D101二重積分概念82527學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1D101二重積分概念二重積分概念(ginin)82527第一頁，共48頁。柱體體積柱體體積= =底面積底面積高高特點(diǎn)特點(diǎn)(tdin)(tdin)：平頂平頂. .柱體體積柱體體積(tj)=？特點(diǎn)特點(diǎn)(tdin)(tdin)：曲頂曲頂. .),(yxfz D曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積第1頁/共48頁第二頁，共48頁。解法解法: 類似定積分類似定積分(jfn)解決問題的思想解決問題的思想:1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積(tj) 給定曲頂柱體:底：底： xOy 面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫簜?cè)面：以 D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小大化小, 常代變常

2、代變, 近似和近似和, 求求 極限極限” D),(yxfz 第2頁/共48頁第三頁，共48頁。1)“大化(d hu)小”用任意曲線(qxin)網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域以它們(t men)為底把曲頂柱體分為 n 個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體k),(kk第3頁/共48頁第四頁，共48頁。4)“取極限(jxin)”令),(yxfz ),(kkfk),(kk第4頁/共48頁第五頁，共48頁。有一個(gè)平面(pngmin)薄片, 在 xOy 平面(pngmin)上占有區(qū)域 D ,計(jì)算該薄片(bo pin)的質(zhì)量 M .度為設(shè)D 的面積為 ,則若非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常

3、代變,近似和, 求極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小塊 .yxO第5頁/共48頁第六頁，共48頁。yx2)“常代變”中任取一點(diǎn)(y din)3)“近似(jn s)和”4)“取極限(jxin)”k),(kk則第 k 小塊的質(zhì)量第6頁/共48頁第七頁，共48頁。兩個(gè)(lin )問題的共性：(1) 解決問題的步驟(bzhu)相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同(xin tn)“大化小, 常代變, 近似和,取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 第7頁/共48頁第八頁，共48頁。定義定義(dngy):將

4、區(qū)域(qy) D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域(qy)任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù) I , 使可積可積 , 在D上的二重積分二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 第8頁/共48頁第九頁，共48頁。對二重積分定義對二重積分定義(dngy)的說明：的說明：二重積分的幾何二重積分的幾何(j h)意義意義當(dāng)被積函數(shù)當(dāng)被積函數(shù)(hnsh)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值第9頁/共48頁第十頁，共48頁。引例(yn l)1中曲頂柱體體積:引例2中平

5、面薄板(bo bn)的質(zhì)量:如果(rgu) 在D上可積,元素d也常記作二重積分記作這時(shí)分區(qū)域 D , 因此面積 可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃 yxO第10頁/共48頁第十一頁，共48頁。若函數(shù)(hnsh),(yxf定理(dngl)2.),(yxf(證明略)定理1.在D上可積可積.限個(gè)點(diǎn)或有限條光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如例如, 在 D :上二重積分存在 ;在D 上 二重積分不存在 . y1x1DO第11頁/共48頁第十二頁，共48頁。( k 為常數(shù)(chngsh) 為D 的面積(min j), 則 第12頁/共48頁第十三頁，共48頁

6、。特別(tbi), 由于則5. 若在D上),(yxf6. 設(shè)D 的面積(min j)為 ,則有第13頁/共48頁第十四頁，共48頁。7.(二重積分的中值(zhn zh)定理)證證: 由性質(zhì)由性質(zhì)(xngzh)6 可知可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少(zhsho)有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此第14頁/共48頁第十五頁，共48頁。解解 deDyx)(22 ab.2aeab 區(qū)域區(qū)域 D的面積的面積 , ab第15頁/共48頁第十六頁，共48頁。解解: D 的面積的面積(min j)為為由于(yuy)積分性質(zhì)5即: 1.96 I 210101010DxyO第16頁

7、/共48頁第十七頁，共48頁。其中(qzhng)解解: 積分積分(jfn)域域 D 的邊界為圓周的邊界為圓周它在與 x 軸的交點(diǎn) (1,0) 處與直線從而而域 D 位于直線的上方, 故在 D 上y2x1OD第17頁/共48頁第十八頁，共48頁。解解oxy121D第18頁/共48頁第十九頁，共48頁。的正負(fù)號.解解: 分積分分積分(jfn)域?yàn)橛驗(yàn)閯t原式 =3D311D猜想結(jié)果(ji gu)為負(fù) 但不好估計(jì) .舍去此項(xiàng)yxO第19頁/共48頁第二十頁，共48頁。xyO),(yxfD 位于(wiy) x 軸上方的部分為D1 , 當(dāng)區(qū)域(qy)關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍1

8、D在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有第20頁/共48頁第二十一頁，共48頁。如果積分如果積分(jfn)區(qū)域?yàn)椋簠^(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,baX X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 四、曲頂柱體體積四、曲頂柱體體積(tj)的的計(jì)算計(jì)算第21頁/共48頁第二十二頁，共48頁。設(shè)曲頂柱的底為任取平面(pngmin)故曲頂柱體體積(tj)為截面積為截柱體的)(2xy)(1xy0 xzxyabDO記作記作 第22頁/共48頁第二十三頁，共48頁。如果如果(rgu)積分區(qū)

9、域?yàn)椋悍e分區(qū)域?yàn)椋篩 Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D第23頁/共48頁第二十四頁，共48頁。同樣(tngyng), 曲頂柱的底為則其體積(tj)可按如下兩次積分計(jì)算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21Oydcx)(2yx)(1yxy記作記作 第24頁/共48頁第二十五頁，共48頁。 X X型區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y y軸軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)(lin (lin )交點(diǎn)交點(diǎn). . Y Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(chun u)(chun u)區(qū)域且平區(qū)域且平

10、行于行于x x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)點(diǎn). .若區(qū)域若區(qū)域(qy)如圖，如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割則必須分割. .第25頁/共48頁第二十六頁，共48頁。xy 1解解積分積分(jfn)區(qū)域如圖區(qū)域如圖第26頁/共48頁第二十七頁，共48頁。xy 222xxy 解解積分積分(jfn)區(qū)域如圖區(qū)域如圖第27頁/共48頁第二十八頁，共48頁。解解原式原式a2aa2a第28頁/共48頁第二十九頁，共48頁。第29頁/共48頁第三十頁，共48頁。811第30頁/共48頁第三十一頁，共48頁。第31

11、頁/共48頁第三十二頁，共48頁。第32頁/共48頁第三十三頁，共48頁。所圍成的閉區(qū)域直線及是由拋物線其中計(jì)算例2,62xyxyDxydD第33頁/共48頁第三十四頁，共48頁。解解: 設(shè)兩個(gè)設(shè)兩個(gè)(lin )直圓柱方程為直圓柱方程為利用對稱性, 考慮(kol)第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為222RzxDxyzRRO第34頁/共48頁第三十五頁，共48頁。解解2xy 2yx 2xy 2yx 第35頁/共48頁第三十六頁，共48頁。解解第36頁/共48頁第三十七頁，共48頁。解解2xy xy 第37頁/共48頁第三十八頁，共48頁。解解曲面曲面(qmin)圍成的立體如圖圍成的立體如

12、圖.第38頁/共48頁第三十九頁，共48頁。第39頁/共48頁第四十頁，共48頁。1. 二重積分的定義(dngy)2. 二重積分的性質(zhì)(xngzh)(與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法X X型型.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y Y型型（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）第40頁/共48頁第四十一頁，共48頁。被積函數(shù)(hnsh)相同, 且非負(fù), 解解: 由它們(t men)的積分域范圍可知11xyO1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:第41頁/共48頁第四十二頁，共48頁。的大小(dxio)順序?yàn)?( )提示(tsh): 因 0 y 1, 故故在D上有yOx1D第42頁/共48頁第四十三頁，共48頁。解解:02第43頁/共48頁第四十四頁，共48頁。其中(qzhng)D 為解解: 利用利用(lyng)題中題中 x , y 位置的對稱性位置的對稱性, 有有又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .yOx1D