第7章習題課(1)解答

1、 第第7章章習題課習題課 (1)上冊上冊主要內容主要內容一、利用一、利用定義定義和和疊加原理疊加原理求場強和電勢；求場強和電勢； 二、用典型電場的場強公式，求某些二、用典型電場的場強公式，求某些 帶電體組合的場強分布；帶電體組合的場強分布；三、三、用高斯定理求場強用高斯定理求場強；四、電勢的計算。四、電勢的計算。一、利用定義和疊加原理求場強和電勢一、利用定義和疊加原理求場強和電勢 )Q(ZZ)Q(YY)Q(XX)Q(dEEdEEdEEEdEEddqQ注意：利用對稱性分析，注意：利用對稱性分析，看場強的某分量是否為零?？磮鰪姷哪撤至渴欠駷榱恪?Q(dddqQ1. 有一邊長為有一邊長為a的正六角形

2、，六個頂點都放有電荷。的正六角形，六個頂點都放有電荷。求六角形中點處的場強和電勢。求六角形中點處的場強和電勢。qqqqqq0yx解解 建立如圖坐標系建立如圖坐標系分析電場分布分析電場分布由對稱性分析，得：由對稱性分析，得：0 yExEE 0點電荷場強點電荷場強公式公式rrQE4202042aqEx260cos42020aq20aqqqqqqq0 61004iiaqUaq043 aq043 0 六角形中點處的電勢六角形中點處的電勢iaqEEx200 00U0E2. 一細玻璃棒被彎成半徑為一細玻璃棒被彎成半徑為R的半圓形的半圓形,沿其上半部沿其上半部均勻分布有電荷均勻分布有電荷+Q,沿下半部均勻分

3、布有電荷沿下半部均勻分布有電荷-Q,如圖如圖所示。求半圓中心所示。求半圓中心o處的場強和電勢。處的場強和電勢。解解 ： 線電荷密度線電荷密度RQ/RQ22 Rddldq204RdqdE Rd04 EddQQRodqyx由對稱性分析，得：由對稱性分析，得：0 xE2/0cos2dEEy2/00cos42dRR042jRQEEyo202EddQQRodqyx半圓中心半圓中心o點處的電勢：點處的電勢：d004400RQRQ 3.設兩個半徑分別為設兩個半徑分別為R1和和R2的球面同心放置，所帶的球面同心放置，所帶電量分別為電量分別為Q1和和Q2，且都是均勻分布。試求該電場，且都是均勻分布。試求該電場的

4、電勢分布。的電勢分布。oQ1Q2R2R1解：根據解：根據電勢疊加原理電勢疊加原理得得:1Rr 20210144RQRQ21RrR2020144RQrQ2Rr rQQ0214二、用典型電場的場強公式，求某些二、用典型電場的場強公式，求某些 帶電體組合的場強分布。帶電體組合的場強分布。無限長直導線：無限長直導線：無限大平面：無限大平面：rE02 02 E均勻帶電球面：均勻帶電球面： 0ERr 204rQERr xy1. 兩條平行的無限長均勻帶電直線，相距為兩條平行的無限長均勻帶電直線，相距為 d, 線線電荷密度分別為電荷密度分別為 和和 . （2）兩直線單位長度的相互作用力。）兩直線單位長度的相互

5、作用力。求求 （1）兩直線構成的平面的中垂面上的場強；）兩直線構成的平面的中垂面上的場強；解（解（1）由無限長均勻帶電直線的場強公式）由無限長均勻帶電直線的場強公式rE02 EE方方 向如圖所示向如圖所示Pr E E d得得P點場強：點場強：0 yE cosEcosEExrdrEx2/2202202/2dydiEEx ExyPr E E dcos2Erd 2/cos2222/dyrEdqdF ddl02 ddl022方向：方向：i 單位長度帶電直線的單位長度帶電直線的相互作用力為：相互作用力為：FdFd）（2ddldF022 dEdl0 xx2. 寬度為寬度為b的無限長均勻帶電平面，面電荷密度

6、的無限長均勻帶電平面，面電荷密度為為 ，與帶電平面共面的一點，與帶電平面共面的一點P到平面相鄰邊垂直到平面相鄰邊垂直距離為距離為a（P點在帶電平面外）點在帶電平面外）.求：求：P點的電場強度。點的電場強度。 解：解：ldxdSdq dxldq rE02dxaPbldE無限長直導線電場：無限長直導線電場：xabdxdE02dEEPbxbadx00)(2aba ln200 xxdxaPbldE三、用高斯定理求場強三、用高斯定理求場強sqSdE0int1. 以點電荷以點電荷q1為中心作高斯球面為中心作高斯球面S1和和S2,且且 S2=2S1。通過通過S1的電通量的電通量 ，通過，通過S2的電通量的電

7、通量 。問。問:1 2 （1） 是否成立？是否成立？122 1q1S2S0111 qSdES 2012SqSdE21 答：由高斯定理得：答：由高斯定理得：（2） 若若q1不在中心而偏向中心左側（仍在不在中心而偏向中心左側（仍在S1內）內）通過通過S1和和S2的電通量是否有變化？的電通量是否有變化？（3）若在）若在S2外有一電荷外有一電荷 q2在在 S2外移近外移近 q1，則，則 有什么變化？有什么變化？21 和和（4）S1、 S2上各點場強是否變化？上各點場強是否變化？不不變變。內內移移動動時時，在在當當 11Sq答：由高斯定理可得：答：由高斯定理可得：也也不不變變。時時，外外移移近近在在 1

8、22qSq答：由高斯定理可得：答：由高斯定理可得： 1q1S2S2q。上上各各點點場場強強將將發(fā)發(fā)生生變變化化所所以以，21SS答：由高斯定理可得：答：由高斯定理可得：是空間所有電荷共同產生的合場強；是空間所有電荷共同產生的合場強；ES 2. 為閉合曲面的一部分，閉合面內無凈電荷為閉合曲面的一部分，閉合面內無凈電荷（如圖），電力線穿過該閉合曲面。已知通過（如圖），電力線穿過該閉合曲面。已知通過 面的電通量為面的電通量為 ，通過閉合面其余部分的電通，通過閉合面其余部分的電通量量S 1?2解：解： 由高斯定理得由高斯定理得 ：0 SSdE12 21 S E3. 電荷電荷+Q均勻分布在半徑為均勻分布

9、在半徑為R的球面上，球心在的球面上，球心在坐標原點，現在球面與坐標原點，現在球面與x 軸相交處挖去面元軸相交處挖去面元 S 移移到無窮遠處（設無窮遠處到無窮遠處（設無窮遠處 電勢為零電勢為零 ，且挖去面元，且挖去面元后，電荷分布不變）。后，電荷分布不變）。求：（求：（1）挖去面元后球心）挖去面元后球心o處的處的 Eo =？ （2）球心）球心o處的電勢處的電勢 （3）挖去面元處的場強）挖去面元處的場強 ?E ？0S oxyz解：解： 介紹介紹 “補缺法補缺法”SEEE 0S0S oxyz由高斯定理得：由高斯定理得：0 E解（解（1）球心）球心o處的處的 E0=？面元面元 所帶電荷可視為點電荷所帶

10、電荷可視為點電荷S物理近似：物理近似：Sq 24 RSQ iRqES 204iRSQ04216 其產生的場強為：其產生的場強為：S oxyz iRSQEES042o160（2）球心）球心o處的電勢處的電勢 =？0 球殼在球心處的電勢等于完整球面在球心球殼在球心處的電勢等于完整球面在球心處的電勢減去挖去部分在球心處的電勢處的電勢減去挖去部分在球心處的電勢.S03020164RSQRQ RqRQ0044 S oxyz（3）挖去面元處的場強）挖去面元處的場強 ?E 挖去面元處的場強等于完整球面在此處的場強挖去面元處的場強等于完整球面在此處的場強減去面元上的場強減去面元上的場強.SEEE 其中：其中：

11、iiRQE0204 那么，面元上場強那么，面元上場強?ES 物理近似物理近似從離面元無限近的一點看面元，從離面元無限近的一點看面元，可以將面元視為無限大帶電平面?？梢詫⒚嬖暈闊o限大帶電平面。iES02SEEE方向方向 i00022 4. 4. 一均勻帶電直線長為一均勻帶電直線長為d d , ,電荷線密度為電荷線密度為,以導線中點以導線中點o為球心，為球心，R為半徑（為半徑（R d )作一球面，如作一球面，如圖所示。通過該球面的電場強度通量為圖所示。通過該球面的電場強度通量為 ；帶電直線的延長線與球面交點帶電直線的延長線與球面交點P處的電場強度的大處的電場強度的大小為小為 ；方向；方向 。oR

12、P解（解（1）由高斯定理得：）由高斯定理得：00 dqii（2）ldldq 20)(41lRdldEP2/2/20)(41ddPlRdlE)dR(d2204 （3）方向沿矢徑）方向沿矢徑OP.oRP oRPdl5. 一半徑為一半徑為a的帶電球體，其電荷體密度為的帶電球體，其電荷體密度為 , r 為球心到球體內任一點的距離。為球心到球體內任一點的距離。 求：球內外的電場強度。求：球內外的電場強度。2krr2krSS r解：由高斯定理得：解：由高斯定理得：24 rESdES ViidVq001aodrrkr220410554krrkrE025ar ViidVq001r0Saorar drrkrqi

13、i2200410aS aor2055rkarrkaE3055四四. 電勢的計算電勢的計算0pppl dEuiiuurdqu04kzujyuixuE1mv600400jiE ?,b,aab 之之間間的的電電勢勢差差和和點點則則點點0123解：解： baabl dE bajdyidxE=-2 10-2 103 3 （v v）0213600400dydx jdyidxjiba6004001. 一均勻靜電場一均勻靜電場,電場強度為電場強度為:qMaaPixqE方方向向解解：204 MPdxxqaa 2204aq08 PMxdE2. 在點電荷在點電荷q 的電場中，若取圖中的電場中，若取圖中P點處為電勢零

14、點處為電勢零點，則點，則 M 點的電勢點的電勢 =? 由電勢疊加原理再解：由電勢疊加原理再解：PMxdEMPxdExdExoMPxdExdEaq08 PM aqaq00424 3. 真空中兩相同的均勻帶電小球，半徑為真空中兩相同的均勻帶電小球，半徑為R。球心。球心相距相距d，分別帶電量為，分別帶電量為q和和-q。 1. 求球心連線上任意點的電勢（以連心線中點為求球心連線上任意點的電勢（以連心線中點為參考零點）；參考零點）； 2. 由電勢梯度求連線上各點的場強。由電勢梯度求連線上各點的場強。qqdxo解解: 1. 由電勢疊加原理：由電勢疊加原理：時時：dx qq)dx(xqd 042/4)(42/440000dqdxqdqxq時時：同同理理：dx 0)xd(xxd 2410時時：0 x)xd(xqd 041dxxqdxxqddxdx2/202/2044qqdxoPM2、求場強、求場強:時dx 22)dx(KqxKqdxdEEx 長為長為L,均勻帶電為均勻帶電為Q的細棒，如圖示，求的細棒，如圖