大學物理上冊

1、第第 5 章章 剛體力學基礎(chǔ)剛體力學基礎(chǔ)5.1 剛體的運動及描述剛體的運動及描述 剛體是特殊的質(zhì)點系剛體是特殊的質(zhì)點系，其上各質(zhì)元間的相對位置保持不變。，其上各質(zhì)元間的相對位置保持不變。完全描述運動所需的獨立坐標數(shù)完全描述運動所需的獨立坐標數(shù)剛體（剛體（rigid body）自由度自由度（或任意兩點之間的距離始終保持不變）（或任意兩點之間的距離始終保持不變）任何情況下形狀和體積都不改變的物體（任何情況下形狀和體積都不改變的物體（理想化的模型理想化的模型 ）。）。（確定物體的空間位置）如：如：(a)質(zhì)點的直線運動，只需一個變數(shù)。質(zhì)點的直線運動，只需一個變數(shù)。 自由度自由度=1。(b)質(zhì)點的一般運

2、動，需三個坐標描述。質(zhì)點的一般運動，需三個坐標描述。 自由度自由度=3。(c) 對剛體：只要確定其三個點，即可確定其位置。對剛體：只要確定其三個點，即可確定其位置。 需需9個變量。個變量。但三個點的間距確定，實際上只需但三個點的間距確定，實際上只需6個變量。個變量。剛體最大自由度剛體最大自由度6。（確定物體的空間位置）完全描述運動所需的獨立坐標數(shù)完全描述運動所需的獨立坐標數(shù)自由度自由度平動時，剛體上所有平動時，剛體上所有點運動都相同。點運動都相同。oooo一、剛體的運動形式一、剛體的運動形式在運動中，如果連接剛體在運動中，如果連接剛體內(nèi)任意兩點的直線在任意時內(nèi)任意兩點的直線在任意時刻的位置都彼

3、此平行，則這刻的位置都彼此平行，則這樣的運動稱為剛體的平動。樣的運動稱為剛體的平動。1.平動（平動（translation）可用質(zhì)心或其上任何一點的運動來可用質(zhì)心或其上任何一點的運動來代表整體的運動。代表整體的運動。自由度：自由度：) ( 3cccmaxzyxi如：門窗、電機轉(zhuǎn)子如：門窗、電機轉(zhuǎn)子etc .轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動2.轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動（rotation）可分為兩種基本形式：可分為兩種基本形式： OvPrr定軸定軸剛體剛體 參考方向參考方向z（本章重點討論定軸轉(zhuǎn)動）（本章重點討論定軸轉(zhuǎn)動）)1( i定軸轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動：運動中各質(zhì)元均做圓周運動，運動中各質(zhì)元均做圓周運動，且各圓心都在同一條固定的直且各圓

4、心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸）上。線（轉(zhuǎn)軸）上。 定點轉(zhuǎn)動：運動中剛體上只有定點轉(zhuǎn)動：運動中剛體上只有一點固定不動，整個剛體繞過該一點固定不動，整個剛體繞過該固定點的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動固定點的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動.（如陀螺的運動等）（如陀螺的運動等）i 3（轉(zhuǎn)軸方向（轉(zhuǎn)軸方向（2 2），繞軸轉(zhuǎn)），繞軸轉(zhuǎn)角（角（1 1）剛體上各點都平行于某一固定平面的運動稱為剛體上各點都平行于某一固定平面的運動稱為剛體的平面運動，又稱為剛體的平面平行運動。剛體的平面運動，又稱為剛體的平面平行運動。3.平面平行運動平面平行運動可以分解為：可以分解為：剛體隨質(zhì)心的平動（剛體隨質(zhì)心的平動（2 2）和繞質(zhì)心垂直于運動平和繞質(zhì)

5、心垂直于運動平面的定軸轉(zhuǎn)動（面的定軸轉(zhuǎn)動（1 1）312i如：車輪直線滾動如：車輪直線滾動4.一般運動一般運動剛體不受任何限制的的任意運動剛體不受任何限制的的任意運動, 稱為剛體的一般運動。稱為剛體的一般運動。它可視為以下兩種剛體的基本運動的疊加：它可視為以下兩種剛體的基本運動的疊加：o ooo 繞通過基點繞通過基點O的瞬時軸的定點轉(zhuǎn)動的瞬時軸的定點轉(zhuǎn)動 隨基點隨基點O（可任選）的平動（可任選）的平動基點（基點（O和和O ）選取不同，選取不同，平動不同，轉(zhuǎn)動也可以不平動不同，轉(zhuǎn)動也可以不同，與基點的選取有關(guān)同，與基點的選取有關(guān)i 33如圖示的兩種運動分解：如圖示的兩種運動分解：t dd剛體繞剛

6、體繞 oz 軸，為了反映軸，為了反映剛體繞瞬時軸的方向及轉(zhuǎn)剛體繞瞬時軸的方向及轉(zhuǎn)動快慢等，引入角速度矢動快慢等，引入角速度矢量量 和角加速度矢量和角加速度矢量 二、二、 剛體轉(zhuǎn)動的運動學描述剛體轉(zhuǎn)動的運動學描述tdd OvP,rr定軸定軸剛體剛體 參考方向參考方向z定軸轉(zhuǎn)動剛體上任意點都繞同定軸轉(zhuǎn)動剛體上任意點都繞同一軸在各自的平面內(nèi)作圓周運動一軸在各自的平面內(nèi)作圓周運動。很顯然：剛體各個部分在相同時間很顯然：剛體各個部分在相同時間內(nèi)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度（角位移）都內(nèi)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度（角位移）都相同。相同。引入角量描述將非常方便。引入角量描述將非常方便。如：角坐標如：角坐標（ ）、）、角位移（角位

7、移（ ）等。）等。P點線速度點線速度P點線加速度點線加速度 OvP,rr定軸定軸剛體剛體 參考方向參考方向z定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體上任意點的剛體上任意點的 ， 都相同。都相同。 rv2n rartvaddt當剛體作當剛體作勻角加速轉(zhuǎn)動勻角加速轉(zhuǎn)動時，時，有運動學關(guān)系：有運動學關(guān)系： rv矢量形式矢量形式ra2neratrat或：或： )()(0202221002 ttt END一、外力矩及對轉(zhuǎn)軸的分量一、外力矩及對轉(zhuǎn)軸的分量設(shè)第設(shè)第i個質(zhì)元受外力個質(zhì)元受外力 ，F(xiàn)i假定假定Fi垂直于轉(zhuǎn)軸。垂直于轉(zhuǎn)軸。iiiFRMiirooR iiiFrooM iFoo軸z軸z/5.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)

8、動 xyz ooRiiFrimiooi對對O點的力矩點的力矩：iiFriFoo 在定軸轉(zhuǎn)動中，在定軸轉(zhuǎn)動中， 不可能引起剛體運動。不可能引起剛體運動。因此可以丟棄！因此可以丟棄！iiiziiizFrFrMsin)(相對于相對于 z 軸的合外力矩為：軸的合外力矩為：iizzMM即作用在各質(zhì)元的外力矩的即作用在各質(zhì)元的外力矩的 z 分量之和分量之和. .xyz ooRiiFirmiooi只考慮只考慮 z 方向的分量：方向的分量：軸z/iiFr對參考點對參考點o 的力矩在的力矩在z軸上的分量軸上的分量就等于力就等于力iF對對 z 軸的垂足軸的垂足oo（轉(zhuǎn)心）（轉(zhuǎn)心）的力矩（簡稱力的力矩（簡稱力iF

9、對轉(zhuǎn)軸的力矩）對轉(zhuǎn)軸的力矩）iFiiiivmRLivoo 垂直于垂直于z軸。軸。iiiizvmrLvi O, ,riRi定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體剛體zim O iiivmroo 二、二、 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量2iirmiizzLLiiirm)(2式中式中Jmri ii2稱為剛體對轉(zhuǎn)軸稱為剛體對轉(zhuǎn)軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量( (rotational inertia)i th 個質(zhì)元對個質(zhì)元對O點的角動量：點的角動量：剛體剛體imJLz我們只對我們只對z方向的分量感興趣：方向的分量感興趣：iivmoo iiivmr 由于剛體只能繞由于剛體只能繞 z 軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動, ,引起轉(zhuǎn)動的引

10、起轉(zhuǎn)動的力矩只有力矩只有 ，因此轉(zhuǎn)動動力學方程因此轉(zhuǎn)動動力學方程MztLMzzddtJMzdd)(JLz時，當 0ddtJ 定軸轉(zhuǎn)動，可不寫角標定軸轉(zhuǎn)動，可不寫角標z，記作：，記作：與牛與牛II比較：比較：MFJma J 反映剛體轉(zhuǎn)動的慣性反映剛體轉(zhuǎn)動的慣性vi OriRi定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體剛體zim O zzML ,Jt=JMzdd JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律三、三、 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律JtMdd JJttJtM000ddtttM0d稱為在t0到t時間內(nèi)作用在剛體上的沖量矩。四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理角動量守恒定律角動量守恒定律tJM

11、dd由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律在在 t0 到到 t 時間內(nèi)：時間內(nèi)：00JJ 角動量定理角動量定理當合外力矩當合外力矩 時，時，0zM即：即：.constJ0 , 0 )ii(0 , 0 ) i (iizzziiizzziiizMMFrMMFrM即：即：0 , 0 )ii(0 , 0 ) i (iizzziiizzziiizMMFrMMFrM1F2F(ii)F(i)角動量守恒情況分如下幾種：角動量守恒情況分如下幾種：.constJ(a)const.JL,J都不變，所以都不變，所以(b).constJL,J都變化，都變化， 但是但是(c)剛體組角動量守恒！剛體組角動量守恒！.constiiiiiJL如

12、：花樣滑冰、芭蕾舞、體操、跳水如：花樣滑冰、芭蕾舞、體操、跳水 等運動中的動作。等運動中的動作。 若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動. . 這時角動量可在剛體組內(nèi)部傳遞。這時角動量可在剛體組內(nèi)部傳遞。RETURNRETURNgrJmmmmraBABAA)/()(2 例例5-1研究對象：研究對象：A A、B B、圓柱、圓柱BamBmBgNBTfAamAmAgATA:A:B:B:AAAAamTgm BBBamfT 0 gmNB附加方程附加方程NfraaTTTTBABBAA 解：解：mBmArATBT圓柱：圓柱：JrTrTBA 例例5-2研究對象：研究對象：A

13、A、B B、C、圓柱。圓柱。mCmCgNCT f解：解：mBmArmCmAmAgATATBTmBmBgNBTfCT設(shè)設(shè)A、B運動距離運動距離S后，細繩后，細繩伸展，求伸展，求“碰撞碰撞”后后C的速度。的速度。A:A:B:B:0vmVmtTtgmAAAAA 0 tgmtNB圓柱：圓柱：0JJtrTtrTBA 利用質(zhì)點動量定理和剛體角動量定理利用質(zhì)點動量定理和剛體角動量定理(設(shè)碰撞時間為設(shè)碰撞時間為 t)：0vmVmtftTtTBBBCB C: :0 tgmtNC0 CCCVmtftTaSv20 a為加速度為加速度（上題求得）（上題求得）附加方程附加方程/00NfNfrvrVVVVTTTTCBAB

14、BAA A:A:B:B:0vmVmtTtgmAAAAA 0 tgmtNB圓柱：圓柱：0JJtrTtrTBA 0vmVmtftTtTBBBCB C: :0 tgmtNC0 CCCVmtftT與與“碰撞碰撞”時時細繩內(nèi)的張力細繩內(nèi)的張力相比，重力等相比，重力等產(chǎn)生的沖量產(chǎn)生的沖量（矩）可以忽（矩）可以忽略！考慮到約略！考慮到約束條件后，上束條件后，上述方程可簡化述方程可簡化為：為：0vmVmtTAAA 202rvJrVJtTtTBA 0vmVmtTtTBBCB 0 VmtTCC四個方程相加得：四個方程相加得：022)( )(0vrJMMVrJMMMBACBA022)()(vrJMMMrJMMVCB

15、ABA注意注意（1）上述討論關(guān)鍵是對）上述討論關(guān)鍵是對“碰撞碰撞”過程中，與沖擊力過程中，與沖擊力 相比可以忽略一些常規(guī)力！相比可以忽略一些常規(guī)力！ （2）上述結(jié)果在）上述結(jié)果在J0時，好象與時，好象與A、B、C三個物體三個物體 的動量守恒相似？但情況決不是如此！這是同的動量守恒相似？但情況決不是如此！這是同 學常常出現(xiàn)的錯誤。學常常出現(xiàn)的錯誤。0vmVmtTAAA202rvJrVJtTtTBA0vmVmtTtTBBCB0VmtTCC（3）如果忽略一些常規(guī)力，并考慮對轉(zhuǎn)軸的角動量）如果忽略一些常規(guī)力，并考慮對轉(zhuǎn)軸的角動量 守恒，也可以得到相同結(jié)果！守恒，也可以得到相同結(jié)果！例例5-3 “打擊中

16、心打擊中心”問題問題細桿：細桿：m, l ，軸軸O，在豎直位置在豎直位置靜止靜止. .若在某若在某時刻有力作用在時刻有力作用在A處，求軸對桿的作用力。處，求軸對桿的作用力。解：解：如圖示，除力如圖示，除力F外，系統(tǒng)還受重力、外，系統(tǒng)還受重力、軸的支反力等。軸的支反力等。 但這兩個力對軸的力矩但這兩個力對軸的力矩0。Fl0O.C . FxFyA.gm只有只有F對細桿的運動有影響，對轉(zhuǎn)軸對細桿的運動有影響，對轉(zhuǎn)軸O的力矩為：的力矩為：可通過轉(zhuǎn)動定律求細桿的轉(zhuǎn)動，再求可通過轉(zhuǎn)動定律求細桿的轉(zhuǎn)動，再求質(zhì)心加速度。利用質(zhì)心運動定理求支反力。質(zhì)心加速度。利用質(zhì)心運動定理求支反力。FlM0JM c(am)

17、jFiFgmFyx細桿遵從如下動力學方程：細桿遵從如下動力學方程：JFlJM0 203mlFl 質(zhì)心運動定律分量式：質(zhì)心運動定律分量式：cttmaFFFxcnnmamgFFy)2(lm)2(2lmmgFyFllFx 1230Fll230Fl0OC . FxFyA.gm.JM c(am) jFiFgmFyxJFlJM0 203mlFl 0質(zhì)心運動定律分量式：質(zhì)心運動定律分量式：cttmaFFFxcnnmamgFFy)2(lm)2(2lmmgFyFllFx 1230Fll2300討論討論320/ll 由于由于“沖擊沖擊”過程中的過程中的沖擊力在短時間內(nèi)有相沖擊力在短時間內(nèi)有相當大的數(shù)值，只要當大的

18、數(shù)值，只要xF將很大！將很大！320/ll 但但 時，時，xF為零！為零！llFx32010 ,)(llFx32020 ,)(llFx32030 ,)(Fl0O.C . FxFyA.gm則：如圖所示的則：如圖所示的沖擊沖擊A點點 就稱為就稱為“打擊中心打擊中心”。不同的剛體不同的剛體“打擊中心打擊中心”與剛體的形狀及質(zhì)量分布有關(guān)。與剛體的形狀及質(zhì)量分布有關(guān)。在使用工具敲打東西時，在使用工具敲打東西時，要注意用打擊中心擊打，以免有較大的反作用力。要注意用打擊中心擊打，以免有較大的反作用力。討論討論320/ll 由于由于“沖擊沖擊”過程中的過程中的沖擊力在短時間內(nèi)有相沖擊力在短時間內(nèi)有相當大的數(shù)值

19、，只要當大的數(shù)值，只要xF將很大！將很大！320/ll 但但 時，時，xF為零！為零！例例5-4 半徑為半徑為 R1 和和 R2、轉(zhuǎn)動慣量為、轉(zhuǎn)動慣量為 J1 和和 J2 的兩個圓的兩個圓柱體，可繞垂直軸轉(zhuǎn)動，最初大圓柱體的角速度為柱體，可繞垂直軸轉(zhuǎn)動，最初大圓柱體的角速度為 0，現(xiàn)，現(xiàn)將小圓柱體靠近碰到大圓柱體。由于摩擦，小圓柱體被帶將小圓柱體靠近碰到大圓柱體。由于摩擦，小圓柱體被帶著轉(zhuǎn)動，當相對滑動停止時，兩圓柱體各以恒定角速度沿著轉(zhuǎn)動，當相對滑動停止時，兩圓柱體各以恒定角速度沿相反方向轉(zhuǎn)動。求小圓柱的最終角速度多大？相反方向轉(zhuǎn)動。求小圓柱的最終角速度多大？11, RJ22, RJ011,

20、 RJ22, RJ0設(shè)垂直于紙面向里為正向：設(shè)垂直于紙面向里為正向：01111JJtfR無相對滑動：無相對滑動： 2211RR21222102112RJRJRRJ分別對分別對 o1 軸和軸和 o2 軸運用角動量定理。軸運用角動量定理。解：解：ffo11Nf1Fo22F2f NEND222JtRf一、剛體的轉(zhuǎn)動慣量及計算一、剛體的轉(zhuǎn)動慣量及計算定義式：定義式：Jmri ii21、 剛體為分立結(jié)構(gòu)剛體為分立結(jié)構(gòu)Jmri ii22 、剛體為連續(xù)體、剛體為連續(xù)體mrJd2單位：單位：2mkg :SI很明顯：很明顯：J與質(zhì)量及其分布有關(guān)，與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。與質(zhì)量及其分布有關(guān)，與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。5.3 轉(zhuǎn)

21、動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 式中式中 ri 為為“質(zhì)量元質(zhì)量元” mi 到轉(zhuǎn)軸的距離。到轉(zhuǎn)軸的距離。式中式中,ddVm,ddSmlmddor 幾個常用幾個常用 J 的計算舉例：的計算舉例：（1 1）均勻圓環(huán)：）均勻圓環(huán)：（2 2）均勻圓盤：）均勻圓盤：mrJd2c424cRJRmC CRmCRrrr02d2Rrr03d2221mRmrJd2mR d22mR（3 3）均勻桿：）均勻桿：oxdxdmmxJd222d2llxlmx如果將軸移到棒的一端如果將軸移到棒的一端lxlmxJ02d2121ml 231ml二、二、 平行軸定理平行軸定理 剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J 等于對

22、等于對通過質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸的通過質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量Jc 加上剛加上剛體質(zhì)量體質(zhì)量 m 乘以兩平行轉(zhuǎn)軸間距離乘以兩平行轉(zhuǎn)軸間距離d 的平方的平方. .2cmdJJOcdoririmiiiiOrmJ2 iiiidrdrmiiiiiiiirmddmrm222iiimdrm22iiirrm平行軸定理平行軸定理應(yīng)用舉例：應(yīng)用舉例： 掛鐘擺錘的轉(zhuǎn)動慣量掛鐘擺錘的轉(zhuǎn)動慣量RlJJJ2131lmJlm l1 om R2 222221RlmRmJR2222212131RlmRmlmJ三、三、對薄平板剛體的垂直軸定理對薄平板剛體的垂直軸定理Jm rzii 2m xm yiiii 22 例：已知圓盤例：

23、已知圓盤JmRz 122求對圓盤的一條直徑的求對圓盤的一條直徑的Jx （或（或 Jy ）由由JJJJJzyxxy JJmRxy 142即即 JzJJyx yx z 圓盤圓盤 R C m y rix z yi xi mi O例例5-5 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m ，長為，長為 l 的均質(zhì)細桿，轉(zhuǎn)軸在的均質(zhì)細桿，轉(zhuǎn)軸在O點，點，距距A端端 l/3 。今使棒從靜止開始由水平位置繞。今使棒從靜止開始由水平位置繞O點轉(zhuǎn)動，點轉(zhuǎn)動，求求(1)水平位置的角速度和角加速度。水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置時的角垂直位置時的角速度和角加速度。速度和角加速度。解：解：2cmdJJ222916121mllmmlJ

24、00lgmlmglJM23962方向：方向： cOBAgmcOBA(2)tJMddtmllmgdd91cos62dcos23dlgdcos23d200lglglg23sin2321202lg30 gmdd912ml例例5-6 一半徑為一半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度為水平面上。若它的初角速度為 0 0，繞中心，繞中心o o旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)過多長時間圓盤才停止？（設(shè)摩擦系數(shù)為過多長時間圓盤才停止？（設(shè)摩擦系數(shù)為 ）drr解：解：rmgFrMdddrrRmmd2d222d2dRrgrmMmgRRrmgrMMR32d2d022Ro2

25、d2RrmrtJMddtmRmgRdd21322000d43dgRttgRt430tmRmgRdd21322000d43dgR2083gR為其轉(zhuǎn)過的角度。為其轉(zhuǎn)過的角度。mgRM32ENDtmRdddd212一、一、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能iiirvmE2k212cmdJJ22ck 21mdJEr2c2c2121Jmv 可分解為剛體攜總質(zhì)量可分解為剛體攜總質(zhì)量(質(zhì)心質(zhì)心)繞定軸作圓周運動的動能繞定軸作圓周運動的動能 和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能。和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能。5.4 定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系 利用平行軸定理：利用平行軸定理：222c2121mdJiiirm222122

26、1J 二、力矩作功二、力矩作功外力外力F 角位移角位移d力力F 位移的大小位移的大小ds=rd作功為作功為 sin2cosFrdFrdFdsdW MddW 0 MdW說明：說明：力矩作功的實質(zhì)仍然是力作功。對力矩作功的實質(zhì)仍然是力作功。對于剛體轉(zhuǎn)動的情況，用力矩的角位于剛體轉(zhuǎn)動的情況，用力矩的角位移來表示。移來表示。三、三、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理tJMdd2022121JJ tJdddd0dMA利用轉(zhuǎn)動定律：利用轉(zhuǎn)動定律：ddJ剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理0dJ四、四、 剛體的重力勢能剛體的重力勢能剛體和地球系統(tǒng)的重力勢能：剛體和地球系統(tǒng)的重力勢能：ii

27、igzmEpiiigzmEp mzmmgiiigmicrOirz iiizmgcmgz以地面為零勢能點，對質(zhì)元以地面為零勢能點，對質(zhì)元 mi五、五、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理與機械能守恒剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理與機械能守恒若把重力作功用勢能差表示：若把重力作功用勢能差表示：0dggMA)21()21(d200c2c0JmgzJmgzM式中式中M為除重力以外的其它外力矩。為除重力以外的其它外力矩。若若M=0, const.212cJmgz剛體的機械能守恒定律剛體的機械能守恒定律)(c0cmgzmgz 2022121JJ 0d)(gMM由動能定理由動能定理例例5-7如圖示已知：如圖示已知： M=2m，

28、h， =60求：碰撞后瞬間盤的求：碰撞后瞬間盤的 0 ？ P 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 x 軸時盤的軸時盤的 =? 解：解： m下落：下落：mghmv 122vgh 2(1)（水平）（水平）m(黏土塊黏土塊) yxhPOM光滑軸光滑軸均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤RmPhv（水平水平）m(黏土塊黏土塊) yxhPOM光滑軸光滑軸均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤R碰撞碰撞 t 極小，對極小，對 m +盤系統(tǒng)盤系統(tǒng)，沖擊力遠大于重力，故重力，沖擊力遠大于重力，故重力對對O力矩可忽略，角動量守恒：力矩可忽略，角動量守恒：mvRJocos (2)JMRmRmR 122222 (3)由由 (1)(2)(3) 得：得： oghR 22cos (4)對

29、對 m + M +地球系統(tǒng)地球系統(tǒng)，只有重力做功，只有重力做功，E 守恒守恒. .則：則：P、 x 重合時重合時 EP=0 。令令1mgRJJosin 12222(5)由由 (3)(4)(5)得：得： ghRgR222cossin ghRgR222cossin 12243RghR.()() 60o o由由 (3)(4)(5)得：得： ghRgR222cossin（水平水平）m(黏土塊黏土塊) yxhPOM光滑軸光滑軸均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤Ru0人與轉(zhuǎn)臺組成的系統(tǒng)對豎直人與轉(zhuǎn)臺組成的系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒：軸的角動量守恒：JJ00)21(2122221021tumRmRm22122021tRmum例

30、例5-8 水平轉(zhuǎn)臺水平轉(zhuǎn)臺(m1 、 R ) 可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)動，初角可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)動，初角速度速度 0 0，一人，一人( (m2 )立在臺中心，相對轉(zhuǎn)臺以恒定速度立在臺中心，相對轉(zhuǎn)臺以恒定速度u沿沿半徑向邊緣走去，計算經(jīng)時間半徑向邊緣走去，計算經(jīng)時間 t，臺轉(zhuǎn)過了多少角度。，臺轉(zhuǎn)過了多少角度。解：解：tt0dd臺轉(zhuǎn)過的角度：臺轉(zhuǎn)過的角度：RmmutmmuR2/1122/1120)2(arctan)2(例例5-9均質(zhì)細棒均質(zhì)細棒 m,l, 水平軸水平軸O, ,開始棒處于水平壯態(tài)，開始棒處于水平壯態(tài)， 由靜止釋放，求，（由靜止釋放，求，（1 1）水平位置放手時，棒的質(zhì)心加速度）水平位置放手

31、時，棒的質(zhì)心加速度; ;（2 2）擺到豎直位置時，棒的角速度）擺到豎直位置時，棒的角速度; ;（3 3）擺到豎直位置時，軸的支反力。）擺到豎直位置時，軸的支反力。解:（1）FxFy.OzzMMd2clmgmgx 因軸的支反力未知，不可能通過質(zhì)心因軸的支反力未知，不可能通過質(zhì)心運動定律求棒的質(zhì)心加速度。運動定律求棒的質(zhì)心加速度。支反力對轉(zhuǎn)軸支反力對轉(zhuǎn)軸O 的力矩為零，則可通過的力矩為零，則可通過轉(zhuǎn)動定律求棒的轉(zhuǎn)動，再求質(zhì)心加速度。轉(zhuǎn)動定律求棒的轉(zhuǎn)動，再求質(zhì)心加速度。JMz 質(zhì)心加速度：質(zhì)心加速度：2ctla20cn2lamgxd3/2/2mllmglgl232 g43 lg230mxgd0 22

32、12lmgJ3gl（2）依機械能守恒，選）依機械能守恒，選O點為勢能零點：點為勢能零點：（3）豎直位置時：）豎直位置時：2ctla 豎直位置時豎直位置時棒的機械能棒的機械能水平水平位置位置2cn2la應(yīng)用質(zhì)心運動定律：應(yīng)用質(zhì)心運動定律：c amFictmaFxcnmamgFymgmgFy230 xFFxFy.Omg250 23g例例5-10 質(zhì)點與直竿碰撞質(zhì)點與直竿碰撞細桿：細桿：M, L ，軸，軸O，在豎直位置在豎直位置靜止靜止. .m 與棒與棒發(fā)生彈性碰撞（如圖所示）。發(fā)生彈性碰撞（如圖所示）。m 碰后失速下落。求碰后：棒的碰后失速下落。求碰后：棒的最大偏轉(zhuǎn)角？最大偏轉(zhuǎn)角？m0vaO.max解：解：利用角動量守恒：利用角動量守恒：系統(tǒng)受重力、軸的支反力等。系統(tǒng)受重力、軸的支反力等。但這些力對軸的力矩但這些力對軸的力矩0。碰前：碰前：碰后：碰后：Jalmv)(00 )(0mvalLJL 0m細桿細桿LL 在碰后的運動中，在