2.1.無窮小量和無窮大量ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 無窮小量和無窮大量無窮小量和無窮大量一、無窮小量一、無窮小量二、無窮小量階的比較二、無窮小量階的比較三、無窮大量三、無窮大量四、漸近線四、漸近線一、無窮小量一、無窮小量 極限為零的變量稱為無窮小量極限為零的變量稱為無窮小量. .定義定義1內內有有定定義義，的的某某鄰鄰域域在在點點設設)(00 xUxf , 0lim0 xfxx若若.0時時的的無無窮窮小小量量為為則則稱稱xxf0fx若若在在點點的的某某個個空空心心鄰鄰域域內內有有界界，則稱則稱 f f 為為.0時的有界量時的有界量xx 例如例如, 0sinlim0 xxsin0.xx函數(shù)是當時的無窮小量, 01lim xx.1時時

2、的的無無窮窮小小是是當當函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時的無窮小時的無窮小是當是當數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2.無窮小與函數(shù)極限的關系無窮小與函數(shù)極限的關系:證證,)(lim0Axfxx 設設,)()(Axfx 令令定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是當是當0 xx 時的無窮小時的無窮小. Axfxx)(0, 0, 00恒有恒有時時使得當使得當 )(x即有即有0lim( )0 xxx即，即，意義意義1.將一

3、般極限問題轉化為特殊極限問題將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮小無窮小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 誤差為誤差為附近的近似表達式附近的近似表達式在在給出了函數(shù)給出了函數(shù)3.無窮小的運算性質無窮小的運算性質:定理定理2 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的有限個無窮小的代數(shù)和代數(shù)和(差、積仍是無窮小差、積仍是無窮小.注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .是是無無窮窮小小，時時例例如如nn1, .11不不是是無無窮窮小小之之和和為為個個但但nn定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證證內有界，內

4、有界，在在設函數(shù)設函數(shù)),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒恒有有時時使使得得當當則則,0時時的的無無窮窮小小是是當當又又設設xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有時時使使得得當當推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小乘積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.,min21 取取恒恒有有時時則則當當,00 xx uuMM , .,0為無窮小為無窮小時時當當 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2時時當

5、當例例如如都是無窮小都是無窮小二、無窮小的比較二、無窮小的比較 例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當當xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢程度不同快慢程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在);(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比就就說說如如果果定義定義: : . 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個無是同一過程中的兩個無設設;),0(li

6、m)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地常用等價無窮小常用等價無窮小: : ,0時時當當 x, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx .21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx 定理定理4(4(等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存存在在且且設設證證 lim)lim( limlimlim.lim 例例3 3

7、 .cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當當22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換. .注意注意例例4 4 .2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時時當當 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯錯 三、無窮大三、無窮大 絕對值無限增大的變量

8、稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim. 20認為極限存在認為極限存在勿將勿將 xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但不是無窮大但不是無窮大是一個無界變量是一個無界變量時時當當例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy

9、.)(,0Mxyk 充充分分大大時時當當), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取,| , kxk充充分分大大時時當當 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，.11lim1 xx證證明明例例證證. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110時時當當Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx11 xy四、無窮小與無窮大的關系四、無窮小與無窮大的關系 定理定理5 5 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .證證.)(lim0

10、 xfxx設設,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有時時使使得得當當.)(1 xf即即.)(1,0為為無無窮窮小小時時當當xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設設反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有時時使得當使得當.)(1Mxf 從而從而.)(1,0為為無無窮窮大大時時當當xfxx , 0)( xf由由于于意義意義 關于無窮大的討論關于無窮大的討論, ,都可歸結為關于無窮小的討論都可歸結為關于無窮小的討論. .五、小結五、小結 幾點注意幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮?。o窮小（ 大是變量大是變

11、量,不能與很小大的數(shù)混淆，不能與很小大的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；零是唯一的無窮小的數(shù)；（2 2無窮多個無窮小的代數(shù)和乘積未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和乘積未必是無窮小. .（3） 無界變量未必是無窮大無界變量未必是無窮大.四、漸近線作為函數(shù)極限的一個應用，我們來討論曲線的漸作為函數(shù)極限的一個應用，我們來討論曲線的漸在中學里我們已經知道雙曲線的在中學里我們已經知道雙曲線的標準方程為標準方程為, 12222byax它的漸近線方程為它的漸近線方程為.xabyxaby xaby 12222 byaxoxy近線問題近線問題.下面給出漸近線的一般定義下面給出漸近線的一般定義.定義定義4 設設 L

12、 是一條直線是一條直線, 若曲線若曲線 C 上的動點上的動點 P 沿沿曲線無限遠離原點時曲線無限遠離原點時, 點點 P 與與 L 的距離趨于零，那的距離趨于零，那么么稱直線稱直線 L 為曲線為曲線 C 的一條漸近線的一條漸近線(如圖如圖).bkxy PNML L)(xfy C CxyO設斜漸近線設斜漸近線 L 的方程為的方程為.bkxy 設曲線方程為設曲線方程為:( ) .yf x如圖，如圖，.1)(|cos|2kbkxxfPMPN 由漸近線的定義，由漸近線的定義，或或時時( x xx,即即時時）,0,PN,01)(lim2 kbkxxfxbkxy PNML L)(xfy C CxyO從而從而

13、. )(limkxxfbx 又又xkxxfkxxfxx )(lim)(lim,0lim xbx所以，所以，.)(limxxfkx 斜漸近線：斜漸近線：的兩個參數(shù)：的兩個參數(shù)：,)(limxxfkx . )(limkxxfbx ykx b（負方向類同）（負方向類同）滿滿足足若若函函數(shù)數(shù))(xf )(lim0 xfxx則稱則稱 x = x0 是曲線是曲線 的垂直漸近線的垂直漸近線.)(xfy 定義：定義：, )(lim)(lim(00 xfxfxxxx或或例例9 求曲線求曲線3223 xxxy的漸近線的漸近線.)(lim,)(lim31 xfxfxx并且并且 f (x) 在其他點處均有有限極限，所以求得在其他點處均有有限極限，所以