分布函數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1分布分布(fnb)函數(shù)函數(shù)第一頁，共20頁。 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的概率(gil)分布,也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率(gil)規(guī)律. 在這個(gè)意義上，我們說 前一講，我們介紹(jisho)了離散型隨機(jī)變量及其概率分布.離散型隨機(jī)變量(su j bin lin)由它的概率分布唯一確定. 第1頁/共19頁第二頁，共20頁。 為了對(duì)隨機(jī)變量(su j bin lin)r.v（random variable）給出一種統(tǒng)一的描述方法，下面引進(jìn)分布函數(shù)的概念.第2頁/共19頁第三頁，共20頁。1.分布函數(shù)的定義設(shè) X 是一個(gè) r.v，稱)()(xXPxF)(x為 X 的分布函數(shù). 記作

2、 X F(x) 或 FX(x). 如果將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),則分布(fnb)函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間(-, x的概率. |xxX 第3頁/共19頁第四頁，共20頁。對(duì)任意(rny)實(shí)數(shù) x1x2，隨機(jī)點(diǎn)X落在區(qū)間（ x1 , x2 的概率為：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道(zh do)了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.由定義(dngy)， F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.第4頁/共19頁第五頁，共20頁。重要(zhngyo)公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1)

3、2(aFaXP 證明(zhngmng),bXaaXbX 因?yàn)橐驗(yàn)? bXaaX,bXaPaXPbXP 所以所以).()(aFbFbXaP 故故第5頁/共19頁第六頁，共20頁。)()(aFbFaXPbXPbXaP )(11cFcXPcXP )0(lim0 aFaXPaXP)0()( aFaFaXPaXPaXP,bXaP ,bXaP bXaP 類似(li s)地，第6頁/共19頁第七頁，共20頁。 ( )iixxF xP Xxp x 分布(fnb)函數(shù)分布(fnb)律 iip xP Xx 2.離散型隨機(jī)變量(su j bin lin)的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系 ( )().i

4、iiixxxxF xP Xxp xP Xx第7頁/共19頁第八頁，共20頁。例1 拋擲均勻硬幣, 令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù).解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x0)(0)( PxXPxF第8頁/共19頁第九頁，共20頁。 0 1x,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP;21 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得第9頁/共19頁第十頁，共20頁。X 1 2 3 4P 1/2 1/4 1/8 a答案(d n)：433)2(81)1( XPa求（1）a

5、; （2）PX3.第10頁/共19頁第十一頁，共20頁。 對(duì)離散隨機(jī)變量(su j bin lin)的分布函數(shù)應(yīng)注意： (1) F(x)是遞增(dzng)的階梯函數(shù); (2) 其間(qjin)斷點(diǎn)均為右連續(xù)的; (3) 其間斷點(diǎn)即為X的可能取值點(diǎn); (4) 其間斷點(diǎn)的跳躍高度是對(duì)應(yīng)的概率值.xo)(xF 1x 2x 1p 2p 1第11頁/共19頁第十二頁，共20頁。);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 證明(zhngmng)21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF

6、 (單調(diào)(dndio)不減性), 0)(lim)()3( xFFx; 1)(lim)( xFFx第12頁/共19頁第十三頁，共20頁。,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo證明(zhngmng),越越來來越越小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,的的值值也也越越來來越越小小xXP 有有時(shí)時(shí)因因而而當(dāng)當(dāng), x.),(,(,內(nèi)必然落在時(shí)當(dāng)而的值也會(huì)增大增大時(shí)當(dāng)同樣XxxXxXPx. 1lim)(lim xXPxFxx所以第13頁/共19頁第十四頁，共20頁。).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函數(shù)(hnsh)處處右連續(xù). 反過來,如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)r.

7、v X 的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)(1)-(4)是鑒別(jinbi)一個(gè)函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.第14頁/共19頁第十五頁，共20頁。.,00, 00,)(,3的值求常數(shù)為常數(shù)其中函數(shù)為其分布在整個(gè)實(shí)軸上取值已知隨機(jī)變量例BAxxBeAxFXx.,)(.)(11001 BABAFAF于于是是有有由由分分布布函函數(shù)數(shù)的的右右連連續(xù)續(xù)性性由由分分布布函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)知知解解第15頁/共19頁第十六頁，共20頁。例4 一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)射擊都能中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量(su j bi

8、n lin) X 的分布函數(shù).解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,是不可能事件是不可能事件xXP ,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.,02是常數(shù)是常數(shù)kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即即.402xxXP 因而因而; 0)( xXPxF于是于是第16頁/共19頁第十七頁，共20頁。于是(ysh)(xXPxF ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x故 X 的分布函數(shù)為 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x )(xXPxF . 1 其圖形為一連續(xù)曲線第17頁/共19頁第十八頁，共20頁。.)(xXPxF 2. 分布函數(shù)(hnsh)的性質(zhì)(4個(gè)性質(zhì))1. 隨機(jī)變量分布(fnb)函數(shù)的概念第18頁/共19頁第十九頁，共20頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會(huì)計(jì)學(xué)。第1頁/共19頁。為了對(duì)隨機(jī)變量r.v（random variable）給出一種統(tǒng)一(tngy)的描述方法，下面引進(jìn)分布函數(shù)的概念.。= F(x2)-F(x1)。因此，只