第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法ppt課件

1、山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0 y0)的點(diǎn)(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0) 則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0 y0)有極大值(或極小值)f(x0 y0) 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 ,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).例如例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無(wú)極值.2243yxz22zxy

2、 yxz 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂注注 1. 使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) .但駐點(diǎn)不一但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)定是極值點(diǎn).如,定理定理1 (必要條件必要條件) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 2. 從幾何上看 這

3、時(shí)如果曲面zf(x y)在極值點(diǎn)(x0 y0 z0)處有切平面 則切平面zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面zz0 類似地可推得 如果三元函數(shù)uf (x y z)在點(diǎn)(x0 y0 z0)具有偏導(dǎo)數(shù) 則它在點(diǎn)(x0 y0 z0)具有極值的必要條件為fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂時(shí), 具有極值定理定理2 (充分條件充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令那么: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)證明見(jiàn) 第九節(jié). 時(shí), 沒(méi)有極值.時(shí)

4、, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂, 0),( yxfx0),( yxfy求函數(shù)),(yxfz=極值的一般步驟：第一步 解方程組求出實(shí)數(shù)解，得所有駐點(diǎn).第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0, y0), 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B 、C.第三步 定出AC-B2的符號(hào)，再判定是否是極值.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例1. 求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):

5、 (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3(

6、f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例2.討論函數(shù)討論函數(shù)及是否取得極值.解解: 顯然顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn)都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因而 z(0,0) 不是極值.因而,022時(shí)當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz山東農(nóng)業(yè)大學(xué)

7、高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 注 不是駐點(diǎn)也可能是極值點(diǎn). 因而, 在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí), 除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外, 如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn), 那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮. 但(0 0)不是函數(shù)的駐點(diǎn) 例如 函數(shù)22yxz在點(diǎn)(0 0)處有極大值 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)的最大值和最小值.多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 最值應(yīng)用問(wèn)題最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,

8、且只有一個(gè)極值點(diǎn)且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí)時(shí), )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值(大大)(大大)根據(jù)山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 例3 某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱 問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí) 才能使用料最省 解 )0 , 0( )88(2)88(2yxyxxyxyxxyyxyA 令0)8(22xyAx 0)8(22yxAy 得 x2 y2 0)8(22yxAy 得 x2 y2 根據(jù)題意可知 水箱所用材料面積的最小值一定存在 并在開(kāi)區(qū)域D(x y)|x0 y0內(nèi)取得 又因?yàn)楹瘮?shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)(2 2) 所以此駐點(diǎn)一定是A的最小值點(diǎn) 設(shè)水箱的長(zhǎng)為x m 寬為y

9、m 則所用材料的面積為 因此當(dāng)水箱的長(zhǎng)、寬、高各為2m時(shí),水箱所用的材料最省 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例4. 有一寬為有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板的長(zhǎng)方形鐵板 , 把它折起來(lái)做成解解: 設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為 x cm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問(wèn)怎樣折法才能使斷面面山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得

10、:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到, 而在域D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 故此點(diǎn)即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法山

11、東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿足設(shè) 記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格極值點(diǎn)必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyx

12、fF山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例5. 要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為0V則問(wèn)題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxy

13、xF00Vzyx水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最?。康拈L(zhǎng)方體開(kāi)口水箱, 試問(wèn) 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂得唯一駐點(diǎn),2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省.因而,當(dāng)高為,340Vxyz考慮考慮: :1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示提示: : 利用對(duì)稱性可知利用對(duì)稱性可知, ,30Vzyx2) 當(dāng)開(kāi)口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià)最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長(zhǎng)、寬、高尺寸如何? 提示提示: :)()(20VzyxyxzyzxF2長(zhǎng)、寬、高尺寸相等 .山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點(diǎn) C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí)思考與練習(xí) 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx那么