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1、熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理期末考試題庫河工大( 5)式(5)就是由所給求得的物態(tài)方程。確定常量C需要進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。1.5 描述金屬絲的幾何參量是長度,力學(xué)參量是張力J ,物態(tài)方程是實(shí)驗(yàn)通常在1 下進(jìn)行,其體積變化可以忽略。線脹系數(shù)定義為等溫楊氏模量定義為其中是金屬絲的截面積,一般來說,和是T 的函數(shù),對J 僅有微弱的依賴關(guān)系,如果溫度變化范圍不大,可以看作常量,假設(shè)金屬絲兩端固定。試證明,當(dāng)溫度由降至?xí)r,其張力的增加為解:由物態(tài)方程( 1)知偏導(dǎo)數(shù)間存在以下關(guān)系:( 2)所以,有( 3)積分得( 4)與 1.3 題類似,上述結(jié)果不限于保持金屬絲長度不變的準(zhǔn)靜態(tài)冷卻過程,只要金屬絲的初態(tài)是平衡態(tài),兩態(tài)的
2、張力差就滿足式(4),與經(jīng)歷的過程無關(guān)。1.12 假設(shè)理想氣體的是溫度的函數(shù),試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中的關(guān)系,該關(guān)系式中要用到一個函數(shù),其表達(dá)式為解:根據(jù)式(1.8.1 ),理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中滿足( 1)用物態(tài)方程除上式,第一項(xiàng)用除,第二項(xiàng)用除,可得( 2)利用式(1.7.8 )和(1.7.9 ),可將式(2)改定為( 3)將上式積分,如果是溫度的函數(shù),定義( 4)可得(常量),( 5)或(常量)。( 6)式(6)給出當(dāng)是溫度的函數(shù)時(shí),理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中T和V的關(guān)系。1.13 利用上題的結(jié)果證明:當(dāng)為溫度的函數(shù)時(shí),理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為解:在是溫度的函數(shù)的情形下,§
3、1.9 就理想氣體卡諾循環(huán)得到的式( 1.9.4 )(1.9.6 )仍然成立,即仍有( 1)( 2)( 3)根據(jù) 1.13 題式(6),對于§1.9 中的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程(二)和(四),有( 4)( 5)從這兩個方程消去和,得( 6)故7)所以在是溫度的函數(shù)的情形下,理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為( 8)1.21 物體的初溫,高于熱的溫度,有一熱機(jī)在此物體與熱之間工作,直到將物體的溫度降低到為止,若熱機(jī)從物體吸取的熱量為Q試根據(jù)嫡增加原理證明,此熱機(jī)所能輸出的最大功為其中是物體的熵減少量。解:以和分別表示物體、熱機(jī)和熱在過程前后的熵變。由熵的相加性知,整個系統(tǒng)的熵變?yōu)橛捎谡麄€系統(tǒng)與外界是絕
4、熱的,熵增加原理要求( 1)以分別表示物體在開始和終結(jié)狀態(tài)的熵,則物體的熵變?yōu)椋?2)熱機(jī)經(jīng)歷的是循環(huán)過程,經(jīng)循環(huán)過程后熱機(jī)回到初始狀態(tài),熵變?yōu)榱悖矗?3)以表示熱機(jī)從物體吸取的熱量,表示熱機(jī)在熱放出的熱量,表示熱機(jī)對外所做的功。根據(jù)熱力學(xué)第一定律,有所以熱的熵變?yōu)椋?4)將式(2)(4)代入式(1),即有( 5)上式取等號時(shí),熱機(jī)輸出的功最大,故( 6)( 7) 相應(yīng)于所經(jīng)歷的過程是可逆過程2.2 設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式:試證明其內(nèi)能與體積無關(guān). 解:根據(jù)題設(shè),物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式:( 1)故有( 2)但根據(jù)式(2.2.7 ),有( 3)所以( 4)這就是說,如果物質(zhì)具有形式
5、為(1)的物態(tài)方程,則物質(zhì)的內(nèi)能與體積無關(guān),只是溫度T 的函數(shù) .2.3 求證:解:焓的全微分為( 1)令,得( 2)內(nèi)能的全微分為( 3)令,得( 4)2.13 射線衍射實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),橡皮帶未被拉緊時(shí)具有無定形結(jié)構(gòu);當(dāng)受張力而被拉伸時(shí),具有晶形結(jié)構(gòu).這一事實(shí)表明,橡皮帶具有大的分子鏈.(a)試討論橡 皮帶在等溫過程中被拉伸時(shí),它的嫡是增加還是減少;(b)試證明它的膨脹系數(shù)是負(fù)的.解:(a)嫡是系統(tǒng)無序程度的量度.橡皮帶經(jīng)等溫拉伸過程后由無定形結(jié) 構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榫谓Y(jié)構(gòu),說明過程后其無序度減少,即熵減少了,所以有( 1)(b)由橡皮帶自由能的全微分可得麥?zhǔn)详P(guān)系( 2)綜合式(1)和式(2),知( 3)由
6、橡皮帶的物態(tài)方程知偏導(dǎo)數(shù)間存在鏈?zhǔn)疥P(guān)系即( 4)在溫度不變時(shí)橡皮帶隨張力而伸長說明( 5)綜合式(3) -( 5)知所以橡皮帶的膨脹系數(shù)是負(fù)的,即( 6)2.15 計(jì)算熱輻射在等溫過程中體積由變到時(shí)所吸收的熱量. 解:根據(jù)式1.14.3 ),在可逆等溫過程中系統(tǒng)吸收的熱量為( 1)式( 2.6.4 )給出了熱輻射的熵函數(shù)表達(dá)式( 2)所以熱輻射在可逆等溫過程中體積由變到時(shí)所吸收的熱量為3.3 試由及證明及解:式( 2.2.12 )給出( 1)穩(wěn)定性條件(3.1.14 )給出( 2)其中第二個不等式也可表為( 3)故式(1)右方不可能取負(fù)值. 由此可知( 4)第二步用了式(2)的第一式. 根據(jù)式
7、( 2.2.14 ),有( 5)因?yàn)楹阏?,故?6)第二步用了式(2)的第二式.3.4 求證:( a)b)解:(a)由自由能的全微分(式(3.2.9 )( 1)及偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)次序的可交換性,易得( 2)這是開系的一個麥?zhǔn)详P(guān)系. 類似地,由吉布斯函數(shù)的全微分(式(3.2.2 )( 3)可得( 4)這也是開系的一個麥?zhǔn)详P(guān)系.3.5 求證:解:自由能是以為自變量的特性函數(shù),求對的偏導(dǎo)數(shù)(不變),有( 1)但由自由能的全微分可得( 2)代入式(1),即有( 3)3.6 兩相共存時(shí),兩相系統(tǒng)的定壓熱容量,體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)均趨于無窮,試加以說明. 解:我們知道,兩相平衡共存時(shí),兩相的溫度、壓強(qiáng)和化
8、學(xué)勢必須相等. 如果在平衡壓強(qiáng)下,令兩相系統(tǒng)準(zhǔn)靜態(tài)地從外界吸取熱量,物質(zhì)將從比熵較低的相準(zhǔn)靜態(tài)地轉(zhuǎn)移到比熵較高的相,過程中溫度保持為平衡溫度不變. 兩相系統(tǒng)吸取熱量而溫度不變表明它的(定壓)熱容量趨于無窮. 在上述過程中兩相系統(tǒng)的體積也將發(fā)生變化而溫度保持不變,說明兩相系統(tǒng)的體脹系數(shù)也趨于無窮. 如果在平衡溫度下,以略高(相差無窮?。┯谄胶鈮簭?qiáng)的壓強(qiáng)準(zhǔn)靜態(tài)地施加于兩相系統(tǒng),物質(zhì)將準(zhǔn)靜態(tài)地從比容較高的相轉(zhuǎn)移到比容較低的相,使兩相系統(tǒng)的體積發(fā)生改變. 無窮小的壓強(qiáng)導(dǎo)致有限的體積變化說明,兩相系統(tǒng)的等溫壓縮系數(shù)也趨于無窮.3.7 試證明在相變中物質(zhì)摩爾內(nèi)能的變化為如果一相是氣相,可看作理想氣體,另一
9、相是凝聚相,試將公式化簡. 解:發(fā)生相變物質(zhì)由一相轉(zhuǎn)變到另一相時(shí),其摩爾內(nèi)能、摩爾焓和摩爾體積的改變滿足( 1)平衡相變是在確定的溫度和壓強(qiáng)下發(fā)生的,相變中摩爾焓的變化等于物質(zhì)在相變過程中吸收的熱量,即相變潛熱L:克拉珀龍方程(式(3.4.6 )給出( 3)即( 4)將式(2)和式(4)代入(1),即有( 5)如果一相是氣體,可以看作理想氣體,另一相是凝聚相,其摩爾體積遠(yuǎn)小于氣相的摩爾體積,則克拉珀龍方程簡化為( 6)式(5)簡化為( 7)3.9以表示在維持相與相兩相平衡的條件下相物質(zhì)升高1K所吸收的熱量,稱為相的兩相平衡摩爾熱容量,試證明:如果相是蒸氣,可看作理想氣體,相是凝聚相,上式可簡化
10、為并說明為什么飽和蒸氣的熱容量有可能是負(fù)的. 解:根據(jù)式(1.14.4 ),在維持相與相兩相平衡的條件下,使相物質(zhì)溫度升高1K 所吸收的熱量為( 1)式( 2.2.8 )和(2.2.4 )給出( 2)代入式(1)可得( 3)將克拉珀龍方程代入,可將式(3)表為( 4)如果相是氣相,可看作理想氣體,相是凝聚相,在式(4)中略去,且令,式(4)可簡化為( 5)是飽和蒸氣的熱容量. 由式(5)可知,當(dāng)時(shí),是負(fù)的.3.15 證明在曲面分界面的情形下,相變潛熱仍可表為解:以指標(biāo)和表示兩相. 在曲面分界的情形下,熱平衡條件仍為兩相的溫度相等,即( 1)當(dāng)物質(zhì)在平衡溫度下從相轉(zhuǎn)變到相時(shí),根據(jù)式(1.14.4
11、 ),相變潛熱為( 2)相平衡條件是兩相的化學(xué)勢相等,即( 3)根據(jù)化學(xué)勢的定義( 4) 可表為因此6.1 試根據(jù)式(6213 )證明:在體積V內(nèi),在到的能量范圍內(nèi),三維自由 粒子的量子態(tài)數(shù)為解 : 式( 6.2.13 )給出,在體積內(nèi),在到到到的動量范圍內(nèi),自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為( 1)用動量空間的球坐標(biāo)描述自由粒子的動量,并對動量方向積分,可得在體積V內(nèi),動量大小在到范圍內(nèi)三維自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為( 2)上式可以理解為將空間體積元(體積 V,動量球殼)除以相格大小而得到的狀態(tài)數(shù) . 自由粒子的能量動量關(guān)系為因此將上式代入式(2),即得在體積V內(nèi),在到的能量范圍內(nèi),三維自由粒子的 量子
12、態(tài)數(shù)為 6.5 設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子,其粒子數(shù)分別為和. 粒子間的相互作用很弱,可以看作是近獨(dú)立的. 假設(shè)粒子可以分辨,處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制 . 試證明,在平衡狀態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別為和其中和是兩種粒子的能級,和是能級的簡并度. 解: 當(dāng)系統(tǒng)含有兩種粒子,其粒子數(shù)分別為和,總能量為 E,體積為V時(shí),兩種粒子的分布和必須滿足條件( 1)才有可能實(shí)現(xiàn). 在粒子可以分辨,且處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制的情形下,兩種粒子分別處在分布和時(shí)各自的微觀狀態(tài)數(shù)為( 2)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為( 3)平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的最概然分布是在滿足式(1)的條件下使或?yàn)闃O大的分布.利用斯特令公式,由式(
13、3)可得為求使為極大的分布,令和各有和的變化,將因而有的變化. 使為極大的分布和必使即但這些和不完全是獨(dú)立的,它們必須滿足條件用拉氏乘子和分別乘這三個式子并從中減去,得根據(jù)拉氏乘子法原理,每個和的系數(shù)都等于零,所以得即( 4)拉氏乘子和由條件(1)確定 . 式( 4)表明,兩種粒子各自遵從玻耳茲曼分布兩個分布的和可以不同,但有共同的. 原因在于我們開始就假設(shè)兩種粒子的粒子數(shù)和能量 E 具有確定值,這意味著在相互作用中兩種粒子可以交換能量,但不會相互轉(zhuǎn)化 . 從上述結(jié)果還可以看出,由兩個弱相互作用的子系統(tǒng)構(gòu)成的系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí),兩個子系統(tǒng)有相同的. 6.6 同上題,如果粒子是玻色子或費(fèi)米子,結(jié)果如
14、何?解:當(dāng)系統(tǒng)含有個玻色子,個費(fèi)米子,總能量為E,體積為V時(shí),粒子的分布和必須滿足條件( 1)才有可能實(shí)現(xiàn). 玻色子處在分布,費(fèi)米子處在分布時(shí),其微觀狀態(tài)數(shù)分別為系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為( 3)平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的最概然分布是在滿足式(1)條件下使或?yàn)闃O大的分布. 將式(2)和式(3)取對數(shù),利用斯特令公式可得令各和有和的變化,將因而有的變化,使用權(quán)為極大的分布和必使即但這此致和不完全是獨(dú)立的,它們必須滿足條件用拉氏乘子和分別乘這三個式子并從中減去,得根據(jù)拉氏乘子法原理,每個和的系數(shù)都等于零,所以得即( 4)拉氏乘子和由條件(1)確定 . 式(4)表明,兩種粒子分別遵從玻色分布和費(fèi)米分布,其中和不同,但
15、相等. 7.1 試根據(jù)公式證明,對于非相對論粒子,有上述結(jié)論對于玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立. 解 : 處在邊長為L 的立方體中,非相對論粒子的能量本征值為( 5) 1)為書寫簡便起見,我們將上式簡記為( 2)其中是系統(tǒng)的體積,常量,并以單一指標(biāo)代表三個量子數(shù). 由式(2)可得( 3) 代入壓強(qiáng)公式,有( 4)式中是系統(tǒng)的內(nèi)能. 上述證明示涉及分布的具體表達(dá)式,因此式(4)對玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立.前面我們利用粒子能量本征值對體積V的依賴關(guān)系直接求得了系統(tǒng)的壓強(qiáng)與內(nèi)能的關(guān)系. 式(4)也可以用其他方法證明. 例如,按照統(tǒng)計(jì)物理的一般程序,在求得玻耳茲曼系統(tǒng)的配分函數(shù)或
16、玻色(費(fèi)米)系統(tǒng)的巨配分函數(shù)后,根據(jù)熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式可以求得系統(tǒng)的壓強(qiáng)和內(nèi)能,比較二者也可證明式(4) . 見式( 7.2.5 )和式( 7.5.5 )及王竹溪統(tǒng)計(jì)物理學(xué)導(dǎo)論§ 6.2 式(8)和§6.5 式( 8) . 將位力定理用于理想氣體也可直接證明式(4),見第九章補(bǔ)充題2 式(6) . 需要強(qiáng)調(diào),式(4)只適用于粒子僅有平衡運(yùn)動的情形如果粒子還有其他的自由度,式(4)中的U 僅指平動內(nèi)能. 7.2 試根據(jù)公式證明,對于相對論粒子,有上述結(jié)論對于玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立. 解 : 處在邊長為L 的立方體中,極端相對論粒子的能量本征值為( 1)用指標(biāo)
17、表示量子數(shù)表示系統(tǒng)的體積,可將上式簡記為( 2)其中由此可得( 3)代入壓強(qiáng)公式,得( 4)本題與7.1題結(jié)果的差異來自能量本征值與體積V函數(shù)關(guān)系的不同.式(4)對玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都適用. 7.3 當(dāng)選擇不同的能量零點(diǎn)時(shí),粒子第個能級的能量可以取為或以表示二者之差,試證明相應(yīng)配分函數(shù)存在以下關(guān)系,并討論由配分函數(shù)和求得的熱力學(xué)函數(shù)有何差別. 解 : 當(dāng)選擇不同的能量零點(diǎn)時(shí),粒子能級的能量可以取為或顯然能級的簡并度不受能量零點(diǎn)選擇的影響. 相應(yīng)的配分函數(shù)分別為( 1)( 2)故( 3)根據(jù)內(nèi)能、壓強(qiáng)和熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式(7.1.4 ),(7.1.7 )和(7.1.13 ),容易證明(
18、 4)( 5)( 6)式中 N 是系統(tǒng)的粒子數(shù). 能量零點(diǎn)相差為時(shí),內(nèi)能相差是顯然的. 式(5)和式( 6)表明,壓強(qiáng)和熵不因能量零點(diǎn)的選擇而異. 其他熱力學(xué)函數(shù)請讀者自行考慮.值得注意的是,由式(7.1.3 )知所以與是相同的.粒子數(shù)的最概然分布不因能量零點(diǎn)的選擇而異.在分析Ap 實(shí)際問題時(shí)可以視方便選擇能量的零點(diǎn). 7.11 表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運(yùn)動,可以看作二維氣體. 試寫出二維氣體中分子的速度分布和速率分布,并求平均速率,最概然速率和方均根速率解 : 參照式( 7.3.7 )(7.3.9 ),可以直接寫出在液面上作二維運(yùn)動的表面活性物質(zhì)分子的速度分布和速率分布. 速度分布為( 1)速率分布為( 2)平均速率為( 3)速率平方的平均值為因此方均根速率為第 1
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