如圖)，把這個過程無限繼續(xù)下去，就得到著名的教學模型柯克島(1)把第k次觀測到的島的面積記為ak，ak有無極限？如果我們把這個極限叫島的面積，柯克島的面積是多少？(2)把第k次觀測到的島的海岸線長記為bk，求bk的通項公式，bk有無極限？如果把此極限當作柯克島的海岸線長，它是多少？(3)以上結(jié)果能說明什么問題？（三）解析幾何模型v例12、有