第21練 關于平面向量數(shù)量積運算的三類經(jīng)典題型

1、第21練關于平面向量數(shù)量積運算的三類經(jīng)典題型題型分析高考展望平面向量數(shù)量積的運算是平面向量的一種重要運算，應用十分廣泛，對向量本身，通過數(shù)量積運算可以解決位置關系的判定、夾角、模等問題，另外還可以解決平面幾何、立體幾何中許多有關問題，因此是高考必考內(nèi)容，題型有選擇題、填空題，也在解答題中出現(xiàn)，常與其他知識結(jié)合，進行綜合考查.體驗高考1.(2015山東)已知菱形ABCD 的邊長為a，ABC60 ，則等于()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2答案D解析如圖所示，由題意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa3a2，BDa.|cos 30a2a2

2、.2.(2015重慶)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B. C. D.答案A解析由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，設a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20，cos .又0，.3.(2015陜西)對任意向量a，b，下列關系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b| B.|ab|a|b|C.(ab)2|ab|2 D.(ab)(ab)a2b2答案B解析對于A，由|ab|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；對于B，當a，b均為非零向量且方向相反時不成立；

3、對于C、D容易判斷恒成立.故選B.4.(2016課標全國乙)設向量a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，則m_.答案2解析由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m1120，得m2.5.(2016上海)在平面直角坐標系中，已知A(1，0)，B(0，1)，P是曲線y上一個動點，則的取值范圍是_.答案0，1解析由題意知y表示以原點為圓心，半徑為1的上半圓.設P(cos ，sin )，0，(1，1)，(cos ，sin 1)，所以cos sin 1sin()10，1的范圍為0，1.高考必會題型題型一平面向量數(shù)量積的基本運算例1(1)(2015四川)設四邊形ABCD為平行四邊形，

4、|6，|4，若點M，N滿足3，2，則等于()A.20 B. 15 C.9 D.6(2)(2015福建)已知，|，|t，若點P是ABC所在平面內(nèi)的一點，且，則的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21答案(1)C(2)A解析(1)，(43)(43)(16292)(1662942)9，故選C.(2)建立如圖所示坐標系，則B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1，4)，P(1，4)，(1，t4)1717213，故選A.點評(1)平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式：一是依據(jù)長度和夾角，二是利用坐標運算，具體應用哪種形式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量a，b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a，b的乘

5、積寫法不同，不應該漏掉其中的“”.(2)向量的數(shù)量積運算需要注意的問題：ab0時得不到a0或b0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2a2，但|ab|a|b|.變式訓練1在ABC中，ADAB，2 ，|1，則等于()A.2 B. C. D.答案A解析在ABC中，2 ，所以()(2 )，又因為，所以(12)2 (12)2 (12)2 2，因為ADAB，所以，所以0，所以(12)0212，故選A.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)設a，b為非零向量，|b|2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個a和2個b排列而成.若x1y1x2y2x3y3x4y4的所有可能

6、取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為()A. B. C. D.0(2)已知向量a，b滿足|a|2|b|0，且關于x的函數(shù)f(x)2x33|a|x26abx5在R上單調(diào)遞減，則向量a，b的夾角的取值范圍是()A. B. C. D.答案(1)B(2)D解析(1)設a與b的夾角為，由于xi，yi(i1，2，3，4)均由2個a和2個b排列而成，記S(xiyi)，則S有以下三種情況：S2a22b2；S4ab；S|a|22ab|b|2.|b|2|a|，中S10|a|2，中S8|a|2cos ，中S5|a|24|a|2cos .易知最小，即8|a|2cos 4|a|2，cos ，又0，故選B.(2)

7、設向量a，b的夾角為，因為f(x)2x33|a|x26abx5，所以f(x)6x26|a|x6ab，又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以f(x)0在R上恒成立，所以36|a|24(6)(6ab)0，解得ab|a|2，因為ab|a|b|cos ，且|a|2|b|0，所以|a|b|cos |a|2cos |a|2，解得cos ，因為0，所以向量a，b的夾角的取值范圍是，故選D.點評求向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時，兩向量的夾角為鈍角.變式訓練2若非零向量a，b滿足

8、|a|b|，(2ab)b0，則a與b的夾角為()A.30 B.60 C.120 D.150答案C解析設a與b的夾角為，由題意得|a|b|，(2ab)b0，可得2abb22|a|b|cos b22|a|a|cos |a|20，解得cos ，因為0180，所以120，故選C.題型三利用數(shù)量積求向量的模例3(1)已知向量a，b的夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|_.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，點P是腰DC上的動點，則|3|的最小值為_.答案(1)3(2)5解析(1)由|2ab|，則|2ab|210，及4a24abb210，又向量a，b的夾角為45，且

9、|a|1，所以4141|b|cos |b|210，即|b|22|b|60，解得|b|3.(2)方法一以點D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設DCa，DPx.D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5，3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值為5.方法二設x(0x1)，(1x)，x，(1x)，3(34x)，|3|222(34x)(34x)225(34x)2225，|3|的最小值為5.點評(1)把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，給有關向量賦以具體的坐標求向量的模，如向量a(x，y)，

10、求向量a的模只需利用公式|a|即可求解.(2)向量不放在坐標系中研究，求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應用向量的數(shù)量積公式，關鍵是會把向量a的模進行如下轉(zhuǎn)化：|a|.變式訓練3已知向量a，b，c滿足|a|4，|b|2，a與b的夾角為，(ca)(ca)1，則|ca|的最大值為()A. B.1 C. D.1答案D解析在平面直角坐標系中，取B(2，0)，A(2，2)，則a，b，設c(x，y)，則(ca)(cb)(x2，y2)(x2，y)(x2)2y(y2)1，即(x2)2(y)21，所以點C(x，y)在以D(2，)為圓心，1為半徑的圓上，|ca|，最大值為|AD|11.故選D.高

11、考題型精練1.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都為1，點E、F分別是AB、AD的中點，則等于()A. B. C. D.答案D解析由題四邊形ABCD的邊和對角線的長都為1，點E、F分別是AB、AD的中點，則EF平行于BD，則11cos 120.2.(2016課標全國丙)已知向量，則ABC等于()A.30 B.45 C.60 D.120答案A解析|1，|1，cosABC.又0ABC180，ABC30.3.(2015湖南)已知點A，B，C在圓x2y21上運動，且ABBC.若點P的坐標為(2，0)，則|的最大值為()A.6 B.7 C.8 D.9答案B解析由A，B，C在圓x2y21上，且AB

12、BC，AC為圓的直徑，故2(4，0)，設B(x，y)，則x2y21且x1，1，(x2，y)，所以(x6，y).故|，1x1，當x1時有最大值7，故選B.4.已知三點A(1，1)、B(3，1)、C(1，4)，則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.答案A解析(2，3)，(4，2)，向量在向量方向上的投影為，故選A.5.(2015安徽)ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結(jié)論正確的是()A.|b|1 B.ab C.ab1 D.(4ab)答案D解析在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab

13、)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，故選D.6.已知i，j為互相垂直的單位向量，ai2j，bij，且a，b的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是()A.(，)B.(，)C.(2，)(，)D.(，2)(2，)答案D解析a，b的夾角為銳角，ab11(2)0且1(2)10，(，2)(2，)，故選D.7.已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，則向量a和b的夾角是_.答案解析(ab)a，(ab)aa2ab32cosa，b0，cosa，b，又0a，b，a和b的夾角為.8.(2016浙江)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若對任意單位向量e，均有|ae|be|，則ab的最大值是_.答案

14、解析由已知可得，|ae|be|aebe|(ab)e|，由于上式對任意單位向量e都成立.|ab|成立.6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab，ab.9.如圖，在ABC中，點O為BC的中點，若AB1，AC3，60，則|_.答案解析因為，60，所以|cos 6013，又()，所以2()2(222)，即2(139)，所以|.10.已知點O是銳角ABC的外心，AB8，AC12，A.若xy，則6x9y_.答案5解析如圖，設點O在AB，AC上的射影分別是點D，E，它們分別為AB，AC的中點，連接OD，OE.由數(shù)量積的幾何意義，可得|32，|72，依題意有x2y64x48y32，即4x3y2，xy248x144y72，即2x6y3，將兩式相加可得6x9y5.11.設a(1，1)，b(x，3)，c(5，y)，d(8，6)，且bd，(4ad)c.(1)求b和c；(2)求c在a方向上的投影；(3)求1和2，使c1a2b.解(1)bd，6x240，x4.4ad(4，10)，(4ad)c，5410y0，y2，b(4，3)，c(5，2).(2)cosa，c，c在a方向上的投影為|c|cosa，c.(3)c1a2b，解得1，2.12.在ABC中，AC10，過頂點C作AB的垂線，垂足為D，AD5，且滿足.(1)求|；(2)存在實數(shù)t1，使得向量x