大學(xué)數(shù)學(xué)概率論

1、第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)事件隨機(jī)事件一、隨機(jī)現(xiàn)象一、隨機(jī)現(xiàn)象二、隨機(jī)試驗(yàn)二、隨機(jī)試驗(yàn)三、樣本空間與事件三、樣本空間與事件 序言序言 在我們所生活的世界上在我們所生活的世界上, ,充滿了不確充滿了不確定性從扔硬幣、定性從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡(jiǎn)單的擲骰子和玩撲克等簡(jiǎn)單的機(jī)會(huì)游戲，到復(fù)雜的社會(huì)現(xiàn)象；從嬰兒的機(jī)會(huì)游戲，到復(fù)雜的社會(huì)現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬(wàn)物的繁衍生息；從流星墜誕生，到世間萬(wàn)物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化落，到大自然的千變?nèi)f化，我們無(wú)時(shí)，我們無(wú)時(shí)無(wú)刻不面臨著不確定性和隨機(jī)性無(wú)刻不面臨著不確定性和隨機(jī)性. 從亞里士多德時(shí)代開(kāi)始，哲從亞里士多德時(shí)代開(kāi)始，哲學(xué)家們就已經(jīng)認(rèn)識(shí)到隨

2、機(jī)性在生學(xué)家們就已經(jīng)認(rèn)識(shí)到隨機(jī)性在生活中的作用，他們把隨機(jī)性看作活中的作用，他們把隨機(jī)性看作為破壞生活規(guī)律、超越了人們理解能力為破壞生活規(guī)律、超越了人們理解能力范圍的東西范圍的東西. . 他們沒(méi)有認(rèn)識(shí)到有可能去他們沒(méi)有認(rèn)識(shí)到有可能去研究隨機(jī)性，或者是去測(cè)量不定性研究隨機(jī)性，或者是去測(cè)量不定性. . 將將不定性數(shù)量化不定性數(shù)量化，來(lái)嘗試回答這些，來(lái)嘗試回答這些問(wèn)題，是直到問(wèn)題，是直到2020世紀(jì)初葉才開(kāi)始的世紀(jì)初葉才開(kāi)始的. . 還還不能說(shuō)這個(gè)努力已經(jīng)十分成功了，但就不能說(shuō)這個(gè)努力已經(jīng)十分成功了，但就是那些已得到的成果，已經(jīng)給人類(lèi)活動(dòng)是那些已得到的成果，已經(jīng)給人類(lèi)活動(dòng)的一切領(lǐng)域帶來(lái)了一場(chǎng)革命的一

3、切領(lǐng)域帶來(lái)了一場(chǎng)革命. . 這場(chǎng)革命為研究新的設(shè)想，發(fā)展自這場(chǎng)革命為研究新的設(shè)想，發(fā)展自然科學(xué)知識(shí)，繁榮人類(lèi)生活，開(kāi)拓了道然科學(xué)知識(shí)，繁榮人類(lèi)生活，開(kāi)拓了道路路. . 而且也改變了我們的思維方法，使而且也改變了我們的思維方法，使我們能大膽探索自然的奧秘我們能大膽探索自然的奧秘. . 下面我們就來(lái)開(kāi)始一門(mén)下面我們就來(lái)開(kāi)始一門(mén)“將不定將不定性數(shù)量化性數(shù)量化”的的課程的學(xué)習(xí)，這就是課程的學(xué)習(xí)，這就是 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是以數(shù)量化方概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是以數(shù)量化方法來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門(mén)數(shù)法來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)學(xué)科兩部分內(nèi)容：兩部分內(nèi)容：1.1.概率論的基本概念、定理及公式（

4、重點(diǎn)）概率論的基本概念、定理及公式（重點(diǎn)）2.2.數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 研究怎樣從大量的隨機(jī)的看研究怎樣從大量的隨機(jī)的看 似雜亂無(wú)章的數(shù)字中獲得統(tǒng)計(jì)結(jié)果似雜亂無(wú)章的數(shù)字中獲得統(tǒng)計(jì)結(jié)果 當(dāng)人們?cè)谝欢ǖ臈l件下對(duì)它加以觀察當(dāng)人們?cè)谝欢ǖ臈l件下對(duì)它加以觀察或進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，觀察或試驗(yàn)的結(jié)果是多個(gè)可或進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，觀察或試驗(yàn)的結(jié)果是多個(gè)可能結(jié)果中的某一個(gè)能結(jié)果中的某一個(gè). 而且在每次試驗(yàn)或觀察而且在每次試驗(yàn)或觀察前都無(wú)法確知其結(jié)果，即呈現(xiàn)出偶然性前都無(wú)法確知其結(jié)果，即呈現(xiàn)出偶然性. 或或者說(shuō)，出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果者說(shuō)，出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果“憑機(jī)會(huì)而定憑機(jī)會(huì)而定”.隨隨機(jī)機(jī)現(xiàn)現(xiàn)象象的的特特點(diǎn)點(diǎn) 在自然界和人類(lèi)社會(huì)生活中，普遍存在在

5、自然界和人類(lèi)社會(huì)生活中，普遍存在著兩類(lèi)現(xiàn)象，一類(lèi)是在一定條件下必然出現(xiàn)著兩類(lèi)現(xiàn)象，一類(lèi)是在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱(chēng)為的現(xiàn)象，稱(chēng)為確定性現(xiàn)象；確定性現(xiàn)象；另一類(lèi)則是我們另一類(lèi)則是我們事先無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱(chēng)為事先無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱(chēng)為隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象（帶有隨機(jī)性、偶然性的現(xiàn)象（帶有隨機(jī)性、偶然性的現(xiàn)象. . ）一、隨機(jī)現(xiàn)象一、隨機(jī)現(xiàn)象A. 太陽(yáng)從東方升起；太陽(yáng)從東方升起；B. 明天的最高溫度；明天的最高溫度；C. 上拋物體一定下落；上拋物體一定下落；D. 新生嬰兒的體重新生嬰兒的體重.下面的現(xiàn)象哪些是隨機(jī)現(xiàn)象？下面的現(xiàn)象哪些是隨機(jī)現(xiàn)象？那么，那么，隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒(méi)有規(guī)律可言隨

6、機(jī)現(xiàn)象是不是沒(méi)有規(guī)律可言? ? 由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先不能預(yù)知，初由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先不能預(yù)知，初看似乎毫無(wú)規(guī)律看似乎毫無(wú)規(guī)律. .然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機(jī)現(xiàn)象然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其每種可能的結(jié)果出現(xiàn)的大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其每種可能的結(jié)果出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性，從而表明隨機(jī)現(xiàn)象也有其頻率具有穩(wěn)定性，從而表明隨機(jī)現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性固有的規(guī)律性. .人們把隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出人們把隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)所表現(xiàn)出的量的規(guī)律性稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象的現(xiàn)時(shí)所表現(xiàn)出的量的規(guī)律性稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性. . 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)

7、學(xué)科規(guī)律性的一門(mén)學(xué)科. .例如例如: : 一門(mén)火炮在一定條件下進(jìn)行射擊，個(gè)一門(mén)火炮在一定條件下進(jìn)行射擊，個(gè)別炮彈的彈著點(diǎn)可能偏離目標(biāo)而有隨機(jī)性別炮彈的彈著點(diǎn)可能偏離目標(biāo)而有隨機(jī)性的誤差，但大量炮彈的彈著點(diǎn)則表現(xiàn)出一的誤差，但大量炮彈的彈著點(diǎn)則表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如一定的命中率，一定的分定的規(guī)律性，如一定的命中率，一定的分布規(guī)律等等布規(guī)律等等. . 又如又如: : 在一個(gè)容器內(nèi)有許多氣體分子，每個(gè)氣在一個(gè)容器內(nèi)有許多氣體分子，每個(gè)氣體分子的運(yùn)動(dòng)存在著不定性，無(wú)法預(yù)言它在體分子的運(yùn)動(dòng)存在著不定性，無(wú)法預(yù)言它在指定時(shí)刻的動(dòng)量和方向指定時(shí)刻的動(dòng)量和方向. . 但大量分子的平均但大量分子的平均活動(dòng)卻呈現(xiàn)

8、出某種穩(wěn)定性，如在一定的溫度活動(dòng)卻呈現(xiàn)出某種穩(wěn)定性，如在一定的溫度下，氣體對(duì)器壁的壓力是穩(wěn)定的，呈現(xiàn)下，氣體對(duì)器壁的壓力是穩(wěn)定的，呈現(xiàn)“無(wú)無(wú)序中的規(guī)律序中的規(guī)律”. .再如再如: : 測(cè)量一物體的長(zhǎng)度，由于儀器及觀察受測(cè)量一物體的長(zhǎng)度，由于儀器及觀察受到的環(huán)境的影響，每次測(cè)量的結(jié)果可能是有到的環(huán)境的影響，每次測(cè)量的結(jié)果可能是有差異的差異的. . 但多次測(cè)量結(jié)果的平均值隨著測(cè)量但多次測(cè)量結(jié)果的平均值隨著測(cè)量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于一常數(shù)，并且諸測(cè)量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于一常數(shù)，并且諸測(cè)量值大多落在此常數(shù)的附近，越遠(yuǎn)則越少，因值大多落在此常數(shù)的附近，越遠(yuǎn)則越少，因而其分布狀況呈現(xiàn)而其分布狀況呈現(xiàn)“兩頭小

9、，中間大，左右兩頭小，中間大，左右基本對(duì)稱(chēng)基本對(duì)稱(chēng)”. . 天有不測(cè)風(fēng)云天有不測(cè)風(fēng)云 和和 天氣可以預(yù)報(bào)天氣可以預(yù)報(bào) 有矛有矛盾嗎盾嗎? ?無(wú)無(wú) ! “天氣可以預(yù)報(bào)天氣可以預(yù)報(bào)”指的是研究者從大指的是研究者從大量的氣象資料來(lái)探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律量的氣象資料來(lái)探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性性. . “天有不測(cè)風(fēng)云天有不測(cè)風(fēng)云”指的是隨機(jī)現(xiàn)象一指的是隨機(jī)現(xiàn)象一次實(shí)現(xiàn)的偶然性次實(shí)現(xiàn)的偶然性. .請(qǐng)回答請(qǐng)回答: : 以后有人不斷把它算得更精確以后有人不斷把它算得更精確. . 1873年，年，英國(guó)學(xué)者沈克士公布了一個(gè)英國(guó)學(xué)者沈克士公布了一個(gè)的數(shù)值，它的的數(shù)值，它的數(shù)目在小數(shù)點(diǎn)后一共有數(shù)目在小數(shù)點(diǎn)后一共有70

10、7位之多位之多! !圓周率圓周率= =3.1415926是一個(gè)無(wú)限是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之第一不循環(huán)小數(shù)，我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之第一次把它計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位次把它計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位, ,這個(gè)記這個(gè)記錄保持了錄保持了1000多年！多年！請(qǐng)回答請(qǐng)回答: :你能猜出他懷疑的理由嗎你能猜出他懷疑的理由嗎? ?各數(shù)碼出現(xiàn)的頻率應(yīng)都接近于各數(shù)碼出現(xiàn)的頻率應(yīng)都接近于0.1, ,或或者說(shuō)，它們出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等者說(shuō)，它們出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等. . 數(shù)字?jǐn)?shù)字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)次數(shù) 60 62 67 68 64 56 62 44 5

11、8 6760 62 67 68 64 56 62 44 58 674444 但是，經(jīng)過(guò)幾十年后，曼徹斯特的費(fèi)但是，經(jīng)過(guò)幾十年后，曼徹斯特的費(fèi)林生對(duì)它產(chǎn)生了懷疑林生對(duì)它產(chǎn)生了懷疑. . 原因是他統(tǒng)計(jì)了原因是他統(tǒng)計(jì)了的的608位小數(shù)，得到下面的表位小數(shù)，得到下面的表: :但但7出現(xiàn)的次數(shù)過(guò)少出現(xiàn)的次數(shù)過(guò)少. . 從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機(jī)的，但多次觀察某個(gè)隨機(jī)察結(jié)果都是隨機(jī)的，但多次觀察某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律在著必然的規(guī)律. .總總 結(jié)結(jié)為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究，為了對(duì)

12、隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究， 就需就需對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察， 我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱(chēng)為的觀察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)，并簡(jiǎn)稱(chēng)為并簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn)試驗(yàn)，記為記為E.例如，例如， 觀察某射手對(duì)固定目標(biāo)進(jìn)行射擊；觀察某射手對(duì)固定目標(biāo)進(jìn)行射擊； 拋一拋一枚硬幣三次，枚硬幣三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)；觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)；記錄某市記錄某市120急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等 均為隨均為隨機(jī)試驗(yàn)機(jī)試驗(yàn). 二、隨機(jī)試驗(yàn)二、隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：可重復(fù)性可重復(fù)性：試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)

13、行；行；可觀察性可觀察性：試驗(yàn)結(jié)果可觀察，試驗(yàn)結(jié)果可觀察，所有可能的結(jié)所有可能的結(jié)果是明確的；果是明確的；1.2.3. 不確定性不確定性：每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知確預(yù)知. 現(xiàn)代集合論為表述隨機(jī)試驗(yàn)提供了一現(xiàn)代集合論為表述隨機(jī)試驗(yàn)提供了一個(gè)方便的工具個(gè)方便的工具 .三、樣本空間與事件三、樣本空間與事件 我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果稱(chēng)為我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)，記作，記作e 或或. 全體樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為全體樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為樣本空間樣本空間. 樣本空間用樣本空間用S或或表示表示.樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)e. S 如果試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次，如果試驗(yàn)是將

14、一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個(gè)樣本點(diǎn)組成：則樣本空間由如下四個(gè)樣本點(diǎn)組成： S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中其中 樣本空間在如下樣本空間在如下意義上提供了一個(gè)理意義上提供了一個(gè)理想試驗(yàn)的模型：想試驗(yàn)的模型： 在每次試驗(yàn)中在每次試驗(yàn)中必有必有一個(gè)樣本點(diǎn)出一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)現(xiàn)且僅有且僅有一個(gè)樣本一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)點(diǎn)出現(xiàn) .如果試驗(yàn)是測(cè)試某燈泡的壽命：如果試驗(yàn)是測(cè)試某燈泡的壽命： 則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是命的

15、上界，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果，一個(gè)可能結(jié)果，S = t t 0故樣本空間故樣本空間在隨機(jī)試驗(yàn)中，在隨機(jī)試驗(yàn)中，往往還關(guān)心試驗(yàn)的往往還關(guān)心試驗(yàn)的結(jié)果結(jié)果察的察的特征特征，個(gè)個(gè)事件事件 ， 它分三類(lèi)：它分三類(lèi)：隨機(jī)事件隨機(jī)事件：事件；事件；2.必然事件必然事件：1.人們除了關(guān)心試驗(yàn)的結(jié)果本身外，人們除了關(guān)心試驗(yàn)的結(jié)果本身外，是否具備某一是否具備某一指定的可觀指定的可觀概率論中將這一可觀察的特征稱(chēng)為一概率論中將這一可觀察的特征稱(chēng)為一在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的在每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件；在每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件；3. 不可能事件不可能事件：在任

16、何一次試驗(yàn)中都不可能發(fā)在任何一次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生的事件生的事件.例如，例如，在拋擲一枚骰子的試驗(yàn)中，在拋擲一枚骰子的試驗(yàn)中，我們也許會(huì)關(guān)我們也許會(huì)關(guān)心出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是否為奇數(shù)，心出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是否為奇數(shù)，這里，這里，就是一個(gè)事件就是一個(gè)事件. 它在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)它在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，生，即是一個(gè)隨機(jī)事件即是一個(gè)隨機(jī)事件.“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”同樣，同樣，“點(diǎn)數(shù)小于點(diǎn)數(shù)小于7”與與“點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)數(shù)為8”也分別是一個(gè)事件，也分別是一個(gè)事件，前者在試驗(yàn)中是必然發(fā)生的，前者在試驗(yàn)中是必然發(fā)生的， 即是必然事件，即是必然事件， 后者后者在試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的，在試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的， 即是不

17、可能事件即是不可能事件. 引入樣本空間后，引入樣本空間后，事件便可以表示為樣事件便可以表示為樣本空間的子集本空間的子集 .用用A，B，來(lái)表示來(lái)表示.例如，擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)例如，擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)S = 1,2,3,4,5,6樣本空間：樣本空間：事件事件B就是就是S的一個(gè)子集的一個(gè)子集B = 2,4,6表示什么事件？表示什么事件？B B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B B中的樣本點(diǎn)中的樣本點(diǎn)1 1，2 2，3 3，4 4中的中的某一個(gè)出現(xiàn)某一個(gè)出現(xiàn). .事件事件B B：“點(diǎn)數(shù)小于點(diǎn)數(shù)小于5”5”1，2，3，4；B =稱(chēng)僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件為稱(chēng)僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件為基本事件基本事件；稱(chēng)

18、含有兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)的事件為稱(chēng)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)的事件為復(fù)合事件復(fù)合事件.顯然，顯然，樣本空間樣本空間S作為事件是必然事件，作為事件是必然事件，空集空集作為一個(gè)事件是不可能事件作為一個(gè)事件是不可能事件.事件的三種運(yùn)算事件的三種運(yùn)算運(yùn)算運(yùn)算符號(hào)符號(hào)概率論中的意義概率論中的意義集合論集合論)(BABA事件的和事件的和（并）（并）事件事件A與與B至少至少有一個(gè)發(fā)生有一個(gè)發(fā)生A與與B的的并集并集事件的積事件的積（交）（交）)(BAAB事件事件A與與B同時(shí)同時(shí)發(fā)生發(fā)生A與與B的的交集交集事件的差事件的差BA事件事件A發(fā)生，發(fā)生，B不發(fā)生不發(fā)生A與與B的的差集差集事件的四種關(guān)系事件的四種關(guān)系關(guān)系

19、關(guān)系符號(hào)符號(hào)概率論中的意義概率論中的意義集合論集合論BA包含包含若若A發(fā)生必有發(fā)生必有B發(fā)生（發(fā)生（B不發(fā)生不發(fā)生則則A必不發(fā)生）必不發(fā)生）A是是B的的子集子集等價(jià)等價(jià)BA 事件事件A包含包含B，事件事件B包含包含AA與與B相等相等互不相容互不相容（互斥）（互斥）對(duì)立（逆對(duì)立（逆事件）事件）AAB事件事件A與與B不能不能同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生A與與B無(wú)公無(wú)公共元素共元素事件事件“非非A”A的余集的余集完備事件組完備事件組設(shè)設(shè),21nAAA是有限或可數(shù)個(gè)事件，是有限或可數(shù)個(gè)事件，滿足：滿足：若其若其;, 2 , 1,)1( jijiAAji.)2(SAii 則稱(chēng)則稱(chēng),21nAAA是一個(gè)是一個(gè)完備事件組

20、完備事件組.顯然，顯然，A與與A構(gòu)成一個(gè)完備事件組構(gòu)成一個(gè)完備事件組.事件的運(yùn)算規(guī)律事件的運(yùn)算規(guī)律由集合的運(yùn)算律，由集合的運(yùn)算律，易給出事件間的運(yùn)算律易給出事件間的運(yùn)算律. 設(shè)設(shè)CBA,為同一隨機(jī)試驗(yàn)為同一隨機(jī)試驗(yàn)E中的事件，中的事件，則有則有(1) 交換律交換律,ABBA ;ABBA (2) 結(jié)合律結(jié)合律),()(CBACBA );()(CBACBA (3) 分配律分配律),()()(CBCACBA (4) 自反律自反律;AA (5) 對(duì)偶律對(duì)偶律.)(BABA 注注： 上述各運(yùn)算律可推廣到上述各運(yùn)算律可推廣到件的情形件的情形.,)(BABA有限個(gè)或可數(shù)個(gè)事有限個(gè)或可數(shù)個(gè)事例例1在管理系學(xué)生

21、中任選一名學(xué)生在管理系學(xué)生中任選一名學(xué)生, ,示選出的是男生示選出的是男生, , 事件事件B表示選出的是三年級(jí)學(xué)表示選出的是三年級(jí)學(xué)生生, , 事件事件C表示該生是運(yùn)動(dòng)員表示該生是運(yùn)動(dòng)員. .(1)敘述事件敘述事件ABC的意義的意義. .(3)什么條件下什么條件下CB ？成立成立(2)什么條件下什么條件下ABCC ？解解(1)ABC是指當(dāng)選的學(xué)生是三年級(jí)男生是指當(dāng)選的學(xué)生是三年級(jí)男生, ,但但不是運(yùn)動(dòng)員不是運(yùn)動(dòng)員. .(2)只有在只有在,CAB 令事件令事件A表表例例1在管理系學(xué)生中任選一名學(xué)生在管理系學(xué)生中任選一名學(xué)生, ,示選出的是男生示選出的是男生, , 事件事件B表示選出的是三年級(jí)學(xué)表

22、示選出的是三年級(jí)學(xué)生生, , 事件事件C表示該生是運(yùn)動(dòng)員表示該生是運(yùn)動(dòng)員. .成立成立(3)什么條件下什么條件下CB ？(2)什么條件下什么條件下ABCC ？解解(2)只有在只有在,CAB 令事件令事件A表表成立成立ABCC 成立成立, , 即只有在全部即只有在全部運(yùn)動(dòng)員都是男生運(yùn)動(dòng)員都是男生, ,且全部運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生且全部運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生的條件下才有的條件下才有.ABCC 同時(shí)同時(shí)即即,CA CB 的條件下才有的條件下才有例例1在管理系學(xué)生中任選一名學(xué)生在管理系學(xué)生中任選一名學(xué)生, ,示選出的是男生示選出的是男生, , 事件事件B表示選出的是三年級(jí)學(xué)表示選出的是三年級(jí)學(xué)生生, ,

23、事件事件C表示該生是運(yùn)動(dòng)員表示該生是運(yùn)動(dòng)員. .(3)什么條件下什么條件下CB ？解解令事件令事件A表表(3)CB 表示表示也就是說(shuō)也就是說(shuō), ,若當(dāng)選的學(xué)生是運(yùn)動(dòng)員若當(dāng)選的學(xué)生是運(yùn)動(dòng)員, , 那么一定是那么一定是三年級(jí)學(xué)生三年級(jí)學(xué)生, ,即在除三年級(jí)學(xué)生之外即在除三年級(jí)學(xué)生之外, ,其它年級(jí)其它年級(jí)沒(méi)有運(yùn)動(dòng)員當(dāng)選沒(méi)有運(yùn)動(dòng)員當(dāng)選.CB 的條件下才有的條件下才有全部運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生全部運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生, ,例例2考察某一位同學(xué)在一次數(shù)學(xué)考試中的成績(jī)考察某一位同學(xué)在一次數(shù)學(xué)考試中的成績(jī), , 分分別用別用,A B C D P F表示下列各事件表示下列各事件 (括號(hào)中表括號(hào)中表示成績(jī)所處的范

24、圍示成績(jī)所處的范圍):A(90,100)優(yōu)秀優(yōu)秀B(80,90) 良好良好C(70,80) 中等中等及格及格D(60,70)通過(guò)通過(guò)P(60,100)未通過(guò)未通過(guò)F(0,60)則則,A B C D F是兩兩不相容事件是兩兩不相容事件; ;PF PF與與是互為對(duì)立的事件是互為對(duì)立的事件, , 即有即有,A B C D均為均為P的子事件的子事件, , 且有且有.PABCD 例例3甲甲, , 乙乙, , 丙三人各射一次靶丙三人各射一次靶, , 記記A “甲種甲種靶靶”, ,B “乙中靶乙中靶”, ,“丙中靶丙中靶”, ,C 則可用上述則可用上述三個(gè)事件的運(yùn)算三個(gè)事件的運(yùn)算(1)(3)(4)(2)“甲未中靶甲未中靶”: :;A;AB“甲中靶而乙未中靶甲中靶而乙未中靶”: :“三人中只有丙未中靶三人中只有丙未中靶”: :;ABC;ABCABCABC“三人中恰好有一人中靶三人中恰好有一人中靶”: :(6)(7)(5)“三人中至少有一人中靶三人中至少有一人中靶”: :“三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”: :“三人中恰有兩人中靶三人中恰有兩人中靶”: :ABC或或;ABCABC或或;ABC;ABCABCABC來(lái)分別表示